湖南省2014年高中数学竞赛

合集下载

2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word

2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2013
解：由题设
an

2(n 1) n
an1

2(n 1) n

2n n 1 an2

2(n 1) n

2n n 1

23 2
a1

2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013

2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ．由于 PO 是底面的垂线，故 PO CH ，又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．

湖南省高中数学竞赛试题及答案

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（）答案：B ．提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过变换得到的，答案是（）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是．答案：28.x ≤≤。

2014年全国高中数学联赛湖南赛区预赛_黄仁寿

分共
，
3 0
分 5 如图
）
．
．｝
1
，
在三棱Ｆ
、
1
．
设似
2
2
＝
｜
ａ
ｌ
ａ＝？
ｙ
，
ａ
：
、
ｙ
ＧＺ
则选柱中已知点＾
，
册
，
，
的
‘
项正确的是中点
（
）
．
Ｍ
及ＡＣ的中
（
Ａ）
Ｂ
）
9 9
ＧＭ迗ＭＭ
，
1
0 £
Ｍ点
ｉ
Ｖ
所决定的平面
：
若不等式
则实数
三
1
＋
2
ｙ
）
＾
（
＾＋
2
ｒ）
恒成立
，
数组
（
ａ
，
6
）
，
使得
Ａ
、
巧
均为不动点并证明
？
ａ
的最大值为
（

、
解答题共
1
7 2
你的结论分Ｉ 6 2 0 分已知数列Ｗ满足
？
．
）
．
（
）
3 （
．
6
2
，
已知
一
0
ｉＣ内为ＡＡｆ
，
丨
处
．
…厂
ｒ
，
则
Ｐ
、
Ｐ
1
＇
关于圆周

2014年高中数学竞赛分数

第7考场
指导老师彭武军、徐旭辉李志红、徐彩刚李志红、徐彩刚周魁良卢鹏伟徐爱仁，张业彬龙跃文黄杰军
徐爱仁，张璐邓必雪章勇生李志红、徐彩刚徐爱仁，刘金强龙跃文黄杰军
肖双平卢鹏伟邓必雪林树青、汪举平徐爱仁，张必雪卢鹏伟林树青、汪举平晏苏利徐爱仁，张业彬邓必雪喻国标李志红、徐彩刚卢鹏伟徐爱仁，张业彬徐爱仁，张业彬卢跃进黄国庆
第3考场
准考证号 725 0908 1306 2124 1302 812 2901 0211 0725 1605 0523 0728 1516 2218 1318 1004 1111 1210 1330 1203 1220 1226 1316 1322 1409 2521 2716 0125 0724 0922 1724 1821 考点宜春高安高安宜春高安宜春宜春高安高安高安高安高安宜春宜春高安宜春宜春宜春高安宜春高安高安高安高安宜春宜春宜春高安高安高安高安高安姓名陈治同刘云帅陈典邹欢彬杨启航李纬昂任子繁廖帆涂国良曾坤况攀性别男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男男女女男女年级高三高二高三高三高三高三高三高二高一高二高二高二高二高三高三高三高三高三高三高三高三高三高三高三高三高三高三高二高二高二高三高二学校预赛得分 73 72 72 72 71 71 71 70 70 70 69 69 69 69 68 68 68 68 67 67 66 66 66 66 66 66 66 65 65 65 65 65

2014年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______．答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =．分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种；长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种（一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ．（1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥．分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=．答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=，则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-，故2α<；若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意；另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类．假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两个除1k +外不交，故命题成立．综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件．任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立；若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立．综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．全国高中数学联赛试题及解答加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案

