图与网络模型
生态学研究中的网络模型和图论方法研究
生态学研究中的网络模型和图论方法研究随着社会和环境问题日益凸显，生态学已逐渐成为一个备受关注的研究领域。
而为了更好地理解和解决生态学中的问题，网络科学中的网络模型和图论方法被引入其中，为生态学研究提供了新的思路和研究方法。
一、网络模型和图论方法在生态学中的应用网络模型建立在节点和边之上，将复杂的系统抽象成简单的网络结构。
而在生态学中，各种生物之间的关系可以被看作是网络结构，包括捕食关系、植物互相竞争、物种之间的营养流等等。
通过构建网络模型，我们可以更好地理解这些关系，预测不同物种间的影响和变化。
在构建网络模型的基础上，图论方法进一步对其进行深入分析。
比如，通过研究网络中的中心节点和度分布等特征，可以评估其弹性和稳定性；通过模拟环境变化，可以预测物种灭绝的可能性等等。
二、生态系统网络模型应用举例1. 食物链网络模型食物链是生态系统中的基本组成部分，它描述了物种相互间的捕食和被捕食关系。
我们可以通过简单的网格模型将食物链建立起来，网格的每个节点代表不同的物种，而边则表示两个节点之间的捕食关系。
另外，对于不同的食物链，我们也可以将其用不同的颜色来标注。
2. 竞争网络模型植物之间的竞争是生态学研究中的一个重要课题。
通过构建网络模型，我们可以更好地理解和分析植物间的相互作用。
比如，我们可以将不同的植物放在一个二维网格中，在相邻的节点之间连上边，表示它们之间存在某种形式的竞争关系。
这样，我们可以模拟不同植物间的竞争态势，找出一些优势植物以及它们的竞争策略。
3. 营养网络模型营养网络模型用于描述生态系统中不同物种之间的营养关系，比如，植物吸收土壤中的营养物质，而食草动物则依赖于植物来获取能量。
我们可以将这样的关系用网络结构来显示，节点代表不同物种，而边则表示它们之间的营养关系。
通过对网络结构的分析和模拟，我们可以更好地推断不同物种间的相互作用和变化趋势。
三、生态学中网络模型和图论方法的意义1. 帮助我们更好地理解生态系统生态学中的网络模型和图论方法可以将复杂的生态系统抽象为简单的网络结构，从而帮助我们更好地理解不同生物之间的关系，以及这些关系的后果和变化。
图与网络分析
end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
2022年数学建模算法与应用-图与网络模型着色问题和旅行商问题
{'赵','刘','孙'};{'张','王','孙'};{'李','刘','王'}};
n = length(s); w = zeros(n);
for i = 1:n-1
for j =i+1:n
if ~isempty(intersect(s{i},s{j}))
w(i,j)=1;
end
end
end
[ni,nj] = find(w); %边的顶点编号
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
v1
v5
v6
v3
v2
v4
图 4.14 部门之间关系图
航空基础学院数学第教9研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
构造图G (V , E)，其中V {v1,v2 , ,v6 }，这里 v1,v2 , ,v6分别表示部门 1，部门 2，…，部门 6； E 为边集，两个顶点之间有一条边当且仅当它们代表的 委员会成员中有共同的人，如图 4.14 所示，该图可以 用 4 种颜色着色，可以看出至少要用 4 种颜色，v1,v2 ,v3 构成一个三角形，必须用 3 种颜色，v6和这 3 个顶点 都相邻，必须再用一种颜色。
w = w + w'; %计算完整的邻接矩阵
deg = sum(w); K = max(deg) %顶点的最大度
prob = optimproblem;
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
已知图G (V , E)，对图G 的所有顶点进行着色时， 要求相邻的两顶点的颜色不一样，问至少需要几种颜 色？这就是所谓的顶点着色问题。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
第八章 图与网络模型(应用运筹学)
中文书中称赋 权的图为网络
v2
v3
v2
v3
v5
v5
v1
图6-4
v4
v1
图 6-5
v4
5
一条链是(A Path)某些点与(连接这些点)的边的交替序列。无重复顶 点和重复边的链称为初等链
图 6-5 中v1 →v2 →v3→v4 → v5 为一条链，且为一条初等链， 而v1 →v4→v2 →v3→v4 → v5 不是初等链
§2
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点vs和vt找 到一条从 vs 到 vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最 小，这条路被称之为从vs到vt的最短路。这条路上所有弧的权 数的总和被称为从vs到vt的距离。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法永久与临时标号)
(v1) 赵 e1 (v2)钱 (v5) 周
e2
(v3)孙
e3
e4 (v4) 李 (v7)陈 e5
(v6)吴
图6-3
2
§1
图与网络的基本概念
无向图： 由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
