八年级数学北师大版下册第一章 三角形的证明 综合题
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(答案及解析)

北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题一.选择题(共10小题)1、等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°2.一个等腰三角形的两边长分别为3,6,则它的周长为()A.9 B.12 C.15 D.12或153.如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°4.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对5.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°6.如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2B.2+C.4 D.37.如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()A.∠1=2∠2 B.3∠1﹣∠2=180°C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°8.如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于()A.110°B.120°C.130°D.140°9.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°10.如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm²,则S阴影等于()A.2cm²B.1cm²C.cm²D.cm²二.填空题(共5小题)11.等边三角形是一个轴对称图形,它有______条对称轴.12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为______.13.在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为______.14.等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为______.15.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3 在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A6B6A7的边长为______.三.解答题(共8小题)16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=.求证:AB平分∠EAD.17.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.18.如图,已知△ABC中,AB=BD=DC,∠ABC=105°,求∠A,∠C度数.19.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.(1)求∠NMB的度数;(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.20.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.求证:△BDE是等腰三角形.21.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F.求证:△ABC是等腰三角形.22.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.23.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)当D点在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明:(3)若D在底边BC的延长线上,(2)中的结论还成立吗?若不成立,又存在怎样的关系?北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1、等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()【解答】解:①80°角是顶角时,三角形的顶角为80°,②80°角是底角时,顶角为180°﹣80°×2=20°,综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.故选B.2.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()A.12 B.16 C.20 D.16或20【解答】解:①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;②当8为腰时,8﹣4<8<8+4,符合题意.故此三角形的周长=8+8+4=20.故选C.3.如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°【解答】解:∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,∴∠B=25°,∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=(180°﹣25°)=77.5°,∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°,故选D.4.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对【解答】解:当4cm为等腰三角形的腰时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm符合三角形的三边关系,∴周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰时,三边分别是,5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,∴周长为14cm,故选C5.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°【解答】解:∵PA=PB,∴∠A=∠B,在△AMK和△BKN中,∴△AMK≌△BKN,∴∠AMK=∠BKN,∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,∴∠A=∠MKN=44°,∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°,故选:D.6.如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2B.2+C.4 D.3【解答】解:过A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∠A=120°,∴∠B=∠C=30°,∴AB=AC=2,∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴AE+CE=BC=2,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2,故选:A.7.如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()A.∠1=2∠2 B.3∠1﹣∠2=180°C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°【解答】解:∵∠1=∠3,∠B=∠C,∠1+∠B+∠3=180°,∴2∠1+∠C=180°,∴2∠1+∠1﹣∠2=180°,∴3∠1﹣∠2=180°.故选B.8.如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于()A.110°B.120°C.130°D.140°【解答】解:∵∠A=40°,∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°,又∵∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,∴∠PBA=∠PCB,∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°,∴∠BPC=180°﹣70°=110°.故选A.9.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°【解答】解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△DBE和△ECF中,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴∠EFC=∠DEB,∵∠A=50°,∴∠C=(180°﹣50°)÷2=65°,∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°,∴∠DEB+∠FEC=115°,∴∠DEF=180°﹣115°=65°.故选:C.10.如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影等于()A.2cm2 B.1cm2 C.cm2 D.cm2【解答】解:根据三角形的面积公式,知:等底等高的两个三角形的面积相等.即有:S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2.故选:B.二.填空题(共10小题)11.等边三角形是一个轴对称图形,它有 3 条对称轴【解答】解:等边三角形是轴对称图像,它有三个顶点,所以对应3条对称轴故答案为:312.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°.【解答】解:分两种情况讨论:①若∠A<90°,如图1所示:∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°,∵∠ABD=48°,∴∠A=90°﹣48°=42°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣42°)=69°;②若∠A>90°,如图2所示:同①可得:∠DAB=90°﹣48°=42°,∴∠BAC=180°﹣42°=138°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣138°)=21°;综上所述:等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为:69°或21°.13.在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为16或8.【解答】解:∵BD是等腰△ABC的中线,可设AD=CD=x,则AB=AC=2x,又知BD将三角形周长分为15和21两部分,∴可知分为两种情况①AB+AD=15,即3x=15,解得x=5,此时BC=21﹣x=21﹣5=16;②AB+AD=21,即3x=21,解得x=7;此时等腰△ABC的三边分别为14,14,8.经验证,这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.故答案为:16或8.14.等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°.【解答】解:在△ABC中,AB=AC,①当∠A=70°时,则∠ABC=∠C=55°,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣55°=35°;②当∠C=70°时,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣70°=20°;故答案为:35°或20°.15.