2018-2019学年高中数学苏教版必修2 第2章2.1.4 两条直线的交点 课件(39张)
苏教版高中数学必修二2.1.4两条直线的交点.docx
2.1.4两条直线的交点1.若a b ≠,则直线10,10ax by bx ay ++=++=的交点为11,a b a b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2.过直线230,290x y x y -+=+-=的交点和原点的直线方程为y x =3.过直线22100,3420x y x y -+=+-=的交点且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为2537y x =-+ 4.过直线280,210x y x y +-=-+=的交点且平行于直线4370x y --=的直线方程为4360x y --=5.直线,y mx n y nx m =+=-的交点为()1,1-,则,m n 分别是0,1m n ==-6.直线()()()12,112y m x y m x -=--=+-的交点为()2,17.三条直线280,4310,2a x y x y x y ++=+=-=围成三角形,则a 的范围是8413a a a ≠≠-≠且且 8.直线()314y mx y m x =+=-+与相交,则m 的范围是12m ≠ 9.直线2,221y x t y x t =-=+-交点个数为0,则t 的范围是 13t ≠10.已知直线()()210,1110a x a y a x a y ++=--+-=垂直,则3a =-;垂足是27,1530⎛⎫- ⎪⎝⎭11.已知直线()()12:3453,:258l m x y m l x m y ++=-++=,当m 为何值时, 12l l 与(1)相交;(2)平行(3)垂直?解：（1）()()3580,1,7m m m m ++-≠≠-≠-解得12l l 与相交（3）()()1323450,3m m m +++==-，12l l 与垂直 （2）121,m l l =与重合;当m=-7时12l l 与平行12.三角形的一个顶点()3,4A -,且这个三角形的两条高所在直线方程分别是2360,230x y x y -+=++=,顶点,B C 的坐标.解：不妨设点B ，C 分别在直线2360,230x y x y -+=++=上。
苏教版高中数学必修2课件 2.1.4 两条直线的交点课件1
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的
坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次
l 方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线
的交点．
1 和 l2
思考：若方程组没有公共解呢，两直线应是 什么位置关系？
据此，我们有
Байду номын сангаас
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
《2.1.4 两条直线的交点（2）》 课件
问题：
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程 对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那 么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否 有解有没有关系，如果有，是什么关系？
设两条直线方程为：
L1： A1x+B1y+C1=0 L2： A2x+B2y+C2=0
（ 为任意实数）表示的直线有什么特点？
结论：此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程．(除去直线l1 )
练习：
１．求经过两条直线 2x 3y 3 0和 x y 2 0
的交点，且与直线 3x y 1 0 垂直的直线 l 的
方程．
分析： 方法（１）普通方法 求交点，求斜率．利用点斜式写出方程 方法（２）；利用过两直线交点的直线系方程
（１）求平衡价格和平衡需求量： （２）若要使平衡需求量增加４万件，
政府对每件商品应给予多少元补贴？
分析：市场平衡
价格和平衡需求 平
量实际上就是两
衡 需
相应直线交点的 求
横坐标和纵坐 量
标．即为相应方
程组的解．
y
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.4 两条直线的交点》
§两条直线的交点教学设计江苏省徐州市侯集高级中学马芹艳学习目标：1．会求两条直线的交点；2．理解两条直线的位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系；3．加深对解析法的理解，进一步渗透数形结合、转化的思想．学习重点：两条直线相交求交点；用方程组的解研究两直线的位置关系．学习难点：两条直线的位置关系与相应二元一次方程组解的对应关系．1 问题情境分别在同一平面直角坐标系中，作出以下两条直线:1： 2 ： 3 ：：：：设计意图：〔1〕通过三个同学的板演展示，观察图“形〞可以直观地看出两条直线公共点的个数1个、0个、无数个；也就可以看出两条直线的位置关系，培养学生的动手能力，让学生体会从形到数的思想〔2〕如果两条直线相交，公共点就是两条直线的交点，如何求交点坐标呢？引出本节课的课题。
〔3〕学生都会说联立方程组，但是为什么呢？让学生思考这个问题，如果两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点坐标就是这两个方程的公共解，反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线的交点，这就是方程的解和解的方程，把纯粹性和完备性讲清楚，学生自会明白其中道理。
〔4〕学生理解了解方程组法，即可把三个问题的方程组解好，同时解的个数对应着图象的交点个数，让学生体会了从数到形的思想。
〔5〕从问题情境还可以让学生深深体会，两条直线位置关系的判断可以转化为解方程组，通过方程组解的个数来判断，用代数的方法解决几何问题，渗透解析法。
2 数学建构设两条直线的方程分别是：设计意图：〔1〕由问题情境的三个例子得到一般性的结论，渗透有特殊到一般的归纳推理方法。
让学生口答即可，但是必须要让学生记忆并理解。
〔2〕从问题情境和数学建构两方面可以得出：①判断两条直线位置关系的方法：解方程组〔易操作〕、图象〔更直观〕，数形都表达出来。
②如何求两条直线的交点坐标？解方程组法。
③小问题，大发现，让学生在平常的学习中学会善于观察、归纳。
苏教版2018-2019学年高中数学必修2- 2.1.4两条直线的交点教案
2.1.4 两条直线的交点1．掌握两直线交点的求法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．教材分析及教材内容的定位：本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．教学重点：判定两条直线是否相交，求交点坐标．教学难点：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？二、学生活动1．思考并回答：（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；三、建构数学1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．四、数学运用1．例题．例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：（1）l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；（2）l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？2．练习．（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．（3）求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．两直线交点的求法；2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；3．交点系方程的应用；4．数形结合思想的应用．。
