1-5无穷小与无穷大高等数学课件
高等数学课件1-5无穷小与无穷大
.
三、证明函数
y
1 x
cos
1 x
在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 .
x 0 时 , 这个函数不是无穷大
$1-5无穷小与无穷大
19
练习题答案
一 、 1、 0； 3、 ； 二、0 x
10 1
4
2、 lim f ( x ) C ；
x x
4、 .
证 必要性 设
x x0
lim f ( x ) A , 则 lim [ f ( x ) A ] 0
x x
0
令 ( x ) f ( x ) A , 则有 lim ( x ) 0 ,且
x x0
f ( x ) A α ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
6
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数 u 在 U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则 M 0 , ( δ1 0 ), 使 得 当 0 x x 0 δ1时 恒有 u M .
又设 是当 x x 0 时的无穷小 ,
0 , 2 0 , 使得当 0 x x 0 2 时 恒有 M .
$1-5无穷小与无穷大 11
不是无穷大．
例 ( P 5 3 例 2 ） 证 明 lim
1 x1
x1
.
证
M 0 . 要使
1 x 1
M,
y 1 x 1
只要 x 1
1 M
,
取 1 M 时,
1
1 M
,
当0 x 1
就有 1 x 1
无穷小无穷大课件
定义1. 若 则称函数
(或 x ) 时 , 函数
则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
作业 P41~42 2; 4；5
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当
但
所以
时,
不是无穷大 !
3. 若
则直线 x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以
说明: 直线 x 1 为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
高数上1.5无穷小与无穷大
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
f
(
1 x)g(
x)
f
1 (x)
.
1 g( x)
是无穷小量 . 从而 f ( x)g( x)当 x x0 是
为无穷大量 .
例9
求
lim n
1 n2
2 n2
n n2
.
解 本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
lim n
1 n2
2 n2
n n2
lim 1
n
2 n2
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
(1) 设 x x0 时，g( x)是有界量，f ( x)是无穷 大量，证明：f ( x) g( x)是无穷大量 .
(2) 设 x x0 时，| g( x) | M (M 是一个正的常数)，
f ( x) 是无穷大量 . 证明：f ( x)g( x) 是无穷大量 .
值函数 f ( x)都满足不等式 | f ( x) | M , 则称函数
f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大, 记作
lim f ( x) (或lim f (x) ).
x x0
x
特殊情形: 正无穷大, 负无穷大:
lim f ( x) ( lim f ( x) ).
x x0
x x0
例如, 构造如下数列变量：
x1
(n
)：
1,
1 2
，1 3
,
1 4
，，1 n
，
x1(n)是无穷小;
x2 (n)：
1,
2，1 3
,
1 ，，1 4n
，
x2(n)是无穷小;
第5讲1.5无穷小与无穷大
显然 ,
例如, 无界数列 { xn } : 0, 2, 0, 4,, 0, 2n, 0, .
总有等于 0 的项使
不成立.
| xn | M
故,当 n 时, { xn } 不是无穷大 .
数统教研室
广东科贸职业学院
三. 无穷大量与无穷小量的关系
思考：当 n 时, xn (2)n 是否为无穷大?
解 M 0, | xn | | (2)n | 2n，是单调增加的, 且在n
的过程中, 有
| (2)n | M
即,当n 时，xn (2)n的绝对值无限增大.故
lim
n
xn
lim(2)n
n
.
注意:无穷大是按绝对值定义的.
数统教研室
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lim
x 0
tan
x sin x3
x
lim
x0
x x x3
0.
( x 0 时, tan x ~ x; sin x ~ x. )
此题利用等价无穷小量替代定理,如何计算?
