分布式算法设计基础(第六章)

第6章波动算法和遍历算法在对各种应用程序或分布式系统设计分布式算法时，一些一般性的问题经常可以看成是该分布式算法的子任务。

这些子任务包括消息的广播(比如说启动和终止消息传递)，在进程之间获取一个全局的同步，在每个进程中触发执行某个事件或计算一个每个进程拥有部分输入的函数等。

这些任务的执行都要通过在某些指定的、依赖于拓扑结构的模式上传递消息来保证所有进程参与这个活动。

这种消息传送的模式，我们今后叫做波动算法（wave algorithms），顾名思义，这一计算必须波及到所有结点或进程。

在这一章，我们将形式化地给出波动算法的定义，并证明一些在波动算法方面的一般性结论(6.1.2)。

从6.1.3到6.1.5将严格阐述一个相同的算法被用于上面列出的所有的基本的任务。

6.2节提出一些广泛使用的波动算法。

6.3节考虑遍历算法，它是在波动算法的基础上增加这样的属性: 算法对应的一个计算的所有事件都在因果序关系上是全序的。

6.4节给出了几个在分布式深度优先搜索上的算法。

波动算法的意义波动算法不仅是一类重要的分布式算法，而且也提供了分布式算法设计的一种途径和方式方法。

本章将表明，许多分布式算法实际上是一种波动算法，所有的波动算法都具有共同的特征，满足波动算法的属性条件。

一旦一个问题弄清楚了求解该问题的算法具有波动性的特点，就可以考虑用波动算法来求解这个问题。

此时，算法的设计不必另起炉灶，从头开始一步一步地分析、设计这个分布式算法，而是可以从一个已知的波动算法出发，通过改造这个算法来达到设计算法，求解波动问题的目标，而这样一个改造波动算法从而获得一个新的波动算法的过程，是相对简单和容易的。

换言之，波动算法的研究，不仅划分了一类具有共同特征属性的算法，而且提供了这类算法设计的一种新的途径或方式方法。

6.1 波动算法的定义和使用除非明确指出，否则我们在本章中都将假设网络拓扑是固定的(网络拓扑结构不发生改变)、无向的(每个通道可以在两个方向上携带消息)，并且是连通的(每两个进程之间有一条路径)。

P表示所有进程的集合，E表示通道的集合。

我们假设：系统使用异步消息传递机制，并且没有全局时间的观念或实时时钟。

本章的算法也可以被用于同步消息传递机制(可能需要做些修改来避免死锁)，或者在可以得到全局时钟的情况下用于具有全局时钟的系统。

6.1.1 波动算法的定义如第二章所说，由于进程和通信子系统的不确定性，一个分布式算法通常允许一个很大的进程及其事件的集合参与可能的计算。

如定义2.20所阐述的，一个计算是一个满足因果序关系的偏序事件的集合。

计算C的事件的数目用|C|表示，进程p中发生的事件构成的子集合记为C p。

这里，我们假设有一个特殊类型的内部事件，叫做decide事件或判定事件。

在本章的算法中，这个事件仅仅用语句decide来表示。

它不是一个具体的某种语句的称谓，而是我们根据消息传递模式和观察波动算法并抽象后获得的一个概念性事件。

从抽象的角度来看，一个波动算法交换一个有限数目的消息，然后作一个判定(decide)操作。

至于具体是算法中的那些个语句担负起了判定事件的作用，这将依赖于每个进程上参与波动算法计算的某些事件的因果序。

事实上，在实际的分布式算法的设计与分布式系统的开发中，波动算法具有广泛的应用，许多分布式算法和系统是在波动算法的基础上改造而来，因此，发展不同种类的波动算法具有重要的意义。

定义6.1一个波动算法是一个分布式算法，满足下列三个要求：(1) 终止性。

每个计算是有限的，即∀C: |C|＜∞ ;(2) 判定性(decision)。

每次计算都包含至少一个decide事件，即∀C∃e∈C: e是一个decide事件;(3) 相关性。

在每一次的计算中，每个进程都存在该进程中的至少一个事件，这个事件在因果序关系≼上优先于decide事件，即∀C∀e∈C:(e是一个decide事件⇒∀q∈P∃f∈C q: f≼e ) 。

波动算法的一次计算称为一次波动，强调了这样的一次计算需要波及到所有的进程。

在波动算法的计算中，初始进程也称为开始进程，非初始进程称为跟随进程。

要特别指出的是，在一个波动算法的计算中，初始进程和非初始进程是不一样的。

一个初始进程自发地启动执行局部算法，就称其为初始进程，即其执行由进程内部的某些条件触发所致。

而一个非初始进程仅当它收到算法的一条消息并触发该进程局部算法的执行，才算参加了该分布式算法的执行。

所以，一个初始进程的第一个事件可以是内部事件或发送事件，而非初始进程的第一个事件只能是接收事件。

由于算法在诸多方面的不同，到目前为止，存在多种波动算法。

根据波动算法的原理，下面给出了不同的波动算法的一个列表。

(1) 集中一个波动算法是集中的，如果在每次计算中都只有一个初始进程。

而一个波动算法是非集中的，如果算法可以由进程的任意子集自发地开始执行。

集中式算法也叫做单源算法（single-source algorithms），而非集中式算法也叫做多源算法（multi-source algorithms）。

集中对波动算法的复杂性有很重要的影响，可见表6.20。

(2) 拓扑结构一个算法可能被设计用于某一特殊的拓扑结构，比如说环，树，团，超立方体，等等，可以利用特殊的拓扑结构，提高算法的效率。

(3) 初始知识在进程中，假设算法可以利用各种初始知识，包括:(a) 进程标识每个进程初始时都知道自己唯一的名字；(b) 邻居表示每个进程初始时都知道自己邻居进程的名字；(c) 方向侦听参见第11章(4) 判定(decisions)次数本章所有的波动算法中，每个进程至多进行一次判定(decide)。