年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。

2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。

3、解题书写不要超出装订线。

4、不能使用计算器。

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。

）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。

湖南省2014年高中数学竞赛

湖南省2014年高中数学竞赛湘西自治州赛区学生获奖情况通报湖南省2014年高中数学竞赛分为高二年级和高三年级两个组别于六月二十八日进行。

湘西自治州赛区的有关工作已经完成。

本次竞赛实行交叉巡考，集中评卷，各项工作认真、严格、有序。

全州评出高三年级一等奖32人，二等奖 50人，三等奖 80人；高二年级一等奖 52人，二等奖 74人，三等奖 132人。

现将学生获奖情况（见附件）通报如下，望获奖同学再接再厉。

湘西州教育科学研究院2014年7月5日附件：2014年湖南省高中数学竞赛湘西自治州赛区学生获奖情况通报高三组一等奖（32人）姓名单位成绩杨子谦州民中130田铖永顺一中107龙坤龙山皇仓中学104鲁鹏云古丈一中103彭瑞州民中101覃帅州民中101郭佳龙山皇仓中学99沈芳羽州民中96刘宣敏州民中94符津铭龙山皇仓中学93张晓龙龙山皇仓中学93田志富州民中91邓归航龙山皇仓中学91廖旺冬凤凰高级中学91全翔永顺一中89石平安花垣边高89邹凡莹州民中88向启保靖民中88张林林保靖民中88徐昊花垣边高88喻与越州民中87付小萍泸溪一中87杨东龙州民中86周倩嘉保靖民中86崔小凤永顺一中85徐航州民中85龙喜涛州民中85罗佳峰龙山高级中学85胡成龙山皇仓中学85黄力平泸溪一中85李湘麓泸溪一中85吴玉良凤凰华鑫中学84二等奖（50人）姓名单位成绩郭露龙山皇仓中学83 龙春鹏花垣边高83 龙林静古丈一中83 梁大星永顺一中82 彭恩泽永顺一中82 张亚苹州民中82 杜雨钊泸溪一中82 罗涛州民中81 黄德华龙山皇仓中学81 邓昊泸溪一中81 陈俊伟保靖民中81 龙华强凤凰华鑫中学81 彭林军州民中80 谭肖卓龙山高级中学80 彭霄龙山皇仓中学80 向文钊泸溪一中80 田卓琛保靖民中80 韩承远凤凰华鑫中学80 张向驰州民中79 向金眀州民中79 田政鳞州民中79 杨文杰龙山高级中学79 向子能州民中78 张凯轩州民中78 田根龙山高级中学78 谭必成泸溪一中78 杨童泸溪一中78 杨道鹏保靖民中78 谢瑶姬保靖民中78 雷琳琳花垣边高78 田春贤凤凰高级中学78 田曜铭凤凰华鑫中学78 龙媛凤凰华鑫中学78 覃芬芬永顺一中77 熊恒州民中77 滕雨龙山皇仓中学77张笛泸溪一中77 向鹏飞保靖民中77 李左胜花垣边高77 田粒花垣边高77 曾理古丈一中77 韩永成凤凰华鑫中学77 肖诗舟永顺一中76 吴康分州民中76 石维瑞州民中76 冯家桢龙山皇仓中学76 张朝勇泸溪一中76 梁榕榕泸溪一中76 彭顺麒麟保靖民中76 田瞿阳保靖民中76三等奖（80人）姓名单位成绩龙伟永顺一中75 包文吉州民中75 吕宇州民中75 鲁爱平龙山皇仓中学75 张鹏龙山皇仓中学75 田昌发泸溪一中75 张子悦泸溪一中75 彭虹达保靖民中75 杨晓凤凰华鑫中学75 秦欣欣凤凰华鑫中学75 吴宗荣凤凰华鑫中学75 曾韬泸溪一中74 李岱键泸溪一中74 张水艳花垣边高74 麻利园花垣边高74 覃潇州二民中73 向渊州二民中73 田滢紫州民中73 陈祺州民中73 孙天翔州民中73 张维龙山高级中学73刘钟秦龙山高级中学73 彭茜龙山皇仓中学73 刘贾泸溪一中73 杨智文泸溪一中73 罗义杰花垣边高73 石桓宇花垣边高73 麻清雪花垣边高73 杨宁欣凤凰华鑫中学73 胡文苏永顺一中72 黄立宇永顺一中72 曹阳州民中72 李秋阳州民中72 梁鑫州民中72 孙崧育龙山高级中学72 徐靖杰龙山高级中学72 彭暾豪龙山高级中学72 向俊宇龙山高级中学72 聂作永龙山皇仓中学72 唐智健泸溪一中72 田胜泸溪一中72 姚静泸溪一中72 宋晓婷泸溪一中72 彭雅洁保靖民中72 田子蕾保靖民中72 宋丽保靖民中72 罗勇花垣边高72 田庚凤凰高级中学72 石祥州民中71 黄林州民中71 王彬泽龙山高级中学71 孙瑞华龙山高级中学71 孙盼龙山皇仓中学71 向庭宇龙山皇仓中学71 张越泸溪一中71 杜梦瑶泸溪一中71 李杰泸溪一中71 梁绪庆花垣边高71 石凤芝花垣边高71 周典坤州民中70韩玉叶州民中70 莫凝州民中70 杨佳州民中70 钟金燕泸溪二中70 谭国江龙山皇仓中学70 代德发泸溪一中70 杨斌泸溪一中70 黄棽泸溪一中70 吴笛剑保靖民中70 石靖媛保靖民中70 曾书勋保靖民中70 李函保靖民中70 贾光进花垣边高70 石楠花垣边高70 龙子红古丈一中70 彭展志古丈一中70 冯晶凤凰高级中学70 张波吉首市一中69 莫芳艳泸溪二中68 符辰桂永顺二中55高二组一等奖（52人）姓名单位成绩周子杰州民中132 李映辉泸溪一中130 严梓文龙山皇仓中学125 田奥升龙山皇仓中学123 向冶泸溪一中123 田峰州民中122 欧晓娟凤凰华鑫中学122 刘宇恒凤凰高级中学122 李月华龙山高级中学121 田野永顺一中120 高香玉州民中119 瞿水香龙山皇仓中学119 彭苏樊州民中118肖康州二民中118 黄智超吉首市一中118 李昌盛龙山皇仓中学118 向少聪州民中117 彭归燕吉首市一中117 李斌泸溪一中117 陈晨曦州民中116 肖知秋州民中116 田雪州民中115 范欧永顺一中115 雷桓凤凰高级中学115 刘一鸣州民中114 叶杰伟龙山皇仓中学114 