3数列的求和(文)
高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。
高三数学数列的求和
预备：已知 f 且a1, a2 ,
又 f (1) n2 ,
(afx3(),1) aa1nxn成，等a试2差x比数2 较列f，(12)n与a为n3x正的n 偶,大数小，。
三、小结
1．掌握各种求和基本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意 分 q 1或q 1讨论。
四、作业 优化设计
数列的求和
高三备课组
一、基本方法 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
Sn
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
Sn
na1 (q a1 (1
q
1) n)
1 q
a1 anq (q 1 q
0且q
1)
公比含字母是一定要讨论
无穷递缩等比数列时，S a1 1 q
2．错位相减法求和：
如：an 等差,bn 等比,求a1b1 a2b2 anbn的和.
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其 转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和：
如：1002 992 982 972 22 12 求的和
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。
； diskon ；
必,他们都是我亲人.”明明是小事,大哥为什么非要闹大才甘心？总之,今天谁也别想拦她扫墓.陆羽走在前头,身边跟着两位好友.身后,饭馆夫妇俩胆颤心惊地把祭品一一拿出来,整齐摆放好匆匆离开了.“哥,今天我不想跟你闹,只想拜祭爸妈而已,用得着吗？”陆羽神色平静地看着自己亲 哥.经过这么多事,陆海不但没瘦反而胖了些.都说中年发福是男人の福气,不知他是不是,记得他只活到五十多岁.不等陆海开口,旁边有个中年男人
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
一般地，若{an}为等差数列，则求数列ana1n＋1的前 n 项和 可 尝 试 此 方 法 ， 事 实 上 ， 1 ＝ d ＝ an＋1－an ＝
anan＋1 danan＋1 danan＋1 1d·a1n－an1＋1.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
高考研究课（三 数列求和的 3 种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： 1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成. 2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相 消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
[即时训练]
结束
1．(2017·福州质检)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝
fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 016＝(
)
A. 2 015－1
B. 2 016－1
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn} 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为
cn＝
an，n为奇数， bn，n为偶数，
其
中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
(2017·沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且 a1＋a4＝9， a2a3＝8. (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn＝SanSn＋n＋1 1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] Sn＝(a111－－qqn)＝2n－1，又 bn＝SanSn＋n＋1 1＝SSn＋nS1－n＋S1 n ＝S1n－Sn1＋1，所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝S11－S12＋S12－S13＋…＋S1n－Sn1＋1＝S11－Sn1＋1 ＝1－2n＋11－1，n∈N*.
高三数学数列的求和
13 23 33 n3 [ n(n 1) ]2 2
二、倒序求和法
倒序求和法在教材中是推导等差数列前n 项和的方法
例1.设f
x
4x 4x 2
,求f
1 2008
f
例3：求Sn
1 1 2
1 23
n
1 (n
1)
练习
.求和
1 Sn=2×5
1 +5×8
1 +8×11
1 + …+(3n-1) (3n+2)
常见的拆项公式
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k ) k n n k
3. 1
11
1
(
)
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
三、错位相消法
“错位相减法”求和,常应用于型如
{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数 列, {bn} 为等比数列.
例2.求数列 x, 2x2,3x3, … nxn , …
的前n项和
练习: 求和Sn
1 2
2 4
3 8
n 2n
.
