伯努利(Bernoulli)方程
伯努利流体方程
伯努利流体方程
伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学基本方程之一，常用于描述静止流体或运动流体在流经不同位置时，压力、速度、高度等物理量的变化关系。
伯努利方程最早由瑞士数学家和物理学家伯努利（Daniel Bernoulli）在1738年提出，被称
为伯努利定理，也称作伯努利方程或伯努利流体方程。
伯努利方程的数学形式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度，constant表示一个常数。
伯努利方程可以表达出一个流体在液体静压力、动能和势能三者之间的平衡状态。
在一个理想的流体中，如果流体穿过一段水管，那么在这段水管的任何位置，液体静压力、动能和势能总和相等。
应用伯努利方程，可以计算液体在不同位置的压力、速度和高度等物理量的变化。
伯努利方程可以应用在气体、液体等不同介质的流体力学问题中，如风力发电机、水压机等。
9.2.4 伯努里方程
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
− ln cos y
dy + C
]
2 sin y cos y dy + C = cos y ∫ cos y
= cos y[C − 2 cos y ].
小 结：一阶微分方程的解法 可分离变量
dy = g ( x ) ⋅ h( y ) dx
=e
y2 − 2
y2 − y 3 e y2 dy + C −2 = Ce − y 2 + 2 ∫
2
用适当的变量代换解微分方程: 用适当的变量代换解微分方程:
例3 求方程 y' 的通解． + 2 x arctan y = 4 x 3 的通解． 2 1+ y
du 1 dy = ， 原方程可化为 2 dx 1 + y dx du + 2 xu = 4 x 3 dx
将 u = x + y 代回, 所求通解为
y − ln( x + y + 1) = C ,
或 x = C 1e y − y − 1
dx 另解 方 变 为 = x + y. 程 形 dy
小结
y 1.齐次方程 y ′ = f ( ) 齐次方程 x
2.线性非齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 伯努利方程
−1
将 z = xy 代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
dy 1 3. ; = dx x + y
dy du 解 令x + y = u, 则 = − 1, dx dx du 1 −1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u − ln( u + 1) = x + C ,
伯努利方程伯努利Bernoulli
则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
例 10
解 两端除以 y，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f (u) u
0时,
得
du f (u) u
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2).
思考题1
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x elncos y sin2 y e lncos ydy C
积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例8
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
流体力学-04-2 伯努利方程的应用
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式力学第一定律表达式系统内能变化是单位质量流体从截面1-1到截面系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面2-2(1)流体通过环境直接获得的热量流体通过环境直接获得的热量，Q e 流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的则，则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是常数是一常数。
伯努利效应
1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面 效应”：流体速度加快时，物体与流体接触的界面上的 压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡 献，这一发现被称为“伯努利效应”。
伯努利效应适用于包括液体和气体在内的一切理想流体， 是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压 强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大， 压强越小；流体的流速越小，压强越大。
伯努利效应（Bernoulli’s Principle）
两纸片内侧气流速度快，压强减小，形成内外侧压力差， 使纸片靠拢
两纸片内侧气流速度快，压强减小，形成内外侧压力差， 使纸片靠拢
比如，管道内有一稳定流动的流体，在管道不同截面处 的竖直开口细管内的液柱的高度不同，表明在稳定流动 中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。这一 现象称为“伯努利效应”。伯努利方程： p+1/2ρv^2+ρgh=常量（其中，p为压强，ρ为流体密度，v 为流体速度，g为重力加速度，h为高度。）。
在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时， 靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就减小， 站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现明显压 强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。
伯努利效应的应用举例：飞机机翼、喷雾器、汽油发动 机的汽化器、球类比赛中的旋转球等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
伯努利方程推导
zg 1 u2 p Const. （1） 2 ——伯努利方程式
适用于不可压缩非黏性流体，无摩擦损失，理 想流体伯努利方程式
对于气体，管路两截面间压力差很小，密度变化很小， 此式适用。
（二）伯努利方程式的物理意义
zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg；
kg
m s2
m
N .m
二 伯努利方程式(机械能衡算）
（一）伯努利方程式(Bernoulli’s equation)
流体无黏性，即流动中无摩擦损失，作稳态流动，管截面
上速度分布均匀。质量流量 qm，管截面积A，
在x方向上对微元段受力分析：
（1）两端面所受压力分别为 pA 及 ( p dp)A
（2）重力的分量
dz dm
gdmgBiblioteka msin gAdx sin gAdz 故合力为
pA ( p dp)A gAdz Adp gAdz
动量变化率 动量原理
qmdu Audu
Audu Adp gAdz
gdz dp udu 0
不可压缩性流体， Const.