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3 在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A6B6A7的边长为32a .【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形∴∠B1A1A2=60°,A1B1=B1A2=A1A2∵∠MON=30°∴∠OB1A1=30°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON)∴OA1=A1B1(等边对等角)∴OA1=A1A2=a同理,根据∠MON=∠OB2A2,可得:A2A3=A2B2=OA1+A1A2=2A1A2=2a同理,可推出:A3A4=2A2A3=4a同理,可推出:A4A5=2A3A4=8a同理,可推出:A5A6=2A4A5=16a同理,可推出:A6A7=2A5A6=32a 即题目所求另外我们不难发现,第n个(△A1B1A2为第一个)等边三角形的边长为AnAn+1=(2^n-1)a 注:2的n-1次方倍的a三.解答题(共8小题)16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=.求证:AB平分∠EAD.【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴BD=BC,AD⊥BC,∵BE=BC,∴BD=BE,∵AE⊥BE,∴AB平分∠EAD.17.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.【解答】证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠D=∠C=90°,在Rt△ABD和Rt△BAC中,,∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),∴∠DBA=∠CAB,∴OA=OB,即△OAB是等腰三角形.另外一种证法:证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)∴AD=BC,在△AOD和△BOC中,∴△AOD≌△BOC(AAS),∴OA=OB,即△OAB是等腰三角形.18.如图,已知△ABC中,AB=BD=DC,∠ABC=105°,求∠A,∠C度数.【解答】解:∵AB=BD,∴∠BDA=∠A,∵BD=DC,∴∠C=∠CBD,设∠C=∠CBD=x,则∠BDA=∠A=2x,∴∠ABD=180°﹣4x,∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°,解得:x=25°,所以2x=50°,即∠A=50°,∠C=25°.19.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.(1)求∠NMB的度数;(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.【解答】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=70°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°;(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=70°,∴∠ABC=∠ACB=55°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°;(3)∠NMB=∠A.理由:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A.20.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.求证:△BDE是等腰三角形.【解答】解:(1)∵AD平分∠BAC,DE∥AC,∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,∴∠EAD=∠EDA,∵BD⊥AD,∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE,∴DE=BE,∴△BDE是等腰三角形.21.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F.求证:△ABC是等腰三角形.【解答】证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HF),∴∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.22.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD,∴∠CBE=∠BAD.23.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)当D点在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明:(3)若D在底边BC的延长线上,(2)中的结论还成立吗?若不成立,又存在怎样的关系?【解答】解:(1)当点D在BC的中点时,DE=DF,理由如下:∵D为BC中点,∴BD=CD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BED和△CFD中,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.(2)DE+DF=CG.证明:连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD,即AB•CG=AB•DE+AC•DF,∵AB=AC,∴CG=DE+DF.(3)当点D在BC延长线上时,(1)中的结论不成立,但有DE﹣DF=CG.理由:连接AD,则S△ABD=S△ABC+S△ACD,即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC,∴DE=CG+DF,即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时,则有DE﹣DF=CG,说明方法同上.。
北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明含答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则下面结论错误的是()A.BF=EFB.DE=EFC.∠EFC=45°D.∠BEF=∠CBE2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且DE⊥AB于E,DE=5,BC=11,则BD的长为( )A.5B.6C.7D.83、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°.将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C,且点B在A′B′上,CA′交AB于点D,则∠BDC的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°4、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是()A. B. C. 平分 D.5、若等腰三角形一个外角等于100°,则它的顶角度数为().A.20°B.80°C.20°或80°D.无法确定6、等腰三角形中,,一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分,则这个等腰三角形的底边长为()A.7B.7或11C.11D.7或107、如图,△ABC中,AB=AC,D,E,F分别在BC,AC,AB上,若BD=CE,CD=BF,则∠EDF()A. 90°-∠AB. 90°-∠AC. 180°-∠AD. 180°-2∠A8、如图,在△ABC中,∠ACB为钝角。
用直尺和圆规在边AB上确定一点D。
使∠ADC=2∠B,则符合要求的作图痕迹是()A. B. C.D.9、如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,则下列判断不正确的是()A.△AEE′是等腰直角三角形B.AF垂直平分EE'C.△E′EC∽△AFDD.△AE′F是等腰三角形10、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°,AB上一点D,且AD=BC,过点D作DE∥BC且DE=AB,连接EC,则∠DCE的度数为()A.80°B.70°C.60°D.45°11、如图,在□ABCD中,AB=5,BC=8,∠ABC,∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则△EFG与△BCG面积之比是()A.5:8B.25:64C.1:4D.1:1612、如图,A,B,C三点在已知的圆上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是的中点,连接DB,DC,则∠DBC的度数为()A.30°B.45°C.50°D.70°13、在等腰△ABC中,AB=AC=9,BC=6,DE是AC的垂直平分线,交AB、AC于点D、E,则△BDC的周长是()A.6B.9C.12D.1514、以下列各组数据为边长,可以构成等腰三角形的是()A.2,3,4B.5,5,10C.2,2,1D.1,2,315、如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB 于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为()A.13B.14C.15D.16二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,已知钝角三角形ABC的面积为20,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值为________.17、如图,菱形ABCD的边长是4,∠ABC=60°,点E,F分别是AB,BC边上的动点(不与点A,B,C重合),且BE=BF,若EG∥BC,FG∥AB,EG与FG相交于点G,当△ADG为等腰三角形时,BE的长为________.18、在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB= ,那么△ABC的重心到底边的距离为________.19、如图,AE 是△ABC 的角平分线,AD⊥BC 于点D,若∠DAE=8°,∠C=36°,则∠BAC 的度数是________.20、在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=40°,则∠A=________.21、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于________.22、已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为________.23、如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=3,则EF的长为________24、等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为________.25、如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.求证:AD=AE.27、推理填空如图:∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBC=∠F,求证:CE∥DF.请完成下面的解题过程.∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB(已知)∴∠DBC= ∠________,∠ECB= ∠________(角平分线的定义)又∵∠ABC=∠ACB(已知)∴∠________=∠________.又∵∠________=∠________(已知)∴∠F=∠________∴CE∥DF________.28、已知:在中,点是的中点,于点,平分,交的延长线于点,交于点.求证:.29、如图,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED=46°,求∠CDE的度数.30、如图,在△ABC中,CD=CA,CE⊥AD于点E,BF⊥AD于点F.求证:∠ACE=∠DBF.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、B2、B3、C4、D5、C6、B7、A8、B9、D10、B11、D12、C13、D14、C15、A二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)27、28、30、。
