第14章简单的超静定问题
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第十四章：超静定结构
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1 ql 2 2
1F
1 EI
1 3
ql2 2
l
3l 4
ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图
X1
1F
11
ql4
8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
材料力学-简单的超静定问题
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4
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5
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6
§6-2 拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律 l FN l EA
综合考虑变形的协调条件、虎克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
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7
例 已知1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为E3A3， F的大小已知，求各杆内力。
13
2
l
A
A*
l3
FN 3l E3 A3
9
4、联解方程
FN1
2 cos
F
E 3 A3
E 1 A1 c o s 2
FN 3
1
2
F E 1 A1
cos3
E 3 A3
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10
装配应力的计算：超静定结构中由于加工误 差， 装配产生的应力。
平衡方程：
FN1 FN2
F N 3(F N 1F N 2)cos
超静定问题：若未知力的个数多于独立的平
衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定
全部未知力，这类问题为超静定问题。相应结
构称为超静定结构。
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2
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束， 对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。 对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
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3
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
材料力学 第14章 超静定结构
39
目录
例题 14-4
M1 图
M F图
1 a 2 2a a3 ⋅ = δ11 = EI 2 3 3EI ∆1F 1 a 2 qa 2 qa 4 ⋅ =− 2 8 = − 16EI EI
40
目录
例题 14-4
由力法正则方程δ11 X1 + ∆1F = 0得： 3qa X1 = 16 3qa ∴X C = ，YC = 0，M C = 0 16 qa 3qa X A (→) = X B (←) = ,YA = YB = (↑) 16 2 qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16
25
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
26
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
27
目录
对 称 结 构 对称结构的对称变形
28
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
29
目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
判断载荷反对称的方法： 判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 将对称面（ 一侧的载荷反向， 对称的，则原来的载荷便是反对称的。 对称的，则原来的载荷便是反对称的。
24
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形－ 对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下: 荷作用下:
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。 某些对称分量也可等于零或变为已知
34
目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
超静定
l A
1)解除B端约束,建立相当系统 解除B端约束, 2)由正则方程 d11 X 1 + D 1P = 0 3)求系数和常数项
4l 4l 3 d11 = 3EI D 1F - Fl 3 = 2 EI
F X1
F
l 1
4)带入正则方程求解 3 X1 = F 8 4)做弯矩图
M = M 1 ?X 1 MF
例1, 试求图示梁的约束反力,设EI为常数. 试求图示梁的约束反力, EI为常数 为常数.
q A l B
1)解除B端约束,建立相当系统 解除B端约束, 2)由正则方程 d11 X 1 + D 1P = 0 3)求系数和常数项
骣 1 骣 鼢2 1 l3 珑l l = d11 = 珑 l鼢 桫 桫 EI 珑 鼢3 2 3EI D 1F
二,正则方程的建立
1,一次超静定问题的正则方程 力法求解静不定问题的关键——建立正则方程. 力法求解静不定问题的关键——建立正则方程.下 建立正则方程 面通过一例说明建立正则方程的步骤. 面通过一例说明建立正则方程的步骤. 图为车削工件安有尾顶针的简化模型. 图为车削工件安有尾顶针的简化模型.
