例谈高考中三视图的考查视角
对高考三视图试题的分析与思考
对高考三视图试题的分析与思考三视图是新课程中增加的内容之一，对于这部分内容，与立体几何中有关的证明计算问题交汇在一起进行考查已成为高考命题的新热点。
高考中对空间几何体的三视图的考查，主要有三个层次的要求：能画、能识别和能运用。
因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下三种基本题型。
一、以几何体为载体，考查三视图的画法《课标》指出：能画出简单空间图形的三视图.即要求学生在给出简单几何体的条件下，能够根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的定义，画出其三视图。
画图时学生应注意三视图的特点“主左一样高, 主俯一样长，俯左一样宽”。
例1（2011 全国卷）在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）解析：由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故选D。
点评：本题是考查三视图的作法，属于三视图的基本题型，但由几何体的正视图、俯视图要求学生确定侧视图，构思独特，能考查学生的基本功及逻辑思维能力、推理能力和空间想象能力。
二、给出三视图，考查几何体的体积、表面积等高考以三视图还原几何体为载体，结合面积和体积的计算进行命题。
2011 年天津、安徽、北京、湖南等多个省市都以此题型命题。
例2（2011 湖南卷）右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）解析：本题是球和长方体的组合体，故体积V=32×2+43π（32）3=18+92π。
点评：以球和长方体的组合体为背景，以三视图基础知识为依托，考查学生运用三视图的基本知识以及空间想象、逻辑思维的能力和计算能力。
如果将俯视图的外接正方形去掉，那么几何体变成由球和圆柱组合而成，就变成了另一道题。
三、给出三视图考查原几何体中有关元素的平行垂直关系以三视图为载体，考查还原几何体中平行垂直的证明及空间角、空间距离的计算，体现三视图在立体几何中的基础性，充分发挥三视图的载体功能，将立体几何的重要知识点有机地结合在一起。
高考有方法——三视图解题超级策略
高考有方法——三视图解题超级策略一、三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、还原三视图的常用方法1、方体升点法；2、方体去点法（方体切割法）；3、三线交汇得顶点法方法一方体升点法例1：(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为() A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.跟踪训练1.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练2.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练3.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.方法二方体去点法例2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练4.如图所示为三棱锥的三视图，主视图、侧视图是直角边长为4，宽为3 的直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练5.如图所示为三棱锥的三视图，三视图是直角边长为4等腰直角三角形，虚线为中线，求三棱锥的表面积或体积.方法三三线交汇得顶点法例3：如图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）A．62 B． 6 C．42 D． 4正确答案是 B．解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可跟踪训练6.首先在正方体框架中描出主视图，并将轮廓的边界点平行延长，如图．类似地，将俯视图和侧视图也如法炮制．这样就可以找到三个方向的交叉点．由这些交叉点，不难得到直观图．练习1、练习2、练习1答案：练习2答案：跟踪训练7.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是直角边长为4 等腰直角三角形，侧视 图是边长为4 的正方形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练8. 如图所示为四棱锥的三视图，主视图是边长为4 的正方形，侧视图是直角边 长为4 等腰直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练9.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是长为4，高为5 的长方形，侧视图的 长为3 的长方形，俯视图为直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.三视图练习1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.4042+2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）D A 、8π B 、252π C 、12π D 、414π 4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）AA 、23B 、43C 、83D 、2 5、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）D （A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） C A. 1727 B. 59C. 1027D. 137、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A(A) (B) (C)(D)8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ）9、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）D10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.4244C D B PAO y x z(0,1,1)(0,0,0)(1,0,1)(1,1,0)D D 1C 1B 1111、已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为_____________.20或1612、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于_____________.13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.14、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 15、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）816、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C )A .62B .42C .6D .4 17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 22222CAP B 3383323。
高中数学三视图解题技巧
高中数学三视图解题技巧在高中数学中，三视图是一种常见的解题方法，尤其在几何题中应用广泛。
通过三视图，我们可以更加直观地理解和解决问题。
本文将介绍一些常见的三视图解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一解题方法。
一、什么是三视图三视图是指一个物体或图形从不同方向观察时所得到的三个视图，通常包括俯视图、前视图和侧视图。