波动算法中执行判定(decide)操作的进程的数目可能不一样。

在有些算法中，可能只有一个进程进行判定，而在另外一些算法中，可能所有的进程都进行判定操作。

(5) 复杂性本章考虑的复杂性度量是交换的消息的数目，交换的位的数目和完成一次波动计算的时间。

进程可能交换不同类型的消息，这样，每一条消息可能包括1-2位的数目以区别不同类型的消息。

波动算法的一个重要子类是由集中式波动算法构成的，具有另外的两个性质:(1) 初始进程是做判定的唯一进程；(2) 所有事件是完全的因果序关系≼有序的，是全序。

6.1.2 关于波动算法的基本结论本节将给出一些引理，以对波动算法的结构有更深入的了解，并给出所提出的波动算法消息的复杂度的两个平凡下界。

波动算法的结构属性对一次波动计算中的每一个事件，初始进程中存在事件f先于该事件。

引理6.2对每个事件e∈C，存在一个初始进程p和C p中的一个事件f，满足f≼e。

证明：在事件e的历史中选择一个最小的元素f，满足 f≼e，并且不存在事件f’满足：f’≼f(其实也就是在e的所在的因果序关系链中找出最小的那个事件)。

这个f一定存在，因为每个事件的历史都是有限的。

接下来，我们要说明的是，f事件发生的进程p是一个初始进程。

首先，注意到f是p的第一个事件，否则p的更早的事件将在因果序偏序关系上排在f之前。

如果p不是一个初始进程，那么，一个非初始进程的第一个事件只能是一个接收事件，这就必然有一个相应的发送进程的发送事件在因果序关系上排在它的之前，这与f的最小性是矛盾的。

因此，p必然是初始进程。

故结论得证。

□引理6.3令C是仅含有一个初始进程p的一次波动计算，且对每个非初始进程q，令father q是q的邻居，进程q在其第一个事件中将接收来自该邻居的一条消息，则图T=(P，E(T))是一棵根向p的生成树，其中，E(T)={qr|q≠p∧r=father q}。

证明：在T中，任意结点(进程)的第一个事件是接收来自邻居的消息参与波动计算，而网络是连通的，除初始进程结点外，每一个结点都将收到一个邻居结点的一条消息而参加波动计算，当把这样的消息数视为T中的边数时，T的结点数等于边数加1，初始进程不接收消息。

所以，T是一棵根向p的生成树。

我们还要说明T中不包含环路。

这点是成立的，因为如果每个e q 是q 的第一个事件，qr ∈E(T)隐含着e r ≼e q ，而≼是偏序，不可能形成回路。

故结论得证。

□针对判定算法，波动算法定义6.1的第三个要求中的事件f 在所有不发生decide 事件的进程q 中，可以选择为发送事件。

即发送事件执行后，q 进程参与本次波动计算的任务就结束了。

这样，就保证了每个进程中至少有一个事件在因果序关系上排在判定事件之前。

按照这样的分析，我们有引理6.4 令C 是一次波动计算，并且d p ∈C 是进程p 中的一个decide 事件，则 ∀q≠p：∃f∈C q : f ≼d p ∧f 是一个发送事件证明：因为C 是一次波动计算，所以存在一个f ∈C q ，满足f 在因果序关系≼上领先于d p ；对于任意进程q ，选f 为C q 中在因果序关系≼上领先于d p 的最后一个事件。

为了说明f 是一个发送事件，我们注意到因果序关系≼的定义(定义 2.20)隐含着存在一个序列(因果链)f =e 0，e 1,…，e k =d p ，满足对每个i ＜k ，e i 和e i+1或者是同一个进程的串行事件，或者是一对进程中的发送-接收事件，即一个是相应的发送事件，一个是对应的接收事件。

因为，f 是q 中在d p 前的最后一个事件，而e 1不在q 中发生，所以f 只能是一个发送事件。

故结论得证。

□波动复杂性的下界引理6.4隐含着在一次有n 个结点参与的波动计算中，交换的消息数目有一个下界为n-1，即至少需要交换n-1条消息才能完成一次波动计算。

如果decide 事件只发生在唯一的初始进程上，则下界是n 条消息(定理6.5)，并且任意网络的波动算法至少要使用|E|条消息(定理6.6)。

定理6.5 令C 是一次只有一个初始进程p 的波动计算，满足decide 事件d p 发生在进程p 中，则在C 中至少需要交换n 条消息。

证明：由引理6.2，对于C 中的每个事件e ，p 中都存在一个事件在因果序关系≼上优先于e 。

因为p 是初始进程，由引理6.4，p 中至少存在一个发送事件，引发波动计算。

又判定事件d p 是在进程p 上发生，再由引理6.4，每个进程都有一个发送事件，这使得发送事件的个数增加到n 。

所以，在C 中至少需要交换n 条消息。

结论得证。

□ 定理6.6 令A 是一个没有有关邻居标识的初始知识的任意网络上的波动算法，则每次波动计算中至少需要交换|E|条消息。

证明：假设A 有一个交换消息条数小于|E|的计算C ，则必存在一条通道，不妨设为xy，在一次波动计算C中不携带任何消息，参见图6.1。

考虑网络G’，它是由在图G中的xy通道之间插入一个结点z得到的。

因为结点没有邻居标识的知识，G’中的x和y的初始状态也和他们在G中的一样，同样，这对于其它G中的结点也是成立的。