张钊瑞龙山高级中学114 杨良策泸溪一中114 吴迎刚凤凰华鑫中学114 龙欣宇州民中113 贾雪韵州民中113 龙钊涣州民中113 李思君州民中113 彭鑫龙山高级中学113 龙海柳凤凰华鑫中学113 龙晓慧州民中112 张倖僖龙山高级中学112 向淑珍永顺一中112 李宸泸溪一中112 屈骏杰凤凰华鑫中学112 麻洁东凤凰华鑫中学112 田红飞凤凰华鑫中学112 李晓强州二民中111 易世彬龙山皇仓中学111 熊俊永顺一中111 聂金耀凤凰高级中学111 邓茹烨州民中110 王俊武龙山皇仓中学110 燕道德龙山皇仓中学110 龙芳琦凤凰华鑫中学110 石文林泸溪二中110 欧玮古丈一中110二等奖（74人)姓名单位成绩田丰州民中109 向恬靓州民中109 彭峥龙山高级中学109 邢琪凤凰华鑫中学109 陈思源州民中108 杨悦涵州民中108 程琛州民中108 向刚州民中108 尚晔龙山高级中学108 彭佳星龙山高级中学108 向陶钧永顺一中108 鲁文君永顺一中108 洪维古丈一中108 肖宇永顺一中107 彭路赢保靖民中107 段雷鸣州民中106 刘双盈州民中106 张诗语龙山皇仓中学106 刘钆瑶龙山高级中学106 刘艳玲龙山高级中学106 张杰龙山高级中学106 彭清萍永顺一中106 向梦州民中105 石峰情州民中105 段召亲龙山皇仓中学105 马锡明龙山高级中学105 李丹永顺一中105 田园轩州民中104 黄家望州民中104 袁馨雨州民中104 邹凤敏州民中104 滕思慧州民中104 郑世杰龙山皇仓中学104 田志豪龙山皇仓中学104 董良海龙山皇仓中学104 周梓涵龙山高级中学104黄玉萍永顺一中104 杨骐锲泸溪一中104 徐青州民中103 付麟永顺一中103 包洪源泸溪一中103 谭喜凤凰华鑫中学103 吴吉胜凤凰高级中学103 吴静凤凰高级中学103 秦鹏州民中102 瞿玲州民中102 杨开坤龙山皇仓中学102 姚莞永顺一中102 彭爽永顺一中102 唐旭泸溪一中102 滕冬凤凤凰高级中学102 吴边凤凰华鑫中学102 刘洋古丈一中102 贾雪艳州民中101 向阳春州二民中101 田小艳龙山皇仓中学101 宋建平龙山高级中学101 何晶晶龙山高级中学101 罗恺泸溪一中101 石晓琪州民中100 张光茸州民中100 欧阳青云州民中100 杜子悻州民中100 戴付昕州民中100 蔡宜霏龙山皇仓中学100 肖运芬龙山皇仓中学100 薛蓉龙山高级中学100 陈炫杉永顺一中100 周子轩永顺一中100 刘雪伶永顺一中100 蒋慧永顺一中100 唐玮祺泸溪一中100 廖化化凤凰华鑫中学100 蒋忠魁凤凰华鑫中学100三等奖（132人)姓名单位成绩王菊凤凰高级中学100 杨丹州民中99 向功坤州民中99 罗云刚州民中99 舒琳州民中99 李明妍龙山皇仓中学99 吴良宵龙山高级中学99 王鹏永顺一中99 李辉泸溪一中99 陈娟凤凰高级中学99 彭玉彬州民中98 陈曦州民中98 侯森泉州民中98 田清烨州民中98 王浩然州民中98 刘继汉龙山高级中学98 郭艳君龙山高级中学98 杨冰龙山高级中学98 向宏程永顺一中98 宋泽学永顺一中98 符森泸溪一中98 孙碧岳泸溪一中98 隆森凤凰华鑫中学98 林姝凤凰华鑫中学98 唐吉英凤凰华鑫中学98 王俊芝凤凰华鑫中学98 王小霞古丈一中98 向千秋古丈一中98 麻顺跃州民中97 向承雨州民中97 彭祝龙山皇仓中学97 田庆华龙山高级中学97 彭博龙山高级中学97 邓依恒龙山高级中学97 尹泉玲永顺一中97 孔骥永顺一中97罗一夫泸溪一中97 曹必阳泸溪一中97 李定奇古丈一中97 胡慧君州民中96 王紫麟州民中96 滕征轩州民中96 谢菱州民中96 吴骞州民中96 陈邻州二民中96 陈浪吉首市一中96 陈鸿龙山皇仓中学96 张慧龙山高级中学96 谢易生永顺一中96 向月华永顺一中96 杨帆泸溪一中96 谢伯全泸溪一中96 王胜泸溪一中96 邓鑫泸溪一中96 龙智星凤凰华鑫中学96 杨港凤凰高级中学96 麻林珍凤凰华鑫中学96 宋子静州民中95 秦渊明州民中95 符鑫龙山高级中学95 邹昕龙山高级中学95 张发泸溪一中95 唐静泸溪一中95 李向媛泸溪一中95 张宇花垣边高95 张强古丈一中95 黄德强州民中94 田扑龙州民中94 彭梦圆州民中94 田红艳州民中94 李思龙州民中94 陈建朝州民中94 彭文婕州民中94 熊锦涛州民中94 周家豪州民中94林湘渝州二民中94 彭钊龙山皇仓中学94 田杰龙山高级中学94 尹志翔永顺一中94 秦海峰永顺一中94 丁超润永顺一中94 向爽永顺一中94 陈宜妥保靖民中94 代警坤泸溪一中94 杨雨凡凤凰华鑫中学94 龙秀位凤凰华鑫中学94 吴金鑫凤凰华鑫中学94 李水宽泸溪二中94 吴糠花垣边高94 石梦杨州民中93 李向阳州民中93 向灵柯州民中93 周熙洋州民中93 肖霁颖吉首市一中93 隆慧芝吉首市一中93 骆癸帆龙山皇仓中学93 付均永顺一中93 史枭航永顺一中93 田周纯古丈一中93 唐先澍州民中92 唐群青龙山皇仓中学92 彭元华龙山皇仓中学92 杨升龙山高级中学92 胡钊源龙山高级中学92 马宏国永顺一中92 符竟予永顺一中92 彭光钊保靖民中92 黄炜泸溪一中92 杨兴东泸溪一中92 谭海月泸溪一中92 杨颜菲泸溪一中92 刘岳凤凰华鑫中学92 刘欢花垣边高92 谢源州民中92田邵君州民中91 向泓霖州民中91 杨琳玢州民中91 梁婷州民中91 田仲毓州民中91 余渊州民中91 彭红娇州二民中91 张慧龙山皇仓中学91 向海容永顺一中91 杨洵永顺一中91 麻雷保靖民中91 龙建芝凤凰华鑫中学91 龙俊凤凰华鑫中学91 张祖英凤凰华鑫中学91 彭文文古丈一中91 吴中玉凤凰文昌中学90 田廷忠永顺二中78 李镇华吉首市民中54。