江苏省2018-2019苏教版高中数学必修2(测试)第2章2.1-2.1.4两条直线的交点 Word版含解析
第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程 2.1.4 两条直线的交点A 组 基础巩固1．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6解析：将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10.答案：B2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24解析：在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 答案：C3．直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：首先联立⎩⎨⎧4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)， 代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1. 答案：B4．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，2 D.()2，＋∞解析：解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m2<0，6＋4m3＋m 2>0.解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.答案：C5．已知直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 倾斜角的取值范围．解：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋333k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.于是有⎩⎨⎧3k ＋2＞0，6k －23>0.所以k >33.故直线l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．6．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一个定点，这个定点是________．解析：将直线方程化为a (x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，当⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，即⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3时等式成立，即直线过定点(－2，3)．答案：(－2，3)7．若直线x ＋my ＋1＝0和直线(m －2)x ＋3y ＋m ＝0相交，则m 的取值范围是______________________．解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行， 所以m (m －2)－1×3≠0.所以m 2－2m －3≠0. 所以m ≠－1且m ≠3.答案：(－∞，－1)∪(－1，3)∪(3，＋∞)8．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，求a 的值．解：由3a －a 2(a －2)＝0得：a (a ＋1)(a －3)＝0.所以a ＝0或a ＝－1或a ＝3.其中当a ＝3时，两直线重合；当a ＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．故a ＝0或－1.9．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0，那么方程x ＋y ＋1＋λ(x －2y ＋4)＝0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点？解：设直线l 1与l 2的交点坐标为P (x 0，y 0)， 则x 0＋y 0＋1＝x 0－2y 0＋4＝0，所以x 0＋y 0＋1＋λ(x 0－2y 0＋4)＝0＋λ·0＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －2y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.故P (－2，1)． 又x ＋y ＋1＋λ(x －2y ＋4)＝0是关于x ，y 的二元一次方程， 所以方程x ＋y ＋1＋λ(x －2y ＋4)＝0表示过直线l 1与l 2交点(－2，1)的直线系(不含直线x －2y ＋4＝0)．10．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．由⎩⎨⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.将x ＝1，y ＝－1代入l 1的方程中，得m ＝2. 即m ＝2时，三条直线共点．由－6－3m ＝0，即m ＝－2时，l 1∥l 2； 由3－6m ＝0，即m ＝12时，l 1∥l 3.所以当m ＝±2或m ＝12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．B 级 能力提升11．求过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且过点(4，0)的直线方程为________________．解析：设所求直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0(λ∈R)， 则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－43.所以所求直线方程为2x －y ＋4－43(x －y ＋5)＝0，即2x ＋y －8＝0. 答案：2x ＋y －8＝012．经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为____________．解析：首先将直线l 1与l 2的方程联立方程组，解得x ＝1，y ＝3. 则两直线交点为(1，3)，而直线2x －y －1＝0的斜率为2， 所以所求直线斜率为－12，则所求直线方程为y －3＝－12(x －1)，即x ＋2y －7＝0.答案：x ＋2y －7＝013．求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解：由方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.