J
p
kg
kg kg
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg ；
N / m 2 N.m J
kg / m3
kg
kg
1 u2 ——单位质量流体所具有的动能，J/kg。
2
kg
m2 s2
N.m
J
kg
kg kg
(1)是单位质量流体能量守恒方程式
将(1)式各项同除重力加速度g :
z 1 u2 p Const.
流体力学-04-2 伯努利方程的应用.
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式，流动系统的力学第一定律表达式系统内能变化系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面是单位质量流体从截面1-1到截面2-2流体通过环境直接获得的热量，Q e(1)流体通过环境直接获得的热量流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的，则则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是一常数。
伯努利方程
伯努利方程（Bernoulli equation）伯努利方程（Bernoulli equation）理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。
图为验证伯努利方程的空气动力实验。
补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）均为伯努利方程其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。
伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min （ANR），油杯内油的密度ρ=800kg/m3。
一、一阶线性微分方程二、伯努利(Bernoulli)方程.
P ( x )dx yc ( x) Ce
则方程(9.22)的通解可表示为
y=y(x)=y*(x)+yc(x) 其 中 yc(x) 为 (9.27) 对 应 齐 次 方 程 (9.28) 的 通 解,y*(x)为(9.27)的一个特解.这表明,非齐次方程 (9.27) 的通解为对应齐次方程 (9.28) 的通解与 (9.27)的一个特解之和.这正是定理9.2(2)的结论.
将此式代入式(9.36),得u' e x,积分得
a 1 x
u(x)=ex+C
于是,方程(9.35)的通解为
y=uv=(x+1)a(ex+C) 其中C为任意常数.
例9.8 求方程 y' 2 y tan x 3x cos x 的通解. 解 用常数变易法求解.先求齐次方程 y' 2 y tan x 0 1 的解.分离变量得 dy 2 tan xdx ,积分得 y lny=2lncosx+lnC
称为一阶齐次线性微分方程.
(9.28)
方程(9.27)和(9.28)统称为一阶线性(微分)方
程 . 有时也称方程 (9.28) 为方程 (9.27) 的对应齐次
方程.
1.一阶齐次线性方程的通解
将方程(9.28)分离变量,得 1 dy P( x)dx y 积分得
ln y P( x)dx ln C
于是,方程(9.27)的通解为
P ( x )dx P ( x )dx y uv [ Q( x)e dx C ]e (9.34)
其中C为任意常数.
解法2.常数变易法. 比较非齐次方程 (9.27) 的通解 (9.34) 与其对
应的齐次方程 (9.28) 的通解 (9.29) 可知 , 它们有相
伯努利方程
伯努利方程Bernoulli equation流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
这个理论是由瑞士数学家丹尼尔第一·伯努利在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。
后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。
这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。
流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：式中Z为距离基准面的高度;p为静压力;u为流体速度;ρ为流体密度;g为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N·m/kg，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z不变，上式可简化为：此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
方程的应用伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如：①计算流体从小孔流出的流速设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。
据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为：式中Cd为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g为重力加速度。
伯努利方程
伯努利方程的应用
• 比托管测速
柏努利方程
• 文丘里管
伯努利方程的应用
在船长的航海指南里， 在船长的航海指南里，应当对两条同向并行船只的速 度和容许靠近的距离，加以明确的规定。 度和容许靠近的距离，加以明确的规定。
• 轮船为什么会相撞 轮船为什么会相撞?
•两船之间的水流流速大，压强小 两船之间的水流流速大， 两船之间的水流流速大 •两船外侧的水流流速小，压强大 两船外侧的水流流速小， 两船外侧的水流流速小
伯努利方程的应用
飞机升空的原理
伯努利方程的应用
思考
• 讨论为什么乒乓球中的上旋球的飞行弧线比 讨论为什么乒乓球中的上旋球 上旋球的飞行弧线比
不转球的飞行弧线低 不转球的飞行弧线低
伯努利方程的应用
为什么乒乓球掉不下来？ 为什么纸会向中间靠拢？ 为什么乒乓球掉不下来？ 为什么纸会向中间靠拢？ 理
喷雾器的工作原
u2 机械能—— z + + 机械能 γ 2g p
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位能、压力能和 方程表明，对于理想流体，其位能、 方程表明 动能可以互相转换，但总和不变。 动能可以互相转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量 方程为能量 守恒方程在理想液体中的应用或表现形式。 守恒方程在理想液体中的应用或表现形式。
伯努利方程
适用条件: • 无粘 • 不可压缩 • 重力 • 缓变
1 2 p + ρ v + ρ gh = 常量 2
沿同一流线
动能+重力势能+压力势能=常数
伯努利方程
Bernoulli方程的物理意义 方程的物理意义
1、物理意义 、 位能—— 位能
z
一阶线性微分方程及伯努利方程
3
例1. 解方程
dy
2y
5
(x 1) 2 .