力法求解过程如下: 力法求解过程如下:
第二节
用力法解超静定结构
一,力法
力法——以多余约束力为基本未知量 力法——以多余约束力为基本未知量,将变形或位移表 为基本未知量, 示为未知力的函数,通过变形协调条件作为补充方程求 示为未知力的函数, 来解未知约束力,这种方法称为力法 又叫柔度法 力法, 柔度法. 来解未知约束力,这种方法称为力法,又叫柔度法. 力法的基本思路: 力法的基本思路: 1,结构静定化 2,在未知力处 3,变形条件 4,正则方程 解除多余约束 建立 借助莫尔积分 解线性方程 静定基与相当系统 变形协调条件 补充方程(正则方程) 补充方程(正则方程) 未知力
超静定问题
2.4m
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
超静定结构
l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A
12第十四章-超静定结构资料
11
1 EI
l 1
l EI
M10 图
1P
1 EI
Pl 2 8
1
Pl 2 8EI
由 11 X1
1P
0得X 1
Pl 8
MP图
vC
Pl 3 48EI
Pl l 2 2 8
16EI
Pl 3 192EI
求图示刚架的支反力。
M10 图
上面我们讲的是只有一个 多余约束的情况
那么多余约束不止一个 时，力法方程什么样的
呢？
变形协调条件：1 2 3 0 i 表示X i 作用点沿着X i 方向的位移。
由叠加原理： 1 1X1 1X2 1X3 1P 0
1 11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 同理 2 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 静不定系统的静定基本系统，或相当系统。
（本章主要用力法解超静定结构）
§14-2 力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再 根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条
件为基本方程的方法，称为力法。
X1
4m 9a
RA
RC
4m 9a
mA
mB
m 逆时针
3
等截面平面框架的受力情况如图所示。试 求最大弯矩及其作用位置。
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。
9-简单超静定结构的解法解析
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
求杆两端的支反力偶矩。
I
Me
II
解： 一次超静定 设想固定端B为
A
C
a
B
b
多余约束，解除后
l
加上相应的多余未
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
知力偶矩MB，得基 本静定系。
平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB
,
补充方程变为
wBFB
FBl3 3EI
ql 4 FBl 3 0 8EI 3EI
解得
FB
3 ql 8
可从右向左作出剪力图和弯矩图
8 ql
81ql
FS 图
18l
8 ql2
1218ql2
M图
也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为 “多余”约束，解除后可得相当系统
q
MA A
B
l
根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形 相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求 解。
A A'
l1 l3 cosa
l3
(3)胡克定理
l1
FN1l EA
l3
FN3l cosa
E3 A3
(4)补充方程变为
FN1
FN3
EA E3 A3
cos2 a
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1
FN 2
2 c osa
F
E3 A3 EAcos2
a
F
FN3 1 2
EA
cos3 a
E3 A3
简单的超静定问题
M A Me M B 0
Me MB
A
C
B
2、变形协调方程
B 0
即
BM BM 0
e B
Me
MB
A
C
B
3、补充方程
BM
e
M e a GI p
BM
BM Bl GI p NhomakorabeaM e a M Bl 0 GI p GI p
M ea MB l
4、联立解得
3、物理方程
FN 1l l1 EA FN 3 l l 3 EA FN 2 l l 2 EA
得
FN 1 FN 2 FN 3
F 12 F 3
C′
补充方程 FN 1 FN 3 2FN 2
7F 12
例题3：如图所示结构，杆①、②的刚度为EA，梁BD 为刚体，载荷F=50kN，许用应力[s]160MPa。试确 定各杆的横截面积。 解： 1、确定各杆内力 取横梁为研究对象 平衡方程
FB aEAT
由平衡方程得 FA FB aEAT
例题5：如图所示结构，三杆的刚度均为EA，杆③的长 度比设计长度l短了d。试求装配后各杆的轴力。
A
D
① ③ a a C′ C l2 ②
B
解：对称结构，内力对称 变形协调方程
l1 d l 3 cos a
l
d
l3 l1
lt a1 T l1 a 2 T l 2
A
l1
C
l2
B
约束力产生的变形
l FB FB l1 F l B2 E1 A1 E2 A2
lt
FB
变形协调方程
材料力学
5 Pa RD a RD a 6 EI 3EI 3EI
如何得到？
A D
P
B
自行完成
C D
RD
例题 6
