专题：简单的线性规划

高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。

理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。

能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。

线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。

考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。

多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。

考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。

典例精析线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。

考点1：求给定可行域的最优解例1.（2012广东文）已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小值.联立11x y x =-⎧⎨=-⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,所以2z x y =+的最小值为5-.例2.（2009天津）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23解析：画出不等式3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zx y +-=在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组⎩⎨⎧=-=+323y x y x 得)1,2(，所以734min =+=z ，故选择B.8642-2-4-5510152x-y=3x-y=1x+y=3AB发散思维：若将目标函数改为求x y z =的取值范围；或者改为求3+=x y z 的取值范围； 或者改为求22y x z +=的最大值；或者或者改为求()221y x z ++=的最大值。

方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。

练习1.（2012天津）设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．2-D ．3【解析】做出不等式对应的可行域如图,由y x z 23-=得223z x y -=,由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时,直线223zx y -=的截距最大,而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ,选B.练习2．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，下，?x －1?2＋y 2的最小值为________．解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到?x －1?2＋y 2可视为该区域内的点(x ，y )与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为|－1－1|5＝255. 答案 255练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给定．若M（x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为，则z=?的最大值为（ ）A 、3B 、4C 、3D 、4解答：解：首先做出可行域，如图所示： z=?=，即y=﹣x+z 做出l 0：y=﹣x ，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值． 因为A （，2），所以z 的最大值为4故选B练习4.（2011福建）已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2] 【分析】 由于OA →·OM →＝－x ＋y ，实际上就是在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2下，求线性目标函数z ＝－x ＋y 的最大值和最小值．【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线．当它经过点C(1,1)时，z 有最小值，即zmin ＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z 有最大值，即zmax ＝－0＋2＝2.∴z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.考点2：求给定可行域的面积例3．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 表示的平面区域的面积为（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 答案c考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3解析解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是23；当a=3时，面积恰好为2，故选D.练习6. 设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是c（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9] 练习7．设z ＝x ＋y ，其中x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为 A ．－3B ．3C ．2D ．－2解析 如图所示，作出不等式组所确定的可行域△OAB ，目标函数的几何意义是直线x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A 时，取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y ＝k ，解得A (k ，k )，故最大值为z ＝k ＋k ＝2k ，由题意，得2k ＝6，故k ＝3.当目标函数经过点B 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＝3，解得B (－6,3)，故最小值为z ＝－6＋3＝－3.故选A.答案 A练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ） A ．(1-3,2) B ．(0,2) C ．(3-1,2) D ．(0,1+3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.【解析】有题设知C(1+3,2),作出直线0l :0x y -+=,平移直线0l ,有图像知,直线:l z x y =-+过B 点时,max z =2,过C 时,min z =13-,∴z x y =-+取值范围为(1-3,2),故选A.练习9.（2012福建文）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ） A ．-1B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.练习10.（2012福建理）若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】30x y +-=与2xy =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力考点四：实际应用与大题例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元 解析：设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即已知约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001832133y x y x y x ，求目标函数y x z 35+=的最大值，可求出最优解为⎩⎨⎧==43y x ，故271215max =+=z ，故选择D 。

练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元 [答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X 画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).练习12.食物类型 甲 乙 丙维生素C （单位/kg ） 300 500 300 维生素D （单位/kg ） 700 100 300 成本（元/kg ）5 4 3.xkg ykg zkg 、、（1）试以,x y 表示混合食物的成本P ;（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问,,x y z 取什么值时，混合食物的成本最少？(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩…………… 2分由100x y z ++=，得100z x y =--，代入543P x y z =++，得3002P x y =++. …………… 3分(1) 解:依题意知x 、y 、z 要满足的条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩……… 6分把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩…… 9如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A ()37.5,25.…让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25……… 11∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题。