湖南省衡阳八中2014-2015学年高二10月月考(六科联赛)

高二10月月考（六科联赛）数学（理）试题总分：100分考试时间：120分钟一、选择题：以下各题只有唯一的正确答案！（每题3分，共30分）1、命题p: 2+2=5; 命题q: 3 2，则下列各项中，正确的是：（） A 、p 或q 为真命题，q 为假命题； B 、p 且q 为假命题，┐q 为真命题； C 、p 且q 为假命题，┐q 为假命题； D 、p 且q 为假命题，p 或q 为假命题2、命题“若21x ，则11x - ”的逆否命题是：（） A 、若21x ≥，则11x x ≥≤-或 B 、若11x - ，则21xC 、若11x x - 或，则21xD 、若11x x ≥≤-或，则21x ≥ 3、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是：（） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线4、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 点到另一个焦点的距离为：（） A 、2 B 、3 C 、5 D 、75、若命题“曲线M 上的点的坐标满足方程f(x, y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是：（）A 、f(x, y)=0所表示的曲线是MB 、满足f(x, y)=0的点均在曲线上C 、曲线C 是f(x, y)=0的轨迹D 、f(x, y)=0所表示的曲线不一定是M6、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m = （） A ．3 B ．23 C ．38 D ．327、设椭圆3422y x +=1的长轴两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为：（） A 、43- B 、34- C 、43 D 、348、椭圆x 2+4y 2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为：（） A 、x －2y=0 B 、x+2y －4=0C 、2x+3y －14=0D 、x+2y －8=09、点P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则线段PM 中点的轨迹方程为：（）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +=1 10、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为：（） A 、22B 、2C 、2D 、2214、已知p ：2|311|≤--x ，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若q p ⌝⌝是的充分不必要条件，则实数m 的取值范围：。