数统教研室
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当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x
例6 求 lim tan 3 x x0 sin 5 x
解
lim tan 3 x x0 sin 5 x
lim 3x x0 5x
3 5
数统教研室
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当x 0时, ln(1 x) ~ x, tan x ~ x, sin x ~ x
例7
求 lim ln x0
1 x 2sin x tan x
解 lim ln 1 x 2sin x
【高等数学】无穷小与无穷大
第一章函数与极限授课教师郑琴§1.5无穷小与无穷大内容提要一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、无穷小的比较预习提纲1.什么是无穷小?一个很小的正数能不能称为无穷小?2.无穷小与函数极限有什么关系？3.什么是无穷大?一个很大的正数能不能称为无穷大?4.无穷大与无界函数是什么关系？5.无穷小与无穷大有什么关系？6.两个无穷小之比的极限是什么情况呢？1.定义00()))0(1,(f x x x x f x x x →→∞→如果函数当或时的极限为那么称为定义：().x →∞或时无穷小的{.,}0n x n →∞特别地以为极限的数列称为时的无穷小,.在某个过程中极限为零变量称为无穷小的,例如0limsin 0x x →=sin 0.x x →是时的无穷小1lim 0x x→∞=1.x x→∞是时的无穷小21lim 10x x +→−=211.x x +−→是时的无穷小,在某个过程中函数的绝对值无无穷小：限变小.,简言之思考：0一个很小的正数是不是无穷小？是否为无穷小？1..不要把无穷小与一个很小的正数混淆注：2.零是可以作为无穷小的唯一常数.2.性质(1).有限个无穷小的代数和是无穷小.无穷个无穷小的代数和不一定是注无穷小：10,lim n n →∞=例如111lim +++1n n n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭n 个3.,指明变量为无穷小必须突出极限过程.(2).有界函数与无穷小的乘积是无穷小.①常数与无穷小的乘积是注无穷小：.②有限个无穷小的乘积是无穷小sin (i)lim x x x →∞01(ii)lim sin x x x →,例如1lim sin x x x →∞=⋅0=无穷小有界函数无穷小有界函数0=201(iii)lim arctan x x x→0=01limarctan x x→无穷小有界函数注：01limsin ,x x →均不存在.lim sin ,x x →∞(),.f x A αα=+充分必要条件是其中是无穷小0(1),()x x x f x A →→∞在自变量的同一变化过程中函数具有定：极限理的3.无穷小与函数极限的关系分析：0lim (),x x f x A →=已知=(),f x A α−令00lim lim (())0,x x x xf x A α→→=−=0x x α→所以是时的无穷小.(),,f x A αα=+若其中是无穷小00lim ()=lim .x x x x f x A A α→→+=则1将一般的极限问题转化为特殊极限意义：的问题.02(),(),.f x x A f x α给出了在处的近似表达式若用作为近似值误差为0x x α→是时的无穷小量.0((),()2)f x x x x f x →→∞对应的函数值定义：如果函数当或时的绝对值xy o 0((.,,))f x x x x →→∞或无穷大无限增大就称函数为简量的称无穷大时,例如1y x =时0,x →10.x x →为时的无穷大x y o tan y x =2π2π−xy o xy e =时2,x π+→−时2,x π−→时,x →+∞x e x +∞→是时的无穷大.1x →+∞tan x →−∞tan x →+∞x e →+∞0()(),f x x x x →∞→无穷大，函数是当时的习惯上或也可称说明：,“函数的极限是无穷大”并记作.,.1无穷大不是数不要把无穷大与一个很大的数混淆注：02.lim ()x x f x →=∞是属于极限不存在的类型3.,指明变量为无穷大必须突出极限过程.()lim ()x f x →∞=∞或0lim ()x x f x →=∞极限不存在的情形思考：1（）无穷大与无界的关系？2（）有限个无穷大的和、差一定是无穷大吗？无穷大 无界不一定！三、无穷小与无穷大的关系1,(2),.()f x f x 在自变量的同一变化过程中如果为无穷大那么为理：无穷小定1,(),()0,.()f x f x f x 反之如果为无穷小且那么为无穷大.关于无穷大的问题可以转化为无意：穷小的问题义.同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中思考：的无穷小？2,,,30x x x x →都是时的例如无穷小.200lim lim 0,x x x x x →→==01lim ,33x x x →=203lim x x x→=∞lim 0,(3)c βαβα=≠如果那么就同阶说与是无穷小；lim 0,0(5),k c k k αββα=≠>如果那么就阶说是关于的无穷小；lim 1,,(4)βαβαβα=如果那么就说记作等价无穷小与是.,,,lim 0ββααα≠设是自变量的同一过程中的两个无穷小且也是在这个过(lim 0()),1,3o βαββαα==如果那么就说高阶的是比无穷作小记定义：；m (2)li ,ββαα=∞如果那么低阶的就说是比无穷小；程中的极限.0sin lim 1x x x→=20lim 0x x x→=220,.().x x x x o x →=时是比高阶的无穷小即01lim 33x x x →=0,3.x x x →时与是同阶的无穷小0,si ,s (n in 0).x x x x x x ~→→是等价无穷小记作时时与22222200002sin sin sin 1cos 11222lim lim lim lim 22222x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫ ⎪−==== ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,1cos .2x x x →−时是于的阶无穷小关21.cos x x −与是阶无穷小同021cos lim 112x xx →−=210,1co 2.s x x x →−时与等价无穷小是,,li 3,:m βααββα设在自变量的同一变化过程中且定存在理则lim lim .ββαα=等价无穷小替换定理证:,:求商的极限时分子分母中的无穷小乘积因子可以用其等价无穷注小替换.