图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，
已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
例题 11
图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离=1mm， 材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横截 面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试 作杆的轴力图。
C
A
FA
B
L2
FC
FA FB FC qL 0
L2
M
A
0
FB
变形协调方程
L qL2 FC FB L 0 2 2
3 FB qL 16
FA 3 qL 16
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 5 0 FC qL 8 384 EI Z 48EI Z
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在 工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
●超静定问题的解法：
工程力学—简单超静定问题
杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1．熟练掌握拉（压）杆变形计算2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算二、 内容提要1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为l ∆,l l l -=∆1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。
当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即EAlF l N ⋅=∆ （4.1） 图 4.1式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。
显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。
公式（4.1）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围，即p σσ≤；（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。
当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。
即∑==∆ni ii i N A E l F l i 1（4.2）当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 ()()⎰=∆lN x EA dxx F l 0 （4.3）2．拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。
这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。
超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。
解题步骤： （1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数； （2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程； （3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程； （4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。
超静定结构的特点：（1） 各杆的内力按其刚度分配；（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。
简单超静定问题
A
Me
C
Me
D
B
例题
已知: 已知: Me , a GIP 求：作扭矩图
a A
Me
a C
Me
a D B MB
a
a
a
解：1. 受力分析
一次超静定
2. 建立相当系统 解除约束B 解除约束B, 代之以多余未知力偶 MB 3. 建立几何方程 φAB = φAC＋ φCD＋ φDB = 0
φAB = φAC＋ φCD＋ φDB = 0 A 1 a
FN2l 2 FN3l3 FN1l1 = = cosα E2 A2 E3 A3 E1A1
⑶
FN2 = FN3
⑴ ⑵
FN1 + FN2 cosα + FN3 cosα F = 0
F 2l2 F 3l3 F 1l1 N N = = N cos α E2 A E3 A EA 2 3 1 1
⑶
B
C
D
联解⑴ 联解⑴，⑵，⑶式，得
3.列几何方程： 3.列几何方程： 列几何方程
l3
A
l2 l1
l2 = l3 = l1cosα
A
F
4.列物理方程 4.列物理方程
FN1l1 l1 = , E1A 1
l2 = l3 = l1cosα
FN2l2 l2 = l3 = E2 A2
5. 列补充方程 将物理方程代入几何方程得： 将物理方程代入几何方程得：
变形比较法
1. 多余约束
A
Me
C
Me
D
B
a A
Me
a C
Me
a D B
a
a
a
2. 相当系统
A
超静定问题的解题步骤_概述说明以及解释
超静定问题的解题步骤概述说明以及解释1. 引言1.1 概述目前，超静定问题在工程设计和科学研究中扮演着至关重要的角色。
