三角形中位线课件.ppt
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三角形中位线ppt课件
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
AEF
D
B
MN
C
22
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
10
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
2
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
3
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点
18
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
三角形的中位线ppt课件
∴AB= + = + =13.
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
三角形中位线课件.ppt
平行于第三边且等于第三边的一半)，
∴△ACG∽△DEG
∴ GE GD DE 1
GC AG AC 2
∴ GE GD = 1
CE AD
3
1.三角形中位线的定义
连结三角形两边中点的线段叫三角形的 中位线. 2.三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等 于第三边的一半.
新定理的应用意义：
2.一个三角形中位线有___条,它们的连 线组成的三角形和原三角形是否相 似?____；若相似，相似比是___。
（3条，是，1 ） 3.三角形周长为2 10厘米，则它的三条中
位线围成的三角形周长是——厘米.
（5厘米）
4.三角形面积为20平方厘米，则它的三条 中位线围成的三角形面积是多少?
(5平方厘米)
DE与BC的关系（从位置和数量关系 猜想）
A DE
已知：如图，D、E分别是 △ABC的边AB、AC的中点.
B
C 猜想：DE∥BC，DE 1 BC
2
证一证： ∵D、E是△ABC的中点（已知）
∴ AD AE 1
AB AC 2
又∵∠A=∠A
A
∴ △ADE ∽ △ABC （SAS） ∴ ∠ADE= ∠ABC 且 DE 1
而寻证平行四边形的条件可活用我们新 学的中位线性质，易得：
∵ DE是中位线 ∴ DE∥AC 且 DE＝AF= 12AC， 同理 EF∥AD 且 EF ＝AD
A
分析3：用综合法 D
F
B
E
C
由D,E,F是各边中点，
可连结中位线DE, EF，
再由中位线性质得：
DE=AF=
1 2
AC,
1
EF=AD=2 AB
∴△ACG∽△DEG
∴ GE GD DE 1
GC AG AC 2
∴ GE GD = 1
CE AD
3
1.三角形中位线的定义
连结三角形两边中点的线段叫三角形的 中位线. 2.三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等 于第三边的一半.
新定理的应用意义：
2.一个三角形中位线有___条,它们的连 线组成的三角形和原三角形是否相 似?____；若相似，相似比是___。
（3条，是，1 ） 3.三角形周长为2 10厘米，则它的三条中
位线围成的三角形周长是——厘米.
（5厘米）
4.三角形面积为20平方厘米，则它的三条 中位线围成的三角形面积是多少?
(5平方厘米)
DE与BC的关系（从位置和数量关系 猜想）
A DE
已知：如图，D、E分别是 △ABC的边AB、AC的中点.
B
C 猜想：DE∥BC，DE 1 BC
2
证一证： ∵D、E是△ABC的中点（已知）
∴ AD AE 1
AB AC 2
又∵∠A=∠A
A
∴ △ADE ∽ △ABC （SAS） ∴ ∠ADE= ∠ABC 且 DE 1
而寻证平行四边形的条件可活用我们新 学的中位线性质，易得：
∵ DE是中位线 ∴ DE∥AC 且 DE＝AF= 12AC， 同理 EF∥AD 且 EF ＝AD
A
分析3：用综合法 D
F
B
E
C
由D,E,F是各边中点，
可连结中位线DE, EF，
再由中位线性质得：
DE=AF=
1 2
AC,
1
EF=AD=2 AB
三角形的中位线ppt课件
3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展 推理论证的能力． 重点：探索并证明三角形中位线定理．
新知探究 你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
课堂小结
1.三角形中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半． 2.我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，又可以用平行四边形 知识研究三角形的问题.
谢谢观看
新知探究
①△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形. ②将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到 了一个与△ABC面积相等的平行四边形.
新知探究
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，
能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE.