如果用来替换的无穷小选的合适的话,就可以使计算简化.等价无穷小替换法该定理提供了一种重要的求极限的方法：lim βαlim ααβββα⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭lim lim lim ββαααβ=⋅⋅limβα=0,x →当时常用的等价无穷小：sin xx~①tan x x ~②arctan x x~④1xex −~⑥211cos 2x x−~⑦arcsin x x~③ln(1)x x+~⑤(1)1()x x R μμμ+−∈⑧1ln xa x a−~.4例求下列极限0tan 5(1)limsin 4x x x →22201cos (2)lim sin x x x x →−20tan sin (3)lim ln(1)x x x x x →−+32sin tan (4)lim(11)(1sin 1)x x xx x →−+−+−21(5)lim1cos 1cos x x e x→−−−解：0tan 5(1)lim sin 4x x x →05lim 4x x x →=54=22201cos (2)lim sin x x x x →−222201()2lim x x x x →=⋅12=20tan sin (3)lim ln(1)x x x x x →−+320sin tan (4)lim (11)(1sin 1)x x x x x →−+−+−30tan sin lim x x x x →−=30tan (1cos )lim x x x x →−=23012lim x x x x →⋅=12=20tan sin lim ln(1)x x x x x →−+30lim x x xx→−=0=⨯.和、差形式一般不能用等价无穷注小替换：11sin 31sin 13x x x +−31tan sin (0)2x x x x −~→时3221113,x x +−30211sin 312li 2mx x x x→−=⋅3=−201(5)lim 1cos 1cos x x e x →−−−1cos 1cos x −−221,x e x −4=202lim 1(1cos )2x xx →=−202lim 1122x xx →=⋅21co 1()2s x −~22121x~⋅分析：αβlim 1βα=+o()o()lim lim lim(1)1βαααααα==+=()o βαα=+()o βαα=+lim()lim(1)0βαβαα−=−=αβ210,sin ,tan ,arcsin ,1cos ,2,x x x x x x x x x →~~~−~时例如所以sin (),x x o x +=tan (),x x o x +=2211cos ()2x x o x +=−0,x →当时arcsin (),x x o x =+().:o βαβαα=+与是等价无穷小的充分必要条件是：定理4内容小结3.,无穷大：在某个过程中函数的绝对值无限变大.4.,无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中无穷大的倒数为1.,无穷小：在某个过程中函数的绝对值无限变小.5.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价0无穷小；不恒为的无穷小的倒数为无穷大.6.一种重要的求极限的等价无方法：穷小替换2.无穷小的运算性质.课后思考已思考题：知满足则3001()sin 21()lim 2,lim ()1x x x f x x f x f x e →→+−==−课后思考题答案解：又30lim 10,xx e →−=所以0lim ()sin 20.x f x x →=301()sin 21lim 1x x f x x e →+−−0lim ()6x f x →=则0lim 1()sin 210.x f x x →+−=301()sin 21lim 0,1x x f x x e →+−−由于存在且不为301()sin 22lim 1x x f x x e →=−012()2lim 3x xf x x→⋅=2,=课后练习时下列函数是几阶无穷小？1.0,x →(1)1cos x −(2)11x x +−−tan (3)x xe e −用等价无穷小替换计算极限：2.设求200()ln 1()sin 23.lim 5,lim .31x x xf x f x x x→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭=−0lncos (1)lim lncos x ax bx →ln(13)(2)lim ln(12)x x x →−∞++ln(13)(3)lim ln(12)x x x →+∞++1.201cos 1(1)lim ,2x x x →−=为阶无穷小1cos 2.x −0011(11)(11)(2)lim lim (11)k k x x x x x x x x x x x x →→+−−+−−++−=++−02lim (11)k x x x x x →=++−为阶无穷小111.x x +−−当时极限为1 1.k =tan sin sin tan sin 00(1)(3)lim lim x x x x x k k x x e e e e x x −→→−−=0tan sin lim k x x xx →−=0tan (1cos )lim k x x x x →−=时极限为13,2k =时为阶无穷小tan sin 0,3.x x x e e →−2.0lncos (1)lim lncos x ax bx →2021()2lim 1()2x ax bx →−=−ln(13)(2)lim ln(12)x x x →−∞++0cos 1lim cos 1x ax bx →−=−0ln(1cos 1)lim ln(1cos 1)x ax bx →+−=+−22a b =3lim ()2x x →−∞=3lim 2xx x →−∞=3lim 2x x x →−∞=0=ln(13)(3)lim ln(12)x x x →+∞++ln 3ln(13))lim ln 2ln(12))x x x x x −−→+∞++=++0()ln 1sin 23.lim 31x x f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭−ln(3(13))=lim ln(2(12))x xx x x −−→+∞++ln 3ln(13))lim ln 2ln(12))x x x x x −−→+∞++=++ln 3ln 2=5,=20()lim 2ln 3x f x x →=0()sin 2lim ln 3x f x x x →=则20()lim 10ln 3.x f x x→=。
《无穷小无穷大》课件