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元综合评价试卷解析版

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元综合评价试卷含解析姓名座号题号一二三总分得分考后反思(我思我进步):一.选择题1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm,则该等腰三角形的周长是()A.7cm B.9cmC.12cm或者9cm D.12cm2.如图,BC⊥AC,BD⊥AD,且BC=BD,则利用()可说明三角形全等.A.SAS B.AAS C.SSA D.HL3.下面四个条件,不能判定两个直角三角形全等的是()A.两条直角边分别相等B.两个锐角分别相等C.斜边和一直角边对应相等D.一锐角和斜边分别相等4.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个直角三角形中一个锐角的度数是()A.9°B.18°C.27°D.36°5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E是AC上的点,且∠1=∠2,DE垂直平分AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于()A.3cm B.4cm C.6cm D.9cm6.如图,DE是△ABC中AC边上的垂直平分线,如果BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为()A.16 cm B.18cm C.26cm D.28cm7.如图,在△ABC中,BC=7,BC边上的垂直平分线DE交AB、BC分别于点D、E,△ACD的周长是10,则△ABC的周长是()A.3B.17C.19D.24二.填空题8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为6,则其底边上的高是.9.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=6cm,则BC=cm.10.如果直角三角形两条直角边分别是9,12,那么斜边上中线是.11.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则△ADC的周长等于.12.如图,在三角形中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,三角形BCE的周长为50,则BC=.13.如图,在△ABC中,已知边AC的垂直平分线DE交BC于点D,连接AD,若BC=5,AB=3,则△ABD的周长为.14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为.15.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,若CD=2,EB=1,则BD的长是.三.解答题16.已知:如图,点D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且DE =DF.求证:△ABC是等腰三角形.17.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,CD=3.(1)求DE的长;(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.18.在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=30°,AB的垂直平分线OD交BC边于点D,连结AD(1)求∠DAC的度数;(2)若AC=4cm,求△ABC的面积(结果保留根号)19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.(1)求证:CF=EB;(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.20.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8厘米,BC=6厘米,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒,点Q从点B开始沿B →C→A方向运动速度为2厘米/秒,若它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)求出发2秒后,PQ的长;(2)点Q在CA边上运动时,当△BCQ成为等腰三角形时,求点Q的运动时间.参考答案与试题解析一.选择题1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm,则该等腰三角形的周长是()A.7cm B.9cmC.12cm或者9cm D.12cm【解答】解:①5cm为腰,2cm为底,此时周长为12cm;②5cm为底,2cm为腰,则两边和小于第三边无法构成三角形,故舍去.∴其周长是12cm.故选:D.2.如图,BC⊥AC,BD⊥AD,且BC=BD,则利用()可说明三角形全等.A.SAS B.AAS C.SSA D.HL【解答】解:∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边,BC、BD是对应的直角边,∴利用(HL)可说明三角形全等.故选:D.3.下面四个条件,不能判定两个直角三角形全等的是()A.两条直角边分别相等B.两个锐角分别相等C.斜边和一直角边对应相等D.一锐角和斜边分别相等【解答】解:A、两条直角分别相等,再加上夹角都是直角,根据SAS可证全等,此选项错误;B、两个锐角分别相等,只有角没有边,不能判定全等,此选项正确;C、斜边和一直角边对应相等,利用HL可判定全等,此选项错误;D、一锐角和斜边分别相等,再加上一直角相等,利用AAS可证全等,此选项错误.故选:B.4.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个直角三角形中一个锐角的度数是()A.9°B.18°C.27°D.36°【解答】解:设较小的锐角是x度,则另一角是4x度.则x+4x=90,解得:x=18°.故选:B.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E是AC上的点,且∠1=∠2,DE垂直平分AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于()A.3cm B.4cm C.6cm D.9cm【解答】解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠2=∠A,∵∠1=∠2,∴∠A=∠1=∠2,∵∠C=90°,∴∠A=∠1=∠2=30°,∵∠1=∠2,ED⊥AB,∠C=90°,∴CE=DE=3cm,在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠A=30°,∴AE=2DE=6cm,故选:C.6.如图,DE是△ABC中AC边上的垂直平分线,如果BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为()A.16 cm B.18cm C.26cm D.28cm【解答】解:∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线,∴AE=CE,∵BC=8cm,AB=10cm,∴△EBC的周长为:BC+BE+CE=BC+CE+AE=BC+AB=8+10=18(cm).故选:B.7.如图,在△ABC中,BC=7,BC边上的垂直平分线DE交AB、BC分别于点D、E,△ACD的周长是10,则△ABC的周长是()A.3B.17C.19D.24【解答】解:∵DE是BC边上的垂直平分线,∴BD=CD,∵△ADC的周长是10,∴AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=10,∵BC=7,∴△ABC的周长为:AB+AC+BC=10+7=17.故选:B.二.填空题8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为6,则其底边上的高是3或3.【解答】解:①三角形是钝角三角形时,如图1,∵∠ABD=30°,∴AD=AB=×6=3,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=(90°﹣30°)=30°,∴∠ABD=∠ABC,∴底边BC上的高AE=AD=3;②三角形是锐角三角形时,如图2,∵∠ABD=30°,∴∠A=90°﹣30°=60°,∴△ABC是等边三角形,∴底边上的高为×6=3,综上所述,底边上的高是3或3.故答案为:3或3.9.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=6cm,则BC=3cm.【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∠A=30°,∠C=90°,∵AB=6cm,∴BC=AB=3cm,故答案为:3.10.如果直角三角形两条直角边分别是9,12,那么斜边上中线是7.5.【解答】解:∵直角三角形两条直角边分别是9,12,∴斜边长为:=15,∴×15=7.5,故答案为:7.5.11.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则△ADC的周长等于8.【解答】解:∵BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,∴CD=BD,∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB,而AB=5,AC=3,∴△ADC的周长=8.故填空答案:8.12.如图,在三角形中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,三角形BCE的周长为50,则BC=23.【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴AE+EC=BE+EC=AC=27,∵三角形BCE的周长为50,∴BE+EC+BC=50,∴BC=23.故答案为:23.13.如图,在△ABC中,已知边AC的垂直平分线DE交BC于点D,连接AD,若BC=5,AB=3,则△ABD的周长为8.【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,∴DA=DC,∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8,故答案为:8.14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为2cm.