2014年全国各省市高中数学联赛解析几何试题

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分交于点 P , 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线
x
a2 于点 Q . c
(1) 如果点 Q4,4 ,求此时的椭圆 C 的方程; (2) 证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.
x2 y 2 1 2 1(a b 0) 的离心率为，点 F1 ， F2 分别为其左、右 2 2 a b 焦点，其右焦点 F2 到点 E ( 2, 1) 的距离为 10 ，一动圆过点 F2 ，且与直线 x 1 相切，记动圆圆心的轨迹为 G ．（1）在轨迹 G 上有两点 M 、N ，椭圆 C 上有两点 P 、Q ，满足 MF2 / / NF2 ，PF2 / / QF2 ，且 MF2 PF2 ，求四边形 PMQN 面积的最小值（2）过点 F1 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A ， B ，问在直线 y x 上是 3k 36 否存在点 D ，使得 AD BD 是与 k 无关的常数？ 16k 2 12
4.（广东）过椭圆 C :
x2 y2 1 的右焦点 F 作直线交椭圆 C 于 A、B 两点，已知 25 16
AB 8 ，试求直线 AB 的方程．
5.（内蒙古）已知 F1 c, 0 , F2 c, 0 分别是椭圆 C :
x2 y 2 1 a b 0 的左、右焦点, a 2 b2
时，求点 M 的轨迹方程.
16.（山东）设点 O 为椭圆的中心，点 A 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点 A 作长轴的垂线，垂足为 M ，连结 AO 并延长交椭圆于另一点 B ，连结 BM 并延长交于椭圆于点 C ，问是否存在椭圆，使得 BA CA ？

湖南省衡阳八中2014-2015学年高二数学10月月考(六科联赛)试题理

高二10月月考（六科联赛）数学（理）试题总分：100分考试时间：120分钟一、选择题：以下各题只有唯一的正确答案！（每题3分，共30分）1、命题p: 2+2=5; 命题q: 32，则下列各项中，正确的是：（）A 、p 或q 为真命题，q 为假命题；B 、p 且q 为假命题，┐q 为真命题；C 、p 且q 为假命题，┐q 为假命题；D 、p 且q 为假命题，p 或q 为假命题2、命题“若21x ，则11x -”的逆否命题是：（） A 、若21x ≥，则11x x ≥≤-或 B 、若11x -，则21x C 、若11x x -或，则21x D 、若11x x ≥≤-或，则21x ≥3、方程[(x －1)2+(y+2)2](x2－y2)=0表示的图形是：（）A 、两条相交直线B 、两条直线与点（1，－2）C 、两条平行线D 、四条直线4、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 点到另一个焦点的距离为：（）A 、2B 、3C 、5D 、75、若命题“曲线M 上的点的坐标满足方程f(x, y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是：（）A 、f(x, y)=0所表示的曲线是MB 、满足f(x, y)=0的点均在曲线上C 、曲线C 是f(x, y)=0的轨迹D 、f(x, y)=0所表示的曲线不一定是M6、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m= （）A ．3B ．23C ．38D ．327、设椭圆3422y x +=1的长轴两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为：（）A 、43-B 、34-C 、43D 、348、椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为：（）A 、x －2y=0B 、x+2y －4=0C 、2x+3y －14=0D 、x+2y －8=09、点P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则线段PM 中点的轨迹方程为：（）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +=110、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为：（）A 、22B 、2C 、2D 、2214、已知p ：2|311|≤--x ，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若q p ⌝⌝是的充分不必要条件，则实数m 的取值范围：。

2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题

2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题1.删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2010 项是_____________.2.全国篮球职业联赛的某个赛季在H 队与F 队之间角逐。

采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。

设比赛双方获胜是等可能的。

根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。

组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是_____________.3．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．4.设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n c ，且1n n b c +=，则数列1{}na 中最接近2010的数是 .5.213)()n n N +∈的整数部分和小数部分分别是A 、B ，则()B A B += .6.如图, ,M N 分别为正六边形ABCDEF 的对角线AC,CE 的内分点,且AM CNAC CEλ==,若B,M,N 三点共线,则λ=______________ 7.对于给定的正整数n ,则由直线2y n =与抛物线2y x =所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为________________8.已知复数1z 在11=z 的条件下变动,而21412120102009z z z -+=--,则复数z 对应点的形成的区域图形的面积是 .；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.9PCA PBC PAB ABC P 10.已知数列}{n a 由)(,,32*2121211N n a a a a a n n n ∈++==-+ 确定.若对于任意*N n ∈，M a a a n <+++++11111121 恒成立。