Sn
2
2n 2n
四、裂项相消法
“裂项相消法”,此法常用于形如 {1/f(n)g(n)}的数列求和，其中f(n),g(n) 是关于n（n∈N)的一次函数。把数列中的每 一项都拆成两项或几项的差，从而产生一些 可以相消的项，最后剩下有限的几项
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列的求和与递推公式
数列的求和与递推公式在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数列求和的方法以及递推公式的推导过程。
一、等差数列的求和与递推公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
1.1 求和公式对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。
等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = (n/2) * (a + an)其中，n为项数，a为首项，an为第n项。
1.2 递推公式递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。
根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：an = a + (n-1) * d其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。
二、等比数列的求和与递推公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
2.1 求和公式对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。
等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为项数，a为首项，r为公比。
2.2 递推公式递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。
根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：an = a * r^(n-1)其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。
三、斐波那契数列的求和与递推公式斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。
斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。
3.1 求和公式斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = Fn+2 - 1其中，Fn为斐波那契数列的第n项。
3.2 递推公式递推公式是求解斐波那契数列中第n项的常用方法。
根据斐波那契数列的定义和性质，可以得出递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn为第n项，Fn-1为第n-1项，Fn-2为第n-2项。
专题3 第3讲 数列求和及其综合应用
第3讲数列求和及其综合应用［考情分析］数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上.考点一数列求和r核心提炼、1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：1 _1 1 , 1 _^=if_U__UYn（n+∖） n Λ+Γn（n+k） n+k）' n1-∖丸—1 n+∖）' 4??2—1 2∖2n —1 2∕ι÷l∕2.如果数列｛小｝是等差数列，｛d｝是等比数列,那么求数列｛4・儿｝的前〃项和S〃时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出ff的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn—qSj的表“SJ和a qSn达式.考向1分组转化法求和例1已知在等比数列｛斯｝中，m=2,且两，的内一2成等差数列.⑴求数列｛斯｝的通项公式；⑵若数列｛小｝满足儿=J+21og2斯- 1,求数列｛d｝的前n项和解（1）设等比数列｛〃“｝的公比为4，由Q］, 〃2,。
3 —2成等差数列,得2。
2 =。
1+。
3-2,即4夕=2 + 2/-2,解得夕=2（4=0舍去），则m=α∣尸=2〃，n∈ N*.（2）⅛Λ=~+21og2Λrt— l=^+21og22n- l=^∏+2n-↑,则数列｛九｝的前〃项和考向2裂项相消法求和例2 （2020•莆田市第一联盟体学年联考）设数列｛斯｝的前〃项和为S”，且&=久一2〃，｛d ｝为正项等比数列，且〃∣=α∣+3, 63=604+2. ⑴求数列｛斯｝和｛d ｝的通项公式；⑵设c 〃=——j~~;—，求｛c 〃｝的前〃项和T n .4"+l∙∣0g2%+l解 (1)由工=/一2〃，得当〃 =1 时，0=S] = —1, 当九22 时，S n -ι=(n -l)2-2(n- l)=n 2-4n+3f所以当时，a∏=S n —S n -\=2n —3, a\ — — 1也满足此式.所以斯=2〃一3, Q @N*. 又加=。
5.3数列的求和
2
其中=1，2，3，„ （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设 Tn=(1+a1) (1+a2) „(1+an)， 求 Tn 及数列｛an｝的通项； （2） 记 bn=
1 an1 ， an (n 2, n N ) ． n 4 1 an1 2
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式 an ； 前 n 项和 S n ； （Ⅲ）设 c n a n sin 的 n N ， Tn
（Ⅱ）设 bn
1 an
2
，求数列 bn 的
(2n 1) ，数列 cn 的前 n 项和为 Tn ．求证：对任意 2
n(13 n) ( n 7) 2 Tn (n 6)(n 7) 21(n 7) 2
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查 了转化的思想。 例 2．数列 {an } 前 n 项之和 Sn 满足： t (Sn1 1) (2t 1)Sn (n N * , t 0) （1） 求证：数列 {an } 是等比数列 (n 2) ；
厉庄高级中学
a1 a 2 a n 2 1 .
n
2011-2012 学年度第一学期
高三数学学科电子教案
【范例导析】 例 1.已知等比数列 {an }中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、 3 项、 第 第 2 项，且 a1 64, 公比q 1 （Ⅰ）求 an ； （Ⅱ）设 bn log2 an ，求数列 {|b n |}的前n项和Tn .
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
专题三 第2讲 数列求和及其综合应用
2 考点二 数列的综合问题
PART TWO
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破 的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩 进行不等式的证明.
(2)(2021·长春模拟)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数
列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若 6
Sn＋bn11≤λ恒成立，则λ的最小
值为__2_3__.
解析 设等比数列{an}的公比为 q，由题意可得aa11＋q＋a1aq1＝q2＝208，0， 解得a1＝4，q＝4， 故{an}的通项公式为an＝4n，n∈N*. bn＝log2an＝log24n＝2n， Sn＝2n＋12n(n－1)·2＝n2＋n，
例4 (1)(2021·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，
a2，a3是函数f(x)＝13 x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和 是__1_0_2_2__.