无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是 研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而 言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对 性和极限性。
无穷小是相对于自变量的 某个变化趋势而言的，不 是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减 性、可乘性和可除性等性 质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基 础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中， 无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基 础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷 大是无限增大的数。无穷小和无穷大 之间的关系是相互依存的，无穷小是 无穷大的基础，因为任何无穷大的数 都可以分解为无穷小的数相加或相乘 。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型 ，实无穷认为存在一个最大的数或集 合，而潜无穷则认为数列或集合可以 无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个 数或集合大于另一个数或集合， 且后者大于另一个数或集合，则 前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法 比较两个无穷大的大小，因为它 们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重 要工具，无穷小和无穷大在它们的计 算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念， 无穷小和无穷大在导数和积分的计算 中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相 对的，无穷小和无穷大在相对论 中有着重要的应用，例如光速的
《无穷小无穷大》PPT课件
1
cos
x 主
x2 2
.
注明：并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。
例如： x , x sin 1 , 均是无穷小( x→0 ), 但两者是无法比校的。
x
7
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无穷小量的运算：
定 理 ：设同一极限过程中的 u o 1, v o 1 ,
w O(1) , C 为非零常数， 则
10
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例 1. 计算下列极限：
10 lim tan 2x ; x0 sin 5x
20
tan 2x
lim
x0
3x
x3
;
30 lim tan 2x sin x ; x0 1 x 1
40 lim eax ebx , x0 sin ax sin bx
(a b) ;
50 lim tan x sin x ;
注： 当自变量 x 时，它表示函数的极限；
当自变量取正整数时，它表示数列的极限。
定 义: 若 limu 0 , 则称变量 u 为该极限过程中的无穷小量。
简称无穷小。 记作： u o 1
若 v C , 则称 v 为该极限过程中的一有界量，记作：v O(1) .
例如 : lim x 1 0 , 故函数 x 1 是 (当 x 1 时的) 无穷小； x1
为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷
的度量尺度（基本无穷小）为：
x x0 ,
1, x
1, n
当 x x0 , x x0 , x x0 时；
当 x , x , x 时；
当 n 时；
3
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高等数学(同济大学)课件上第1_4无穷小无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
机动
Байду номын сангаас
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一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或x →∞)
时 , 函数
则称函数
(或x →∞)
例如 :
时的无穷小 . 无穷小
函数 函数 当 函数
当
时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
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lim f (x) = A
证: lim f (x) = A
x→x0
f (x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f (x) − A < ε
α = f (x) − A
x→x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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结束
例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 .
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渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
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二、 无穷大
定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有
第四节 无穷小无穷大高等数学
不是无穷大 !
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 则 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , f ( x)
x x0
x x0
注 1. 对于其他六种极限, 有同样的定义. 2. 在说到某函数是无穷大时, 必须同时指明 明其自变量的变化趋势.
