微分几何测试题集锦(含答案).

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232

lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．

2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0

lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．

3．已知{}42

r()d =1,2,3t t -⎰， {}6

4

r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则

4

6

2

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰

⎰{}3,9,5-.

4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =

2

12

t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4

微分几何试题及答案

导言：微分几何是现代数学的一个重要分支，研究曲线和曲面的性

质以及它们在空间中的几何关系。本文将给出一些微分几何的试题，

并提供对应的答案和解析，以帮助读者更好地理解微分几何的概念和

方法。

1. 曲线的参数方程

试题：给定二维曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, 求C在t=1处

的切向量和法向量。

解析：曲线C的切向量和法向量可以通过求导得到。对参数方程关

于t求导，得到 x' = 2t, y' = 3t^2。将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 3。

因此，在t=1处，曲线C的切向量为 (2, 3)，法向量为 (-3, 2)。

2. 曲线的切线方程

试题：已知二维曲线C的参数方程为 x = cos t, y = sin t，求C在

t=π/4处的切线方程。

解析：曲线C在t=π/4处的切向量可以通过求导得到。对参数方程

关于t求导，得到 x' = -sin t, y' = cos t。将t=π/4代入求得x'(π/4) = -1/√2，y'(π/4) = 1/√2。因此，在t=π/4处，曲线C的切向量为 (-1/√2, 1/√2)。

切向量与点的乘积即切线方程的标准形式。对于曲线C在t=π/4处

的切线方程，带入坐标点(cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)，切向量 (-

1/√2, 1/√2)，得到切线方程 -x + y = 0。

3. 曲线的曲率和法曲率

试题：已知三维曲线C的参数方程为 x = 2t, y = t^2, z = 3t^3，求C

(完整word版)微分几何练习题库及参考答案(已修改)..

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限2

32

lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+r

r r ．

2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2

g()(1)i j t t t e =++r r ，求0

lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 ．

3．已知{}4

2

r()d =1,2,3t t -⎰

r ， {}64

r()d =2,1,2t t -⎰r ，{}2,1,1a =r

，{}1,1,0b =-r ，则

4

62

2

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰

⎰r r r

r r {}3,9,5-.

4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r

． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212

t a c +r r ．

6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 .

10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .

11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠r

r r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切

方向的曲线为平面曲线

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ

确定的平面

是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点

的法平面方

程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对

应的点处其挠率

(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _

⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲

率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在

点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

___C___。

A 、直线

B 、平面曲线

C 、球面曲线

D 、圆柱螺

线

12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式

子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=

' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面

(整理)微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切

方向的曲线为平面曲线

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ

确定的平面

是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点

的法平面方

程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对

应的点处其挠率

(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _

⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲

率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在

点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

___C___。

A 、直线

B 、平面曲线

C 、球面曲线

D 、圆柱螺

线

12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式

子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=

' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面

《微分几何》考试试卷与参考答案

《微分几何》结业考试试卷

一、判断题：（正确打√，错误打×。每题2分，共10分））

1、等距变换一定是保角变换. （）

2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （）

3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （）

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （）

5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （）

二、填空题：（每空3分，共33分）

1、已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02

x π

<<

，则α= ，

β= ，γ= ，κ= ，

τ= .

2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02

v π

≤<

，则它的第一基本形式

为，第二基本形式为，高斯曲率

K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2

du dv =的法曲率，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为。三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面3

3

z x y =-的渐近曲线.

2、已知曲面的第一基本形式为2

2

()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.

密

线

封

层次

报读学校

专业

姓名

四、综合题：（每小题11分，共33分）

1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.

2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.