通过这三个视图，我们可以全面了解物体或图形的形状和特征，从而解决与其相关的问题。
二、三视图解题的基本步骤1. 确定视图方向：在解题过程中，首先要确定俯视图、前视图和侧视图的方向，通常俯视图在上方，前视图在中间，侧视图在下方。
2. 观察图形特征：通过观察三个视图，分析图形的特征，如边长、角度、对称性等。
3. 建立关系：根据观察到的特征，建立各个视图之间的关系，找出它们之间的联系。
4. 运用几何知识：根据建立的关系，运用几何知识进行推理和计算，解决问题。
三、三视图解题的考点1. 图形的投影：在三视图中，图形的投影是一个重要的考点。
投影是指物体在不同方向上的阴影，通过观察投影，我们可以确定图形的形状和位置。
例如，某题给出了一个正方体的三视图，要求求解正方体的体积。
通过观察侧视图，我们可以发现正方体的高度，然后根据俯视图和前视图中的边长信息，计算出正方体的体积。
2. 图形的对称性：在三视图中，图形的对称性也是一个重要的考点。
通过观察三个视图，我们可以判断图形是否具有对称性，并利用对称性进行计算。
例如，某题给出了一个立方体的三视图，要求求解立方体的表面积。
通过观察俯视图和前视图，我们可以发现立方体的两个相对面是相等的，根据对称性，我们可以利用这个特点计算出立方体的表面积。
3. 图形的位置关系：在三视图中，图形的位置关系也是一个重要的考点。
通过观察三个视图，我们可以确定图形之间的位置关系，并利用位置关系进行计算。
例如，某题给出了一个平行四边形的三视图，要求求解平行四边形的面积。
三视图题型示例
三视图题型示例三视图题型是一种考查学生在空间思维能力和分析解决问题能力上的考试题型，它涉及不同视角、深度、宽度来检验考生的思维活动和分析能力。
其核心是要求考生在观察、理解、思考的基础上，利用多种视角应用多种思维方式来进行思考分析，从而深刻理解问题、发现解决问题的有效途径，从而得出正确答案。
三视图题型一般包括3组不同视角的图形，如正视图、侧视图和俯视图，考生首先应阅读题干，了解其整体解题意图，然后根据三视图的衔接关系，把握三视图的关联性，如图形的形状、结构及大小等，以及三视图之间的空间关系，综合运用立体思维进行比较、分析、总结，最终得出正确答案。
举个例子，如下图所示：由正视图和侧视图可以看出，一个平面图形有2个等腰三角形。
而俯视图可以看出，这2个等腰三角形是围成一个正方形，答案为正方形。
根据以上分析，我们可以看出，三视图题型考查的是考生空间思维能力和分析解决问题的能力，考生可以结合实际的情况，运用空间思维来处理三视图中的空间关系，从而更准确的解答三视图问题。
虽然三视图题型在教育测试中受到重视，但是解答三视图问题仍有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师要加强对学生立体思维及分析解决问题能力的培养，努力提高学生解决问题的能力，使学生能够熟练掌握三视图题型，提高解决问题的水平，为考生备考提供有效的帮助。
首先，在教学过程中，教师要让学生了解三视图分析、思考的过程，例如要求学生先观察多视图图形的形状、大小、结构，然后了解不同视图中图形关系和空间结构，最后尝试利用多种视角应用多种思维方式来解决问题，学习如何应用立体思维。
其次，要求学生尝试画出三视图的图形，并做出相应的思考分析和衔接，加深学生对三视图的理解；另外，教师也可以让学生做一些三视图的练习，比如给出一些让学生完成的三视图的问题，教师也可以以讲解的方式，让学生尝试自己解答，检查学生的观察、理解和思考的能力，以及实际解决问题的能力。
最后，教师还可以结合实际，让学生更多的练习三视图题型，增强学生的解决问题的能力，同时也可以利用多媒体资源，让学生有更多的方式去理解和解决问题，从而让学生能够更好的掌握三视图题型，加深对三视图问题的理解，有助于提高学生的解题能力。
出一道高考题谈谈三视图的教学
图。同时画出三视 图应注意 以下
问题 ：
是 艺 术 的 内 隐特 征 。 数学 教 学 作 为一 门科 学 ， 要 运 用 理 主 性， 以理 服 人 。作 为 一 门 艺 术 ， 主要 运 用 情 感 ， 情感 人 。 则 以 首 先 ， 学 不 仅 是 教 与 学 的 关 系 是 师生 情 感 交 流 和 交 教 也
索、 断总结 、 不 不断完善 自己的课 堂教 学语 言 ， 达到数学教 界 线 和 可 见 轮 廓 线 都 用 实 线 画 学 语 言 的 科 学 性 、 术 性 的 辩 证 统 一 ， 而 有 效 地 促 进 自 艺 从 出 ， 可 见 轮 廓线 用虚 线 画出 。 不 身的发展 ， 自己成为一名优秀 的中学数学教师。 使
、
精确性和逻辑性。课堂语言 的精确性 ， 有助于学生
锥 的全面积 （ 位 ： 单
ｃ 为 （ ｍ） ）
形成正确 的概 念和准确 的判断。教 学语言应做 到惜字如
金 、 字 斟 酌 、 句 推敲 ， 样 才 能 揭 示 客 观 事 物 的 本 质 特 字 句 这 征 ， 学 生 以清 晰 、 给 明澈 正 确 的认 识 。不 能 用 自己生 造 的 词 句 或 地 方 方 言来 表 达 概 念 、 质 、 理 等 。 性 定
Ａ４ ＋１ 、 ．８ ２ ／２
△Ａ Ｆ为 正 视 图 ， Ｃ 为 Ｅ △Ｂ Ｄ
Ｂ４ ＋ ４ ／２ ．８ ２ 、
Ｃ３ ＋ｌ 、 ．６ ／２ ２ Ｄ３ ＋ ４ ／２ ．６ ２ 、
俯视 图 ， 同样 可 以 画出 侧视 图。
二、 形象性和趣味性 。形象性语言 能增强直观性 ， 以形 通 过 这 个 题 目 的解 答 ，我 们 动人 ， 使抽象 的数学概念和原理形象化、 具体化 ， 深奥的知
求解三视图问题的思路
三视图问题的常见命题形式有：由三视图判断原几何体的形状，求原几何体的体积、表面积、侧面积.此类问题侧重于考查简单空间几何体的性质、体积公式、表面积公式.求解三视图问题的步骤为:（1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体；（2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长；（3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体；（4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解.由三视图画几何体时，要注意侧视图的高、正视图的长、俯视图的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的长与俯视图的长相等，正视图的高的长度与侧视图的高的长度相等，侧视图的宽与俯视图的宽相等.例1.若图1是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积等于_______．图1图2解：观察图1中的三视图，可以判断出该几何体是将正方体截去一“角”剩下的部分，如图2所示.由三视图中的数据可知截去的一“角”为三棱锥D -ABC ，其侧棱长为1，且三条侧棱两两互相垂直，所以ΔABC 是边长为2的等边三角形，则S ΔABC=()22=几何体中有三个面被截去一个边长为1的等腰直角三角形，其面积为S 1=22-12=72，而几何体的另外三个面为完整的正方形，其面积为S 2=22=4，所以几何体的表面积为S =3S 1+3S 2+S ΔABC =45+32.解答本题，要先仔细观察三视图，根据口诀确定几何体的形状以及各边长；然后确定几何体的各个面的特点、形状，利用正方形、三角形的面积公式进行求解.例2.某几何体的三视图如图3所示，则其表面积为().A.17π2 B.9πC.19π2D.10π解：由图3中的三视图可知，几何体是个组合体，且其上部分是个球，下部分是一个圆柱．而圆柱底面的半径为1，高为3，半球的半径为1，所以几何体的表面积为π×1+2π×3+4π××14+12π×+12π=9π，故本题选B.解答本题的关键是根据三视图确定几何体的形状，由俯视图和侧视图可以确定原几何体为组合体，且其中一部分为球体；由正视图和侧视图可知，原几何体的下半部分为圆柱；结合三个视图，最终可以确定几何体为下部分是圆柱、上部分是个球的组合体.最后直接根据圆柱、球的表面积公式求解即可.例3.已知图4是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为______.