数学--2014年全国高中数学联赛模拟试题(湖南师大附中)

2014年全国高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1、设127()3x f x x +=-+，11()(())n n f x f f x +=，2,3x x ≠-≠-，则2013(2014)f =______.答案：2012. 注意到 11()23f x x =--+，211()2312233f x x x =--=--+--++， 31()31223f x x x =--=--++.故20133(2014)(2014)2014f f ==. 2、设实数10x >，则函数()()()lglglg lglg lg lglg xxf x x x =-的值域为 .答案：{}0设lg lg y x =，则lg 10yx =，则()()()()lg lglglg lglg lg lg lg lg 10100yyxxy yyy x x y y -=-=-=.3、设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.答案：92一方面，当3x y +<时，有[][]3x y x y +≤+<，则[][]2x y +≤，满足[][]5x y x y +++≤；另一方面，当3x y +>时，有[][]{}{}3x y x y +++>，而{}{}2x y +<，则[][]1x y +>，从而[][]2x y +≥，于是[][]5x y x y +++>，这与条件矛盾.故区域R 的面积为92.4、二元函数()f x y ，的最大值为___________.答案：设2cos x a =，2cos y b =，则0,1a b ≤≤.f =由于0,1a b ≤≤，则2a a ≤1≤1≤，1≤=≤，故f ≤当1a b ==，或0,1a b ==或1,0a b ==时，f 取到最大值. 5、在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n = .答案：19由于等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值和有最大值，则首项10a >，公差0d <.由11101a a <-，知道100a >，110a <，10110a a +<. 于是()()120201*********a a S a a +==+<，()1191910191902a a S a +==>，()()219191*********a a S S a a +-==+<.故那么当n S 取得最小正值时，19n =.6、甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为34，第偶数局，乙赢的概率为34.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.答案：163设游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为E ，则()352288E E =⨯+⨯+解得163E =. 7、设五边形ABCDE 满足120A B C D ∠=∠=∠=∠=，则AC BDAE ED⋅⋅的最小值为 .答案：34延长AB 与DC 相交于点H ,延长EA 与CB 相交于点F ,延长ED 与BC 相交于点G . 则,,AFB DCG BCH ∆∆∆均为正三角形. 设AB x =,BC y =,CD z =.容易得到四边形EAHD 为平行四边形,则EA HD y z ==+.在ABC ∆中,由余弦定理, AC =于是ACAE=.同理,BDED =故AC BDAE ED⋅=⋅.注意到,2)()02x y x y ≥+⇔-≥.有34AC BDAE ED⋅=≥⋅.等号成立,当且仅当x y z ==.即所求的最小值为34. 8、过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为075.这样的截面共可作出个 .答案：18设正BCD ∆中心为O ，以O为圆心，cot 753为半径作圆.则圆O 在BCD ∆的内部，且所求截面与平面BCD 的交线是该圆的切线.有三种情况：(1) 切线与BCD ∆的一边平行时，有6个这样的截面；(2) 切线11B C （其中1B 在边BC 上，1C 在边CD 上）且11CB C D =，则截面11AB C ∆为等腰三角形.这样的截面有6个；(3) 作BE 切圆O ，交CD 于E ，由BCE ACE ∆∆，有BE AE =，对应ABE ∆是等腰三角形，这样的截面共有6个.故满足条件的截面共有18个.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9、（本小题满分16分）、试求实数a 的取值范围，使得2是不等式22log (23)21log x x a a+->+的最小整数解.首先 230xa ->，0a >，且12a ≠. 原不等式等价于22223log 201log x a x a a-+->+. （1）当 21log 0a +>，即12a >时，有 2223log 20x a x a-+->，整理有 2223240x x a a -⋅->. 解得 24xa >，2xa <-（舍去）. 从而 2log 4x a >. 注意到当12a >时，2log 41a >.故要使2是不等式22log (23)21log x x a a+->+的最小整数解，有2log 42a <，解得1a <，于是112a <<. （2）当21log 0a +<，即102a <<时，注意到343422a ->->，有 2222log (23)01log a a+-<+不合题设条件.即102a <<不满足条件. 综上所述，a 的取值范围为1(,1)2.10、（本小题满分20分）、数列{}1n n a ≥定义为11a =，24a =，)2n a n ≥.⑴ 求证：数列{}1n n a ≥为整数列；⑵ 求证：121n n a a ++()1n ≥是完全平方数. 证明：⑴ 定义00a =.当1n ≥时，2111n n n a a a -+=+，2121n n n a a a ++=+，两式相减，整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ++-++=+，即2111n n n n n na a a a a a ++-+++=()1,0n n a ∀≥≠.因此2112201114n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++--+-++++=====. 故 214n n n a a a ++=-.（1n ≥）由此二阶递推式及11a =，24a =，容易得到数列{}1n n a ≥为整数列. ⑵ 对1n ≥，()21111111044n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-+++-=-+=-+()()22211114121n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=-+-=--+.因此()21121n n n n a a a a +++=-. 故命题得证！11、（本小题满分20分）、若1l 与2l 是两条互相平行的直线，其中1l 与抛物线:C 2(0)y ax bx c a =++≠交于,A B 两点，2l 与抛物线C 相切于D 点，记ABD ∆的面积为1S ，弓形ADB 的面积为2S .求证：12S S 为定值，并求这个定值.（即与,,a b c 无关）. 证明：不妨设抛物线2(0)y ax bx c a =++>.直线1l ，2l 的方程分别为y kx m =+，y kx n =+.设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，其中12x x <.联立直线1l 与抛物线方程，有2()0ax b k x c m +-+-=，依题设，2()4()0b k a c m ∆=--->.由韦达定理，12b k x x a -+=-，12c mx x a-=.容易得到21x x a-=.于是AB =.