有向图： 由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
Graph (Network ) G = (V, E) Node set (Vertex set) V = { v1, v2 , v3 , v4 , v5 } 顶点集 弧集 Arc Set E ={(v1, v2), (v1, v4 ), (v2, v3 ), (v2, v4 ), (v3, v4 ), (v3, v5 ), (v4, v5 ), } (Edge set) (边集) 有向弧Directed Arc 无向弧(边)Undirected Arc P54
运筹学课件-第六章图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
基于图论算法的社交网络分析与模型构建
基于图论算法的社交网络分析与模型构建社交网络已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。
人们通过社交网络平台与他人交流、分享信息、建立联系。
随着社交网络的快速发展，对社交网络的分析与建模也变得越来越重要。
基于图论算法的社交网络分析与模型构建成为一种有效的方法，可以揭示社交网络中隐藏的模式和结构，为我们提供深入了解和预测用户行为、信息传播和社会关系等方面提供支持。
在基于图论算法的社交网络分析中，图是最基本且重要的概念。
在这个框架下，我们可以将用户或实体表示为图中的节点，将他们之间的关系表示为边。
这样一来，我们就可以通过对图结构进行分析来了解用户之间是如何相互联系和影响的。
首先，在进行社交网络分析之前，我们需要收集和处理大量数据。
通过数据收集工具或API接口获取到用户在平台上发布、分享或互动等行为数据，并将其转化成适合进行图论算法处理的形式。
这些数据包括用户个人信息、好友关系、发布内容等。
接下来，在构建图模型时需要考虑节点之间关系以及节点属性对于整个图结构以及后续算法运行结果的影响。
节点之间的关系可以通过边的权重来表示，权重可以反映节点之间的关系强度或者其他度量指标。
节点属性可以包括用户属性、行为特征等，这些属性可以帮助我们更好地理解用户行为和社交网络结构。
然后，我们可以利用图论算法来分析和挖掘社交网络中的模式和结构。
图论算法包括但不限于最短路径算法、中心性算法、社区发现算法等。
最短路径算法可以帮助我们找到两个节点之间最短路径的长度，这对于了解信息传播、影响力传播等具有重要意义。
中心性算法可以帮助我们找到网络中最重要或者最具影响力的节点，这对于社交网络营销和用户推荐等方面具有指导意义。
社区发现算法可以帮助我们发现社交网络中隐藏的子群体或者兴趣群体，这对于了解用户兴趣偏好以及信息传播模式非常有用。
此外，在进行图论分析时还需要考虑图结构动态变化以及大规模数据处理等挑战。
由于社交网络是动态变化的，在进行分析时需要考虑时间维度以及不同时间段内图结构变化对分析结果的影响。
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
图与网络分析-(共34张PPT)
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
OR图与网络模型
11
作业 P253 1、3、4
12
THE END
Management school Inner Mongolia University of Technology
13
。
每条弧的实际流量fij≤ 该弧的容量 cij
1非.数负学条模件型：：每例条6弧，的石实油际公流司量铺fi管j≥0道，求最大流量
P242 设，弧(vi，vj)中的实v2 际流量f3ij
v5
Max Z = f12 + f14
2
5
f12 = f23 + f25 f14 = f43+f46+f47 f23+f43 = f35+f36 f25+f35=f57 f36+f46=f67
V，图D的点的集合 1
A，图D的弧的集合
链：点、边交错的序列
圈：起点也是终点的链
连通图：任意两点间有链
权：边上对应的数字，wij
赋权图：每条边都有权wij
e1
e2
V1
V2
e4 e5
V3 e3
V4
V5
路：点、弧交错的序列，同向 回路：起点也是终点的路
权：弧上对应的数字，cij
网络：每条弧都有权(容量cij)， 指定一个发点、一个收点 其它为中间点 。
第第34v步 步1 ，，继根46续 据， 最直 后v2到 的没 顺有 流v路、16。逆流容量4，核v定2 实际流量。
v2
3 3
0 v5
0
2
0
5
6
v1 63 0 v4
02
0 v3
2 0
0
4
网络数学实验6图与网络分析-最短路问题
实验六：图与网络分析-最短路问题
一、实验目的：掌握不同问题的输入方法，求解网络模型，观察求解步骤，显示并读出结果。
二、内容和要求：用WinQSB软件求解最短路问题，并对结果进行简单分析。
例：求下图的最短路。
三、操作步骤：
1．“开始”菜单→“winQSB”→“Network Modeling”（网络模型）。
2．建立新问题：File→New Problem，出现下面界面。
选择Shortest Path Problem、Minimization、输入问题标题、节点的个数，然后单击“OK”。
3．修改节点名称：菜单“Edit”→“Node Names”，编辑完点“OK”，如下图。
4．按下图输入图的权矩阵，本例是无向图，每一条边必须输入两次。
5．菜单“Solve and Analyze”→“Solve the Problem”，出现以下对话框，