正视图侧视图俯视图图4解：观察图4中的三视图，可知这个组合体是由一个高为8，底面直径为4的圆柱与一个棱长为6，高为4的三棱柱拼接而成的，由正视图可知圆柱底面的半径为4，由侧视图可知图342圆柱的高为8，所以V 圆柱=S ⋅h =π×42×8=128π，由正视图可知棱柱的底面长方形的边长为3、6，由侧视图可知棱柱的高为4，所以V 棱柱=S ⋅h =12×3×4×6=36，所以组合体的体积为V =V 圆柱+V 棱柱=128π+36.对于组合体，首先要根据三视图判断几何体的结构，可将其进行拆分为几个简单的空间几何体，或将其看作由一个简单空间几何体切掉（挖掉）了其中的一部分；然后再寻找相关数据，如边长、半径、棱长、高等，根据简单空间几何体的性质、体积、表面积公式进行求解.例4.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的表面积等于______.解：由图5中的三视图可以判定该几何体为一个正四棱柱，且几何体的侧面均为矩形，上下两个底面均为全等的直角梯形.由俯视图可知梯形的上、下底分别为1,2，高为1，所以梯形的面积S 1=12()1+2×1=32；四个侧面的底边长分别为2,1,1,2，高为2，所以侧面的面积为S 2=2⋅()2+1+1+2=8+22，所以几何体的表面积S =S 1+S 2=2⋅32+8+22=11+22.解答三视图问题，需熟悉简单空间几何体的三视图，如棱柱的正视图和侧视图为矩形，俯视图为多边形；圆柱的正视图和侧视图为矩形，俯视图为圆；圆锥的正视图和侧视图为三角形，俯视图为圆.这样便能快速判定原几何体的形状.总之，在解答三视图问题的过程中，要注意：（1）灵活运用简单空间几何体的性质、体积、表面积公式；（2）仔细观察三视图，判定几何体的形状以及摆放的位置；（3）通过俯视图求底面的边长、直径，通过正视图（或侧视图）确定几何体的高.（作者单位：甘肃省武山县第一高级中学）证明数列不等式问题经常出现在各类试题中.这类问题侧重于考查同学们的观察、分析和推理能力.下面结合实例，谈一谈下列三种证明数列不等式常用的方法.一、比较法运用比较法证明数列不等式，往往要先将不等式两侧的式子作差、作商；然后将所得的差式和商式化简、变形，并将其与0、1相比较，从而比较出不等式左右两侧式子的大小.例1.已知数列{}a n 是正项数列，a 1=1，且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.（1）求{}a n 的通项公式；（2）若数列{}b n 满足b 1=1,b n +1=b n +2a ，证明：b n ⋅b n +2<b 2n +1.解：（1）a n =n ；（过程略）（2）由（1）可知a n =n ，则b n +1-b n =2n ，则b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+⋅⋅⋅+(b 2-b 1)+b 1=2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+2+1，=1-2n 1-2=2n -1，所以b n ⋅b n -2-b 2n +1=(2n -1)(2n +2-1)-(2n +1-1)2=(2n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2⋅2n +1+1)=-2n <0.故b n ⋅b n +2<b 2n +1.解答本题，要先根据等差数列的定义，运用累加法求得{}b n 的通项公式；然后将目标不等式左右两侧的式子作差，并将差式化简、变形，使其便于与0相比较，进而证明不等式成立.运用比较法解题的关键在于化简差式、商式，通常可将其分解因式、配成完全平方式，以使所得的结果能直接与0、1相比较.二、放缩法放缩法是证明数列不等式的重要方法.有时在求得数列的通项公式、前n 项和式后，无法得到想要的结果，这是就需将数列的通项公式、前n 项和式放大或缩小，使其逐步与目标式靠拢，以证明结论.在放缩时，要把握放缩的“度”，不可放得过大，也不能缩得过小.例2.T n 是数列{}a n 的前n 项之积，满足T n=1-a n (n ∈N *).图543。
高考数学中的三视图及相关方法
高考数学中的三视图及相关方法在高考数学中，三视图是一个常见的概念。
三视图是一个物体分别从三个不同的方向所观测到的图形，通过三个视图可以确定一个物体的形状、尺寸及空间位置。
在学习三视图时，需要掌握一些相关的知识和方法。
一、投影法与投影面在学习三视图之前，需要先掌握投影法和投影面的相关概念。
投影法是指从物体上某一点出发，将光线对着投影面射出，所形成的投影。
投影面是指用来做投影的平面。
在三视图中，通常使用前、上、侧三个平面来进行投影，这三个平面分别称为主平面。
二、主视图主视图是指在三视图中，以物体的正面朝前、上面朝上、左面朝左的方向所形成的视图。
主视图常常是确定一个物体的形状和尺寸的主要依据。
三、侧视图侧视图是指在三视图中，以物体左侧面朝上、物体正面朝前、物体下侧面朝下的方向所形成的视图。
侧视图和主视图相结合，可以确定一个物体的整体形状和尺寸。
四、俯视图俯视图是指在三视图中，以物体的上部朝上、物体的前面朝下、物体的左侧面朝左的方向所形成的视图。
俯视图主要用来确定一个物体的上部结构，例如天棚、台面等。
五、三视图的绘制方法在学习三视图时，需要掌握三视图的绘制方法。
绘制三视图时，需要确定主平面，然后将物体在主平面上分别绘出主视图、侧视图、俯视图。
在绘制时，需要按比例绘制，保持各个视图之间的比例关系一致。
六、三视图的应用在实际生活中，三视图有很多应用。
例如在工程设计中，可以通过三视图来确定一个建筑物或机械设备的形状和尺寸，以便进行制造和施工。
在家具设计方面，通过三视图可以确定家具的形状和尺寸，以便进行制造和销售。
总之，三视图在数学中是一个非常重要的概念。
通过学习三视图，可以帮助我们更好地了解物体的形状、尺寸和空间位置，从而更好地进行设计、制造和施工。
通过掌握三视图的相关知识和方法，我们可以在高考数学中取得更好的成绩。
棱锥相关的高考三视图题型解题思路
刘欢 陕西师范大学
三视图是高中数学新课程新增内容之一，也是 高考热点题型。 关于三视图， 主要有两种考查形式： 一是根据给定几何体判断或补画视图，二是由三视 图想象出原几何体，进而计算它的面积或体积。 笔者在分析第二种考查形式时发现，有一种和 棱锥相关的题型，学生理解不到位，且各种参考答 案讲解不够详细，导致学生一知半解。因此本文的 目的是对此类问题详细分析，以期学生透彻领悟其 中的缘由。 这类题最大特点有二：第一，给出三视图求原 几何体的面积或体积；第二，主视图和左视图都是 三角形， 而俯视图为三角形或四边形, 这种几何体是 棱锥。 在分析此类题目前，有必要搞清楚几个概念。 一、必备知识 1. 三视图 从某一角度观察一个物体时，看到的图象叫做 物体的一个视图。视图分为三种：
1 6 3 9 ③因为主视 2
图、左视图的高是原几何体的高，原几何体的高
1 1 H 高 3 ④故 V棱锥 S 底 H 高 9 3 9 ， 原题 3 3
选 B. 【小结】 ①棱锥求体积，关键找底面积和高，即
1 V棱锥 S 底 H 高 ；② S 底 由俯视图+ “长对正，高 3
③三视图解题中，关键是理解线的投影规律
二、例谈解题思路
相等为 2；③ V棱锥
1 1 S底 H高 6 2 4 3 3
题型一
求体积
题型二
求表面积
例 1 （2012·全国课标，7）如图，在网格纸上小 正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（ ）
例 2 （2012·北京，7）某三棱锥的三视图如图所 示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.28 6 5
4
A.6 C.12
高考三视图新视角
%
PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD. 又 因 为 CD 奂 平 面 PCD， 所 以 平 面
C′ B′
8
图5
D′ G A′ E A
图8
解析
由已知可知该几何体是一个
F
PDC⊥平面PAD.
（2） 取 AD 的中 点 M， 由 （1） 知 PM⊥ 平 面 ABCD. 连 结 MC， 取 MC 的 中 点 N， 连 结
1.5 4
×
% 1 1 ×6×4 姨 2 + ×8×5 =40 + 2 2
×
24 姨 2 .