dx x 1
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C , 即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
y
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
2
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x) d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
8
例3. 求方程 dy y a ( ln x)y2 的通解. dx x
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
dy y
dy y
将 x 看作 y 的函数，则是形如 x p( y)x q( y)
的线性微分方程
p( y) 1 q( y) y2
y
5
dx 1 x y2 dy y
通解为 4xy y4 C
6
例3. 求方程
dx xy
2 y
伯努利方程（压力与流量的关系）
伯努利⽅程（压⼒与流量的关系）伯努利⽅程Bernoulli equation流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞⼠数学家D.伯努利在《⽔动⼒学──关于流体中⼒和运动的说明》中提出了这⼀⽅运动⽅程（即欧拉⽅程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热⼒学第⼀定律导出。
它是⼀维流动问题中的⼀个程。
它可由理想流体运动⽅程主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时⼗分重要，常⽤于确定流动过程中速度和压⼒之间的相互关系。
⽅程的形式对于不可压缩的理想流体，密度不随压⼒⽽变化，可得：式中Z为距离基准⾯的⾼度;p为静压⼒;u为流体速度;ρ为流体密度;g为重⼒加速度。
⽅程中的每⼀项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N·m/kg，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
⽅程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在⽔平管道中流动时Z不变，上式可简化为：此式表述了流速与压⼒之间的关系:流速⼤处压⼒⼩,流速⼩处压⼒⼤。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截⾯为基准,则⽅程的形式成为：式中每⼀项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压⼒⽽变化。
若这⼀变化是可逆等温过程，则⽅程可写成下式：若为可逆绝热过程，⽅程可写为：式中γ为定压⽐热容c p和定容⽐热容c V之⽐，即⽐热容⽐，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截⾯上存在着速度分布，如⽤平均流速ū表达动能项，应对其乘以动能校正系数α。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻⼒,即造成单位质量流体的机械能损失h f，若在流体流动过程中，单位质量流体⼜接受了流体输送机械所做的功W，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截⾯1和2为基准，则⽅程可扩充为：α值可由速度分布计算⽽得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
⽅程的应⽤伯努利⽅程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可⽤来分析计算⼀些实际问题，例如：①计算流体从⼩孔流出的流速设在容器中盛有液体，液⾯维持不变,距液⾯下h处的容器壁⾯上开有⼀⼩孔，液体在重⼒作⽤下⾃⼩孔流出。
伯鲁利方程
伯鲁利方程摘要：1.伯鲁利方程的定义2.伯鲁利方程的推导过程3.伯鲁利方程的应用领域4.伯鲁利方程与其他数学方程的关系5.我国对伯鲁利方程的研究和应用正文：伯鲁利方程（Bernoulli equation）是一种描述流体动力学中流速、压力和高度之间关系的数学方程。
它由瑞士数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在18 世纪提出，是流体力学中非常重要的一个方程。
伯鲁利方程的推导过程基于质量守恒、动量守恒和能量守恒定律。
在假设流体是不可压缩的、粘度为零的条件下，伯努利将流体分为上、中、下三个部分，并利用守恒定律推导出了这个方程。
伯鲁利方程在许多领域都有广泛的应用，包括气象学、航空学、水利工程、流体力学等。
在气象学中，伯鲁利方程可以用来分析气流的速度和压力分布，预测天气变化；在航空学中，它可以帮助设计师优化飞机的气动性能；在水利工程中，伯鲁利方程可以指导工程师设计水利设施，提高水电站的发电效率。
伯鲁利方程与其他数学方程，如欧拉方程（Euler equation）和纳维- 斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）等密切相关。
欧拉方程是流体力学的基本方程，描述了流体的速度、压力和密度之间的关系；纳维- 斯托克斯方程则描述了粘性流体的运动规律。