【解答】解:过点D作DE⊥AB于E,∵在△ABC中,∠C=90°,∴DC⊥AC,∵AD是∠BAC的角平分线,∴DE=CD,∵BC=5cm,BD=3cm,∴CD=BC﹣BD=2cm,∴DE=2cm.∴点D到AB的距离为2cm.故答案为:2cm.15.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,若CD=2,EB=1,则BD的长是.【解答】解:∵AD平分∠CAB,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴DE=CD=2,在Rt△BDE中,根据勾股定理得,BD===.故答案为:.三.解答题16.已知:如图,点D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且DE =DF.求证:△ABC是等腰三角形.【解答】证明:∵点D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,∵DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,∴△BFD和△DEC为直角三角形,在Rt△BFD和Rt△CED中,,∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL),∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形.17.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,CD=3.(1)求DE的长;(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.【解答】解:(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,CD=3,∴DE=CD=3;(2)∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10.∵由(1)知,DE=3,∴S△ABD=AB•DE=×10×3=1518.在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=30°,AB的垂直平分线OD交BC边于点D,连结AD(1)求∠DAC的度数;(2)若AC=4cm,求△ABC的面积(结果保留根号)【解答】解:(1)∵OD是AB的垂直平分线;∴AD=BD,∴∠B=∠BAD=22.50,∴∠ADC=45°,∵∠A=30°,∴∠DAC=105°;(2)过A点作AE⊥BC于点E,则AE=DE,在Rt△ACE中,∵AC=4,∴AE=2,EC=2,∴DE=2,在Rt△AED中,AD=2,∴AD=BD=2,∴BC=2+2+2∴S△ABC==()=().19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.(1)求证:CF=EB;(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.【解答】证明:(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴DC=DE,在Rt△DCF和Rt△DEB中,,∴Rt△DCF≌Rt△DEB,∴CF=EB;(2)AF+BE=AE.∵Rt△DCF≌Rt△DEB,∴AC=AE,∴AF+FC=AE,即AF+BE=AE.20.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8厘米,BC=6厘米,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒,点Q从点B开始沿B →C→A方向运动速度为2厘米/秒,若它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)求出发2秒后,PQ的长;(2)点Q在CA边上运动时,当△BCQ成为等腰三角形时,求点Q的运动时间.【解答】(1)解:(1)BQ=2×2=4cm,BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm,∵∠B=90°,PQ==2(cm);(2)解:分三种情况:①当CQ=BQ时,如图1所示:则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=5,∴BC+CQ=11,∴t=11÷2=5.5秒.②当CQ=BC时,如图2所示:则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒.③当BC=BQ时,如图3所示:过B点作BE⊥AC于点E,则BE===4.8(cm)∴CE==3.6cm,∴CQ=2CE=7.2cm,∴BC+CQ=13.2cm,∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明练习(包含答案)

第一章三角形的证明一、单选题1.已知等腰三角形的一个角等于42°,则它的底角为:()A.42°B.69°C.69°或84°D.42°或69°2.等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm,则这个等腰三角形的周长是()A.30cm B.33cm C.24cm或21cm D.30cm或33cm 3.如图所示,V ABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15︒,则∠2的度数为()A.15︒B.30°C.30°D.60︒4.下列各组线段能构成直角三角形的是()A.1,2,3B.7,12,13C.5,8,10D.15,20,255.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP的长不可能是()A.3.5B.4.2C.5.8D.76.如图,在V ABC中,∠A=90︒,∠C=30︒,PQ垂直平分BC,与AC交于点P,下列结论正确的是(). ∠ △°A . PC < 2P AB . PC > 2P AC . AB < 2P AD . AB > 2P A7.在联欢会上,有 A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩“抢凳子”游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在 ∆ABC 的()A .三边中垂线的交点C .三条角平分线的交点B .三边中线的交点D .三边上高的交点8 如图所示,Rt△ABC 中, C 90° △AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ,交 AB 于点 E .当∠B 30时,图中一定不相等的线段有()△A .AC △AE BEC .△CD DEB .AD △BDD .AC △BD9.如图,△ABC 中,AB =5,AC =4,以点 A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 A B 、AC于 D 和 E ,再分别以点 D 、E 为圆心,大于二分之一 DE 为半径作弧,两弧交于点 F ,连接AF 并延长交 BC 于点 G ,GH ⊥AC 于 H ,GH =2,则△ABG 的面积为( )A.4B.5C.9D.1010.已知:如图,点D,E分别在△ABC的边AC和BC上,AE与BD相交于点F,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE;③AF=BF;④DF=EF,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.①②B.①④C.②③D.③④二、填空题11.如图,已知在∆ABC中,AB=AC,点D在边BC上,要使BD=CD,还需添加一个条件,这个条件是_____________________.(只需填上一个正确的条件)12.如图是一块菜地,已知AD=8米,CD=6米,∠D=90︒,AB=26米,BC=24米.则这块菜地的面积是_____.13.如图,在V ABC中,AC=BC,分别以点A和点C为圆心,大于1AC长为半径画2弧,两弧相交于点M、N,连接MN分别交BC、AC于点D、E,连接AD.若∠B=70︒,则∠BAD的度数是_____度.14.如图,∆ABC中,∠BAC=90︒,AD⊥BC,∠ABC的平分线BE交AD于点F,AG 平分∠DAC.给出下列结论:①∠BAD=∠C;②∠EBC=∠C;③AE=AF;④FG//AC;⑤EF=FG.其中正确的结论是______.三、解答题15.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD.(1)若∠BAD=△45°,求证:ACD为等腰三角形;(△2)若ACD为直角三角形,求∠BAD的度数.16.如图,已知O是等边三角形ABC内一点,D是线段BO延长线上一点,且OD=OA,∠AOB=120︒,求∠BDC的度数.17.如图,一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上,这时AO为2.4m.(1)求OB的长度;(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C,那么梯子顶端A下移多少m?△18.如图,在ABC中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,分别交BC于点D、E,已知△ADE的周长5cm.(1)求BC的长;(2)分别连接OA、OB、△OC,若OBC的周长为13cm,求OA的长.19.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°.以点D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN.(1)求证:MN=BM+NC;(2)△求AMN的周长.答案1.D 2.D 3.D 4.D 5.D 6.C.△, ,△, △﹣ △, △﹣ ﹣ △,△, △,△, △﹣ ﹣ △﹣ ﹣ 7.A8.D9.B10.C11.AD ⊥BC12.96△△△13.3014.①③④15.(1) AB=AC B=30°B= C=30°BAC=180°30°﹣30°=120°, BAD=45°CAD= BAC BAD=120° 45°=75°△, ADC= B+ BAD=75° ADC= CADAC=CD△即 ACD 为等腰三角形;(2)有两种情况: △当 ADC=90°△时,B=30°BAD= ADC B=90° 30°=60°;△当 CAD=90°△时, BAD= BAC CAD=120° 90°=30°;△即 BAD 的度数是 60°或 30°.⎨∠BAO = ∠CAD16.∵∠AOB=120°,∴∠AOD=60°∵AO=OD ,∴△AOD 是等边三角形∴ ∠BAC = 60︒ , AB = AC∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC∴∠BAC=∠OAD ,∴∠BAO+△OAC=△OAC+△CAD△∴∠BAO= CAD在△BAO 和△CAD 中⎧ AO = AD ⎪⎪ ⎩AB = AC∴ ∆ABO ≌ ∆ACD∴ ∠AOB = ∠ADC = 120︒△ ∠BDC = ∠ADC - ∠ADO = 60︒17.(1)解:在 Rt ∆AOB 中,由勾股定理OB 2 = AB 2 - AO 2= 2.52 - 2.4 2= 0.49∴ OB = 0.49 = 0.7(2)设梯子的 A 端下移到 D , OC = 0.7 + 0.8 = 1.5∴在Rt∆OCD中,由勾股定理∴OD2=CD2-DC2=2.52-1.52=4∴OD=4=2∴顶端A下移了:2.4=2=0.4m18.解:(1)∵DM是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,同理,EA=EC,∵△ADE的周长5,∴AD+DE+EA=5,∴BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=5(cm);(△2)∵OBC的周长为13,∴OB+OC+BC=13,∵BC=5,∴OB+OC=8,∵OM垂直平分AB,∴OA=OB,同理,OA=OC,∴OA=OB=OC=4(cm).19.解:(1)∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°,延长AB至F,使BF=CN,连接DF,由SAS△可证BDF≌△CDN,∴∠BDF=∠CDN,DF=DN,∵∠MDN=60°,∴∠FDM=∠BDM+∠CDN=60°,由SAS△可证DMN≌△DMF,∴MN=MF=MB+BF=MB+CN(2)由(1)知MN=MB+CN,∴△AMN的周长为AM+AN+MN=AM+MB+AN+CN=AB+AC=6。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )

