【物理】3.2《万有引力定律的应用》学案导学(粤教版必修2)

万有引力定律的应用 学案1.关于万有引力和重力的关系地面上物体所受万有引力F 可以分解为物体所受的重力mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ’。

其中2RMm GF = 2ωmr F =' ① 当物体在赤道上时，F 、mg 、F ’三力同向，此时满足F ’＋mg ＝F ② 当物体在两极点时，F ’＝0 ,F=mg=2RMmG③ 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。

例1 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a ＝3.37×10－2m/s 2,赤道上重力加速度g 取10m/s 2试问：（1）质量为m kg 的物体在赤道上所受的引力为多少？（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？解析：（1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有F 引＝mg+F向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10-2)=9.804m(N)（2）设地球自转角速度为ω，半径为R ，则有a ＝ωR ，欲使物体完全失重，即万有力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即m ω’R ＝F 引＝9.804m ，解以上两式得ω’＝17.1ω.2.关于天体质量或密度的计算问题解法一：利用天体表面的重力加速度g ，由mg RMm G＝2得M ＝gR 2／G ，只需知道g 和天体半径R 即可；密度RGgR M ππρ43343==解法二：利用“卫星”的周期T 和半径r ，由23222244GT r M T mr R Mm G ππ＝得＝，密度3233334R GT r R M VM ππρ===(R 为天体的半径)，当卫星沿天体表面附近绕天体运动时，r ＝R ，则23GTπρ=。

例2 已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2,重力加速度g ＝9.8m/s 2,地球半径R ＝6.4×104m ，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字）解析：在地球表面质量为m 的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有mg RMm G ＝2 ,得kg kg G R g M 2411262106106.67106.48.9⨯=⨯⨯⨯==－）（ 例3 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量A ．飞船的轨道半径B ．飞船的运行速度C ．飞船的运行周期D ．行星的质量解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：R T m RMm G22)2(π＝， 由上式可知：22334434GT R M ⋅=⋅πππ，即行星的密度23GT πρ=； 上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C 正确。

3.关于人造卫星和宇宙速度问题（1）卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，由此推出：卫星的绕行速度、角速度、周期与半径r 的关系。

①由r v m rMm G 22=得r GM v =，r 越大，v 越小。

②由22Mm Gm r r ω=得3rGM =ω，r 越大，ω越小。

③由2224T mr r Mm G π=得GMr T 324π=，r 越大，T 越大。

式中r 是卫星运行轨道到地球球心的距离。

（2）要将人造卫星发射到预定的轨道上，就需要给卫星一个发射速度。

发射速度随着发射高度的增加而增大。

最小的发射速度为s km gR RGMv /9.7===，即第一宇宙速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，也是卫星的最大绕行速度。

（3）两类运动——稳定运行和变轨运行。

卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由r v m r GMm 22=，得r GMv =，由此可知，轨道半径r 越大，卫星的速度越小，当卫星由于某种原因，其速度v 突然变化时，F 引和r v m 2不再相等，因此就不能再根据rGMv =来确定r 的大小。

当F 引>r v m 2时，卫星做近心运动；当F 引<r v m 2时，卫星做离心运动。

例４ 2003年10月15日，我国成功发射航天飞船“神舟”号，绕地球飞行14圈安全返回地面，这一科技成就预示我国航天技术取得最新突破。

据报道飞船质量约为10t ，绕地球一周的时间约为90min 。

已知地球的质量M ＝6×1024kg ，万有引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2·kg -2。

设飞船绕地球做匀速圆周运动，由以上提供的信息，解答下列问题：（1）“神舟”号离地面的高度为多少km? （2）“神舟”号绕地球飞行的速度是多大？（3）载人舱在将要着陆之前，由于空气阻力作用有一段匀速下落过程，若空气阻力与速度平方成正比，比例系数为k ，载人舱的质量为m ，则此匀速下落过程中载人舱的速度多大？解析：（1）由牛顿第二定律知：2224)()(Th R m h R mM G π+=+ 得离地高度km R GMTh 2644322=-=π（2）绕行速度s m h R Tv /1075.7)(23⨯=+=π（3）由平衡条件知：kv 2=mg ，则速度kmgv =［基础训练］１.同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a 2,第一宇宙速度为v 2,地球半径为R ，则（）A. a 1/a 2=r/RB. a 1/a 2=R 2/r 2C. v 1/v 2=R 2/r2D. v 1/v 2 r R /=２.若航天飞机在一段时间内保持绕地球地心做匀速圆周运动则（ ） A.它的速度大小不变B.它不断地克服地球对它的万有引力做功C.它的动能不变，重力势能也不变D.它的速度大小不变，加速度等于零３．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是（）A ．天体A 、B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B ．两颗卫星的线速度一定相等C ．天体A 、B 的质量可能相等D ．天体A 、B 的密度一定相等４．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。

轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A ．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

D ．卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。

５．太阳光从太阳射到地球需8分20秒，地球公转轨道可近似看作圆形，地球半径约6.4×106m ，估算太阳质量M 与地球质量m 之比为__________。

６．两颗人造卫星A 、B 的质量之比m A ∶m B =1∶2，轨道半径之比r A ∶r B =1∶3，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比v A ∶v B = ，向心加速度之比a A ∶a B = ，向心力之比F A ∶F B = 。

P12 3∙∙Q７．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处的日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R ，地面重力加速度为g ，地球自转周期为T 。

８．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。

设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有m g rGMm 2……经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。

上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

参考答案题号 1 2 3 4 5答案 ADＣＢＢＤ5103⨯题号6７答案1:3； 9：1； 9：2gR h T s 32)(4+=π 详解：２．分析：航天飞机绕地心做匀速圆周运动，速度大小不变，动能不变，离地心距离不变，重力势能不变，引力不做功。

４．解：由22Mm mv G r r =得GMv r=，而3v GM r r ω==， 轨道3的半径比1的大，故A 错B 对，“相切”隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两轨道瞬时运行半径相同，又2GMa r =，故C 错D 对。

５．分析：太阳到地球距离： r=ct=3×108×500m=1.5×1011m设地球绕太阳做圆周运动，则由牛顿定律：r Tm r m M G2224π地地太＝所以2324GT r M π=太 地球上物体随地球运动时：mg Rm Gm ＝地2所以GgR m 2=地，所以：526231122232103106.410360024365101.544⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝）（）（）（＝地太ππgR T r m M ７．解析：设侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T 1,有)(4)(2122R h T m R h GMm +=+π, ① 地面处重力加速度为g ，则有mg RMmG＝2。

② 由①②得gR h R T 31)(2+=π。

地球自转周期为T ，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为TT 12π. 摄像机能拍摄赤道圆周的弧长为 gR h T s 32)(4+=π ８．解析：题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。

正确的解法是卫星表面2R Gm ＝g 行星表面2R GM =g 0 即20)(R R M m =0g g 即g =0.16g 0。