第二章 第2讲

函数，所以 f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，两式相加得 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－
b)．
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题型三 函数单调性的应用
角度 1 比较函数值的大小 1.(2020·天津北辰区模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)， 且函数 f(x)在(－∞，0)上是减函数，若 a＝f(－1)，b＝flog214，c＝f(20.3)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c
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角度 2 解不等式 2.已知函数 f(x)＝x12，＋x1<，0，x≥0， 则不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 的取值范 围是( ) A.(0， 2－1) B．(－1， 2＋1) C.(0， 2＋1) D．(－1， 2－1)
答案 D
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组 能力关
1．(2020·天津十二区县联考)已知 a＝log1
3
0.60.3，b＝log1
2
14，c＝log13
0.50.4，
则实数 a，b，c 的大小关系为( )
A．c<a<b B．b<a<c
C．a<c<b D．c<b<a
答案 C
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2.已知
解析 解法一：f(x)＝2aax－x＋21020＝2ax＋ax1＋－12022＝2－a2x0＋221， 因为 ax＞0，所以 ax＋1＞1，所以 0＜a2x0＋221＜2022， 所以－2020＜2－a2x0＋221＜2，故函数 f(x)的值域为(－2020，2).
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(3)数形结合法：利用函数解析式的几何意义或函数图象易作出 1.函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为_[3_，__＋__∞__)__.
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3.(2019·天津实验中学期中)若函数 f(x)＝log1 (－x2＋4x＋5)在区间(3m －2，m＋2)内单调递增，则实数 m 的取值范围为2 ___43_，_2___.
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1，x＞0， 3．设函数 f(x)＝0，x＝0，
－1，x＜0，
减区间是___[_0_,_1)__．
答案 B
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2．小题热身 (1)(2019·天津南开区模拟)已知 a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则 a， b，c 的大小关系为( ) A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b
答案 A 解析 ∵a＝0.30.3∈(0,1)，b＝1.20.3>1，c＝log1.20.3<0，∴c<a<b，故选 A.
(5)分离常数法：形如求 y＝cx＋d(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离 ax＋b
常数法求解．如举例说明 4 可用此法. 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后
面章节中有重点讲述.
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3
PART THREE
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5．已知 f(x)＝x－x a(x≠a)．
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a，a≥b， 5.对 a，b∈R，记 max{a，b}＝ b，a＜b，
3
∈R)的最小值是__2______.
函数 f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x
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(4)换元法：求形如 y＝ ax＋b＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用 代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用 函数的相关性质求解
(1)若 a＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 解 (1)证明：当 a＝－2 时，f(x)＝x＋x 2.
设 x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝x12＋x21－xx2＋2 2.
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，
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B组
2．(2020·天津重点中学模拟)已知函数 f(x)＝lmoxg＋ax，8，x>x3≤，3. 若 f(2)＝4，
且函数 f(x)存在最小值，则实数 a 的取值范围为( )
A．(1， 3] B．(1,2]
C.0，
3
3
D．[ 3，＋∞)
答案 A
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6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 fxx12＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 时，f(x)<0.
(1)证明：f(x)为单调递减函数；
解 (1)证明：任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2，
则xx12>1，由于当 x>1 时，f(x)<0，
(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函
数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明 3.
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(4)有界性法：利用代数式的有界性(如 x2≥0， x≥0，2x>0，－1≤sinx≤1 等)确定函数的值域．如举例说明 4 可用此法.
即 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
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(2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围．
解 (2)设 1<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a＝x1a－xa2－xx2－1 a. 因为 a>0，x2－x1>0，所以要使 f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立，所以 a≤1. 综上所述，0<a≤1.
f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．所以 x＞－1，所以关于 x 的不等式 f(x)＜－
1 的解集为(－1，＋∞).
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角度 3 求参数的值或取值范围 3.已知函数 f(x)＝2aa－－3loxg＋ax，5，x>x≤ 1，1， 对于任意 x1≠x2 都有fxx11－ －fx2x2 <0 成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,3] B．(1,3) C．(1,2] D．(1,2)
1.已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且当 x∈[－2,1]时，f(x)＝
x2－2x－4，则关于 x 的不等式 f(x)<－1 的解集为( )
A.(－∞，－1) B．(－∞，3)
C.(－1,3)
D．(－1，＋∞)
答案 D 解析 因为 f(－1)＝－1，所以 f(x)＜－1，等价于 f(x)＜f(－1)．又函数
1.函数
f(x)＝－x＋1在 x
－2，－13
上的最大值是(
)
A.32 B．－83 C．－2 D．2 答案 A
解析 因为函数 f(x)＝－x＋1x在－2，－13上是减函数，所以 f(x)max＝
f(－2)＝2－12＝32.
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2. f (x) log 2 (3x 1)的值域为 ____
答案 C
Hale Waihona Puke 基础知识过关经典题型冲关
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(4)(2019·天津七校期中联考)已知函数 f(x)＝aloxg－2x1，，xx>≤2，2， 若 f(x)在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范围是__(_0_,1_]___．
解析 依题意，得a2>a－0，1≤log22， 解得 0<a≤1，即实数 a 的取值范 围是(0,1]．
1 5
>1，c＝log279<0，所以
c<b<a.因为
f(x)＝2x
－2－x＝2x－12x 在 R 上单调递增，所以 f(c)<f(b)<f(a).
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B组
4．已知函数 f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且 a≠1)在[－2,0]上的值域是[－
1
1,0]，则实数 a＝____3____；若函数 g(x)＝ax＋m－3 的图象不经过第一象限， 则实数 m 的取值范围为__[_－_1_，__＋__∞__)__．
所以 fxx12<0，即 f(x1)－f(x2)<0，
因此 f(x1)<f(x2)，
所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
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(2)若 f(3)＝－1，求 f(x)在[2,9]上的最小值．
解 (2)因为 f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以 f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)． 由 fxx12＝f(x1)－f(x2)得，f93＝f(9)－f(3)， 而 f(3)＝－1，所以 f(9)＝－2. 所以 f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的单调递
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