超静定问题是指那些具有多余约束条件的力学系统，在这种情况下，物体的运动过程不止一个可能的解。
解决超静定问题需要使用特定的数学工具和分析方法。
本文将介绍解题步骤，为读者提供一个清晰而简洁的指南。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
在引言部分，我们将概述文章内容，并简要介绍超静定问题及其重要性。
第二部分将对超静定问题进行详细讨论，包括定义、背景知识以及实际应用场景。
接下来，第三部分将总结解题步骤，并概括每个步骤所需考虑的关键点。
第四部分则会更加详细地解释每个步骤，并提供具体操作步骤和示例。
最后，在结论与总结部分，我们将总结解题步骤，并讨论可能遇到的困难与挑战，以及其他相关问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解超静定问题和解题步骤。
通过详细讲解每个步骤的要点和操作方法，读者将能够更加轻松地解决超静定问题，并理解其在实际工程和科学领域的应用。
我们希望本文能成为读者解题过程中的有价值的参考资料，提供清晰而系统化的指导。
2. 超静定问题简介:2.1 定义和背景知识:超静定问题是指在静力学中，物体受到的约束超过了必要的约束数量。
这意味着通过仅使用平衡方程无法求解未知变量的值。
超静定问题在工程、建筑和力学领域中经常出现，并需要特殊的解题方法来找到合适的解决方案。
2.2 超静定问题的重要性:理解和解决超静定问题对于设计和分析结构非常重要。
一些实际应用场景中，超静定结构可以提供更高的刚度、稳定性和可持续性。
因此，研究人员和工程师需要掌握解决超静定问题的技巧。
2.3 实际应用场景:超静定问题广泛应用于建筑、土木工程、桥梁设计以及机械工程等领域。
例如，在建筑设计中，支撑柱或梁受到多个支点约束时可能会出现超静定问题。
在机械工程中，一些连接件或装配件也可能涉及到超静定问题。
了解超静定问题的定义、背景知识以及其在实际应用中的重要性对于理解本文后续将介绍的解题步骤至关重要。
材料力学(刘鸿文)第十四章超静定结构
P
aa
2a
2a
4、作刚架的弯矩图
q=4KN/m B
4m
4m
C
四、静不定综合
1、两根长为L＝2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝
相连。左边梁的抗弯刚度为EI1＝50KNm2，右边梁的抗弯刚度 为EI2＝150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E＝70GPa， 求在两梁的跨中施加两个2KN的力后，金属丝内的应力。
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。
9 相当系统
在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。
R
P
P
M P
10 超静定问题的分析方法
1.位移法： 以未知位移为基本未知量。
列出用位移表示的力的平衡方程
2.力法： 以未知力为基本未知量。
① 变形比较法 ② 力法正则方程 ③ 三弯矩方程
§14–2 变形比较法 原理：
支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中
点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作
用力方向的位移。
D
P
A
B
C
15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由 铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的 长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十四章 超静定结构
EI 对
EI 对
EI 对
E1I1
称 E1I1 E1I1 轴
称 E1I1 E1I1 轴
称 E1I1 轴
15
正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大
大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零；
反对称变形对称截面上，对称内力为零。
例如： 对 称
X2 X3 X3
X1 X1 X2 P
轴
X3 X3
24
[例4 ] 试用三弯矩方程作等刚度连续梁AC的弯矩图。见图(a)。
解：AC梁总共有二跨，跨
q
长l1=l2=l 。中间支座编号应 (a)A
取为1，即n=1。由于已知0，
l
2两支座上无弯矩，故
P=ql
B
C
l/2 l/2
M n1M00; M nM1M B; M n1M 20
q (b)A
MB P=ql
26
将图(d)中的单位弯矩图乘以
5 ql 2 32
便得到MB在简支梁上 产生的M图，
再与载荷引起的M 图(c)相加，
就得到梁AC的弯矩 (e) 图，见图(e)。
1 ql 2 8
1 ql 2 4
5 ql 2 32
11ql 2 64
+
+
–
5 ql 2
32
27
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X1
5 16
P
(f)
⑥求其它约束反力
11P 16
A
3Pl 16
由平衡方程可求得A端反
力，其大小和方向见图(f)。
⑦进一步可作其他计算： 如作弯矩图可如图（g）所示
(g) –
材料力学第14章02-超静定结构-对称性质
2
2
2
F A
C
D
B F
M Fa( 1 cos )
A
2
C
1
D
M a( 1 cos ) 2
1 B
AB
4
2 0
MMad
EI
0.149
Fa 3 EI
本节重点—你学会吗？
• 1、超静定结构的概念及分类; • 2、正则方程的理解； • 3、超静定结构的求解；
13