因为直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， 所以直线l 的斜率k ＝－3.所以直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫－35，即15x ＋5y ＋16＝0.14．已知两直线l 1：2x －y ＋7＝0，l 2：x ＋y －1＝0，A (m ，n )是l 1和l 2的交点．(1)求m ，n 的值；(2)求过点A 且垂直于直线l 1的直线l 3的方程；(3)求过点A 且平行于直线l ：2x －3y －1＝0的直线l 4的方程． 解：(1)因为A (m ，n )是l 1和l 2的交点，所以⎩⎨⎧2m －n ＋7＝0，m ＋n －1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝3.(2)由(1)得A (－2，3)．因为kl 1＝2，l 3⊥l 1，所以kl 3＝－12，由点斜式得l 3：y －3＝－12(x ＋2)，即l 3：x ＋2y －4＝0.(3)因为l 4∥l ，所以kl 4＝k l ＝23，由点斜式得l 4：y －3＝23(x ＋2)，即2x －3y ＋13＝0.。
苏教版高中数学必修2课件 2.1.4 两条直线的交点课件
① ②
方 法 技 巧
教
学 方
①×2 得 4x－6y＋10＝0，
当 堂
案
设
∴①和②可以化为同一方程，
双 基
计
达
课
即 l1 与 l2 是同一直线，l1 与 l2 重合．
标
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
判定两直线的位置关系，可以转化为求方程组解的情 巧
前
自 主
过定点(－3，－1)．
课 时
导
作
学
过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 业
课 堂
交点的直线可设为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
互
动
探
究
教 师 备 课 资 源
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SJ ·数学 必修2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
利用方程组判断两条直线的位置关系
y＝－(21)解，方程组2x＋x＋y＋2y＋2＝3＝0，0，
① ②
当 堂 双 基 达 标
课
前 自
①×2－②得：1＝0 矛盾，
课
主
时
导
∴方程组无解．
作
学
业
课
∴两直线无公共点，l1∥l2.
堂
互
动
探
究
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苏教版高中数学必修二第二章2.1.4两条直线的交点.docx
2.1.4两条直线的交点一、基础过关1．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是____________．3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为_____．5．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．6．已知直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，则m的值是_______．7．已知直线l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.当l1⊥l2时，求a的值及垂足的坐标．8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线l的方程．二、能力提升9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．10．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．11．两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则a的取值范围是____________．12．已知直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0，(1)若这三条直线交于一点，求m的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m的值．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．答案1．22．2x ＋y －8＝03．－14．±65．8x ＋16y ＋21＝06．0或－17．解 当a ＝2时，l 1：y ＝－23，l 2：x ＝12.此时，l 1⊥l 2且垂足坐标为⎝⎛⎭⎫12，－23， 当a ≠2时，k 1＝－a －23，k 2＝－a a －2. 由l 1⊥l 2知：k 1·k 2＝a 3＝－1，∴a ＝－3. ∴l 1：－5x ＋3y －3＝0，l 2：－3x －5y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＋3＝03x ＋5y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－917y ＝217.∴l 1与l 2的垂足坐标为⎝⎛⎭⎫－917，217. 综上所述：a 的值为2，垂足坐标为⎝⎛⎭⎫12，－23；或a 的值为－3，垂足坐标为⎝⎛⎭⎫－917，217. 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0.据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2； 令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ. ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x . ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.9．(－1，－2)10.⎝⎛⎭⎫π6，π211．－1<a <212．解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y －5＝06x ＋y －5＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1， 代入l 1得，m ＝2；(2)当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．①由(1)得，当m ＝2时，三线共点，不能构成三角形，②当l 1∥l 2时，m ＝－2，当l 1∥l 3时，m ＝12，此时它们不能构成三角形， 综上所述：当m ≠±2且m ≠12时，三条直线能构成三角形． 13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.。
苏教版数学必修2课件：第2章 2.1.4 两条直线的交点
y＝kx＋3k－2， 1 当k≠－4时，由 x＋4y－4＝0，
x＝12－12k， 1＋4k 得 7k－2 y＝ ， 1＋4k
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12－12k>0， 1＋4k ∵点P在第一象限，∴ 7k－2 >0， 1＋4k 2 ∴7<k<1.