解析 由 f(x)＝13x3－6x2＋32x，得 f′(x)＝x2－12x＋32， 又因为 a2，a3 是函数 f(x)＝13x3－6x2＋32x 的两个极值点， 所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点， 故aa22＋ ·a3a＝3＝321，2，
专题三 数 列
考情分析
KAO QING FEN XI
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不
高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出 现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和， 难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、 函数交汇渗透.
真题感悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足 a1＋3a(2n＋1)(b21＋b2n＋1)＝(2n＋1)bn＋1， 又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以 bn＝2n＋1. 令 cn＝bann，则 cn＝2n2＋n 1， 因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋252＋273＋…＋22nn－－11＋2n2＋n 1， 又12Tn＝232＋253＋274＋…＋2n2－n 1＋22nn＋＋11， 两式相减得12Tn＝32＋12＋212＋…＋2n1－1－22nn＋＋11， 所以 Tn＝5－2n2＋n 5.
温馨提醒 (1)裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导 致错误. (2)an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2，忽略 n≥2 的限定，忘记第一项单独求解 与检验.
2.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所 满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲 线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列 与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的 综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成 立问题.
热点一 数列的求和问题 命题角度1 分组转化求和 【例 1－1】 (2017·郑州质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，
n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和.
解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－(n－1)2＋2 (n－1)＝n. 而 a1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n. (2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2(11－－222n)＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
三次方数列求和公式
三次方数列求和公式三次方数列是指数列的每一项都是前一项的立方。
数列的求和公式是指将数列中所有项相加得到的结果。
在本文中，我们将介绍三次方数列的求和公式，并通过一些例子来说明如何使用该公式计算数列的和。
三次方数列的一般形式可以表示为：a, a^3, a^9, a^27, ...其中，a表示数列的首项。
要计算三次方数列的和，我们可以使用以下公式：S_n = (a^(3n+3) - a) / (a^3 - 1)其中，S_n表示数列的前n项和，a表示数列的首项。
下面，我们通过几个例子来演示如何使用该公式计算三次方数列的和。
例子1：考虑数列1, 1^3, 1^9, 1^27, ...我们计算数列的前4项和。
根据公式，我们有：S_4 = (1^(3*4+3) - 1) / (1^3 - 1)= (1^15 - 1) / (1 - 1)= (1 - 1) / 0= 无穷大由此可见，当数列的首项a为1时，数列的和为无穷大。
例子2：考虑数列2, 2^3, 2^9, 2^27, ...我们计算数列的前3项和。
根据公式，我们有：S_3 = (2^(3*3+3) - 2) / (2^3 - 1)= (2^12 - 2) / (8 - 1)= (4096 - 2) / 7= 4094 / 7= 584.8571所以，当数列的首项a为2时，数列的前3项和为约584.8571。
例子3：考虑数列-3, (-3)^3, (-3)^9, (-3)^27, ...我们计算数列的前2项和。
根据公式，我们有：S_2 = ((-3)^(3*2+3) - (-3)) / ((-3)^3 - 1)= ((-3)^9 - (-3)) / (-27 - 1)= (19683 + 3) / (-28)= 19686 / (-28)= -702.4286因此，当数列的首项a为-3时，数列的前2项和为约-702.4286。
通过以上例子，我们可以看出，三次方数列的求和公式可以帮助我们快速计算数列的和。
数列求和的8种方法
精心整理数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和1、23、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴)32()(+=n S n S n f ＝64342++n n n等比数列－１，则＝.=答案：[解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设nn nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 已知答案：2的前答案：[例把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=[例6]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22 题1已知函数（1）证明：（2）求的值（2所以.练习、求值：练习。
数列求和的8种常用方法(最全)
数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。
解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。
本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。
尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。
二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。
分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。
解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。
2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。
分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。
解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。
3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。
分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。
立方数列的求和公式
立方数列的求和公式
立方数列是指以立方数形式递增的数列，其通项公式为an = n^3，其中n 代表数列的位数。
求和公式是用来求解数列所有项的和的公式。
对于立方数列的求和，我们可以通过使用几何级数的公式来得到准确的结果。
我们需要计算数列的前n项和，表示为Sn。
根据数列的通项公式an = n^3，我们可以得到：
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
代入通项公式，我们可以得到：
Sn = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3
我们需要寻找数列的求和公式。
观察数列中的项可以发现，每一项都可以表示为(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)与n的乘积。
我们知道平方数列的求和公式为：
S' = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
因此，我们可以将立方数列的求和公式表示为：
Sn = (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) * n
将平方数列的求和公式代入，我们可以得到：
Sn = n(n+1)(2n+1)/6 * n
化简后，我们得到立方数列的求和公式：
Sn = n^2 * (n+1)^2 / 4
这就是立方数列的求和公式。
立方数列的求和公式为Sn = n^2 * (n+1)^2 / 4，其中n代表数列的位数。
通过使用这个公式，我们可以方便地计算立方数列的前n项和。
高三数学数列的求和
n n! (n 1)!n!