§14–3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某
一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构 对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称 轴，则结构将产生反对称变形。
对 称 轴
对称结构
对 称 轴
对称载荷
对 称 轴
D B
F
[例14-5 ] 试求AB 直径的长度变化。圆环的EI为常数。 F
F
A
A
C
D
C
D
a
B
FCΒιβλιοθήκη DB FF A
C
X1
F/2
D
X1
F/2
Fy 0
A
11X1 1F 0
D
X1
F/2
A
A
D
11X1 1F 0
D
F/2
1
M Fa (1 cos)
2
M 1
1F
02
MMad
EI
Fa 2 EI
2 (1 cos )(1)d
0
Fa 2 ( 1)
2EI 2
11
2
MMad
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q
Fy 0
5 FA ql () 8
MA
FA
FB
( f B 0)
M
A
(F ) 0
）
1 4 M A ql （ 8
工程力学电子教案
（2）绘剪力图和弯矩图：
Q 5ql/8
+
x 5l/8 3ql/8
ql2 /8
+ M 9ql2 /128
x
工程力学电子教案
(3) 求: qB , wC (叠加原理) (a)
A
1
a
2 C
a
3 l B
F
F1 F2
若设 E1 A1 E2 A2 E3 A3 , 则
5 F1 F (拉) 6
1 F2 F (拉) 3
F3
1 F3 F (压) 6
l1
l 2
l3
(b)
工程力学电子教案
思考题 14-1 若杆3的截面刚度E3A3远大于1、2杆的截面刚度 EA，则 三杆的轴力各为多少？超静定杆系中各杆内力之比与杆
A
(c)
将(c)式代入(b)式，得补充方程
2FA F FB 0
工程力学电子教案
(4) 解方程:
FA FB
FA
F
F D
FB
2FA F FB 0
得
F FA FB 3
A
C (b)
B
FN
F 3
(c)
F 3
x
max
FCD 2 F (压) A 3A
2F 3
(2) 当间隙 0时 F l t
EA 233 kN l
233 103 N F 6 14 . 56 10 Pa 14.56 MPa 4 2 A 10 16 10 m
降低温度应力的措施：伸缩缝，膨胀节。
工程力学电子教案
(2) 装配应力
余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示：
F2
C A
F1
D B
FA
平衡方程得出结果。
FD
FC
FB
上图为二次超静定问题，亦即其约束反力不可单由
工程力学电子教案
再如：
MA
q
A
FA
B l
FB
上图为“一次超静定问题”，其解同样也不能单由平衡
方程求解得到，需要位移协调条件如：
wB 0
与平衡方程联合求解。
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
工程力学电子教案
例14 - 6答案
解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
l FN 2 8 FN 2 d 2 Ed 2 E 4 l 2 l d1 d1 2 FN d1 2 T 1 GI P GI P
Fx 0, FN1 sin FN 2 sin 0
F N3
FN2
A F
x
A F
Fy 0, FN3 FN1 cos FN2 cos F 0
工程力学电子教案
B D C
(2) 补充方程(变形协调条件)
1
3
2
l1 l3 cos
(3)胡克定理
(5) 解方程, 得:
4 1 E2 A2 E3 A3 F1 F (拉 ) 1 4 1 E1 A1 E2 A2 E3 A3
A
1
a
2
a
3
l
B
C
F
工程力学电子教案
2 E1 A1 F2 F (拉 ) 1 4 1 E1 A1 E2 A2 E3 A3 1 E1 A1 F3 F (压) 1 4 1 E1 A1 E2 A2 E3 A3
Ma M Bl 0 GI GI
MB
MA
即 得 则
Ma l
Mb l
工程力学电子教案
例14-6 图示AC杆为等截面圆轴，在B截面处受外矩T=7 kN· m 作用。该圆轴A端固定，C端在上、下两点处分别与直径均 为d2的两圆杆相连。已知圆轴和圆杆的材料相同，且材料 的两个弹性常数E与G之间有如下关系：G=0.4E。试求圆 轴AC中的最大切应力。
1
a
2 C (a)
a
3
l
A
F
B
Байду номын сангаас
F1
F2
F3
l1
l 2
(b)
l3
l1
F1
F2
F3
l 2
(c)
l3
工程力学电子教案
对(c)图:
(1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
F
y
0, F1 F2 F3 F 0
A
F
M
0, aF2 2aF 3 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
工程力学电子教案
2 求解超静定问题的基本方法 (1) 画受力图, 列出独立的平衡方程, 并确定超静定次数;
(2) 根据问题的变形相容条件写出变形协调方程；
(3) 再通过胡克定律导出物理方程－－力与位移的关系式；
(4) 将物理方程代入变形协调方程导出补充方程;
(5) 联立求解平衡方程和补充方程, 解出全部未知力。
C 10 2 . 6 10 N E
t 10 C
m2
求 :当t1 50C, 梁对墙的推力及梁的应 力。
工程力学电子教案
解： (1) 当间隙 2 mm时
变形协调方程：lt lF
lt l t 物理方程： F l lF EA
