空间垂直关系的相互转化

空间垂直关系的相互转化

山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰

空间的垂直关系包括线线垂直，线面垂直，面面垂直。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者进行合理的转化。

线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示： 线线垂直线面垂直面面垂直

（1）

（2）（3）（4）

其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

（2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直。

（3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

下面我们通过几个例子来看一下在具体题目中是如何进行转化的。

例1、设ABCD 是空间四边形，,AB AD CB CD ==.

求证：AC BD ⊥.

【证明】如右图，设BD 的中点为K ，连结,AK CK .

AB AD =Q ，K 为BD 的中点，AK BD ∴⊥

同理CK BD ⊥.

又,,AK CK K BD AKC =∴⊥I 面

又,.AC AKC BD AC ⊂∴⊥面

【点悟】（1）证明线线垂直问题往往转化为线面垂直来解决；直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。（2）本题的转化过程为线线垂直→线面垂直→线线垂直。

例2、如右图，已知平面PAB ABC ⊥平面，

平面PAC ABC ⊥平面，AE PBC ⊥平面，E 为垂足.

（1） 求证：PA ABC ⊥平面；

（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形.

【证明】（1）如右图，在平面ABC 内取一点D ，作DF AC ⊥于F .Q 平面PAC ABC ⊥平面，且交线为AC ，,..DF PAC PA PAC DF PA ∴⊥⊂∴⊥面平面

作DG AB ⊥于G .Q 平面PAB ABC ⊥平面，且交线为AB ，

,..DG PAB PA PAB DG AP ∴⊥⊂∴⊥面平面

又,,.DG DF ABC PA ABC ⊂∴⊥面面

（2）连结BE 并延长交PC 于H .E PBC ∆Q 是的垂心，PC BE ∴⊥.

又Q AE PBC ⊥平面，AE PC ∴⊥。,AE BE ABE AE BE E PC ABE ⊂=∴⊥Q I ，面且面， ,PC AB PA ABC PA AB AB PAC AB AC ABC ∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥∆Q 又平面，，平面，，即的直角三角形。

【点悟】（1）已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直就转化为线面垂直。由本题也可得到这样的结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面。

（2）本题的第二问实际上就是线线垂直和线面垂直之间的相互转化。

例3、已知P 是菱形ABCD 所在平面外的一点，,PA PC PB PD ==.

求证：（1）面PAC ABCD ⊥面；

（2）面PAC PBD ⊥面.

【证明】（1）如右图，设菱形ABCD 的对角线,AC BD

相交于点O ，连结PO .

,.PA PC PO AC PO BD =∴⊥⊥Q 同理

,,.PO ABCD PO PAC PAC ABCD ∴⊥⊂∴⊥面面面面

（2）,,,PO AC AC BD PO BD O AC PBD ⊥⊥=∴⊥Q I 面

,.AC PAC PAC PBD ⊂∴⊥又面面面

【点评】（1）证面面垂直一般要利用面面垂直的判定定理，在其中的一个面内找（作）另一个面的垂线，这样将证明面面垂直的问题转化为找（证）线面垂直，进而转化为线线垂直的问题。（2）本题的转化思路为线线垂直→线面垂直→面面垂直.