题型二 由几何体研究三视图 对于该题型 ， 新课标要求学生能在 给出简单几何体的条件下 ，正确判断几何 体的三视图或者准确作出几何体的三视 图.
%
俯视图 图4
在 图6的 三 例 5 （2008 海南 、 宁夏） 个图中 ，上面的是一个长方体截去一个角 所得多面体的直观图 ，它的正视图和侧视 图在下面画出 （单位： cm ） . （1） 在 正 视 图 下面 ，按照画三视图的要求画出该多面体 的俯视图 ；（2）按照给出的尺寸 ，求该多面 体的体积 ；（3） 在所给直观图中连结BC′ ， 证明 ：BC′∥面EFG.
H B I
三视图中的虚线是指没有投影出来 的几何体的边线 ，准确理解三视图中虚实 线所提供的信息 ，是我们剖析 、研究三视 图的一个重要的切入点.
例3
图4是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 ，
尺 寸 如 图4所 示 ，则 这 个 几 何 （单位： cm ） 体的体积为_______. 解析 注意三视图中的虚实线 ，通过
E A 2
1 1 2 2
俯视图 图9
巧解三视图轻松对高考
Ｉ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．－＿ｊ
侧 视 图
Ｂ．２４一号
Ｄ号
解 析 由 三 视 图 可
俯视图
知该几 何 体 是 如 图所 示 的 四棱 锥 ，
其 中四棱锥 的高为 １，底 面 ＡＢＣＤ为
直角 梯形 ，其 中 ＡＢ／／ＣＤ，ＡＤ上ＤＣ，
且 ＡＢ ＝１，ＡＤ ＝１，ＤＣ ＝２＇．．． 一＾ＢＣＤ＝ Ａ
形 状 ，常见的三视 图问题可 以归纳为 以下几种类型．
一 、 简 单 型 几 何 体 的 三 视 图
就是指常见 的柱体 （圆柱 、棱柱 ）、锥体 （圆锥 、棱 锥 ）、
台体（圆 台、棱 台）、球等几何体．
例 １ 如 图所 示 是 一 个 几 何 体 的三 视 图 ，则该 几何 体 的
体积为（ ）．
至口 例 ２ 某 几何 体 的 三
视 图 如 图 所 示 ，则 该 几 何
△ 与左视 图如 图所示 ，则在下列 图形 中， 二二 ＝二兰二］ 可 以是 该 几 何 体 的 俯 视 图 的 图 形 有 主视图 左视图
体 的体 积 为（ ）．
卜— １Ｏ ·—
正（主）视图
卜— ８＿．
数 学 学 习 与 研 究 ２０１８．１５
侧（左）视图
（ ）．
Ａ．
ｊ
Ｂ．
ｊ
目
囵 ⑩ 回 回
①
②
③
④
⑧
Ｃ．２０ｏ
俯 视 图
Ａ．①②③⑤ Ｂ．②③④⑤ ｃ．①③④⑤ Ｄ．①②③④
Ｄ．２４０
解析 底下一层为正 四棱柱 ，上面两层 为 圆柱 时为① ；
高考三视图知识点
高考三视图知识点高考是每个学生都将面临的一次重要考试。
其中，物理学科对于很多学生来说可能是一个难点。
而在物理学中，三视图是一个重要的知识点，需要学生掌握和理解。
本文将重点介绍高考物理中的三视图知识点，从不同角度深入讨论，帮助学生更好地理解和应对考试。
一、什么是三视图？三视图是指一个物体在不同方向上的投影图。
通常来说，我们可以通过正视图、左视图和俯视图来理解一个物体的形状和结构。
正视图是指从物体正前方看的投影图，左视图是指从物体左侧看的投影图，俯视图是指从物体上方看的投影图。
二、三视图的应用三视图在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。
在建筑设计中，工程师需要通过三视图来理解和描述建筑物的形状和结构，从而进行合理的设计和施工。
在机械加工中，工人需要通过三视图来理解和操作机械设备，保证产品的准确加工。
在电子电路设计中，工程师需要通过三视图来理解和布局电路板的组成部分，确保电子设备的正常工作。
三、如何绘制三视图？绘制三视图需要一定的技巧和方法。
首先，我们需要确定物体的主视图，即选择一个合适的方向作为正面。
然后，根据物体的形状和尺寸，我们可以绘制正视图和左视图。
在绘制正视图时，需要注意保持比例和准确度，确保投影图能够准确地反映物体的形状和结构。
在绘制左视图时，需要将物体按照一定角度倾斜，以获得合适的投影图。
最后，通过观察和分析正视图和左视图，我们可以绘制出俯视图，从不同角度全面地了解物体。
四、三视图与三维几何的关系三视图是三维几何的重要组成部分，可以通过观察三视图来判断物体的形状和结构。
在三维几何中，我们通过描述物体的点、线和面来构建物体的形态。
而三视图则通过将这些点、线和面在不同方向上投影到二维平面上来描述物体。
因此，三视图可以看作是三维几何与二维平面之间的桥梁，帮助我们理解和描述三维物体。
五、常见的三视图题型在高考物理中，三视图经常出现在选择题和计算题中。
例如，考生可能会遇到给定一个物体的正视图和俯视图，需要根据给定信息绘制出左视图的题目。
高考数学：立体几何——三视图——命题类型规律和解题技巧
高考数学：立体几何——三视图——命题类型规律和解题技巧三视图问题是高考中的重要题型。
此类问题要求学生有较强的空间想象能力，因此成为很多考生做题的难点。
下面将三视图考题的出题规律和解题技巧，归结如下。
根据高考所考查几何体的结构特征，其出题类型分为三种：单体型、组合型和切削型，现逐一分析。
一、单体型所谓单体型，即根据三视图还原后的几何体是一个我们常见的基本几何体，如长方体、三棱锥、圆锥、三棱柱、球等。
一般情况下，我们可以根据下列结论来判断所求几何体的结构特征：(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形和一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形和一个圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形和两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形和一个圆，对应圆柱。
二、组合型所谓组合型,即根据三视图还原后的几何体是两个或两个以上的几何单体组合而成的，此时我们只需根据三视图看懂相应部分对应的每个单体的结构特征即可。
三、切削型所谓切削型．即根据三视图还原后的几何体可以看成是从某一熟悉的几何单体(我们可以将其看成所求几何体的载体)中截去一部分后得到的。
对于此类问题，我们的解决方案是：先画出所求几何体的载体，再根据题意截去其中一部分，最后根据题目中的位置关系和数量关系进行推理和计算。
例1：[2018全国卷Ⅲ,3,5分]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）思路分析：根据题意画出带卯眼的木构件的直观图，借助直观图判断俯视图。
解析：由题意带卯眼的木构件的直观图如下图所示，由直观图知其俯视图应选A。
答案：A注意：不要忽视木构件俯视图中的虚线。
例2：[2018北京卷,5,5分]某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4思路分析：根据还原出来几何体的形状，判断直角三角形的个数。
新高考《三视图》真题归类赏析
新高考《三视图》真题归类赏析高考中对空间几何体的三视图的考查，主要有三个层次的要求：能画、能识别和能运用。
高考的命题意图主要考查立体几何中空间几何体的三视图，考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。
因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下三种基本题型。
一、已知空间几何体，能画和识别其三视图。
1．已知柱、锥、台、球空间基本几何体，考查三视图的识别与画法。
练习1．（2007·山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D 【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D 。
2．已知空间简单组合体，考查三视图的识别与画法。