微分几何测试题集锦有答案

微分几何测试题一

一．填空题：每小题2分,共20分

⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向,则a =___t__;

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲

线为平面曲线

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α,主法向量为β,则过P 由,αβ确定的平

面

是曲线在P 点的___密切平面__________;

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α,则曲线在0()r t 点的法平面

方

程是__________________________;

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=,则曲线在 t = 1对应的点处其

挠率

(1)τ=_ -2_____;

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _

⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角,则这曲线的曲率与挠率的

比是___常数_________________;

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________;

二．选择填空题：每小题3分,共30分

11、若曲线的所有密切平面经过一定点,则此曲线是___C___;

A 、直线

B 、平面曲线

C 、球面曲线

D 、圆柱螺线

12、曲线()r r t =在Pt 点的曲率为k , 挠率为τ,则下列式子___A___不正确;

A 、2r r k r '''⨯='

B 、3r r k r '''⨯='

C 、k r =

D 、()()

2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___;

微分几何试题及答案

【篇一：微分几何试题】

有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，则当t?0时的切线方程为

x?1?y?z?1。 2．设曲面s:r?r(u,v)的第一基本形式为

i?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从

2

et?e?t

（这里sinht?） v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。

2

3．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为e?g?1,f?0，第二基

本量为，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?l?a,m?0,n?b a?4b

。 5

4．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一类基本量为e?1,g?1，且曲面

在该点的切向量

ru,rv相互平行，则f在该点等于 5．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的

第二基本量为l?1,m?0,n??1，则曲面在该点的渐近方向为

(d)?(1:?1)。

6．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?r

v| 7．曲线x?tsin

?(0,

t

，主法向量为22

1．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以

切线：

?x?1?0x?1y?0z?0

??，即? 011?y?z?0

法平面：(x?1)?0?(y?0)?1?(z?0)?1?0，即y?z?0

x?1y

密切平面：

z

1?0，即?y?z?0

0?110

t?,r}?,t?() r(t)?{cots,stin{tsin t,

微分几何测试题集锦有答案

《微分几何》测试题（一）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲

线为平面曲线

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的

平面

是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面

方

程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其

挠率

(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _

⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率

的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,z z x y =在点00(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线

B 、平面曲线

C 、球面曲线

D 、圆柱螺线

12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___

不正确。

A 、2r r k r '''⨯='

B 、3r r k r '''⨯='

C 、k r =

D 、()()

2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

微分几何试题及答案

桃江电大2011年下学期《微分几何》试题

一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）

1、保角变换一定是等距变换

2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.

3、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量

4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.

5、测地曲率是内蕴量二、填空题（每空3分共30分）

1、已知33

{cos ,sin ,cos2}r x x x = ，02x π<<，则α= ① ，β= ② ， γ= ③ ，κ= ④ 2、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v = ，0u >，

02v π≤<

，则它的第一基本形式为 ⑤ ，第二基本形式为 ⑥ ，高斯曲率K =⑦ ，平均曲率 H =

⑧ ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率⑨ ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 ⑩ . 答案： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

⑨

⑩

三、计算题（每小题12分共36分）

1、求曲面33

z x y =-的渐近曲线.

2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.

姓名：

教学点

班级

学号：

3、求曲线 ()()

{

}3233,3,3r a t t at a t t =-+

的曲率和挠率：()0a >

四、证明题（每小题12分，共24分） 1、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.

姓名：

教学点

班级学号：

微分几何答案

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =

3

6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0

4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2

1

131--=

-=+z y x 5．计算2

3

2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．

6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t

t t e =++g i j ，求0

lim(()())t t t →⋅=f g 0 ．

7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2

t u =，t v sin =，则d d t

=r

(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2

t =θ，则

d (,)

d t

ϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知4

2

()d (1,2,3)t t =-⎰r ，6

4

()d (2,1,2)t t =-⎰

r ，求

4

6

2

()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232

lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．

2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0

lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．

3．已知{}42

r()d =1,2,3t t -⎰， {}6

4

r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则

4

6

2

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰

⎰{}3,9,5-.