伯鲁利方程可以看作是欧拉方程在特定条件下的简化形式，而纳维- 斯托克斯方程则是伯鲁利方程的推广。
我国对伯鲁利方程的研究和应用有着悠久的历史。
自20 世纪初以来，我国学者就开始研究流体力学中的伯鲁利方程，并将其应用于各种工程实践中。
近年来，随着我国科技实力的不断提升，对伯鲁利方程的研究也取得了丰硕的成果。
总流伯努利方程中各项意义
总流伯努利方程中各项意义流体力学中的伯努利方程是描述流体在相对稳定流动时能量守恒的一个重要方程。
该方程以瑞士科学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的名字命名，他在18世纪中期首次引入了这个方程。
伯努利方程在流体力学、空气动力学和水力学等领域具有广泛的应用，被用来解决气体或液体在流动过程中的问题。
伯努利方程可以用来描述不可压缩流体在没有粘性损失、无外力力场和恒温条件下沿流线流动时，单位质量的流体所具有的总机械能（动能和势能）保持不变。
方程的一般形式如下：P + ρgh + ½ρv² = constant其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，g表示重力加速度，h表示高度（流体从参考位置的垂直距离），v表示流体的速度。
伯努利方程中各项的意义如下：1.压力（P）：压力项表示单位面积上的力对流体施加的作用，从而改变流体的动能。
压力越高，单位质量流体的机械能就越高。
2. 重力势能（ρgh）：重力势能项表示流体的高度能对流体施加的作用。
流体在上升时，势能增加；流体在下降时，势能减小。
流体在垂直方向上的运动会通过重力势能的变化来转换其动能。
3.动能（½ρv²）：动能项表示流体的运动能对流体施加的作用。
当流体速度增加时，单位质量的动能就增加了。
4.总机械能：伯努利方程描述的是单位质量的流体所具有的总机械能保持不变。
这意味着如果没有能量的输入或损失，流体在不同位置的总机械能是相等的。
在稳态流动中，沿流线的压力、高度和速度的变化相互关联，通过这个方程可以求解流体的流速、压力和高度的变化。
伯努利方程的应用非常广泛，常被用来分析流体经过管道、喷嘴、扩散器、收缩器等装置时的流动情况。
通过使用伯努利方程，可以计算出流体在不同位置的速度和压力，并用于解决实际工程问题。
需要注意的是，伯努利方程是针对不可压缩流体和理想条件下的描述。
在实际流动中，流体的粘性和不可压缩性往往会引入能量损失，因此在涉及到高速、密度变化大或粘性流体的问题中，伯努利方程的应用需要结合其他流体力学原理进行修正和分析。
伯努利方程及其应用
伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用一、伯努利简介1.生平简介：伯努利，d．(danielbernoulli1700～1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。
1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。
著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家j．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
1721年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。
在1725～1749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
2.成就简介：(1)在物理学方面：①1938年出版发行了《流体动力学》一书，共13章。
这就是他最重要的著作。
书中用能量守恒定律化解流体的流动问题，写下了流体动力学的基本方程，后人称作“伯努利方程”，明确提出了“流速减少、应力减少”的伯努利原理。
②他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应，建立了分子运动理论和热学的基本概念，并指出了压强和分子运动随温度增高而加强的事实。
③从1728年起至，他和欧拉还共同研究触感而存有弹性的链和梁的力学问题，包含这些物体的均衡曲线，还研究了弦和空气柱的振动。
④他曾因天文测量、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的平衡、土星和木星的圆形运动和振动理论等成果而得奖。
（2）在数学方面：有关微积分、微分方程和概率论等，他也做了大量而重要的工作二、伯努利方程1.定义：充分反映理想流体运动中速度、应力等参数之间关系的方程式。
伯努利方程就是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
2.伯努利方程概述：理想单轴流体在有势体积力促进作用UX21LI2677E定常运动时，运动方程沿流线分数而获得的抒发运动流体机械能动量的方程。
伯努利位移方程
伯努利位移方程
伯努利位移方程是流体力学中的基本方程之一，它描述了流体在不可压缩、无粘性流动时，流体的速度、压强和高度之间的关系。
具体来说，伯努利位移方程可以表示为：
p + ρgh + 0.5 × ρ × v^2 = C
其中，p表示压强，ρ表示密度，g表示重力加速度，h表示高度，v表示速度，C表示常数。
这个方程表明，在不可压缩、无粘性的流动中，流体的压强、高度和速度之间存在一定的关系。
具体来说，当流体的速度增加时，压强会减小；当流体的速度减小时，压强会增加。
这个方程的来源是基于伯努利定理，即在不可压缩、无粘性的流动中，流体的动能和势能之和保持不变。