t 40 C
工程力学电子教案
3 拉压杆超静定问题 例14-1：已知: F , l , E , A。求: 解: 此为一次超静定问题
A
max
F l C l (a) FA A C (b) F F D FB B F D B l
(1) 平衡方程
F
x
0
FB FA
(2) 变形协调方程
l 0
工程力学电子教案
l1 l2 l2 l3
即l1 2l2 l3 0
(3) 物理方程 Fl l1 1 E1 A1 (a)
l1
l 2
l3
l2
F2l E2 A2
l3
F3l E3 A3
(b)
工程力学电子教案
(4) 补充方程 将(b)代入(a)
F3 F1 F2 2 0 E1 A1 E2 A2 E3 A3
工程力学电子教案
例14-2
设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截
面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A ，E1= E2=E；3杆长 度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力
B D C
解：此为一次超静定问题
(1)由节点A的平衡条件列出平衡方
1
3
2
程
y
F N1
约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条件求解，试列
出其求解过程。
工程力学电子教案
解:
M A B
MB
fB=0
先考虑 M 作用，则
M a fBA1 GI p 只考虑MB的作用，则
fBA2
M B ( a b) M B l GI GI
工程力学电子教案
T
A
TB
B
相容条件：
fB fBA1 fBA2
A A'
FN1l l1 EA
l3
FN 3l cos l3 E3 A3
(4)补充方程变为
FN1 FN3
EA 2 cos E3 A3
工程力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 FN 2
F
E3 A3 2 cos EAcos2 F FN 3 EA 3 1 2 cos E3 A3
的支座或杆件，即多余约束，从而使问题中未知力的数目
多于能够建立的独立平衡方程的数目。因此，求解的方法 就是寻找足够数量的补充方程与静力平衡方程联立求解。
工程力学电子教案
（2） 多余约束与变形相容条件 超静定结构 = 静定结构 + 多余约束
多余约束——其对于保证结构的平衡与几何不变而言是 多余的。 多余约束的数目——超静定次数。 超静定次数 = 全部未知力数目－独立的平衡方程数 变形相容条件：为了保持杆系的原结构，在杆系 变形之间存在着的相互制约的条件。
件的刚度之比有关这一情况在静定杆系中是否存在？原
因何在？
2
C (a)
1
A F
a
a
3
B
l
工程力学电子教案
思考题14-2 图示杆系中各杆材料相同。已知：三根杆的横截面 面积A1=200 mm2，A2=300 mm2，A3=400 mm2，荷载F=40kN。 试求各杆横截面上的应力。
C
2 3 D 4m F
0
B
30
0
60
1
A
工程力学电子教案
参考答案：
C 2 3 B
F2
1 F3
F1
A
0
60
0
30
4m
F 2
D
F
A
1 A
Δ2
Δ1 2 Δ2 3 Δ3 3F3l3 F1l1 2 F2l2 EA1 EA2 EA3
3
Δ1
Δ3
工程力学电子教案
F1 35.5 kN F2 8.96 kN F3 7.76 kN
Fy 0
5 FA ql () 8
MA
FA
FB
( f B 0)
M
A
(F ) 0
）
1 4 M A ql （ 8
工程力学电子教案
（2）绘剪力图和弯矩图：
Q 5ql/8
+
x 5l/8 3ql/8
ql2 /8
+ M 9ql2 /128
x
工程力学电子教案
(3) 求: qB , wC (叠加原理) (a)
A
1
a
2 C
a
3 l B
F
F1 F2
若设 E1 A1 E2 A2 E3 A3 , 则
5 F1 F (拉) 6
1 F2 F (拉) 3
F3
1 F3 F (压) 6
l1
l 2
l3
(b)
工程力学电子教案
思考题 14-1 若杆3的截面刚度E3A3远大于1、2杆的截面刚度 EA，则 三杆的轴力各为多少？超静定杆系中各杆内力之比与杆
A
(c)
将(c)式代入(b)式，得补充方程
2FA F FB 0
工程力学电子教案
(4) 解方程:
FA FB
FA
F
F D
FB
2FA F FB 0
得
F FA FB 3
A
C (b)
B
FN
F 3
(c)
F 3
x
max
FCD 2 F (压) A 3A
2F 3
(2) 当间隙 0时 F l t
EA 233 kN l
233 103 N F 6 14 . 56 10 Pa 14.56 MPa 4 2 A 10 16 10 m
降低温度应力的措施：伸缩缝，膨胀节。
工程力学电子教案
(2) 装配应力
余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示：
F2
C A
F1
D B
FA
平衡方程得出结果。
FD
FC
FB
上图为二次超静定问题，亦即其约束反力不可单由
工程力学电子教案
再如：
MA
q
A
FA
B l
FB
上图为“一次超静定问题”，其解同样也不能单由平衡
方程求解得到，需要位移协调条件如：
wB 0
与平衡方程联合求解。
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
工程力学电子教案
例14 - 6答案
解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
l FN 2 8 FN 2 d 2 Ed 2 E 4 l 2 l d1 d1 2 FN d1 2 T 1 GI P GI P