在△ABC中，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=
1 2
BC
.Hale Waihona Puke ADEB
C
知识训练 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，E，F分别是BC， AC，AB的中点，则四边形AEDF的周长为____1_8___；Rt△ABC的中位线 分别是___D_E_，__D__F__；斜边上的中线是___C_F___，其长为___5___.
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
A
DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
第六章 平行四边形
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展 推理论证的能力． 重点：探索并证明三角形中位线定理．
新知探究 你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
课堂小结
1.三角形中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半． 2.我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，又可以用平行四边形 知识研究三角形的问题.
谢谢观看
新知探究
①△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形. ②将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到 了一个与△ABC面积相等的平行四边形.
新知探究
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，
能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE.
在△ABC中，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=
1 2
BC
.Hale Waihona Puke ADEB
C
知识训练 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，E，F分别是BC， AC，AB的中点，则四边形AEDF的周长为____1_8___；Rt△ABC的中位线 分别是___D_E_，__D__F__；斜边上的中线是___C_F___，其长为___5___.
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
A
DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
人教版数学八下《第4课时 三角形的中位线》教学课件(共16张PPT)
用符号语言表示：
A
D
E
B
C
合作探究
如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，
求：四边形DECF的周长．
CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接FC,DC,AF．
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 问题3：三角形的中位线有什么性质？ 问题2：三角形的中位线与中线一样吗？ 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
∴四边形ADCF是平行四边形，CF 1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段．
DA ．
∵AE＝CE，ED＝EF，
∴CF BD． ∵AE＝CE，ED＝EF，
连接各边中点所成三角形的周长为_________．
D
（1）表示位置关系------平行于第三边；
E
F
∴四边形BCFD是平行四边形． 求：四边形DECF的周长．
一个三角形共有三条中位线． 得到结论：三角形的中位线定理
∴DF BC． 连接各边中点所成三角形的周长为_________．
区分三角形的中位线与中线： 证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接FC,DC,AF．
B
C
“ ”表示平行且相等．
1
2
合作探究
得到结论：三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2． 如果等边三角形的边长为3cm，那么连接各边中点所 成的三角形的周长_4_．__5_c_m_．
随堂检测
3．已知，如图，D、F、E是△ABC的中点．
（1）若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为 __6__ ．
《三角形的中位线》PPT课件
A
D
E
F
B
.
C
7
思考：
A
D
EF
B
C
❖ 四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
答：四边形DBCF是平行四边形。
由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称
则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF
又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF
所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
·
C
F
动画演示，验证结论
A
D
EBC来自概念：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
.
5
想一想：
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点
猜想,三角形中位线有什么性质?
.
6
交流讨论，问题探究（二）
将ΔADE绕着点E按顺时针方向旋转180°到ΔCFE的位置，这 样得到四边形DBCF。
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
A
D
E
B
F
C
分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等.
证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
D EB FF.C EF AD D.B FD C EE.A
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
课堂小结
1.三角形中位线的概念。
2.性质定理:三角形的中位线平行于第 三边,且等于第三边的一半.
D
E
F
B
.
C
7
思考：
A
D
EF
B
C
❖ 四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
答：四边形DBCF是平行四边形。
由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称
则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF
又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF
所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
·
C
F
动画演示，验证结论
A
D
EBC来自概念：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
.
5
想一想：
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点
猜想,三角形中位线有什么性质?
.
6
交流讨论，问题探究（二）
将ΔADE绕着点E按顺时针方向旋转180°到ΔCFE的位置，这 样得到四边形DBCF。
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
A
D
E
B
F
C
分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等.
证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
D EB FF.C EF AD D.B FD C EE.A
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
课堂小结
1.三角形中位线的概念。
2.性质定理:三角形的中位线平行于第 三边,且等于第三边的一半.
