配套K12高三数学专题复习 中档题满分练(2)理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
中档题满分练(二)
1.已知函数f (x )=2a sin ωx cos ωx +23cos 2
ωx -3(a >0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π.
(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程;
(2)若f (α)=43,求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4α+π6的值.
2.(2015·温州模拟)对于给定数列{a n },如果存在实常数p ,q ,使得a n +1=pa n +q 对于任意n ∈N *都成立,我们称数列{a n }是“M 类数列”.
(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n =3n ,求它对应的实常数p ,q 的值;
(2)若数列{c n }满足c 1=-1,c n -c n +1=2n (n ∈N *),求数列{c n }的通项公式,判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由.
3.(2015·金华模拟)在如图所示的空间几何体中,平面ACD ⊥平面ABC ,△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形,BE =2,BE 和平面ABC 所成的角为60°,且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上.
(1)求证:DE ∥平面ABC ;
(2)求二面角E -BC -A 的余弦值.
4.(2015·金华十校联考)已知f (x )的定义域为R ,且当x ,y ∈R 时,恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).
(1)求f (0)的值;
(2)证明:f (x )是奇函数;
(3)如果x >0时,f (x )<0,且f (1)=-12
,试求使f (x 2-2ax -1)≤1对x ∈[2,4]恒成立的实数a 的取值范围.
中档题满分练(二)
1.解 (1)f (x )=a sin 2ωx +3cos 2ωx =a 2+3sin(2ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ=
3a , 由题意知:f (x )的最小正周期为π,由2π2ω
=π,知ω=1, 由f (x )最大值为2,故a 2+3=2,又a >0,∴a =1,tan φ=3,φ=π3
. ∴f (x )=2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x +π3, 令2x +π3=k π+π2,得x =π12+k π2
(k ∈Z ). 故f (x )的对称轴方程为x =π12+k π2
(k ∈Z ). (2)由f (α)=43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=43,即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α+π3=23, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α+π6=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫2α+π3-π2=-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3 =-1+2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=-1+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232
=-19. 2.解 (1) ∵b n =3n ,则b n +1=3n +3=b n +3,
由“M 类数列”定义,得p =1,q =3.
(2)∵c n -c n +1=2n (n ∈N *
),
∴c n +1-c n =-2n (n ∈N *),
则c 2-c 1=-2,c 3-c 2=-4,c 4-c 3=-8,…
∴c n -c n -1=-2n -1(n ≥2),
以上式子累加得
c n =-(1+2+4+…+2n -1)=1-2n (n ≥2),
其中c 1=-1也满足上式.
因此c n =1-2n (n ∈N *),
则c n +1=1-2n +1=2(1-2n
)-1=2c n -1, {c n }是“M 类数列”.
3.(1)证明 由题意知,△ABC ,△ACD 都是边长为2的等边三角形,如图所示
,取AC 中点O ,连接BO ,DO ,则BO ⊥AC ,DO ⊥AC ,BO 平分∠ABC .
又∵平面ACD ⊥平面ABC ,∴DO ⊥平面ABC ,作EF ⊥平面ABC ,
那么EF ∥DO ,根据题意,点F 落在BO 上,
∴∠EBF =60°,易求得EF =DO =3,
∴四边形DEFO 是平行四边形,
∴DE ∥OF ,又DE ⊄平面ABC ,OF ⊂平面ABC ,∴DE ∥平面ABC .
(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ,
可知平面ABC 的一个法向量为n 1=(0,0,1),B (0,3,0),C (-1,0,0),E (0,3-1,
3),∴BC →=(-1,-3,0),BE →
=(0,-1,3),设平面BCE 的一个法向量为n 2=(x ,y ,
z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →
=0,n 2·BE →=0,可求得n 2=(-3,3,1).
所以cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1313
, 又由图知,所求二面角的平面角是锐角,
所以二面角E -BC -A 的余弦值为1313
. 4.(1)解 ∵对任意实数x ,y 有f (x +y )=f (x )+f (y ), ∴令x =y =0得f (0)=2f (0),
∴f (0)=0.
(2)证明 ∵f (x )的定义域为R ,
∴f (x )的定义域关于原点对称.
又令y =-x ,则有f (0)=f (x )+f (-x ),
∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.
(3)解 设x 1,x 2∈(-∞,+∞),x 1<x 2,
∵x 2>x 1,∴x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0,
f (x 2)<f (x 1),∴f (x )是R 上的减函数.
∵f (1)=-12,∴f (-1)=12
,∴f (-2)=1. ∴不等式f (x 2-2ax -1)≤1即是f (x 2
-2ax -1)≤f (-2), ∴x 2-2ax -1≥-2,
即x 2-2ax +1≥0对x ∈[2,4]恒成立. 法一 即a ≤x 2+12x
对x ∈[2,4]恒成立. 令g (x )=x 2+12x
,则由g (x )在x ∈[2,4]上单调递增, ∴g (x )min =g (2)=1+14=54,∴a ≤54
. 法二 令φ(x )=x 2
-2ax +1(x ∈[2,4]),
当a <2时,φ(x )在[2,4]上单调递增,
φ(x )min =φ(2)=5-4a ≥0,解得a ≤54
, 故a ≤54
满足题意; 当2≤a ≤4时,φ(x )min =φ(a )=1-a 2≥0,
解得-1≤a ≤1,此时与2≤a ≤4矛盾;
当a >4时,φ(x )在[2,4]上单调递减,