《新概念物理教程 电磁学》

当高频电流通过导线时，在导线同一截面上的电流密 度随r 增大而增大，—— 趋肤效应。 I 定性解释参见图5.7。 定量描述
0
j = j0 e
−
d dS
0
d
式中： d —— 从导线表面向轴线方向的深度； j0 —— 导线表面(d=0)处的电流密度； js —— 趋肤深度，j 减小到j0 的e 分之一 (37%)的深度 2 503 = 理论计算可得： d S = ωμr μ0σ f μ rσ
(d) Φ < 0 ，dΦ > 0 ε < 0 ， ε 与L 反向
图5.5 电动势方向的确定
【结论】： 1. 对任意选定的环路方向， ε 与 2.
dΦ d t 的符号恒相反； dΦ d t 决定；
Φ2
ε 的大小和方向与 Φ无关，只由
q=
dΦ dt
t2 t1
∫ Id t
1 dΦ I = R dt
1 q= R
d ΦB dt
的正负；
ε > 0 ， ε 的方向与L 绕行方向相同； ε < 0 ， ε 的方向与L 绕行方向相反。
n
L
B
L
n
B
ε
(a) Φ > 0 ，dΦ > 0 ε < 0 ， ε 与L 反向
ε
(b) Φ > 0 ，dΦ < 0 ε > 0 ， ε 与L 同向
n
L L
n
ε
B
ε
B
(c) Φ < 0 ，dΦ < 0 ε > 0 ， ε 与L 同向
×
×
× × ×
l × B×
×
v
ε = Blυ
ε = (υ × B ) ⋅ l
x
×
图5.2 例1 用图
【例2】：在均匀磁场中匀速转动的线圈，参见图5.3 。 【解】： 电动势
ε
dΦ dθ = NBS sinθ = −N dt dt
Φ = BS cosθ
S θ B
= NBSω sinω t =ε 0 sinωt
新概念物理教程—
电磁学
物理系 陈锺贤 2006-04-20
第五章 电磁感应与暂态过程
§1 电磁感应定律
一．电磁感应现象
运 动 场 变
~
(1) B (4) I 磁通变 (2) (3)
ΦB 变
~
空 芯
(5)
铁 芯
~
【结论】： 通过闭合回路面积 B的通量发生变化时，回路中就产 生感应电动势（和感应电流），这就称为电磁感应现象。
F = Fx + Fy Fx = −eυ y × B
×
x
×
× × ×
B×
× × ×
功率 P = F ⋅υ = Fx ⋅υx + Fy ⋅υy
× × F × ×
υx υ
= −eυy × B ⋅υx + −eυx × B ⋅υy
y x x y
( ) =−e ⎡υ ⋅ ( B×υ ) +(υ × B) ⋅υ ⎤ ⎣ ⎦ = −eυ ⋅ ⎡( B ×υ ) − ( B ×υ ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦
y x x
(
)
× × F
Fy
υy
×
图5.11 洛仑兹力不做功
即
F ⊥υ
洛仑兹力不做功，洛仑兹力只起传递能量的作用。 要保持金属杆移动速度 υ x ，外力需克服阻力 Fx做功； 电荷受 F y 的作用而获得速度 υ y ，从而获得能量。
二．涡旋电场 感生电动势 洛仑兹力解释不了感生电动势； Maxwell 假说——涡旋电场。 涡旋电场与静电场有本质不同： 静电场：自由电荷激发，电力线有头尾，场的环流为零； 涡电场：变化磁场激发，电力线闭合的，环流不恒为零； 相同点是：对电荷都作用。
∂B —— 电场的旋度 ∇× E = − 由斯托克斯公式 ∂t ∂B —— 静电场 = 0 则 ∫ E ⋅ dl = 0 或 ∇×E =0 稳恒时 ( L) ∂t
【讨论】 ：
dΦ 1. 环流的大小只与 有关，而与Φ 本身的大小无关； dt dB 2. 当回路一定时，只由 决定，与 B 的大小和方向无关 dt 3. 负号表示 E k与 d B 成左螺旋关系；
Fe + f L = 0
E = −υ × B
Ek = υ × B
× × × ×
×
× B× × × ×
× Fe × × f× E L × ×
v
ε
=
∫
(L)
(L)
E k ⋅ dl
图5.9 经典解释
ε = ∫ (υ × B ) ⋅ d l
3. 转动线圈中的动生电动势 设均匀磁场 B 与线圈平面夹角θ ，线圈匝数 N ， 面积S = l1 l2 ， a处