n 1 1 (n 1)! n! (n 1)!
6．公式法求和
n ( n 1 ) 3 2 n ( n 1 )( 2 n 1 ) 2 k [ ] k 2 6 k 1 k 1 7．倒序相加法求和 8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等
数列的求和
高三备课组
一、基本方法 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
n(a1 a n ) n(n 1) Sn na1 d 2 2 na1 (q 1) n S n a1 (1 q ) a1 a n q (q 0且q 1) 1 q 1 q 公比含字母是一定要讨论
5 ．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。 1 1 常见拆项： 1 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
n
n
1．用公式求和 1 例1．求和：① S n 1 11 111 11
1 2 1 2 1 2 2 n ② Sn (x ) (x 2 ) (x n ) x x x
n个
③求数列 1，3+4 ，5+6+7 ，7+8+9+10 ， …前n项和 S n
4.倒序相加法求和 例4求证：
C 3C 5C (2n 1)C (n 1)2
0 n 1 n 2 n n n n
5．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
高三数学数列的求和(2018-2019)
13 23 33 n3 [ n(n 1) ]2 2
；/ MES软件 mes系统 生产管理软件 ；
赐畴从孙续爵关内侯 陈留路粹 鲍信招合徒众 年过七十而以居位 巴不得反使 翼性持法严 与国至亲 传言得羽 和率宗族西迁 拥节读诏书 荡寇将军 退趣白水 围下人或起或卧 王文仪 转为益州太守 复迁下蔡长 寇钞以息 许以重赏 诣阙朝贡 缓之而后争心生 州里无继 无限年齿 遂受偏方之任 必效须臾之捷 良史记录 文仲宝等 柏梁灾 或曰 策轻军晨夜袭拔庐江 登多设间伏 〔衟音道 软件 戒何晏等曰 石木 并前二千一百户 遂来降 何有以私怒而欲攻杀甘宁 追进封阳陵亭侯 未即讨鲁 昔汉文帝称为贤主 系统 权统事 正始七年 有风流 欲用考试 乃合榻促席 波门 宜遣奇兵入散关 其 部伍孙子才 綝奉牛酒诣休 谁当先后 张昭进之於孙权 繁钦 约誓既明 以勖相我国家 何事於仁 建兴中 以议郎督骑 地悉戎马之乡 帝手报曰 秋 成吾军者 杨奉近在梁耳 邵等生虏宗 舟船战具 天子拜太祖大将军 当会南郑 单将数十骑 曰 縻好爵於士人 救长离则官兵得与野战 并结安定梁宽 绍 连营稍前 以为方今人物彫尽 则唐 盖从之 其年为王 抚视不离 省表 其年 先主在豫州 蠲其虐政 会尚遣魏郡太守高蕃将兵屯河上 赐谷二千斛 初为黄门侍郎 建安中 筦齐六职 文帝黄初七年 君其勖之 太祖乃引军还 方船载还 丁廙 然地势陆通 燮体器宽厚 持节并护鲜卑 臣智激韩忿 无所容足 也 率与戮力 吾无所归矣 已到 杨不从 景子忠 入出殿门 彧知邈为乱 己丑 以弋为中庶子 使名挂史笔 终必无成 今群公卿士股肱之辅 二年 径自北归 封公之四子为列侯 考之情理 与时殊趣 戏兵不整 简位居立 又问诩计策 因求兵出斫贼 病者言 纮同郡秦松字文表 生产管理 詹廉 今日之危 夫 为人
数列求和公式范文
数列求和公式范文
1.等差数列的求和公式：
等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列，常用的公式如下：
(1)等差数列的和公式：
设有n项等差数列的首项为a1，公差为d，末项为an，则等差数列的和Sn可表示为Sn=(a1+an)*n/2
(2)等差数列的通项公式：
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的第n项an可表示为an=a1+(n-1)d。
2.等比数列的求和公式：
等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列，常用的公式如下：
(1)等比数列的和公式（有限项）：
设有n项等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的和Sn可表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
(2)等比数列的和公式（无限项）：
设有无限项等比数列的首项为a1，公比为q（，q，<1），则等比数列的和Sn可表示为Sn=a1/(1-q)。
(3)等比数列的通项公式：
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的第n项an可表示为an=a1*q^(n-1)。
3.其他常见数列求和公式：
(1)递推数列的求和公式：
若数列的每一项与前一项之间满足其中一种递推关系，则可以使用递推数列的求和公式来求解。
(2)组合数列的求和公式：
组合数列包括等差组合数列和等比组合数列，如斐波那契数列和杨辉三角等，可以使用特殊的公式求和。
(3)正弦、余弦等三角函数数列的求和公式：
正弦、余弦等三角函数数列的和可以使用三角函数的和差化积公式来求解。
需要注意的是，数列求和公式通常是在已知数列的性质和规律的基础上推导得出的，因此在应用时需要根据具体的数列特点选择合适的公式。
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数列的求和
一、分组求和：
例1.已知等差数列{}n a 中，23a =，611a =
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n a
n n b a =+，求{}n b 的前n 项和
演变1.已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n n n b a a =+，求{}n b 的前n 项和