《三角形的中位线》ppt课件
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
H A
∴EF//AC，EF 1 AC．
2
同理，GH//AC，GH
1
AC．
2
E B
∴EF//GH，且EFGH．
F
∴四边形EFGH是平行四边形．
D G C
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．
2. △ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、CA的中点，则
求证：A1B1=B1C1
分析：证明“线段相等” 常利用全等 添加辅助线构造全等
证明：过点B1作EF∥AC，分别交直线
l1 、 l3于点EF.
A
A1 E
l1
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
B
∴EB1=AB，B1F=BC.
C
B1
l2
F
C1
l3
∵AB=BC，
∴EB1=B1F.
探究
已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交 直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC.
布置作业
教科书第85页习题19.2 第12题、第15题.
课程结束
拓展
【中点三角形】 顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形.
A
D
E
B
F
C
中点三角形的周长是原三角 形的周长的一半.
中点三角形的面积是原三角形 的面积的四分之一
随堂练习
1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．在△ABC中，
中位线是连接三角形两边中点的线段.
《三角形的中位线定理》PPT课件 (共28张PPT)
6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形 的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四 边形是什么？
菱形
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
(2)请增加一个条件使得四 边形ADFE为菱形。 (3)请增加一个条件使得四 边形ADFE为矩形。
A
H D E G F C
四边形BCFD是平行四边形吗?说 说你的理由!
F
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点， E是AC的中点。 1 求证： DE∥BC, DE= BC.
A
E B D C
2
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
F
得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 B两点的距离是多少？为什么？
M 20 C
A
40
N
B
A
E
F
C
D
H G
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边 形EFGH的周长是 11 。
三角形的中位线ppt教学课件
三角形的中位线性质
❖ 定理:三角形的中位线平行于第三边,且 等于第三边的一半.
❖ 已知:如图,DE是△ABC的中位线.
❖ 求证:DE∥BC,DE=0.5BC
A
D
E
B
C
做一做
❖ 如图,任意作一个四边形,并将其四边的 中点依次连接起来,得到一个新的四边形, 这个新四边形的形状有什么特征?
D H
A G
水，M2 20oC
图0-1 传热学与热力学的区别
(2) 传热学以热力学第一定律和第二定律为基础，即 始终从高温热源向低
温热院传递，如果没有能量形式的转化，则 始终是守恒的
3 传热学应用实例
自然界与生产过程到处间里气体的温度在夏天和 冬天都保持20度，那么在冬天与夏天、人在房间里所 穿的衣服能否一样？为什么？ b 夏天人在同样温度（如：25度）的空气和水中的感 觉不一样。为什么？ c 北方寒冷地区，建筑房屋都是双层玻璃，以利于保 温。如何解释其道理？越厚越好？
0.05
硅藻土砖：
q tw1 tw2 0.242 300 100 4.84102 W m2
0.1
讨论：由计算可见， 由于铜与硅藻土砖导热系数的巨大差 别， 导致在相同的条件下通过铜板的导热量比通过硅藻土 砖的导热量大三个数量级。 因而，铜是热的良导体， 而 硅藻土砖则起到一定的隔热作用
2 对流（热对流）(Convection)
(2) 建筑环境与设备工程专业领域大量存在传热问题
例如：热源和冷源设备的选择、配套和合理有效利用； 供热通风空调及燃气产品的开发、设计和实验研究；各 种供热设备管道的保温材料及建筑围护结构材料的研制 及其热物理性质的测试、热损失的分析计算；各类换热 器的设计、选择和性能评价；建筑物的热工计算和环境 保护等。
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A D F C
B
E
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？ A
C
B
课堂检测:
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上, 且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E 是AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位 线.
1 ∴DE∥BC且DE= 2 BC
B B A D E
C
D
E
F
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
E
D
B 途用
C
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别 AB、AC的中点 是AB、AC、BC的中点
E
C
1 数量关系： DE= BC. 2
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E 是AC的中点. 1 则有： DE∥BC, DE= BC.