练习2.（2010广东理数）6.如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是答案：D ． 练习3.（2008·广东卷）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）答案：A 解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.E DIA H G BC ED ABC侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．①正方形②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥二、已知空间几何体的三视图，还原空间几何体并能运用求其表面积和体积。
1．已知空间几何体的部分三视图，还原空间几何体，并识别三视图。
例谈高考中的新热点——三视图
边 的 中点 ）得 到几何 体如 图 ２ 则 该几 何体 按 图 ２ ， 所示 方 向 的侧 视 图（ 或称 左视 图） （ 为 ）
Ｃ ３ ＋ １√ ．６ ２
Ｄ ３ ＋ ２ ．６ ４
Ｆ
，
图 １
图 ２
Ｅ
Ｅ
Ｅ
Ｄ
，
三
分 析 本 题考 查学 生 的空 间想象 能力 由 。于 本 题 学 生 的空 想象 能力 由 于 三 视 图中 的投 影是 平行 投影 ， 解题 时可 以 想象 在
分 析 该 空 间 几 何
体为 一 圆柱 和一 四棱 锥
组 成 的 ．圆 柱 的 底 面 半 径 为 １ 高 为 ２ 体 积 为 ， ， ２ ．四 棱 锥 的 底 面 边 长 ７ ｃ
边长 为 ８高为 ４的等腰三角 ， 形， 侧视 图 （ 或称 左视 图 ） 是
图６
为 ， 高为 ， 以体 积 所
图 ５
Ｃ
．
所 以 该 几 何 体 的
． 故选 Ｃ ．
Ｏ
在 底 面 的 射 影 是 矩 形 中 心 的 四 棱 锥 Ｖ— Ａ Ｄ・ Ａ ＢＣ
体积 为 ２ 丌＋
１ ３ 根 据 三视 图 ， 究 几 何 体 ． 研
（） １ Ｖ一寺×（×６ ８
× ４— ６ ４：
图７
研究 几何 体 ， 包括 研 究 几 何体 的表 面 积 、 体 积 以及 几何体 中 的线 面平行 关 系 和垂 直关 系 ， 解 决这 一类 问题 关键在 于 由三视 图还 原几何体 ． 例 ５ （０ ８年 海 南 高考题 ）某 几何 体 的一 ２０ 条棱 长为 ， 该 几何 体 的 正视 图 中 ， 条棱 的 在 这
新课程高考三视图试题的分析与思考
考生以平易近人的感觉，但审题器谨慎。
幸‘? 擞·?( 2008#- g 9期·离中凝)
·试题分 析·
例2 ( 2 008 Ⅳ 年广东理科卷) 将
．^
G
正三棱住截去三个
兔( 始图1所示，A，E
D
君，0分别是AGi l l
三边的中点) 得到
图l
图2
足衡体翔图 2，剜该
几何体按图2所示方向的侧视圈( 或称左视图)
巩阎和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理
解，帮 助学生运 用平行投影 和中心投影 ，进一步 掌握
在平露表 示空阕图形的方法 和技能。对三视图 内容，
高考已加大了考查力度。展现了课桥课程视野下高
考命题的薪视角、新理念。
2．1 以几鹰体为 载体。考查三视 圈的国法
《课标》指出：能画出简单空间图形的三视图．即
·试题分析·
审’?毒乏·7( 2m8年第9期·高中版)
29
沥课程高考¨三视图" 试题的分祈与思考
35081 l 福建闽清二中张夏强 365400福建宁化一中 邱云
三视图是《普通高中数学 课程标准( 实验) 》( 以下 简称《爆标》) 背景下数学必 修瀑程的额增内容，学习 三褫 圈对迸一 步发浸学 生的奄阀 观念。增 强数学侩 艇 的认识起到推动作用．《课标》指出：三维宅问是人类 生存 的现实空 闻，认识 空间图形 ，培葵翻 发展学生 的 空问 想象能力 、推理论 证能力、 运用空闷 语言进行 交 流的能 力以及几 何赢观能力 ，是高中阶 段教学必 修系 燕课程鹤基本要袭本 文以2007、2008年广东、基l 窳、 海南、宁夏四省( 区) 高考数学理科试卷中的三视图跃 题为例．就三视图的考查展开分析，并提出苦于思考． 1 三视圈试 题概况
高考三视图技巧
通过三视图求立体图形的表面积和体积首先要注意三视图的一些性质1、 主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。
还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体。
2、就是半圆锥。
到底如何如确定就是通过俯视图观察。
（1） 若俯视图是三角形时，就是三棱锥。
（2） 若俯视图是多边形时，就是多棱锥。
（3） 若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体。
（4） 若俯视图是半圆时，就是半圆锥。
（5） 注意虚线和实线的意义，虚线代表的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的。
2、 三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑。
（1） 如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式。
（2） 如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可。
（3） 如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可。
1、如图，三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h = cm2、设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+正视图 侧视图 俯视图 图13、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π4、如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为BA． B． C． D．5、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A ．34B ．4C ．32D ．26.一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m3、三视图求表面积的时候解题步骤（1） 先利用原先判定的方法来判定立体几何图形到底是什么形状的，注意：如果是组合体的时候一定不要你忘了组合体重合的部分是要去掉的。
高考三视图问题常考题型及处理策略
--参谋高考三视图问题常考题型及处理策略!华中师范大学第一附属中学程季康三视图问题是立体几何的人门内容，也是高考数学中的一个重要考点.翻阅近年来的高考试卷，三视图问题是高考的必考内容;在学习之余，结合近年的高考真题，我总结近年来高考对三视图的考查主要有以下几个 方面，现分类例析，供参考：一、判断几何体的三视图问题给出一个几何体的直观图，然后根据几何体的形 状判断其三视图的问题.由于其难度较小，因此这类 直接判断型问题高考基本没有涉及过.但在2013年和 2014年的高考中，曾以空间直角坐标系中点的坐标来表 示几何体，利用考生的想象能力来判断几何体的三视图 的问题.例1(2014年湖北卷)在如图1所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2,2,0)，（1，2，1)，（2,2,2)，给出编号为①②③④的四 个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）.① ②③④图1(A)①和② （B)③和①(C)④和③ （D)④和②解析：如图2,将四面体放人正方体中，四面体）- 即坐标系中四个点所围成的四面体，显然可以看出 其正视图为④，俯视图为②，故选D.图2""""""""""""""""""""""""""""""""""于基础较为差的学生，笔者则通过“启发式”的教学方 法，引导学生完成“函数性质”的研究，在有必要的情况 下，可以花费2!5分钟的时间，帮助学生复习初中阶段学 过的“一次函数”和“二次函数”的相关性质，在此基础上 在引导学生研究函数性质，进而认识到研究函数性质的 一般方法.综上所述，教科书是课堂教学的主要载体，所以作 为一线的教育工作者，要深人研读教科书，挖掘、提炼蕴 含的化归思想，进而使学生的综合素养和数学技能得到 锻炼和提升.