6．然后选择起点v1和终点v10，点“Solve”按键，出现下图：
从图中可以看到v1到v10的最短路径为v1→v3→v7→v10，总长为6，另外从v1到其他各点的最短距离也都计算了出来。
7．实例求解：有九个城市v1，v2…，v9，其公路网如下图，弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从v1运到v9，试用Dijkstra方法求出走哪条路最短？
自己先用标号法求出最短路，然后用winWSB软件进行验证。
8．思考题：教育部门打算在某新建城区建一所学校，让附近七个居民区的学生就近入学。
七个居民区之间的道路如下图所示，学校应建在哪个居民区，才能使大学都方便？(图中距离单位：百米)。
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
大规模社交网络图谱分析与建模
大規模社交網絡圖譜分析與建模在当今社会中，社交网络已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
无论是Facebook、Twitter还是Instagram，这些社交网络平台都成为了人们日常生活和工作中得以对话和连接的重要工具。
人们在社交网络中相互分享各自的生活，这使得社交网络成为了一个分析人类行为和趋势的重要数据源。
因此，对社交网络进行大规模图谱分析和建模，对于我们了解和研究人类社交行为、社会网络结构和互动模式非常重要。
在社交网络中，社交关系是构成网络结构的基本元素。
针对这一点，研究者们提出了许多模型来揭示社交网络的结构和特征。
例如，Kleinberg等人在2000年提出了“小世界网络”模型，这个模型主要关注社交网络的“短路径”特征，即任意两个节点之间可能存在较短的关系链。
Watts和Strogatz提出了“随机重连模型”，它揭示了社交网络中的团簇结构和拓扑结构转换的一些基本规律。
另外，还有沙龙等人提出的“规模无关网络”模型，它主要考虑了那些随机增长的网络中的节点度数分布等特征。
除了上述最经典的模型外，目前已经有很多研究者在社交网络的建模和分析方面做出了其他可取的探索性工作，这些工作将社交网络的分析从单纯的拓扑结构和区域分析扩展到了更为复杂的层次，例如关注人们在社交网络上的内容生成、交流和共享等方面。
在社交网络的大规模图谱分析和建模方面，人类社交行为和社会互动活动的传递是一个非常重要的问题。
从这个角度出发，可以考虑模型的一些重要指标，例如传染性、关键节点和网络结构等方面的特征。
这些指标在社交网络的研究中具有重要的地位，研究者们通过研究这些指标，得出了许多有意义的结论和发现。
例如，社交网络中节点的度数分布往往服从“幂律分布”，这意味着网络中存在一些节点，这些节点链接着较大数量的其他节点。
这些节点被称为“度中心性”，与其紧密相连的节点被称为“接口点”，在疾病传播、信息传递等方面扮演着非常重要的角色。
除此之外，在覆盖网络的分析中，也有很多相似的模型和分析工具，例如“节点覆盖”、“简化节点覆盖”等。
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流.详解共102页文档
Hale Waihona Puke 31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大 流.详解
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
高等数学中的复杂网络与图模型
复杂网络与图模型是研究高等数学中的一个重要分支领域，它研究的是有大量节点和连接关系的网络或图的性质和特点。
在现实生活中，许多实体系统都可以用复杂网络来表示，如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
因此，复杂网络与图模型的研究对于了解现实世界的复杂系统具有重要意义。
在复杂网络与图模型的研究中，最基本的概念是节点和边。
节点代表网络中的个体或物体，边表示节点之间的连接或关系。
通过分析节点和边的特性，可以揭示网络中的结构和功能。
例如，节点的度是指与该节点相连的边的数量，它可以用来度量节点的重要性和影响力。
边的权重则表示节点之间的强弱关系，通过权重可以分析节点之间的相似性或差异性。
复杂网络与图模型的研究方法非常多样，其中最常见的方法之一是分析网络的拓扑结构。
拓扑结构包括节点的分布、节点之间的连接方式、网络的层次结构等。
常见的拓扑结构包括随机网络、小世界网络和无标度网络。
随机网络是指节点之间的连接关系是随机的，它的拓扑结构非常均匀。
小世界网络则是介于随机网络和无标度网络之间的一种网络结构，它既具有良好的聚类特性，又具有短路径长度。
无标度网络则是节点的度分布服从幂律分布的网络，即存在少量的高度连接的节点，而大多数节点只有很少的连接。
除了分析网络的拓扑结构外，复杂网络与图模型的研究还可以通过网络的动力学过程来揭示网络的行为。
动力学过程包括信息传播、疫情传播、蛋白质相互作用等。
通过动力学模型的建立和分析，可以研究网络中节点的演化规律和行为模式。
复杂网络与图模型的研究不仅在理论层面上具有重要意义，还有很多实际应用。
例如，在社交网络中，通过研究网络的拓扑结构和节点的行为模式，可以预测用户的行为和兴趣，为个性化推荐和广告投放提供参考依据。
在疫情传播的研究中，通过分析网络的拓扑结构和节点的动力学行为，可以预测疫情的传播趋势和控制策略。
同时，复杂网络与图模型的研究还可以应用于交通网络、金融网络、生物网络等领域。
总之，高等数学中的复杂网络与图模型是一个研究网络和图的性质和特点的重要领域。