高等数学映射与函数 ppt课件
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高数高等数学1.1映射与函数
3
y
x 3 相同
y 2ln x 不同 (定义域不同)
定义域的确定：
1）根据实际问题；
2）自然定义域：使算式有意义的一切实数值. 如何求函数的自然定义域？ ♠ 分式的分母不等于零； ♠ 偶次根号内的式子应大于或等于零； ♠ 对数的真数应大于零； ♠ arcsin x或 arccos x， x 1； ♠ 若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定 义域的交集； ♠ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
f ( x) x2 ,
x (, )
f
y (0, )
f 是一个映射
满射 若R f Y，称 f 为满射.
X
f
Y f (X )
单射 若x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )称 f 为满射.
X
Y
一一映射（双射） 既是满射又是单射.
例2 设 X {( x, y ) | x 2 y 2 1}, Y {( x, 0) | x 1},
应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函 数，否则称为多值函数．
例如，x 2 y 2 a 2． y a 2 x 2
多值函数
函数的表示方法：
1）表格法
2）图形法
3）解析法(公式法)
函数的图形
y
Rf
y
( x, y)
y
x 3 相同
y 2ln x 不同 (定义域不同)
定义域的确定：
1）根据实际问题；
2）自然定义域：使算式有意义的一切实数值. 如何求函数的自然定义域？ ♠ 分式的分母不等于零； ♠ 偶次根号内的式子应大于或等于零； ♠ 对数的真数应大于零； ♠ arcsin x或 arccos x， x 1； ♠ 若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定 义域的交集； ♠ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
f ( x) x2 ,
x (, )
f
y (0, )
f 是一个映射
满射 若R f Y，称 f 为满射.
X
f
Y f (X )
单射 若x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )称 f 为满射.
X
Y
一一映射（双射） 既是满射又是单射.
例2 设 X {( x, y ) | x 2 y 2 1}, Y {( x, 0) | x 1},
应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函 数，否则称为多值函数．
例如，x 2 y 2 a 2． y a 2 x 2
多值函数
函数的表示方法：
1）表格法
2）图形法
3）解析法(公式法)
函数的图形
y
Rf
y
( x, y)
大学高等数学 1_1 映射与函数
Page 14
−1
(2) 复合映射 引例. 引例
D 1
D
手电筒
D2
D 复合映射
Page 15
定义6. 定义 设有映射链
u = g(x) ∈g(D) ∀x∈D ∀u∈D 1 则当 g(D) ⊂ D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作 或 f g(x), x ∈D.
g f
为奇函数 .
Page 23
(4) 周期性
∀x ∈D, ∃l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
一般指最小正周期 则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π −2π −
o π 2π x
周期为 周期函数不一定 不一定存在最小正周期 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 例如 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
故 f (x) 是周期函数 , 周期为T = 2(b − a )
Page 25
3. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 若函数
−1
为单射, 为单射 则存在逆映射
称此映射 f 为 f 的反函数 . 习惯上, 习惯上 y = f (x), x ∈D 的反函数记成
y = f −1(x) , x ∈ f (D)
g(D)
不可少. 注意: 注意 构成复合映射的条件 g(D) ⊂ D1 不可少 以上定义也可推广到多个映射的情形. 以上定义也可推广到多个映射的情形
−1
(2) 复合映射 引例. 引例
D 1
D
手电筒
D2
D 复合映射
Page 15
定义6. 定义 设有映射链
u = g(x) ∈g(D) ∀x∈D ∀u∈D 1 则当 g(D) ⊂ D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作 或 f g(x), x ∈D.
g f
为奇函数 .