4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +．

5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212

t a c +．

6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4

微分几何理解练习知识题目整合及答案解析

《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =

3

6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0

4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2

1

131--=

-=+z y x 5．计算2

3

2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．

6．设()(sin )t t t =+f i j ，2

()(1)t

t t e =++g i j ，求0

lim(()())t t t →⋅=f g 0 ．

7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2

t u =，t v sin =，则

d d t

=r

(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2

t =θ，则

d (,)

d t

ϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知4

2

()d (1,2,3)t t =-⎰

r ，6

4

()d (2,1,2)t t =-⎰

r ，求

46

2

()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b

微分几何试题及答案

【篇一：微分几何试题】

有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，则当t?0时的切线方程为

x?1?y?z?1。 2．设曲面s:r?r(u,v)的第一基本形式为

i?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从

2

et?e?t

（这里sinht?） v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。

2

3．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为e?g?1,f?0，第二基

本量为，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?l?a,m?0,n?b a?4b

。 5

4．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一类基本量为e?1,g?1，且曲面

在该点的切向量

ru,rv相互平行，则f在该点等于 5．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的

第二基本量为l?1,m?0,n??1，则曲面在该点的渐近方向为

(d)?(1:?1)。

6．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?r

v| 7．曲线x?tsin

?(0,

t

，主法向量为22

1．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以

切线：

?x?1?0x?1y?0z?0

??，即? 011?y?z?0

法平面：(x?1)?0?(y?0)?1?(z?0)?1?0，即y?z?0

x?1y

密切平面：

z

1?0，即?y?z?0

0?110

t?,r}?,t?() r(t)?{cots,stin{tsin t,

微分几何期末试题及答案

微分几何是数学中的一个重要分支，研究了曲线、曲面的性质和它们之间的关系。下面是微分几何期末试题及答案，帮助你进行复习和巩固知识。

试题一：

1. 什么是曲线的切向量？

2. 什么是曲线的弧长？

3. 什么是曲面的法向量？

4. 什么是曲面的面积？

答案一：

1. 曲线的切向量是曲线上每一点的切线方向所确定的向量。

2. 曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。

3. 曲面的法向量是曲面上每一点的法线方向所确定的向量。

4. 曲面的面积是曲面所包围的区域的表面积。

试题二：

1. 什么是曲率？

2. 利用曲率如何计算曲线的弧长？

3. 什么是高斯曲率？

4. 高斯-贝克曲率公式是什么？

答案二：

1. 曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。

2. 利用曲率，可以通过积分计算曲线上两点之间的弧长。

3. 高斯曲率是描述曲面弯曲性质的一个量。

4. 高斯-贝克曲率公式是将曲率和高斯曲率联系起来的一个重要公式，表达了曲面的整体几何性质。

试题三：

1. 什么是切平面？

2. 什么是主曲率？

3. 平均曲率和高斯曲率有何关系？

4. 平均曲率和主曲率如何影响曲面的性质？

答案三：

1. 切平面是曲线或曲面上某一点的切线或切平面所确定的平面。

2. 主曲率是曲面上某一点的切平面上曲线的两个主曲率。

3. 平均曲率和高斯曲率有着密切的联系，平均曲率可以通过高斯曲

率和主曲率计算得到。

4. 平均曲率和主曲率可以描述曲面在某一点的凹凸性、曲率变化和曲面形状等性质。

试题四：

1. 什么是等曲率线？

2. 什么是最小曲面？

3. 最小曲面的性质有哪些？

4. 最小曲面的例子有哪些？

微分几何试题及答案

试题

1.设曲线 C 的参数方程为

x = \\cos t, y = \\sin t, z = t

其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。求曲线 C 上一点 P 的

切向量和法向量。

2.给定曲线 C：\(x = t^2, y = t^3\)，其中 \(t\) 是参数。求曲线 C 在点 (4, 8) 处的切线方程。

3.设平面曲线 C 的参数方程为

x = \\cos t, y = \\sin t, z = t

其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。求曲线 C 上一点 P 的

切平面方程。

4.设曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)，点 P 的坐标为 (1, 1, -1)。求曲面 S 上点 P 的切平面方程。

5.已知曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 - 2z = 0\)，点 P 的坐标为 (1, 1, 1)。求曲面 S 上点 P 的法向量。

答案

1.切向量的计算：

曲线 C 上一点 P 的切向量为曲线的导数：

\[ \begin{align} \frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}} & =

\frac{{dx}}{{dt}}\mathbf{i} + \frac{{dy}}{{dt}}\mathbf{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\mathbf{k} \\ & = -\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k} \end{align} \]

所以，曲线 C 上一点 P 的切向量为 \(-\sin t