同时，在日常教学的课堂上，教师应在日常 教学过程中有意地反复向学生讲解化归思想方法，使学 生逐渐达到一定的认识高度，最终能自觉地运用.除此 之外，教师还应该注重反思，及时分析学生的反馈信息，不断地创新和完善教学方法，开展具有针对性、目的性的教学，真正地贯彻“以生为本”的教学理念，落实素质教育.参考文献：1. 戴海林.迁移性教学—“等比数列性质的探究”教学设计[J].中小学数学&高中版），2014(04).2. 孙西洋.中学数学化归思想方法的教学策略$J%.江 苏教育，2013(02).3. 任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D].内蒙古师范大学，2013.4. 倪晨旭.例谈化归思想在高中数学解题中的应用[J].新课程（下），2017(06).高中版十炎，？77参谋例2 (2013年全国卷！）一个四面体的顶点在空间 直角坐标系中的坐标分别是（1，〇，1)，（1，1，〇)， (0，1，1)，（0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到正视图可以为（P(A ) (B ) (C ) (D )解析：在空间直角坐标系中，根据点的坐标先画出 四面体的直观图，再以'0(平面为投影面，沿)轴 负半轴方向看去则得到正视图，如图3可以观察得到A 符 合要求，故选A .点评:上述两题给出的均是空间直角坐标系中点的 坐标，直接由点的坐标想象出空间几何体的形状，然 后再判断其三视图，理论上是可以，但实际操作难度 较大;此时将该几何体在空间直角坐标系中还原，则判 断其三视图的问题即可迎刃而解.二、利用几何体的三视图还原几何体并计算纵观近年来的高考试题，大多数试题是先给出几何 体的三视图，要求计算几何体的体积、表面积及其他量. 其中以计算几何体的体积的问题居多，其次是计算几何 体的表面积，有时也会要求计算棱长或其余与几何体有 关的量.1.利用几何体的三视图计算几何体的体积例3 (2017年北京卷)某三棱锥的三视图如图4所示，则该三棱锥的体积为（）.(A )60(B )30(C )20(D )103_正(主)视图侧(左)视图俯视图图4解析:根据几何体的三视图，还原其直观图，如图5， 可以看出该几何体底面三角形两条直角边长为3和5，高为4,其体积为+=丄丄x 丄x 3x 5x 4=10.故选D .3 3 2点评:对于空间几何体的三视图问题，一般首先要 观察几何体的三视图，找出其特征及数量关系，再还原 该几何体的直观图；在还原几何体的直观图时，对于规 则的几何图形，一般将其放到长方体中来观察特征，进 行还原，最后根据还原后的图形计算几何体中边角关 系.需要注意的是本题中俯视图中的图形不是几何体的 底面，它只是俯视时看到的图形而已.例4 (2017年全国卷！）如图6,网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何 体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体 积为（）.(A )90! (B )63!(C )42!(D )36!7\77S一图6解析：由网格纸上的小正方形边长为1可以看出 该几何体的正视图由一个边长为6的正方形和一个直 径为6的半圆组成，其侧视图由一个长为6,宽为4的长 方形和一个直角边长为6的等腰直角三角形组成，其 俯视图是一个直径为6的圆；因此该几何体的下半部 分是一个底面半径为3,高为4的圆柱；上面部分是一 个底面半径为3，高为6的圆柱切去一半所得的部分.所以其体积为：+,+i ++2,!x 32x 4+ x !x 32x 6=3=63!.故2选B .点评：本题将几何体的三视图放人网格纸上，其作 用就是暗示其相关的边长，即相等于告知几何体三视图 中的边长.本题的难点在于利用几何体的正视图和俯视图综合判断几何体的形状.由三视图看出该几何体是两 个圆柱体叠放在一起，其中上面的一个圆柱体被分成相 等的两部分后剩下的其中的一部分.例5 (2015年课标全国卷！）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7所示，则截去78 十•？炎，？高中版--参谋部分体积与剩余部分体积的比值为（2(A31⑶+(C)士（D)士6 5解析：根据题意，该几何体是由一个正方体截去部 分后剩下的图形，由该几何体的三视图还原其直观图得 到正方截去了一个三棱锥（-(a a后的图形如图8所示.易知= ^VABCD-AtBtCtDt，所以66点评：在由三视图还原为空间几何体的实际形状 时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几 何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在 三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般 以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求 解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三 视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系 和数量关系，利用相应体积公式求解.2.利用几何体的三视图计算几何体的表面积例6 (2017年全国卷I )某多面体的三视图如图9所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角 形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积 之和为（）.(A)10 (B)12 (C)14 (D)16图9 图10解析:根据该几何体的三视图可以看出该几何体是一个三棱锥叠放在一个三棱柱上面形成的，其直观图如 图10所示，从直观图可以看出该几何体有2个全等的梯 形，其上底为2，下底为4，高为2，所以其面积之和为S=2x (2+4)!2!丄=12.故选 B.2点评:对于根据几何体的三视图计算几何体的表面 积问题，一般先要根据几何体的三视图还原其直观图，再根据直观图观察该几何体各个面的形状，从而计算其 表面积.例7 (2016年全国卷"）如图11，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为（）.图 11(A)18+36V T(B)54+18V T(C)90 (D)81解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个斜四 棱柱，其底面是一个边长为3的正方形，高为6;其正视 图看到的平行四边形即为该几何体的前面，显然其是 一个平行四边形，底为3，高为6，面积为S1=3x6=18;其 上下两个面是两个边长为3的正方形，每一个面的面积 为S2=3x3=9;其左右两个面是两个竖着放的长方形，底为3,高为正视图中平行四边形的一个边长度为V3W,3 V T，即每一个侧面的面积为.3,3x3 V T,9 V T.综上，该几何体的表面积为.=2(.1+.2+.3)=54+18 V5.故 选B.点评：本题将三视图放在网格中，其目的就是给出 计算所需要的边的长度.本题中几何体的前后两个面和 上下两个面很直观，与其正视图及俯视图类似，但左右 两个侧面是两个竖放的长方形，其高线的长需要引起注 意，防止出错.3.利用几何体的三视图计算几何体中棱长或球体的半径例8 (2017年北京卷)某四棱锥的三视图如图12所 示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）.高中版十炎，？79参谋W—2—H1<—2—H 正(主)视图侧(左)视图俯视图图12A------/2L/图13(a)3!t (C)2V T (b)2!3 (D)2解析：根据该几何体的三视图，还原该几何体如图 13所示，可以看出该几何体是边长为2的正方体中所截 得到部分，其底面是边长为2的正方形，顶点垂直于底 面.显然其最长棱为图中棱&4，其长度为V&*2+*#2+#$2, V22+22+22=2V T.故选 B.