联立直线2l 与抛物线方程，有2()0ax b k x c n +-+-=，依题设，2()4()0b k a c n '∆=---=，所以()244ac b k n a--=.又两条平行直线之间的距离为d =ABD ∆的面积为112S AB d =⋅⋅=. 对弓形ADB 的面积为()2122()()x x S kx m axbx c dx =+-++⎰2322322222211111111111232232kx mx ax bx cx kx mx ax bx cx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()221121212111332x x a x x ax x b k x x c m ⎡⎤=--++--+--⎢⎥⎣⎦将12b k x x a -+=-及12c m x x a-=代入上式， 2S =. 从而1234S S =.加试一、（本小题满分40分）一、如图，设A 为12,O O 的一个交点，直线l 切12,O O 分别于,B C ，3O 为ABC∆的外心，3O 关于A 的对称点为D ，M 为12O O 的中点.求证：12O DM O DA ∠=∠. 证明：易得31O O 是AB 的中垂线，32O O 是AC 的中垂线.连接12,AO AO .则31112O O A BO A CBA ∠=∠=∠，MDO 2O 1O 3CBAMDO 2O 1O 3CBA13312O O A BO A BCA ∠=∠=∠，故 31O O ACBA ∆∆.同理，3213O O ABCAO O A ∆∆∆.做312O O O ∆的外接圆Γ，设3O A 交Γ于另一点E ，则123213EO O AO O AO O ∠=∠=∠，213123EO O AO O AO O ∠=∠=∠，故121332O EO O AO O AO ∆∆∆.从而133122O O O A O O EO =，233121O O O AO O EO =，因此 312132321O A O O O O EO O O EO ⋅=⋅=⋅，于是四边形132O O O E 是调和四边形. 由托勒密定理，()3121323213121122O A O O O O EO O O EO O E O O ⋅=⋅+⋅=⋅，所以， 3312O A O E =，从而E 与D 重合. 再由 ()2313232113212MO O D O O EO O O O E O O O D ⋅=⋅+⋅=⋅，知道312O O D O MD ∆∆.所以，213O DM O DO ∠=∠. 故12O DM O DA ∠=∠.二、（本小题满分40分）设1101n n a a a -<<<<<.求证：()2221212121211112n n n a a a a a na a a a +++>+++----.证明：令211ni i i ia L a a =-=-∑，约定01a =，1n i i R ia ==∑，1ni i S a ==∑.由柯西不等式，(2221121ni i L i ==⎛⎫=≥+∑∑()()()()()()()()221122221011212219232121n i i nn i i i ni i i a R S i aa a i i a n a =--==⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-++-+-+∑∑∑()()2222124444889889988n ii R S R RS S R RSR S R S i a =++++>=>++++++∑ 19191121616182162R R R R R S =->->-++. 故原不等式得证！三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n ，使得存在正整数数列12n a a a <<<，使得和()1i j a a i j n +≤<≤互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.解：所求的n 为4k ，其中k 为正整数. 我们用i m 表示12,,,n a a a 中模4余i 的个数，1,2,3,4i =.注意到，若12,,,n a a a 满足题设条件，则121,1,,1n a a a +++也满足题设条件，故可不妨设 1324m m m m +≥+.记214n T C =，考察()i j a a i j +<模4不同类中的项数，有13242224221314231234m m m m C C m m T C C m m Tm m m m T m m m m T⎧++=⎪++=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ……（*）所以 ()()13242213242m m m m T m m m m C C ++=++=+故 ()()()()()213241324m m m m m m mm +++=+-+.令()()13240k m m m m =+-+≥，则有2132k k m m ++=，2242k k m m -+=，2n k =.另一方面，由（*）知，()()13240m m m m --=，()()221324m m m m k -=-+，由于n 为正整数，则1k ≥，从而 240m m -=，且 ()213m m k -=，令13l m m =-，则2k l =，42244l l m m -==，()42421322,,44l l l l l l m m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭或424222,44l l l l l l ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，满足条件（*）. 故24n k l ==满足题设条件.综上所述，所求的n 为4k ，其中k 为正整数.四、（本小题满分50分）集合S 是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数m 满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个m ≤的非负整数，使得由S 中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求m 的最小值.解：考虑一般情形，集合S 由4n ≥个点构成，满足任意四点不共面.正整数m 满足条件：在任意线段上标上一个m ≤的非负整数，使得由S 中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.记r 为线段上被标数字不同的数目，则1r m ≤+.高中数学打印版校对版本下面我们用数学归纳法证明：2log r n ≥.当4n =时，结论平凡；对4n >，取标上数字最小的边AB ，记为数字d .任取异于,A B 的点C S ∈，则AC 或BC 边上的数字恰有一个为d .记{}{}|,P C AC d C S A ==∈，{}{}|,Q C BC d C S B ==∈. 不妨设2n P ≥. 由归纳假设知，对P 中被标数字的数目22log log 12n n ≥=-，因为d 是被标记数字中最小的，故()22log 11log r n n ≥-+=.故结论成立.特别地，当2014n =时，有2log 2014r ≥，从而11r ≥.从而10m ≥.下证，m 的最小值为10.记这2014个点分别为1,2,,2014，我们标记线段()ij i j >上的数字为t ，其中t 为满足2|t i j -的最大非负整数.因为,2014i j ≤，所以10t ≤.现设,,i j k 为任意不同的三点，若线段,ij ik 被标记为同一数字s ，则2s i j a -=，2s i k b -=，这里,a b 均为奇数，于是()()2()s j k i k j k b a -=---=-，由于b a -为偶数，知线段jk 上标记的数字大于s ，满足题设条件；若线段,ij ik 标记为不同的数字,()t s t s <，则2t i j a -=，2s i k b -=，这里,a b 均为奇数，于是()()2(2)t s t j k i k j k b a --=---=-，由于2s t b a --为奇数，知线段jk 上标记的数字为t ，满足题设条件.综上所述，m 的最小值为10.。