Page 23
(4) 周期性
∀x ∈D, ∃l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
一般指最小正周期 则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π −2π −
o π 2π x
周期为 周期函数不一定 不一定存在最小正周期 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 例如 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
故 f (x) 是周期函数 , 周期为T = 2(b − a )
Page 25
3. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 若函数
−1
为单射, 为单射 则存在逆映射
称此映射 f 为 f 的反函数 . 习惯上, 习惯上 y = f (x), x ∈D 的反函数记成
y = f −1(x) , x ∈ f (D)
g(D)
不可少. 注意: 注意 构成复合映射的条件 g(D) ⊂ D1 不可少 以上定义也可推广到多个映射的情形. 以上定义也可推广到多个映射的情形
《高等数学》第一节：映射与函数
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
公式、定理、性质
逻辑性 抽象性
概念
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、映射
定义域 映射
1
y3
Y
逆映射
Y R f1
Df X
f
D f1 X
y1 y2
x1 x2 x3
f : X Y
Rf
y3
x1 x2 x3
f1
y1
y2
映射
f1 : X Y
满射
注： 只有单射才存在逆映射。
复合映射
映射 g : X Y1 , f : Y2 Z , Y1 Y2 ,
则对每个 x X ， 有唯一的 z Z 适合 f [ g( x )] z ， 定义从 X 到 Z 的映射, 称为 g, f 构成的复合映射，
(1)基本初等函数 幂、指数、对数、三角与反三角
三角函数: sinx, cos x, tan x, cot x 1 1 se cx , csc x cos x sin x
sin2 x cos2 x 1, 三角关系:
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
公式、定理、性质
逻辑性 抽象性
概念
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、映射
定义域 映射
1
y3
Y
逆映射
Y R f1
Df X
f
D f1 X
y1 y2
x1 x2 x3
f : X Y
Rf
y3
x1 x2 x3
f1
y1
y2
映射
f1 : X Y
满射
注： 只有单射才存在逆映射。
复合映射
映射 g : X Y1 , f : Y2 Z , Y1 Y2 ,
则对每个 x X ， 有唯一的 z Z 适合 f [ g( x )] z ， 定义从 X 到 Z 的映射, 称为 g, f 构成的复合映射，
(1)基本初等函数 幂、指数、对数、三角与反三角
三角函数: sinx, cos x, tan x, cot x 1 1 se cx , csc x cos x sin x
sin2 x cos2 x 1, 三角关系:
高数课件映射与函数
映射与函数的关系
1 映射与函数的相同点
映射和函数都是描述元素之间的对应关系，具有相似的数学概念和性质。
2 映射与函数的不同点
映射是一个更普遍的概念，而函数是一种特殊的映射。
3 映射与函数的交叉应用
通过具体案例来展示映射和函数在高等数学中的应用。
映射与函数在高数中的应用
微积分
映射和函数是微积分中研究函数 极限、导数和积分等重要工具。
什么是复合函数?
复合函数是将两个函数结合在 一起形成一个新的函数。
复合函数的性质
复合函数的定义域和值域取决 于两个函数的定义域和值域。
示例
通过具体的数学表达式和图形 展示复合函数的概念和性质。
映射的图像与原像
1
图像
在映射中，图像是指值域中所有对应于定义域中元素的元素。
2
原像
在映射中，原像是指定义域中具有相同图像的所有元素。
高数课件映射与函数
欢迎来到高数课件映射与函数的世界！本课程将带你深入了解映射和函数的 定义、性质以及它们在高等数学中的应用。准备好开始探索吧！
映射的定义和性质
1 什么是映射?
映射是一个将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
2 映射的性质
映射可以是单射、满射或双射，具有重要的代数和几何意义。
图论
映射和函数被广泛应用于图论中 的图的表示和性质研究。
高等数学课件D1_1映射与函数 极限
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 aM.
则 f , 使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f(x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 Rf f(X)f(x)x X称为 f 的 值域 .
kπxkππ时 ,co x t0 22 2
4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如
,
y
x, x,
x0可表为 x0
②
则
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 aM.
则 f , 使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f(x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 Rf f(X)f(x)x X称为 f 的 值域 .
kπxkππ时 ,co x t0 22 2
4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如
,
y
x, x,
x0可表为 x0
②
则
高等数学映射与函数
百度文库
例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
4
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 B A .