点评:本题考查空间几何体三视图的识别及几何体 边角的计算，首先要根据其三视图还原其直观图，再从 其直观图中判断出其中最长的边，最后根据给出的数值 进行计算.例9 (2015年全国卷I )圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为!)组成 一个几何体，该几何体三视图中的正视图 和俯视图如图14所示.若该几何体的表面 积为 16+2〇!，则 r#( ).(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析：由三视图可知，此组合体的前半 部分是一个底面半径为!，高为2!的半圆柱 (水平放置），后半部分是一个半径为!的半-2r-正视图2r俯视图 图14球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r.2r+ !r2" !r2+!r.2r+222!r2#4r2+5!r2=16+2〇!，解得 r#2.故选 B.点评：本题只给出了三视图中的两部分，解决的关 键仍然是从正视图及俯视图中确定几何体的形状.从正 视图是个圆可以确定该圆柱是横放，从俯视图中的长方 形和半圆型可以确定半球在圆柱的后面，从而利用圆柱 和球体的表面积公式计算出球的半径.4.利用几何体的三视图既计算体积又计算表面积例10 (2016年全国卷I )如图15,某几何体的三视 图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半28!径.若该几何体的体积是-，则它的表面积是（图15(A)17! (B)18! (C)20! (D)28!解析：由三视图可以看出该几何体是i个球，设球8的半径为-，则F s l x^4!-3,^，解得-,2,所以它的8 3 3表面积是丄x4!x22+丄x!x22,17!，故选A.84点评:本题解题的突破口在由三视图观察出几何体 的形状，从而根据体积的值计算出球体半径的长度，最 终计算出球体的表面积.例11 (2016年浙江卷)某几何体的三视图如图16所示(单位:cm)，则该几何体的表面积是_____cm2,体积是____cm3.W~W<~>1K~~W正视图侧视图俯视图图16图17解析：根据三视图，可以发现该几何体是两个相同 的长方体靠在一起而形成的，它们的底面是边长为2的正方形，高是4，其中一个“站立”，另一个“平躺”.其直观 图如图17所示.所以其表面积为1,2x(2x2x2+2x4x4)-2x 2x2,72(cm2)，体积为 F,2x2x2x4,32(cm3).点评:本题考查三视图的识别与几何体的表面积与 体积的计算.先根据三视图还原几何体的直观图，再计 算其表面积与体积'从上面近年来的高考真题可以看出，三视图问题往 往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离 等问题相结合，解决此类问题的关键是由几何体的三视 图准确确定几何体的形状及其结构特征，然后再根据要 求进行计算.一般说来，其难点主要有两点:一是根据三 视图确定几何体的形状及相关数量关系;二是根据相关 数量关系准确进行计算.只要解决了这两个难点，三视 图问题一般都能迎刃而解.80十•？炎，？高中版。
浅谈高考中三视图的学习
浅谈高考中三视图的学习摘要：本文从通过高考大纲看三视图、通过高考真题看三视图考查、研究三视图的必要性三个方面对高考中三视图的学习展开论述。
关键词：高考三视图一、通过高考大纲看三视图1.新课标高考考试大纲中知识点考查范围及要求。
2016年高考数学考试大纲在立体几何考点中对三视图的考查要求是“能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图”。
属于理解掌握层次，即要求学生对三视图内容有较深刻的理性认识。
2.新课标高考考试大纲中能力考查要求。
对能力的考查中大纲强调“以能力立意”，要求能根据条件中的已知图作出正确的三视图或者几何体的直观图形，或根据三视图能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用三视图提供的信息计算相关几何体体积、表面积等。
以达到考查学生的空间想象力、计算能力。
二、通过高考真题看三视图考查在三视图的考查中多以几何体三视图与表面积、体积的交汇为主。
题型多为选择题、填空题，属于中等偏易题型。
但是，随着考试提醒的成熟化，近几年高考的三视图考查趋势有明显变化，三视图考查难度有所增加，比如给出的几何体放置位置上非常规化，或者出现组合体，题目灵活度明显增加。
这对考生提出了更高的要求，进一步体现出对学生的空间想象能力和计算能力的考查。
例如，2015年高考全国卷：一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()。
A．B．C．D．试题分析：由三视图得，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去四面体A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则VA-A1B1D1=×a3=a3，故剩余几何体体积为a3-a3=a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为分式。
三、研究三视图的必要性三视图的考查虽然属于常规题型，在教学中发现学生对于简单的三视图处理没有问题，可是随着题型的灵活度和复杂度增加，部分同学在解决三视图问题中显得困难重重，如几何体位置变化、非常规切割几何体的直观图还原或是计算出直观图的体积、表面积。
高考题中三视图的考点分类解析
高考题中三视图的考点分类解析三视图是高中新课标的新增内容，也是近年高考数学常考的热点内容。
三视图有助于培养学生的观察能力、空间想象能力、形象思维能力和几何直观能力，对发展空间观念，增强对数学价值的认识起到一定的作用，因而备受高考命题者的青睐。
这类题型多以选择题、填空题为主，只有少数出现在解答题。
本文拟对2011年高考题中三视图的考点进行分类解析，仅供参考。
考点一：给出几何体的直观图，考查三视图中某种视图的画法。
例1（2011年江西卷）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）解析：左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案是D。
评注：本题考查简单几何体的三视图画法规则，对常见几何体的感知、领悟能力和空间想象能力，属基础题。
考点二：给出几何体的三视图，考查直观图的画法。
例2 （2011年浙江卷）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）解析：由正视图可排除A、C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B。
评注：本题考查由三视图还原几何体的方法，主要考查空间想象能力。
准确还原空间几何体的实际形状时一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。
应注意观察三视图中的实线（可见轮廓线）与虚线（不可见轮廓线）。
考点三：给出几何体的部分三视图，考查其它视图的画法。
例3（2011年全国新课标卷）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的，故选D。
评注：本题是已知正视图和俯视图，考查侧视图的画法，准确还原几何体是解题的关键。
考点四：给出几何体的三视图，考查原几何体的表面积、体积及相关计算问题等。
例4 （2011年安徽卷）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）48（B ）32+817（C ）48+817（D ）80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱。
_三视“三视图”
例 7 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图 8 所示， 则这个四棱锥的体积是( )
( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 解析： 从俯视图知底面正方