2014年湖南隆回二中竞赛数学

2014年隆回县第二中学竞赛考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若22{228}{log 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()AB R ð的元素个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．在四边形ABCD 中，120A =︒，90B =︒，3AD =，BC =7BD =，求CD =（）A ．3 B． C ．7 D． 3．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥4．函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2D ．35．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（） A1B1- C．1 D16．若锐角α满足2sin 3αα+= ，则2tan 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是 A．- B． C．7D．7-7．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（）A ．0B ． 1C ．3D ．58．已知等差数列{}n a 中，27a =，4a 15= ，则前10项的和10S = （） A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 9. 若等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，则常数a 的值等于（） A ．13- B ．1- C ．13D ．3- 10.()f x =的最大值为（）A ．1B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．下列命题：①a c b c ⋅=⋅，则a b =；②若a 与b 是共线向量，c 与b 是共线向量，则a与c 也是共线向量；③若a b a b +=-，则0a b =；④若a 与b 是单位向量，则 1a b =12．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．13．如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P -，，，，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 121n Q Q Q -，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △，212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为．yx1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P - O第14题图14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，3c 成等比数列，则cos cos A B =15. 设a ，b ，c 满足1a =，3b =，32a b =-，,60a b b c --=︒，则c 的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且m =∙．求22cos sin2()cos sin ααβαα++-的值．16．（本小题满分14分）已知向量 )1,1(=m 和向量和的夹角为43π，1-=∙。

湖南省2014年高中数学竞赛

2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

湖南省高中数学竞赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛湖南赛区预赛_黄仁寿

2014年高中数学竞赛分数

2014年全国高中数学联赛试题及解答

年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案

湖南省2014年高中数学竞赛

湖南省衡阳八中2014-2015学年高二10月月考(六科联赛)

2014年全国各省市高中数学联赛解析几何试题

湖南省衡阳八中2014-2015学年高二数学10月月考(六科联赛)试题 理

2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题

数学--2014年全国高中数学联赛模拟试题(湖南师大附中)

2014年湖南隆回二中竞赛数学

湖南省衡阳八中2014-2015学年高二数学10月月考(六科联赛)试题理