因变量 函数的两要素 • 定义域 自变量 定义域 f ( D ) 称为值域
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
11
• 对应规律 的表示方法: 解析法 、图象法、列表法
如, 绝对值函数
定义域 值 域 2、函数的定义域的求法 与它对应，则称 y f x 在 x x0 处有定义。
函数 y f x 若
x
1 1 f ( x) [ f ( x) f ( x)] [ f ( x) f ( x)] 2 2
1 x x 它的偶部分为 1 x x (e e ). 它的奇部分为 (e e ), 2 2 26
有双曲余弦 e e x e x 记 ch x y f ( x) y ch x 2 y 偶函数 x y sh x e x e x o e x e x 奇函数 又如, y f ( x) o x 2
证明 对于任意的
高数课件-映射与函数
例1 设∱：R→R，对每个χ∈R，∱（χ）=χ2。显然，∱是一个映射，∱的定义域Df=R, 值域Rf= y I y ≥0 ，它是R的一个真子集。对于Rf中的元素y，除y=0外，它的原像 不是唯一的。如y=4的原像就有χ=2和χ=-2两个。
例2 设X=（χ,y）I χ2+y2=1 ,Y = (χ,0) I IχI≤1 ，∱：X→Y，对每个（x,y）∈X， 有唯一确定的（χ，0）∈Y与之对应。显然∱是一个映射，∱的定义域Df=X，值域 Rf=Y。在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投射到χ 轴的区间 -1，1 上。
∱:X→Y， 其中y称为元素χ（在映射∱下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
对每个x∈R，有
（∱∘ℊ）（x）=∱ ℊ（x） =
1-sin=2xI cosx I
二.函数
1.函数的概念 定义 设数集D⊂R，则称映射∱：D→R为定义在D上的函数，通常简记为
y=∱(x），x∈D， 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D。
函数的定义中，对每个x∈D，按对应法则∱，总有唯一确定的值y与之对应， 这个值称为函数∱在x处的函数值，记作∱（x），即y=∱（x）。因变量y与自变 量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值∱(x）的全体所构成的集合 称为函数的值域，记作Rf或∱（D），即
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
初 等 函 数
三 . 对数函数 y log x ( a 0 , a 1 ) D ( 0 , ) a
四 .三角函数 y sin xy cos x y tan x y cot x y sec x y csc x
五. 反三角函数 y arcsin x 1 x 1 , y 2 2 y arccos x 1 x 1 , 0 y y arctan x x , y 2 2 y arc cot x x ,0 y
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
映射与函数PPT课件
-
7
定义1：一般地，设A、B是两个集合。如果按照
某种对应法则ƒ，对于集合A中的任何一 个元素，在集合B中都有唯一的元素和它 对应，那么这样的对应（包括集合A、B 及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B 的映射。记作：f：A→B
注意：（1）映射是一种特殊的对应；
（2）符号“f：A→B”表示A到B的映射；
单射
满射
注意：
（1）一一映射是一种特殊的映射。 充要条件
（2）映射和一一映射之间的充要关系
一一映射 映射是一一映射的必要而不充分条件
返回 （3）一一映射： A和B中元素个数相等
-
21
（1） A
f
a
B （2） A
m
1
f
B
3
b
n
2
5
c
p
3
7
d
q
4
9
问题6：图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 发现规律：
-
1
复 习：
1.集合与元素简单关系：
2.集合与集合之间的关系:=
问题1： 符号 的哪边是元素？
a Aa B 问题2：A B，A B，A B
分别表示什么？
-
2
新课：
初中我们学过一些“对应”的例子：
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
高等数学映射与函数PPT课件
映射与函数
注记:
区别符号f与f(x)的不同含义； 函数是特殊的映射.
(3)函数定义域D的确定 掌握函数定义域D的确定原则: (ⅰ)对有实际背景的函数，根据问题的实际意 义确定 ; (ⅱ)对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许 之取值而定（此为自然定义域）.
18
第18页/共52页
映射与函数
(4)单值函数与多值函数 若对xD唯一y Rf，则y=(x)单值； 若xD多个y Rf，则y=(x)多值。 如，x2+y2=r2 (r>0)确定y是x的二值函数。
映射与函数
(3)函数的奇偶性
定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
y y f (x)
y
y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
-x
f (x)
f (x)
x
x
o
xx
偶函数
奇函数
注意: 有非奇非偶的函数 30 第30页/共52页
y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册
( , b) { x x b}
一、基本概念
3.邻域: 设x0与 是两个实数 , 且 0, 数集{x x x0 }称为点 x0的 邻域 ,
记作U ( x0 ) {x x0 x x0 }.
x0
0
x0
x0
x
去心邻域: 记作数集 U ( x0 ) {x 0 x x0 } 半邻域:
第一章 函数与极限
函数— 研究对象 分析基础 极限— 研究方法 连续— 研究桥梁
1.1 映射与函数
一、基本概念 二、函数的概念及其几种特性 三、反函数 四、复合函数 五、初等函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集（列举法） M {x x所具有的特征 } 无限集（描述法）
满射： Y中任一元素y都是X中某元素的像. 单射：若a, b X且a b f (a) f (b). 双射（一一映射）： 既是单射又是满射的映射. 逆映射： 只有单射才存在逆映射. 复合映射：第一个映射的值域包含于第二个映射的定义域. 记作( f g )(x). 注： ( f g )(x)与( g f )(x)是有区别的！
函数的有界性
y M y M x X
y=f(x)
o -M 有界 o -M
高数1-1映射与函数12121
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
4 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2 { x x R , x 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
4 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2 { x x R , x 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
高数映射与函数ppt课件
注意:
1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域.