四．涡电流（涡流、Foucault’s currents）
在不能视为线状的连续导体中产生的感应电流 ——涡流。 见图5.6
1 dΦ If = − R dt
B
dΦ dB =S⋅ dt dt
取 则
B = μ 0 nI
If
I = I 0 sin ωt
~
μ 0 nSI 0ω =− ⋅ cos ω t R
图5.6 涡电流
ε0
= NBS ω
或
NBS ω I = cos ω t R I = I 0 cos ω t
式中
I
0
NBS ω = R
【另法】 ：
Φ = NBS sin θ dθ ε = NBS cos θ dt = NBS ω cos ω t
【讨论】 ：洛仑兹力不做功。 参见图5.11
υ = υx + υ y
Fy = −eυ x × B
I2
图5.14 互感应现象
Next
由法拉第电磁感应定律
Ψ12 = M12I1 Ψ21 = M21I2
ε 12 ε 21
d Ψ12 d I1 d M 12 =− = − M 12 − I1 dt dt dt dΨ21 dI 2 dM 21 =− = − M 21 − I2 dt dt dt
若满足条件： 回路本身不变 1) 2) 两回路相对位置 及空间介质不变 3) 无铁磁物质存在
1 2
I1
Ψ12 = M 12 I1
I2
图5.14 互感应现象
Next
Ψ12 = M 12 I1
同理
Ψ21 = M 21 I 2
式中M12和M21由两回路的形状、大小、匝数和相对位置 决定，还与它们所在空间介质的性质有关。 无铁磁性物质存在时， M12 和M21与回路电流无关。
1 2
链接铁磁质
I1
1 ∫ d Φ = R (Φ2 − Φ1 ) Φ1
3.
——
Φ B的变化率，即变化的快慢决定
ε的值；
Δ Φ = Φ2 − Φ1
—— Φ B 的变化量，即变化了多少决定q 的值。 （ q 是流过的电量）
三．楞次定律
任何电磁感应的结果，就其作用而言， 恒反抗产生电磁感应的原因。 电磁感应结果的作用总是阻止变化， 因此外力要克服阻力做功，这正是能量守 恒与转化规律的具体表现。 法拉第电磁感应定律中的“－”，正是 恒反抗的表征。
( l1 )
∫ υ B sin( 2
π
θ
+
θ )d l
图5.10 转动线圈
ε = N (ε + ε ) = 2 Nυ Bl cos θ
a b 1
由 得 或
ε
ε
1 υ = l2 ω θ = ω t 2 = NBl 1l 2 ω cos ω t = NBS ω cos ω t
=
ε 0 cos ω t
式中
If
B
图5.7 趋肤效应
ds 越小 趋肤越显著
End
§2 动生电动势和感生电动势
一．动生电动势
1. 运动导线内的动生电动势。 如图5.8所示， 与 B 的夹角φ ， υ l ( d l ) 与 υ × B 的夹角ψ 。 则 或 一般 闭路
d ε = υ ⋅ d l cos ψ ⋅ B sin φ
d ε = (υ × B ) ⋅ d l
【讨论】： 1. 金属导体，R 小（ρ 小），I f 很大； 2. I f ∝ ω , —— 高频炉，矽钢片； 3. I f ∝ R -1 , —— 铁淦氧，硅钢片； 4. I f 与 I 反相, —— 电磁阻尼，瓦时计，磁悬浮， 异步电机； 5. 趋肤效应，—— 表面硬化，空心导线；
五．趋肤效应
d I1 ε12 = − M 12 dt 则 dI 2 ε 21 = − M 21 dt
M12和M21—— 互感系数，简称互感。 理论与实践都可证明 M21 = M12 = M 互感系数SI制单位: Ｈ， Wb·A-1， V·s·A-1 Next
【讨论】： 1 1. M 的定义：可用下两式之一定义 (1) Ψ 2 = M I 1 2 d I1 (2) ε 2 = − M 图5.15 两同轴线圈 dt 2. M 的计算：可用上两式之一计算。 【例1】：图5.15中线圈1 匝密度n , 线圈2匝数N , 两线圈同 轴，截面积S , 则 Ψ12 = BSN = μ 0 nI ⋅ NS
M = μ 0 nNS 令I = 1 , Next 3. 利弊 1) 应用：变压器，互感器，感应电动机，· · · 2) 害处：串扰，分布参数，噪声与损耗，· · ·