【北师大版八年级数学(下)单元测试卷】第一章:三角形的证明一.选择题:(每小题3分共30分)1.等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为( )A .4B .9C .4或9D .大于5且小于132.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为( )A .6aB .9aC .12aD .15a3.如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为( )A .2cmB .3cmC .4cmD .6cm4.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是( )A .3B .4C .5D .65.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为( )6.如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD =CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF =5,则OD+OE 的长为( )A .10B .11C .12D .157.如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F .若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为( )A .6B .8C .9D .118.如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥.设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是( )A .3180αβ+=︒B .2180αβ+=︒C .3180αβ-=︒D .290αβ-=︒9.如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中:(1)MN BD ∥;(2)60BPC ∠=︒;(3)DN DE =;(4)BAM CAN ≅△△.正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH .若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c .则下列结论中正确的个数有( )①∠BAC=60°;②△AGH 是等边三角形;③AD 与GH 互相垂直平分;④()12ABC S a b c =+△. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二.填空题:(每小题3分共15分)11.在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________.12.如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC =4,BC =10,△ABC 的面积是14,则DE =_____.13.如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______.14.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______.15.如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论:①∠ACO=15°;②∠APO+∠DCO=30°;③△OPC 是等边三角形;④AC=AO+AP ; 其中正确的有 ______(填上所有正确结论的序号).三.解答题:(共55分)16.(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒.BD ,CE 相交于点F .BD ,AC 相交于点M .(1)求证:BD CE =;(2)求BFC ∠的度数.17.(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED .(1)求证:ABC EBD ≌△△; (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长.18.(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD =BC,AE =BF,∠A =∠B,CE 与DF 相交于点G .(1)求证∠E =∠F ;(2)若CE =10,DG =4,求 EG 的长.19.(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC .(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标.(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系.20.(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =.(1)求证:DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形?请说明理由.连接AD,作∠ADE =40°,DE 交线段AC 于E .(1)当∠BDA =115°时,∠EDC =______,∠DEC =_____;(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由;(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA 的度数.若不可以,请说明理由.22.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标;(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变?若不变,计算其大小;若变化,请说明理由;(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标.。
北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷(含答案)

第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。
01如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35º,则∠C的度数为 ( )A.35º B.45º C.55º D.60º02若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为( )A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm03如图,在△ABC中,∠ACB=90º,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30º,AE=6 cm,那么CE等于 ( )A .3 cmB .2 cm C.3 cm D.4 cm04如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧相交于M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50º,则∠ACB的度数为 ( )A.90º B.95º C 100º D.105º05如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=4,AC=6,则△ACD 的面积为 ( )A.8 B 10 C.12 D.2406如图,∠A=50º,P是等腰△ABC内一点,且∠PBC=∠PCA,则∠BPC为 ( )A.100º B.140º C.130º D.115º07如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60º,DE是斜边AC的垂直平分线,分别交AB,AC 于D,E两点,若BD=2,则AC的长是 ( )A.4 B.43 C.8 D.8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角,如图,则三角尺的最长边的长为 ( )A.6 cm B.2 cm C.2 cm D.209如图,∠ACB=90º,AC=BC,AE⊥CE,垂足为点E,BD⊥CE,交CE的延长线于点D,AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是( )A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm10如图,AD⊥BC于D,且DB=DC,有下列结论:①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD 是∠BAC的平分线;④△ABC为等边三角形.其中正确的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11如图,∠A=15º,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于( )A.90º B.75º C.70º D.60º12如图,在△ABC中,BC=10,DH,EF分别为AB、AC的垂直平分线,则△ADE的周长是 ( )A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明(含答案)