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
*
对映射
若
, 则称 f 为满射;
若
ห้องสมุดไป่ตู้有
则称 f 为单射;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为双射 或一一映射.
引例2, 3
引例2
引例2
*
例1.
海伦公式
x 换为 f (x)
例5.
解:
*
例6. 求
的反函数及其定义域.
解:
当
时,
则
当
时,
则
当
时,
则
反函数
定义域为
*
内容小结
1. 集合及映射的概念
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
4. 初等函数的结构
作业 P21 4 (5),(8) ,(10); 6; 8; 9; 13 ; 16; 17; 18
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 ,
称为初等函数 .
可表为
故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域.
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
*
对映射
若
, 则称 f 为满射;
若
ห้องสมุดไป่ตู้有
则称 f 为单射;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为双射 或一一映射.
引例2, 3
引例2
引例2
*
例1.
海伦公式
x 换为 f (x)
例5.
解:
*
例6. 求
的反函数及其定义域.
解:
当
时,
则
当
时,
则
当
时,
则
反函数
定义域为
*
内容小结
1. 集合及映射的概念
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
4. 初等函数的结构
作业 P21 4 (5),(8) ,(10); 6; 8; 9; 13 ; 16; 17; 18
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 ,
称为初等函数 .
可表为
故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
高等数学上册第一章函数与极限
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . M *表示 M 中排除 0 的集 ;
注: M 为数集
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
或
交集 A B x
且
差集 A \ B x
且 xB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x , y) x A, y B
特别有 R R 记 R 2
为平面上的全体点集
A B
B A
A\B AB
AB BAc
B AB
A
返回
集合运算法则：
（1）交换律 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y
x, x
,
x 0 可表为 y x0
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
x2 , 1 x 0
例5 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2ex1, 1 x 2
y y f (x)
y
y f (x)
注: M 为数集
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
或
交集 A B x
且
差集 A \ B x
且 xB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x , y) x A, y B
特别有 R R 记 R 2
为平面上的全体点集
A B
B A
A\B AB
AB BAc
B AB
A
返回
集合运算法则：
（1）交换律 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y
x, x
,
x 0 可表为 y x0
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
x2 , 1 x 0
例5 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2ex1, 1 x 2
y y f (x)
y
y f (x)
《高数映射与函数》课件
在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
01
使学生掌握映射与函数的基本概念、性质和定理。
能力培养
02
培养学生运用映射与函数解决实际问题的能力，提高数学素养
。
情感态度
03
激发学生对数学的兴趣，培养其积极探索、严谨求实的科学精
神。
02
映射的概念与性质
映射的定义
总结词
映射是数学中一个基本概念，它描述 了两个集合之间的一种对应关系。
详细描述
映射也称为函数，它是一种特殊的对 应关系，这种关系使得集合A中的每一 个元素都能在集合B中找到唯一确定的 元素与之对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
01
使学生掌握映射与函数的基本概念、性质和定理。
能力培养
02
培养学生运用映射与函数解决实际问题的能力，提高数学素养
。
情感态度
03
激发学生对数学的兴趣，培养其积极探索、严谨求实的科学精
神。
02
映射的概念与性质
映射的定义
总结词
映射是数学中一个基本概念，它描述 了两个集合之间的一种对应关系。
详细描述
映射也称为函数，它是一种特殊的对 应关系，这种关系使得集合A中的每一 个元素都能在集合B中找到唯一确定的 元素与之对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
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(5)常用集合 N ,N ,Z ,Q ,R ,R * ,R
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
{1}301，{2, 3}302，
{4, 5}303，{6}304． 引例(2)设X=Y={1, 2, 3, 4}，规定对应法则：
12，23，34，41．
共同之处:
在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对 X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与
它对应。
11
映射与函数
1.映射概念
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
oa
b
x8
映射与函数
(2)无限区间
[a,) {xax}
oa
x
(,b ){xxb }
ob
x
9
映射与函数
(3)邻域 点a的邻域U(a): 以点a为中心的任何开区间.