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例如,
为
时的无穷小; 但当x →0
x
时为无穷大.
y tan x当x→0 时为无穷小, 当
2
时为无穷大.
3. 对应于自变量的某一变化趋势, f (x)为无穷大, 此时, 极限 lim f ( x) 不存在.为便于表述函数的这一性
例如 : ( 1) n lim 0, n n
(1)n { }是n 时的无穷小 . n
函数 是
是
时的无穷小; 时的无穷小;
是
时的无穷小.
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注 (1) 在说到一个函数是无穷小时, 必须同时指
明自变量的变化趋势. 例如, 说成
为
是无穷小.
时的无穷小. 不能简单地
x
1 1 1 ,且 是 x →∞ 时的无穷小, 2x 2 2x
1 2
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lim f ( x)
结束
二、无穷大
若当 时,
无限增大, 则称
是
,使
时的无穷大.
定义 . 若对任意给定的 M > 0 , 总存在 对满足 的所有 x , 总有
无穷小与无穷大的关系PPT课件
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 ( 或 x X ) 的一切x , 对应的函数 值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或x )时为无穷小,
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
第12页/共20页
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0
x x0
x x0
第3页/共20页
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为 ( x).
一、填空题:
练习题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下,直线 y c 是函数 y f ( x) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x) A _______ f ( x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4、在同一过程中,若 f ( x) 是无穷大, 则 ______是无穷小 .
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当 xN1时恒 有 2 ; 当 xN2时恒 有 2 ; 取 N mN a 1 ,N x 2 }当 { ,xN时 ,恒有 ,
22 0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
y 1sin1 xx
是一个无界,变 但量 不是无穷 . 大
(1) 取 x0
1
(k0,1,2,3, )
2k
2
y(x0)2k2, 当 k充分 ,y(x 大 0)M 时 . 无界，
(2 )取 x 0 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分,x 大 k时 ,
但 y (x k ) 2 k s2 ik n 0M .
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函 u在 数 U0(x0,1)内有界， 则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M . 又 设 是x当 x0时的无 , 穷小
0,20,使得 0x当 x02时 恒 有 .
M
取 m 1 i, n 2}{ 则 , 0 当 xx 0 时 ,恒有 uu M ,
M0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, M
由f于 (x)0, 从而 1 M. f (x)
当xx0时, f(1x)为无穷 大
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
思考题
若 f(x)0， 且 lim f(x)A， x
问 ： 能 否 保 证 有 A0的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 .
思考题解答
不是无穷大．
例证l明 im1 . x 1x1
证 M0. 要使 1 M,
x1
y 1 x1
只要 x1 1, 取 1 ,
M
M
当 0x11时 ,就有 1 M.lim 1 .
M
x1
x1 x1
定:义 如l果 im f(x) ,则 x x0
直 xx线 0是
函 yf数 (x)
的图形的 . 铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, 即
1 f (x)
.
当xx0时, f(1x)为无穷 . 小
反 ,设 l之 if( m x ) 0 ,且 f( x ) 0 . x x 0
M 当 x x0时 ,u为无 . 穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
x
x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么
三、证明 y1 函 si数 n 1在区(0间 ,1]上无,但 界当 xx
x0时,这个函数不. 是无穷大
04 Thank yo 感谢聆听
3、 lim f(x)A____ f(x _) _A _ , x x0 (其l中 im 0). x x0
4、在同一 ,若 过 f(x程 )是中 无穷 , 大 则____是 __无穷 . 小
二、根据:当 定 x 义 0时 ,证 函明 数 y12x x
是无,问 穷 x应 大满足什 ,能么 使 y条 140.件
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f(x ) (或 lim f(x ))
x x 0 (x )
x x 0 (x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
例如,当x0时, y 1sin1 xx
不能保证.
例 f (x) 1 x
x0, 有 f(x) 1 0 x
limf(x)lim1A0.
x
x x
一、填空题:
练习题
1 、 凡 无 穷 小 量 皆 以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为 极 限 .
2、_在 ____ 条 __ 件 ,直 __ 下 y线 _ c是函数 yf(x)的水平 . 渐近线
小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x) 当x x0 (或x )时为无穷小,
记作 lim f (x) (或lim f (x) ).
x x0
x