北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明(含答案)一、选择题1.由线段a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=43,c=53 C.a=9,b=12,c=15 D.a=√3,b=2,c=√5 答案 D D 中,a 2+b 2=7,c 2=5,a 2+b 2≠c 2,故选D.2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS 可以判定两直角三角形全等.3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角大于60°答案B反证法第一步是提出与结论相反的假设.5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为()图1-5-1A.√6B.4C.2√3D.5答案B∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,又∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则点C的坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(0,1)或(0,-1)D.(1,0)或(-1,0)答案C∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).∴CO=AO=127.下列命题中的假命题是()A.等腰三角形的顶角一定是锐角B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形至少有两个角相等D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合答案A等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠AB.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点答案D∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为()A.18B.16C.14D.8答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+ 8=14,故选C.10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()图1-5-4A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴∠BAP=∠CAP.又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.∴∠BAP=∠APQ.∴QP∥AR.在Rt△APR和Rt△APS中,{AP=AP,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.故①②均正确.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.二、填空题11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.答案两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.答案17解析当7为腰长时,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB 的距离为cm.答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.cm,∴CD=1315.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为.答案10解析∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.∴16+BC=26.∴BC=10.16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为.答案1+√3解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.又∵∠A=45°,∠B=30°,∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.∴AD=CD=1,BD=√BC2-CD2=√22-12=√3.∴AB=AD+DB=1+√3.17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=.答案120°解析连接BD并延长.∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,∴∠ADC=∠5+∠6=120°.18.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .答案245解析 过点A 作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=12BC=3,所以AE=√AB 2-BE 2=√52-32=4,所以S △ABC =12BC ·AE=12.易知BP 的最小值是S △ABC 12AC =245. 三、解答题19.如图,在Rt △ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN,求BN 的长.答案 设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D 是BC 的中点,∴BD=3.在Rt △NBD 中,x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.20.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,CD ⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=BE.证明 (1)∵∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.(2)由(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴CE=BE.∴CE=AE=BE.21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)求AE的长.答案(1)证明:连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,又∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF.∴AE=AF=AC+CF.由(1)知BE=CF,∴AE=AC+BE=4+BE.∴AE=4+8-AE.∴AE=6.22.如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?答案由题意可知AP=2t cm,BQ=t cm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ 为等边三角形.(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4.综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.。
北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)

《第1章三角形的证明》一、选择题1.如果三角形的三个内角度数比为1:1:2,则这个三角形为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形2.下面命题不正确的是()A.两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B.两个外角相等的三角形是等腰三角形C.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D.两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=﹣2 B.a=﹣1 C.a=1 D.a=24.反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中()A.有一个内角小于60° B.每个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°5.如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连接ED并延长到点F,使DF=DE,连接FC,若∠B=70°,则∠F 的度数是()A.40 B.70 C.50 D.456.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是()A.6 B.7 C.8 D.97.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里二、填空题8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是.9.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是.10.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是.①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.三、解答题11.证明题:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC.12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)13.已知∠AOB及其内部一点P,试讨论以下问题的解答:(1)如图①,若点P在∠AOB的平分线上,我们可以过P点作直线垂直于角平分线,分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形;若点P不在∠AOB的平分线上(如图②),你能过P点作直线,分别交OA、OB于点C、D,得到△OCD是等腰三角形,且CD是底边吗?请你在图②中画出图形,并简要说明画法.(2)若点P不在∠AOB的平分线上(如图③),我们可以过P点作PQ∥OA,并作∠QPR=∠AOB,直线PR分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由.(3)若点P不在∠AOB的平分线上,请你利用在(2)中学到的方法,在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D,使得△OCD是等腰三角形,且OD是底边.保留画图的痕迹,不用写出画法.《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1.如果三角形的三个内角度数比为1:1:2,则这个三角形为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理.【分析】由三角形的三个内角度数比为1:1:2,可设三角形的三个内角分别为:x,x,2x,然后由三角形的内角和等于180°,即可得方程:x+x+2x=180°,解此方程即可求得答案.【解答】解:∵三角形的三个内角度数比为1:1:2,∴设三角形的三个内角分别为:x,x,2x,∴x+x+2x=180°,解得:x=45°,∴三角形的三个内角度数分别为:45°,45°,90°.∴这个三角形为等腰直角三角形.故选:D.【点评】此题考查了三角形的内角和定理.此题比较简单,解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1:1:2,设三角形的三个内角分别为:x,x,2x,利用方程思想求解.2.下面命题不正确的是()A.两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B.两个外角相等的三角形是等腰三角形C.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D.两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定.【分析】认真阅读各选项,结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得.【解答】解:A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°,有两等角的三角形是等腰三角形,正确;B、外角相等,则对应的内角也相等,有两等角的三角形是等腰三角形,正确;C、利用两直线平行,内错角相等,同位相等,可知,另外的两内角也相等,有两等角的三角形是等腰三角形,正确;D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形,错误.故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的判定;找出各选项的正误是正确解答本题的关键.3.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=﹣2 B.a=﹣1 C.a=1 D.a=2【考点】反证法.