【精彩点拨】根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断．
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【自主解答】
2x＋y＋3＝0， x－2y－1＝0，
(1)由方程组
x＝－1， 得 y＝－1，
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
x＋y＋2＝0， (2)解方程组 2x＋2y＋3＝0，
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．( √ ) (2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次 方程的解为坐标的点都在直线上．( √ ) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1 ＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．( × ) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－ A2B1≠0.( √ )
① ②
①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解． ∴两直线无公共点，l1∥l2.
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2x－3y＋5＝0， (3)解方程组 4x－6y＋10＝0，
① ②
①×2得4x－6y＋10＝0， ∴①和②可以化为同一方程， 即l1与l2是同一直线，l1与l2重合．
高中数学(苏教版必修2)同步文档第2章 2.1.4 两条直线的交点 Word版含解析
两条直线的交点．了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．(重点、难点)．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．(重点)．会利用直线系方程解决相关问题．(难点)[基础·初探]教材整理两直线交点个数阅读教材，完成下列问题．二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系．直线＋－＝与直线＋－＝的交点坐标为.【导学号：】【解析】联立方程组(\\(＋－＝，＋－＝，))解得(\\(＝，＝－，))所以交点坐标为(，－)．【答案】(，－)．已知直线＋＋＝与直线－＋＝交点在轴上，则＝.【解析】直线－＋＝与轴的交点为(－)，则(－)在直线＋＋＝上，∴×(－)＋×＋＝，∴＝.【答案】教材整理直线系方程阅读教材～，完成下列问题．．平行于直线＋＋＝的直线：＋＋＝(≠)．．垂直于直线＋＋＝的直线：－＋＝(为参数)．．过直线：＋＋＝与：＋＋＝的交点的直线：＋＋＋λ(＋＋)＝.(注意：该直线不包括直线)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．(√) ()直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．(√) ()直线系方程＋＋＋λ(＋＋)＝表示经过直线＋＋＝和直线＋＋＝交点的所有直线．(×) ()直线＋＋＝与直线＋＋＝有交点的等价条件是－≠.(√)．过点()与直线＋＝平行的直线方程为．【解析】设所求直线方程为＋＝，将点()代入方程得＝，∴所求直线方程为＋－＝.【答案】＋－＝[小组合作型]两直线位置关系的判定方法判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：()：＋＋＝，：－－＝；()：＋＋＝，：＋＋＝；()：－＋＝，：－＋＝.【精彩点拨】根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判。
苏教版高中数学必修二第二章学生教案第课时两直线的交点
第8课时 两直线的交点【学习导航】知识网络两条直线的方程分别是 1111:0l A x B y C ++=，1222:0l A x B y C ++=．构成方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．（＊）学习要求1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解；2．当两条直线相交时，会求交点坐标； 3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力自学评价（1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，_______________即为交点坐标.（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：①方程组有一组解，该解为_____________； ②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为________，交点个数为_____________； ③方程组无解，此时两直线的位置关系是 _________，交点个数为___________．【精典范例】例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ； （2）1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；（3）1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．例2：直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．例3：某商品的市场需求1y （万件）、市场供求量2y （万件）、市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：202,70-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求市场平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？