A
D B E C
2
解题分析2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
得CF=AD , CF//AB
又可得CF=BD,CF//BD
A
所以四边形BCFD是平行四边形
证明:连接DE、EF，因为 AD=DB，BE=EC，
A
D
F
所以DE ∥AC（三角形的中位线平 行于第三边并且等于第三边的一 半）。
同理EF ∥AB。 所以四边形ADEF是平行四边形。
B
E
因此AE、DF互相平分。（平行四 C边形的对角线互相平分）
定理应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开, M 在没有任何测量工具的情况下,小 明通过学习,估测出了A,B两地之 间的距离:先在AB外选一点C,然后 C N 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
D G
B F C
证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线 EF// 1 AC 2 1 GH// AC 同理得： 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？ 要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
E C A
l1
它与点与点的距离、 点到直线的距离的 联系与区别
F
D
B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD、EF都垂直与 l2 ，垂足分别为B、D、F，则 AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
平行线间的距离处处相等
③ 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， ①若∠ADE=65°，则∠B= 65 度，为什么？ 9cm 则△DEF的周长=______ E ②若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ 12 ④ 若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
3 ⑤ 图中有_____个平行四边形 6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
∟
∟
∟
l2
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在 l1 上，B、D、F在 l2 上，则AB、 CD、EF的长短相等吗？为什么？
E C A
l1
l2 F D B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
B
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P 是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明。
A E H
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
E
1 1 则有DE//BC,DE= DF= BC 2 2
F C
B
解题分析 3.
A
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴CF∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 1 又DE= 2 DF
B
F
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE与DF互相平分.
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A
概念对比
E D
A
DHale Waihona Puke 中线DC中位线DE
B
C B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点 是三角形的顶点。
想一想
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系?
A
D
B
DE和边BC关系
位置关系： DE∥BC
B
E
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？ A
C
B
课堂检测:
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上, 且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E 是AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位 线.
1 ∴DE∥BC且DE= 2 BC
B B A D E
C
D
E
F
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
E
D
B 途用
C
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别 AB、AC的中点 是AB、AC、BC的中点
E
C
1 数量关系： DE= BC. 2
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E 是AC的中点. 1 则有： DE∥BC, DE= BC.
A
D B E C
2
解题分析2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
得CF=AD , CF//AB
又可得CF=BD,CF//BD
A
所以四边形BCFD是平行四边形
证明:连接DE、EF，因为 AD=DB，BE=EC，
A
D
F
所以DE ∥AC（三角形的中位线平 行于第三边并且等于第三边的一 半）。
同理EF ∥AB。 所以四边形ADEF是平行四边形。
B
E
因此AE、DF互相平分。（平行四 C边形的对角线互相平分）
定理应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开, M 在没有任何测量工具的情况下,小 明通过学习,估测出了A,B两地之 间的距离:先在AB外选一点C,然后 C N 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
D G
B F C
证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线 EF// 1 AC 2 1 GH// AC 同理得： 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？ 要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
E C A
l1
它与点与点的距离、 点到直线的距离的 联系与区别
F
D
B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD、EF都垂直与 l2 ，垂足分别为B、D、F，则 AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
平行线间的距离处处相等
③ 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， ①若∠ADE=65°，则∠B= 65 度，为什么？ 9cm 则△DEF的周长=______ E ②若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ 12 ④ 若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
3 ⑤ 图中有_____个平行四边形 6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
∟
∟
∟
l2
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在 l1 上，B、D、F在 l2 上，则AB、 CD、EF的长短相等吗？为什么？
E C A
l1
l2 F D B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
B
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P 是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明。
A E H
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
E
1 1 则有DE//BC,DE= DF= BC 2 2
F C
B
解题分析 3.
A
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴CF∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 1 又DE= 2 DF
B
F
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE与DF互相平分.
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A
概念对比
E D
A
DHale Waihona Puke 中线DC中位线DE
B
C B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点 是三角形的顶点。
想一想
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系?
A
D
B
DE和边BC关系
位置关系： DE∥BC