【分析】根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.【解答】解:用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是:a=﹣2,∵(﹣2)2>1,但是a=﹣2<1,∴A正确;故选:A.【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误,要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法.4.反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中()A.有一个内角小于60° B.每个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°【考点】反证法.【专题】证明题.【分析】此题要运用反证法,由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立.然后推出不成立.得出选项.【解答】解:设三角形的三个角分别为:a,b,c.假设,a<60°,b<60°,c<60°,则a+b+c<60°+60°+60°,即,a+b+c<180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾.所以假设不成立,即三角形中至少有一个角不小于60°.故选B.【点评】此题考查的知识点是反证法,解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证.5.如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连接ED并延长到点F,使DF=DE,连接FC,若∠B=70°,则∠F 的度数是()A.40 B.70 C.50 D.45【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.【分析】由题意可得EB=ED,根据等边对等角的性质,易得∠B=∠EDB=∠ACB,即可得EF∥AC,又由AE=BE,根据平行线等分线段成比例定理,可得BD=CD,然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD,即可得∠F=∠BED.【解答】解:∵以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,∴EB=ED,∴∠EDB=∠B=70°,∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°,∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠EDB=∠ACB,∴EF∥AC,∵E是AB的中点,即BE=AE,∴BD=CD,在△EBD和△FCD中,,∴△EBD≌△FCD(SAS),∴∠F=∠BED=40°.故选A.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意理解题意.6.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是()A.6 B.7 C.8 D.9【考点】等腰三角形的判定.【专题】分类讨论.【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为等腰△ABC底边;②AB为等腰△ABC其中的一条腰.【解答】解:如上图:分情况讨论.①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的C点有4个;②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.故选:C.【点评】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.7.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里【考点】等腰三角形的判定与性质;方向角;平行线的性质.【专题】应用题.【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°,∠N=40°,则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数,证明三角形MNP是等腰三角形,即可求解.【解答】解:MN=2×40=80(海里),∵∠M=70°,∠N=40°,∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°,∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=80(海里).故选:D.【点评】本题考查了方向角的定义,以及三角形内角和定理,等腰三角形的判定定理,理解方向角的定义是关键.二、填空题8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是6.【考点】等腰三角形的判定与性质.【分析】由在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理,易求得各角的度数,继而求得答案.【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABD=36°,即△ABC是等腰三角形,∴∠C=∠B=36°,∴∠BAC=108°,∵∠DAE=∠EAC=36°,∴∠BAD=36°,∴∠BAD=∠B=36°,∠EAC=∠C=36°,∴△ABD,△ACE是等腰三角形,∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°,∴△ADE,△ABE,△ACD是等腰三角形.故答案为:6.【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.9.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是9.【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.【专题】压轴题.【分析】由在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,易证得△DOB与△EOC是等腰三角形,即DO=DB,EO=EC,继而可得△ADE的周长等于AB+AC,即可求得答案.【解答】解:∵在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO,∵DE∥BC,∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO,∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,∴OD=BD,OE=CE,∵AB=5,AC=4,∴△ADE的周长为:AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.故答案为:9.【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中,注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.10.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④.①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.【考点】等腰三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确;③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立.【解答】解:应添加的条件是②③④;证明:②当∠BAD=∠CAD时,∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;则△ABD≌△ACD,∴△BAC是等腰三角形;③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;∵AB+BD=CD+AC,∴DE=DF,又AD⊥BC;∴△AEF是等腰三角形;∴∠E=∠F;∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;同理,得∠ACB=2∠F;∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,即(AB+BD)(AB﹣BD)=(AC+CD)(AC﹣CD);∵AB﹣BD=AC﹣CD①,∴AB+BD=AC+CD②;∴①+②得:,2AB=2AC;∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形故答案为:②③④.【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质;本题的难点是结论③的证明,能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键.三、解答题11.证明题:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC.【考点】反证法.【专题】证明题.【分析】运用反证法进行求解:(1)假设结论PB≠PC不成立,PB=PC成立.(2)从假设出发推出与已知相矛盾.(3)得到假设不成立,则结论成立.【解答】证明:假设PB≠PC不成立,则PB=PC;∵在△ABP和△ACP中,,∴△ABP≌△ACP,∴∠APB=∠APC;与∠APB≠∠APC相矛盾.因而PB=PC不成立,则PB≠PC.【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)【考点】等腰三角形的判定与性质;作图—基本作图.【专题】作图题.【分析】(1)以D为圆心,以任意长为半径画弧,交AD于G,交DC于H,分别以G、H为圆心,以大于GH为半径画弧,两弧交于N,作射线DN,交AM 于F.(2)求出∠BAD=∠CAD,求出∠FAD=×180°=90°,求出∠CDF=∠AFD=∠ADF,推出AD=AF,即可得出答案.【解答】解:(1)如图所示:(2)△ADF的形状是等腰直角三角形,理由是:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠FAC,∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°,即△ADF是直角三角形,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB,∴∠EAF=∠B,∴AF∥BC,∴∠AFD=∠FDC,∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=∠FDC=∠AFD,∴AD=AF,即直角三角形ADF是等腰直角三角形.【点评】本题考查了作图﹣基本作图,等腰三角形的性质和判定的应用,主要培养学生的动手操作能力和推理能力,题目比较典型,难度也适中.13.已知∠AOB及其内部一点P,试讨论以下问题的解答:(1)如图①,若点P在∠AOB的平分线上,我们可以过P点作直线垂直于角平分线,分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形;若点P不在∠AOB的平分线上(如图②),你能过P点作直线,分别交OA、OB于点C、D,得到△OCD是等腰三角形,且CD是底边吗?请你在图②中画出图形,并简要说明画法.(2)若点P不在∠AOB的平分线上(如图③),我们可以过P点作PQ∥OA,并作∠QPR=∠AOB,直线PR分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由.(3)若点P不在∠AOB的平分线上,请你利用在(2)中学到的方法,在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D,使得△OCD是等腰三角形,且OD是底边.保留画图的痕迹,不用写出画法.【考点】作图—应用与设计作图;角平分线的性质;等腰三角形的判定.【分析】(1)作∠AOB的平分线,过P点作角平分线的垂线,分别交角的两边OA、OB于点C、D,则△OCD是以CD为底边的等腰三角形;(2)根据PQ∥OA,得出∠QPR=∠OCD,进而得出OD=CD,即可得出答案;(3)作QP∥DO,再作∠ODR=∠O,即可得出答案.【解答】解:(1)能.画法:作∠AOB的平分线,过P点作角平分线的垂线,分别交角的两边OA、OB 于点C、D,则△OCD是以CD为底边的等腰三角形,如图①.(2)∵PQ∥OA,∴∠QPR=∠OCD,又∵∠QPR=∠AOB,∴∠OCD=∠AOB.∴OD=CD.即△OCD是以OC为底的等腰三角形.(3)如图②.【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识;作角平分线是正确解答本题的关键.。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元综合训练(附答案)