＊的解 一组 无数组 无解两直线相交 两直线重合 两直线平行追踪训练一1. 若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线y kx b =+相交于点(1,2),则该直线的方程为______________________．2. 若三条直线2380,x y ++=10,x y --=0x ky +=相交于一点，则k的值等于 （ ）()A 2- ()B 12- ()C 2 ()D 123. 三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=有且只有两个交点，则a =______________．【选修延伸】例4: 已知三条直线1l ：440x y +-=，2l ：0xm y +=，3l ：2340x my --=，求分别满足下列条件的m 的值：（1）使这三条直线交于同一点； （2）使这三条直线不能构成三角形．例5：求证：不论m 为何实数，直线l ：(1)(21)5m x m y m -+-=-恒过一定点，并求出此定点的坐标．思维点拔：因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).追踪训练二１．已知两直线1130a x b y ++=和2230a x b y ++=的交点是(2,3)，则过两点1122(,),(,)P a b Q a b 的直线方程是 （ ）()A 320x y += ()B 2330x y ++= ()C 3230x y ++= ()D 2350x y --=2．（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ）()A )3,6[ππ ()B )2,6(ππ()C )2,3(ππ ()D ]2,6[ππ３．设m n k +=（k 为非零常数），则直线10mx ny ++=恒过点_____________． ４．求证：不论m 为何实数，直线l ：(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过一定点，并求出此定点的坐标．学生质疑教师释疑听课随笔。
苏教版数学高一必修2学案 两直线的交点
2.1.4 两条直线的交点学习目标1.会求直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系;2.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法;3.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的联系.能够用辩证的观点看问题.学习重点 判断两直线是否相交,求交点坐标.学习难点 两直线相交与二元一次方程的关系.学习过程 自主学习指导问题1.平面上两直线的位置关系?能否通过方程去研究直线的相交问题?问题2.由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那么如果两直线相交于一点,这一点与两条直线的方程有何关系?问题3.如果两条直线相交,交点坐标与二元一次方程组有什么关系?问题4.若二元一次方程组有唯一解,两直线 ,若二元一次方程组无解,两直线 ,若二元一次方程组有无数解,两直线 .问题5.直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系问题6.直线1111:A 0l x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=是否有交点的一般性结论:若 ,则直线1l 和直线2l 相交;若 ,则直线1l 和直线2l 重合;若 ,则直线1l 和直线2l 平行. ☞课前自主练习1. 分别判断下列直线1l 和直线2l 是否相交,若相交,求出它们的交点.(1) 12:27,:3270l x y l x y -=+-=;(2) 12:2640,:41280l x y l x y -+=-+=;(3) 12:4240,:23l x y l y x ++==-+.2.直线l 经过原点,且经过另两条直线 2380,10x y x y ++=--=的交点,求直线l 的方程.3.若3条直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点,则k 的值等于 .☞课堂检测训练1. 已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=.当m 为何值时, 1l 与2l :(1)相交? (2)平行? (3)垂直?2. 已知直线l 经过两条直线2330,20x y x y --=++=的交点,且与直线310x y +-=平行,求直线l 的方程.课后巩固训练1.两直线320x y -+=与320x y +-=的位置关系是 .2.已知直线210x y +-=与直线(1)30m x y --+=相交,则实数m 的取值范围是 .3.已知点(0,1)M -,点N 在直线10x y -+=上,若直线MN 垂直于直线230x y +-=,则点N 的坐标是 .4.求经过两条直线78380x y +-=和320x y -=的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程.。
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(2，－1) ． 1．直线 3x＋5y－1＝0 与 4x＋3y－5＝0 的交点是________
3x＋5y－1＝0 x＝2， 解析：因为方程组 的解为 4x＋3y－5＝0 y＝－1.
所以两条直线 3x＋5y－1＝0 和 4x＋3y－5＝0 的交点坐标为(2， －1)
2 ．过点 ( － 1,1) 和两直线 x ＋ 3y － 10＝ 0 ， y ＝ 3x的交点的直线
4． (2014· 曲靖高一检测)两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0
±6 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________ ．
k k 解析：在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0 得 y＝ ，将(0， )代入 x 3 3 －ky＋12＝0，解得 k＝± 6.