二．自感（系数）
图5.1 电磁感应现象
二．法拉第电磁感应定律
dΦm ε =− （SI制中，比例系数为1 。） dt dΦm 或N 匝时 ε = −N dt dΨm ε =− 或 （Ψ m 磁链数、磁通匝链数、全磁通） dt 1 d Φm I =− （ R 为回路电阻） 电流 R dt
【例1】：参见图5.2， dΦ dx 由 Φ = Blx = Bl dt dt 得
ε
a
= =
( l1 )
∫
(υ × B ) ⋅ d l
π
2 + θ
a
v
= υ B l1 cos θ （方向 ）
b处
( l1 )
∫ υ B sin(
θ n
l2
)d l
−v
b
B
ε
b
=
( l1 )
∫ ( −υ × B ) ⋅ d l
=
ε = N (ε + ε ) = 2 Nυ Bl cos θ
a b 1
= υ B l1 co s θ （方向 ）
4. 涡旋电场是非保守力场，与静电场有本质区别。
三．电子感应加速器
法向力 则 切向力
( L)
f L = eυ B R mυ = Re BR
Fe = − e E k
dΦ = Ek ⋅ 2π R dt e dΦ Fe = 2π R d t d(mυ ) e dΦ = dt 2πR dt
而向心力 f L = m R (a)
× × ×
υ
2
υ
× B× × R × × × × ×
对称分析 ∫ Ek ⋅ dl = − 可得 则
eΦ mυ = 积分 2πR
fL
× × ×
Ek ×
×
所以 由式(a)和(b)得
Φ = π R2B 而 1 mυ = ReB 2
1 BR = B 2
图5.12 感应加速器
(b)
Next
B
B ~ t 曲线
ω
图5.3 例2 用图
其中 电流 式中
ε 0 = NBSω
ε0 =
R R
ε 0 sin ωt = I I=
（电动势的幅值）
0
sin ωt
εP εe
0
I0
ε
ε P = ε0
市电： f =50Hz , ω=2πf =100π , T=1/50= 0.02 s
εPP t
图5.4 简谐波交流电
负号“－”的讨论：——如何确定正、负号？ 以环路方向为基准，成右螺旋的环路面积法向 n 为判 别 ΦB 正负号的依据 B 与 n 夹锐角， > 0 Φ B 与 n 夹钝角， < 0 Φ 确定电动势方向的步骤： 1. 选定回路L 绕行方向，以确定 n 的方向作为基准； 2. 确定 ΦB 的正负； 3. 确定 4. 确定 ε 的正负，(详见下页）
dΦ ∫ Ek ⋅ dl = − dt ( L)
涡旋电场的环流等于穿过回路 面积磁通量时间变化率的负值。 式中 E 0为静电场，其环流为零。 电场的环流等于穿过回路面积 磁通量时间变化率的负值。
一般 E∫ E ⋅ dl = − dt ( L)
ε
所以
回路 dΦ d ∂B ⋅ dS =− = − ∫∫ B ⋅ dS = − ∫∫ 不变 dt dt ( S ) ( S ) ∂t ∂B ∫ E ⋅ dl = − ∫∫ ∂t ⋅ dS ( L) (S )
(l )
υ×B
l
ψ φ
B
υ
ε = ∫ (υ × B ) ⋅ d l
图5.8 动生电动势
ε = ∫ (υ × B) ⋅ dl
(l )
若为匀强磁场，直杆，正交情况
ε = υ Bl
2. 动生电动势的经典解释 运动导体中的自由电子受洛仑兹力 fL = −eυ × B 电荷分布产生附加电场，电子受静电力 Fe = − e E 达到平衡时 综上得 则非静电场 由 得
T 2 T 4 3T 4
T
0
t
切向加速 法向向心
Yes Yes
No Yes
No No
Yes No
图5.13 磁场变化曲线
1) 加速过程
2) 洛仑兹力 −eυ × B 向心。 可见，只有第一个四分之一周期同时满足此二条件。
dB >0; dt
End
§3 互感和自感
一．互感（系数）
如图5.14所示，回路1中的电流发生变化时，在回路2 中产生感应电动势，这种现象称为互感应现象，该电动势 称为互感电动势。 根据毕-萨-拉定律，由回 路1 中的电流I1 激发的在回路 2 处的磁场B12穿过回路2 的磁 链数