Fx 0, FN1 sin FN 2 sin 0
F N3
FN2
A F
x
A F
Fy 0, FN3 FN1 cos FN2 cos F 0
工程力学电子教案
B D C
(2) 补充方程(变形协调条件)
1
3
2
l1 l3 cos
(3)胡克定理
(5) 解方程, 得:
4 1 E2 A2 E3 A3 F1 F (拉 ) 1 4 1 E1 A1 E2 A2 E3 A3
A
1
a
2
a
3
l
B
C
F
工程力学电子教案
2 E1 A1 F2 F (拉 ) 1 4 1 E1 A1 E2 A2 E3 A3 1 E1 A1 F3 F (压) 1 4 1 E1 A1 E2 A2 E3 A3
Ma M Bl 0 GI GI
MB
MA
即 得 则
Ma l
Mb l
工程力学电子教案
例14-6 图示AC杆为等截面圆轴，在B截面处受外矩T=7 kN· m 作用。该圆轴A端固定，C端在上、下两点处分别与直径均 为d2的两圆杆相连。已知圆轴和圆杆的材料相同，且材料 的两个弹性常数E与G之间有如下关系：G=0.4E。试求圆 轴AC中的最大切应力。
1
a
2 C (a)
a
3
l
A
F
B
Байду номын сангаас
F1
F2
F3
l1
l 2
(b)
l3
l1
F1
F2
F3
l 2
(c)
l3
工程力学电子教案
对(c)图:
(1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
F
y
0, F1 F2 F3 F 0
A
F
M
0, aF2 2aF 3 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
工程力学电子教案
2 求解超静定问题的基本方法 (1) 画受力图, 列出独立的平衡方程, 并确定超静定次数;
(2) 根据问题的变形相容条件写出变形协调方程；
(3) 再通过胡克定律导出物理方程－－力与位移的关系式；
(4) 将物理方程代入变形协调方程导出补充方程;
(5) 联立求解平衡方程和补充方程, 解出全部未知力。
C 10 2 . 6 10 N E
t 10 C
m2
求 :当t1 50C, 梁对墙的推力及梁的应 力。
工程力学电子教案
解： (1) 当间隙 2 mm时
变形协调方程：lt lF
lt l t 物理方程： F l lF EA
t 40 C
工程力学电子教案
3 拉压杆超静定问题 例14-1：已知: F , l , E , A。求: 解: 此为一次超静定问题
A
max
F l C l (a) FA A C (b) F F D FB B F D B l
(1) 平衡方程
F
x
0
FB FA
(2) 变形协调方程
l 0
工程力学电子教案
l1 l2 l2 l3
即l1 2l2 l3 0
(3) 物理方程 Fl l1 1 E1 A1 (a)
l1
l 2
l3
l2
F2l E2 A2
l3
F3l E3 A3
(b)
工程力学电子教案
(4) 补充方程 将(b)代入(a)
F3 F1 F2 2 0 E1 A1 E2 A2 E3 A3
工程力学电子教案
例14-2
设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截
面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A ，E1= E2=E；3杆长 度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力
B D C
解：此为一次超静定问题
(1)由节点A的平衡条件列出平衡方
1
3
2
程
y
F N1
约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条件求解，试列
出其求解过程。
工程力学电子教案
解:
M A B
MB
fB=0
先考虑 M 作用，则
M a fBA1 GI p 只考虑MB的作用，则
fBA2
M B ( a b) M B l GI GI
工程力学电子教案
T
A
TB
B
相容条件：
fB fBA1 fBA2
A A'
FN1l l1 EA
l3
FN 3l cos l3 E3 A3
(4)补充方程变为
FN1 FN3
EA 2 cos E3 A3
工程力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 FN 2
F
E3 A3 2 cos EAcos2 F FN 3 EA 3 1 2 cos E3 A3
的支座或杆件，即多余约束，从而使问题中未知力的数目
多于能够建立的独立平衡方程的数目。因此，求解的方法 就是寻找足够数量的补充方程与静力平衡方程联立求解。
工程力学电子教案
（2） 多余约束与变形相容条件 超静定结构 = 静定结构 + 多余约束
多余约束——其对于保证结构的平衡与几何不变而言是 多余的。 多余约束的数目——超静定次数。 超静定次数 = 全部未知力数目－独立的平衡方程数 变形相容条件：为了保持杆系的原结构，在杆系 变形之间存在着的相互制约的条件。
件的刚度之比有关这一情况在静定杆系中是否存在？原
因何在？
2
C (a)
1
A F
a
a
3
B
l
工程力学电子教案
思考题14-2 图示杆系中各杆材料相同。已知：三根杆的横截面 面积A1=200 mm2，A2=300 mm2，A3=400 mm2，荷载F=40kN。 试求各杆横截面上的应力。
C
2 3 D 4m F
0
B
30
0
60
1
A
工程力学电子教案
参考答案：
C 2 3 B
F2
1 F3
F1
A
0
60
0
30
4m
F 2
D
F
A
1 A
Δ2
Δ1 2 Δ2 3 Δ3 3F3l3 F1l1 2 F2l2 EA1 EA2 EA3
3
Δ1
Δ3
工程力学电子教案
F1 35.5 kN F2 8.96 kN F3 7.76 kN