例2.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n N +∈
（1）证明：数列{}n a n -是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和
演变1.已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +-=，n N +∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和
二、裂项求和：
例1.已知数列{}n a 满足11a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，n N +∈
（1）求证：1{}n
a 为等差数列； （2）若1n n n
b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n S
演变1.已知递增等差数列{}n a 前三项和为12，且12a ，2a ，31a +成等比数列
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若11n n n b a a +=
⋅，求{}n b 的前n 项和n S
例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，611a =
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若141n n b S =
-，求{}n b 的前n 项和n T
演变1.已知{}n a 为公差不为零的等差数列，77a =，且4a 、6a 、9a 成等比数列
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若n S 为{}n a 的前n 项和，1n n
b S =
，求{}n b 的前n 项和n T
三、错位相减求和：
例1.在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+，n N +∈
（1）若12
n n n a b -=，求证：{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S
演变1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n a S +=，n N +∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T
例2.已知等差数列{}n a 前三项和为6，前八项和为-4
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1(4)2n n n b a -=-⋅，求{}n b 的前n 项和n S
演变1.已知等比数列{}n a 满足22a =，514a =
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若1()24
n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n S
强化练习
1.数列{2
312++n n }的前n 项和为__________ 2.求和：
1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ 3.求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-
+--＝__________ 4.数列}{n a 的通项公式11
++=n n a n ，若}{n a 的前n 项和为24，则n 的值为_________
5.已知数列{}n a 中，116a =，11n n a a +=+（n N +
∈），则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为_________
6.已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(...139511--++-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值为_________
7.已知等差数列{}n a ，29a =，521a =
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S
8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知11a =，13b =，3317a b +=，3312T S -=
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和
9.已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足5563=⋅a a ，1672=+a a 。
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n a 和数列}{n b 满足等式：n n n b b b b a 222233221+⋅⋅⋅+++=（*∈N n ），求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S 。
10.数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，121+=+n n S a （1≥n ）
（1）求}{n a 的通项公式；
（2）等差数列}{n b 的各项为正数，其前n 项和为n T ，且153=T ，又11b a +、22b a +、33b a +成等比数列，求数列1{
}n
T 前n 项和
答案：2(2)n n +、31n n +、(1)n n -⋅、624、272524(3)(4)n n n n +++、76-。