两条直线位置关系的判断
(2)根据两条直线的方程组成的方程组的解的情况判断两条直
线的位置关系，这是根本，但如果能够敏锐地察觉两条直线 方程系数上的对应关系，解决两条直线的平行与垂直的相关 问题，可谓事半功倍．
1． 已知 a∈R， 试讨论两条直线 l1： y＝a2x＋1， l2： y＝(3－2a)x ＋a 的位置关系． 2 y ＝ a x＋1， 解：法一：解方程组 y＝3－2ax＋a， 得 a2x＋1＝(3－2a)x＋a， 即(a2＋2a－3)x＝a－1， (a－1)(a＋3)x＝a－1.(*) ①当 a＝1 时，(*)有无数多解， ∴l1 和 l2 重合； ②当 a＝－3 时，(*)无解，∴l1∥l2； ③当 a≠1 且 a≠－3 时，(*)有且仅有一解， ∴l1 和 l2 相交．
1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y
＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点 公共解 的坐标一定是这两个方程的 ______________ ；反之，如果这 一个 两个二元一次方程只有 ______________ 公共解，那么以这个 解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 交点 两直线 位置关系 平行 方程系数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1
无解
两直线 无 ____________ 交点
两条直线 ____________ 有一个 交点
有惟一解
相交
A1B2≠A2B1
两条直线有 无数 有无数个解 ____________ 个交点
重合
A1B2＝A2B1 B2C1＝B1C2
3.过两条直线交点的直线系方程
若两条直线 l1 ： A1x＋ B1y ＋ C1＝ 0 ， l2 ： A2x＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 有 交点，则过 l1 与 l2 交点的直线系方程为 (A1x ＋ B1y ＋ C1) ＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含直线l2)或(A2x＋B2y＋C2)＋λ(A1x ＋B1y＋C1)＝0(不包含直线l1)(其中λ为常数)．
第2章
平面解析几何初步
2．1.4 两条直线的交点
第2章
平面解析几何初步
学习导航 1.了解用代数法求解两条直线的交点的思路． 2.理解两直线的位置关系与二元一次方程组的 学习 解之间的联系．(难点) 目标 3.掌握应用二元一次方程组的解讨论研究两条 直线的位置关系的方法．(重点) 通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对 应的二元一次方程组解的问题，加深对解析法 学法 的理解及对数形结合思想的感悟；通过对一般 指导 形式的直线方程组解的讨论，提高对分类讨论 思想的掌握.
判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点 的坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1； x 2 (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝ ＋ ； 3 3 (3)l1：( 2－1)x＋y＝3，l2：x＋( 2＋1)y＝2. (链接教材 P93 例 1)
[解]
2x－y＝7， (1)解方程组 得 4x＋2y＝1，
x－y＋2＝0 方程为_______________________ ．
解析：设所求直线方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，整理得(1 ＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0. 又直线过点(－1,1)，所以(1＋3λ)×(－1)＋(3－λ)×1－10＝0. 解得λ＝－2，得所求直线方程为[1＋3×(－2)]x＋[3－(－2)]· y －10＝0，即x－y＋2＝0.
3．(2014· 银川高一检测)直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 2 3 交于一点，则 a 的值为________ ．
y＝2x＋10， x＝－9， 解析：由 解得 y＝x＋1， y＝－8，
即直线 y＝2x＋10 与 y＝x＋1 相交于点(－9， －8)， 代入 y＝ax 2 －2，解得 a＝ 3
2－1x＋y＝3， 法二：解方程组 x＋ 2＋1y＝2，
由①得 y＝3－( 2－1)x，代入②得 x＋( 2＋1)[3－( 2－1)x]＝2. 整理，得 3( 2＋1)＝2，不成立． ∴方程组无解． ∴直线 l1∥l2.Fra bibliotek① ②
方法归纳 (1)在平面解析几何中，判断两条直线的位置关系，可以根据 两条直线方程组成的方程组的解的情况，也可以根据斜率， 也可以根据两条直线方程的系数比．
2 a ＝3－2a， 法二：①当 即 a＝1 时，l1 和 l2 重合； 1＝a， 2 a ＝3－2a， ②当 即 a＝－3 时，l1∥l2； a≠1，
13 y＝－ 4 .
15 x＝ ， 8
15 13 ∴两直线交点坐标为( ，－ )． 8 4 x 2 (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝ ＋ ， 3 3 即 l2：x－3y＋2＝0. 2 －6 4 ∵ ＝ ＝ ，∴两直线重合． 1 －3 2
(3)法一：∵k1＝1－ 2， 1 k2＝－ ＝－( 2－1)＝1－ 2.∴k1＝k2. 2＋1 2 又 b1＝3，b2＝ ，b1≠b2，∴l1∥l2. 2＋1