形的对角线长为 2，则边长为槡2 ， 所以底面积为 2． 通过正视图知直
角三角形斜边为 槡13 ，一 直 角 边 为 2，则另一直角边即棱锥的高为
此问题得以解决．
［南京市大厂高级中学 （ 210044） ］
（ 上接第 12 页）
错解： 本 题 约 束 条 件
对应的直线分别为 x － y +
1 = 0，x + y － 2 = 0，x = 0，
y = 0，每两条直线的交点
为（
1 2
，
3 2
）
，（
0，1）
，（
0，
2） ，（ － 1，0） ，（ 2，0） ，（ 0，
该几何体的体积等于( ) ( A) 10 cm3 ( B) 20 cm3 ( C) 30 cm3 ( D) 40 cm3
解析： 有同学通过观察三视图知，这个几何体是如图 7（ 2）
所示的三棱柱，其中底面是直角边分别为 3，4 的直角三角形，侧
棱与底面垂直，侧棱长为
5，于是体积为
1 2
× 3 × 4 × 5 = 30，选
择（ C） ．
图7 如果这个几何体是如图 7（ 2） 所示的三棱柱，那么正视图、
·18·
侧视图矩形中的实对角线有吗？ 不可能有实对角线． 但现在正
视图、侧视图中都有实对角线，所以几何体不可能是如图 7（ 2）
所示的三棱柱． 通过逐步调整，要突出视图中的实对角线，所以
几何体应该是图 7（ 3） 中的三棱柱截去一个角，即沿着以上底面
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例谈高考中三视图的考查视角
罗礼明 刘果
三视图作为高中新课标的新增内容，从2010年首次进入湖南高考以来已有四年的时间，每年都出了一个小题，它加深了学生对义务教育初中阶段有关三视图内容的理解，有利于培养学生作图、识图，运用图形语言进行交流及图形处理能力.对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，也是高考从深层次上考查空间想象能力的主要方面.三视图在全国各地高考试题中也显得异常活跃,不仅在选择题、填空题中出现，而且在解答题中也出现了它的身影.本文我们以高考真题为例谈谈三视图的考查视角.
一、 已知几何体，画出三视图
这一类型是三视图的最基本题型.解题时要注意选择合适的角度,观察几何体的特征,然后画出三视图.画三视图时要注意“长对正，高平齐，宽相等”且侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下方.
【例1】、（2013,全国新课标Ⅱ理7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【解析】：结合已知条件画出图形（图1），图中四面体111DB A C -即为题设条件中的四面体，可以看出以zOx 平面为投影面的正视图为正方形，故选A
（图1） （图2）
【点评】：本题主要考查了空间直角坐标系与三视图知识.根据条件画出图形考查了简单的逻辑思维能力；观察得出正视图考查了对图形的阅读能力，同时考查了数形结合的思想方法.解答本题特别要注意空间坐标的位置，然后根据位置判断四面体的形状，尤其是判断三视图中的虚线和实线问题是考生在做类题中的一个易错点.
二、 已知三视图，还原几何体
解这类题的关键在于首先分析几何体是不是组合体，如果是，是由几个简单几何体拼接
而成，还是由一个简单几何体截去一部分而成.每一部分是什么几何体，最终得到的几何体的结构特征又如何.
【例3】、（2013,四川理3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
( )．
【解析】先观察俯视图，再结合主视图和侧视图还原为空间几何体.A 中几何体的俯视图为两个正方形，排除A ；B 中几何体的俯视图为两个圆和一个长方形，排除B ；C 中几何体的俯视图为两个长方形和一个圆，排除C ，故选D.
【点评】本题主要考查三视图与原图的关系。
熟悉常见几何体的形状有利于解答本题.
三、 已知三视图，求原几何体的表面积
解决这类问题的关键一般是由三视图分析原几何体的结构特征，由三视图中给出的数据分析原几何体中的数据关系，然后由表面积的的概念转化为若干个平面图形的面积或直接用表面积计算公式求解.
【例5】、（2013,重庆文8）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）
A 、180
B 、200
C 、220
D 、240
【解析】利用三视图还原几何体，结合直观图直接运算求
解。
利用三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱，
等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直
四棱柱的高为10，易求得表面积为240，故选D
【点评】本小题主要考查三视图及简单几何体表面积的
计算与空间想象能力、运算求解能力.
四、 已知三视图，求原几何体的体积
解决这类问题要把握由三视图还原成几何体后的结构特征与相关数量关系，用相关体积公用直接法、等体积法或割补法等方法求体积.
【例8】（2013,浙江理12）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________3cm .
【解析】将三视图还原为几何体，再由
体积公式计算体积。
由三视图可知该几何体
为直三棱柱截去一个小三棱锥剩余的一部
分，底面ABC 为直角三角形，两直角边3，
4，侧棱2,5111===AA CC BB ，可以将其补成一个直三棱柱（如右图）然后求体积3243432
131********cm V V V C DB A =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=-三棱柱。
也可以分割成一个三棱锥与一个四棱锥体积的和.
【点评】本题考查三视图还原空间几何体及空间几何体的体积计算与转化的思想。
在将三视图还原时，一定要注意三视图的线与线的位置关系，然后画出几何体之，再根据几何体的特征计算体积.求不规则几何体的体积时，看是采取分割成几个几何体求体积还是补成一规则几何体来求.
五、 根据三视图，研究几何体
研究几何体，包括研究几何体的表面积、体积以及几何体中的线面平行和垂直关系，解决这一类问题的关键仍在于由三视图还原几何体.
【例9】（2012,湖南理3）.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）.
【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原几何体图下面为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如上右图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力. 在研究三视图与原几何的关系时要注意区分三视图中的虚实线.
【例10】、（2013,湖南理7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．
等于 （ ）.
A ．1
B
C ．2
D ．2
【分析】：大家已习惯于新课程中对三视图的考查模式：“看图说话+简单计算”，该题突破了该类题型的模式，背景简洁熟悉，叙述自然流畅，内容新颖而不怪，让人耳目一新，是一个动态空间几何体的三视图问题.由俯视图的面积,得到正方体是水平放置的,旋转变化时,正视图的高不变,但长是变化的.
【解析】依题意,由俯视图的面积为1得正方体水平放置,当正方体有水平内旋转时,正视
图为矩形,高为1 ,宽的取值范围为]2,1[,而面积的取值范围为]2,1[,而
12
12<-,故选C. 【点评】:本题主要考查空间几何体三视图的理解与应用及空间想象能力,属中等难度题. 由此可见对于三视图的考查在以往及今后的高考中仍是常考常新的热点,只要我们在平时的学习中把握常见几何体(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球)的三视图（因为各种复杂的几何体都是由这些常见几何体组合而成）；把握三视图的“长对正、高平齐，宽相等”及正确区分三视图中的虚实线，对于各类三视图问题就能迎韧而解了.
(作者单位:湖南炎陵县一中)。