点a的δ邻域U(a, δ): U(a, δ)的实质:
U(a, δ)=(a –δ, a +δ ).
U (a ,) {xx a }.
a
a
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
wenku.baidu.com
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), AB: x A x B ; 相等, AB:A B ,且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
(1)基本运算 并, A∪B={x|x A 或 x B} 交, A∩B={x|x A 且 x B}
g：RfX， 对每个yRf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y．这 个映射g称为f的逆映射，记作f-1．其定义域Rf，其 值域X． 问题：请分析补例1是否存在逆映射？
17
映射与函数
(2)复合映射
设映g射 :XY1, f :Y2Z，且 Y1Y2 则复合映射：
f g:XZ, (f g)(x)f[g(x)]x, X.
x
f(x)=
1+ x
．
证明：f是从X到Y的一一映射。 y
证明: ①设yY，取x= 1 - y ，因为0y<1，所以
x0，即xX．我们有
y
x
1-y
f(x)=
=
1+ x 1+
y
1-y
=y．
所以f是满射。
15
映射与函数
②设x1, x2X，f(x1)1+ x1x1;f(x2)=1+ x2x2 x1 ≠ x2时，f(x1) ≠ f(x2)
A
B I
AB
A B
I
AB
5
映射与函数
差, A\B={x|xA且xB}
补, A CI\A(AI);
I
A B
B A
I
A\B
B= AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B { x ,( y ) x A ay n B } d . 6
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A ,A B B A ; 结合律: ( A B ) C A ( B C ) ,
所以f是单射。
综合(1)，(2)所述，f是一一映射。 (4)几种常用的映射(算子)
泛函 f：X → Y(数集); 变换 f：X → X; 函数 f：X (实数集或其子集)→ Y(实数集).
16
映射与函数
2.逆映射与复合映射 (1)逆映射
设f是X到Y的单射,则我们可以定义一个从Rf到 X的新映射g，即
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.
(2)要素 (1)定义域Df X ;
(2)对应法则f ;
(3)值域Rf的范围：Rf Y.
12
映射与函数
注记 X中每个元x素 的像y是唯一的； Rf中每个元y素 的原像不一定是唯；一的 Rf Y，不一定 Rf Y.
13
映射与函数
(3) 满射、单射和双射(一一映射) 满射：Rf=Y ,即Y中任一元素都是X中某元素的像；
单射：x 1 x 2 f( x 1 ) f( x 2 ).
双射（一一映射）： 既是单射，又是满射.
14
映射与函数
补例1 设X是一切非负实数所成的集合，Y= {yyR,
0y<1}，f是从X到Y的一个映射，
3.区间和邻域 (1)有限区间 开区间 (a, b): (a ,b ) {x a x b }
oa
b
x
闭区间 [a, b]: [a ,b ] {x ax b }
oa
b
x
半开区间 [a, b): [a ,b ) {x a x b }
oa
b
x
半开区间 (a, b]: (a ,b ] {x a x b }
( A B ) C A ( B C ) ; 分配律: ( A B ) C ( A C ) ( B C )
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ; 对偶律: (A B ) C A C B C ,
(A B ) C A C B C .
7
映射与函数
a x
问题：如何用邻域表示(1,2)呢？
点 a的去 邻U 心 o域 (a,):U o(a ,){x0xa}.
点a的左δ 邻域: (a –δ, a ).
点a的右δ 邻域: (a , a+ δ).
10
映射与函数
二、映射
引例(1)一个班里有6名男同学,记为X={1, 2,…, 6}， 入学时分配宿舍，共有4个房间可供分配，记为 Y={301, 302,303,304}．我们确定分配方案如下：
第一节 映射与函数
基本概念 函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念 (1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号 aM, aM.
(4)表示 列举法 A { a 1 ,a 2 , ,a n } 描述法 M{xx所具有的}特征
注记:
复合映射的条 Rg 件 D是 f;
两个映射的复合是有顺序的; f g有意义 gf， 未必有意义， 即使二者都有们 意也 义未 ，必 它 . 相同
18
映射与函数
３.举例 例４
( 1 ) 设 映 射 g :(0 ,1 ) ( ,0 ) ,x(0 ,1 ) ,g (x ) ln x 映 射 f:( ,0 ) ( ,0 ) ,u( ,0 ) ,f(u ) u ,