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合训练(附答案)1.已知如图,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥DE,CD=ED,AD=2,BC=3,则△ADE的面积为()A.1B.2C.5D.无法确定2.如图,已知∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C,EG⊥OA于点G,若EC =3,则OF长度是()A.3B.4C.5D.63.已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D,若△AGC 的周长为31cm,AB=20cm,则△ABC的周长为()A.31cm B.41cm C.51cm D.61cm4.如图,在△ABC中,AC=BC,点D在AC边上,点E在CB的延长线上,DE与AB相交于点F,若∠C=50°,∠E=25°,则∠BFD的度数为()A.100°B.120°C.140°D.150°5.已知在平面直角坐标系xOy中,O(0,0),A(4,3)点B在x轴或y轴上移动,若O、A、B三点可构成等腰三角形,则符合条件的B点有()A.9个B.8个C.7个D.6个6.如图,△ABC中,AD⊥BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F为BC的延长线上一点,FG⊥AE交AD的延长线于G,AC的延长线交FG于H,连接BG,下列结论:①∠DAE=∠F;②∠DAE=(∠ABD﹣∠ACE);③S△AEB:S△AEC=AB:AC;④∠AGH=∠BAE+∠ACB,其中正确的结论有()个.A.1B.2C.3D.47.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,D是线段AB上一个动点,以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点,则CF的最小值为()A.6B.8C.9D.108.如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是()A.12B.13C.15D.179.如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内任意一点,D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点,且PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC.若PF+PD+PE=a,则△ABC的边长为()A.a B.a C.a D.a10.一副三角板如图摆放,点F是45°角三角板ABC的斜边的中点,AC=4.当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时,直角边DF,EF分别与AC,BC相交于点M,N.在旋转过程中有以下结论:①MF=NF:②四边形CMFN有可能为正方形;③MN长度的最小值为2;④四边形CMFN的面积保持不变;⑤△CMN面积的最大值为2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.511.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AE⊥BC于点E,AB的垂直平分线交BC 于点D,交AB于点F,若BD=6,则CE的长为()A.2B.2C.3D.312.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=,△ABC与△APQ全等.13.如图,BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线,BE⊥AC于点H,CF平分∠ACB交BE于点F,连接AE,则下列结论:①∠ECF=90°;②AE=CE;③∠BFC=90°+∠BAC;④∠BAC=2∠BEC;⑤∠AEH=∠BCF,正确的为.14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E,那么∠DBC=度.15.已知等腰三角形的两边长分别为x和y,且x和y满足|x﹣3|+(y﹣1)2=0,则这个等腰三角形的周长为.16.在△ABC中,∠B=50°,当∠A为时,△ABC是等腰三角形.17.如图,已知P、Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC=PQ=AP=AQ,则∠BAC =.18.如图,直线l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,则∠1的度数为.19.已知a、b、c是△ABC的三边的长,且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0,则此三角形的形状为.20.如图,六边形ABCDEF的六个内角都等于120°,若AB=BC=CD=3cm,DE=2cm,则这个六边形的周长等于cm.21.∠α=24°24'=°,若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角,则另一个锐角是°.22.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.(1)求证:△ABC≌△DCB;(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.23.如图,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,过点D作直线分别交AB、AC于点E、F,若AE=AF,BE=4,CF=2,回答下列问题:(1)证明:ED=FD;(2)试找出∠BDC与∠A的数量关系,并说明理由;(3)求EF的长.24.如图△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,垂足分别是M,N.(1)若BC=10,求△ADE的周长.(2)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.25.如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AC,若∠A=30°,求∠BCD的度数.26.如图,已知在△ABC中,AC=BC=AD,∠CDE=∠B,求证:△CDE是等腰三角形.27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF,求证:(1)EF⊥AB;(2)△ACF为等腰三角形.28.如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.29.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,点M、N在边OB上.(1)若∠PNO=60°,证明△PON是等边三角形;(2)若PM=PN,OP=12,MN=2,求OM的长度.30.如图,等边△ABC中,点D在延长线上,CE平分∠ACD,且CE=BD.说明:△ADE是等边三角形.31.如图1,直线PQ⊥直线MN,垂足为O,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与直线PQ交于点C.(1)若∠A=∠AOC=30°,则BC BO(填“>”“=”“<”);(2)如图2,延长AB交直线MN于点E,过O作OD⊥AB,若∠DOB=∠EOB,∠AEO =α,求∠AOE的度数(用含α的代数式表示);(3)如图3,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点R,∠A=36°,当△AOB绕O点旋转时(斜边AB与直线PQ始终相交于点C),问∠R的度数是否发生改变?若不变,求其度数;若改变,请说明理由.参考答案1.解:过D作BC的垂线交BC于G,过E作AD的垂线交AD的延长线于F,∵∠EDF+∠FDC=90°,∠GDC+∠FDC=90°,∴∠EDF=∠GDC,于是在Rt△EDF和Rt△CDG中,,∴△DEF≌△DCG,∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1,所以,S△ADE=(AD×EF)÷2=(2×1)÷2=1.故选:A.2.解:∵∠AOE=∠BOE=15°,EC⊥OB于点C,EG⊥OA于点G,∴CE=EG=3,∵EF∥OB,∴∠COE=∠OEF=15°∴∠EFG=15°+15°=30°,∠EOF=∠OEF,∴OF=EF=2EG=2×3=6.故选:D.3.解:∵DG是AB的垂直平分线,∴GA=GB,∵△AGC的周长为31cm,∴AG+GC+AC=BC+AC=31cm,又AB=20cm,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm,故选:C.4.解:∵△ABC中,AC=BC,∠C=50°,∴∠ABC=(180°﹣50°)=65°,∵∠ABC是△BEF的外角,∴∠BFE=∠ABC﹣∠E=65°﹣25°=40°,∴∠BFD=180°﹣40°=140°,故选:C.5.解:分三种情况说明:①以点O为圆心,OA长为半径画圆,与x轴、y轴有4个交点,这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形;②以点A为圆心,OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点,这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形;③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点,这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形;综上所述:符合条件的B点有:4+2+2=8(个).故选:B.6.解:如图,AE交GF于M,①∵AD⊥BC,FG⊥AE,∴∠ADE=∠AMF=90°,∵∠AED=∠MEF,∴∠DAE=∠F;故①正确;②∵AE平分∠BAC交BC于E,∴∠EAC=,∠DAE=90°﹣∠AED,=90°﹣(∠ACE+∠EAC),=90°﹣(∠ACE+),=(180°﹣2∠ACE﹣∠BAC),=(∠ABD﹣∠ACE),故②正确;③∵AE平分∠BAC交BC于E,∴点E到AB和AC的距离相等,∴S△AEB:S△AEC=AB:CA;故③正确,④∵∠DAE=∠F,∠FDG=∠FME=90°,∴∠AGH=∠MEF,∵∠MEF=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠BAE+∠ACB;故④正确;故选:D.7.解:如图所示,连接BF,∵等边△BDE中,F是DE的中点,∴BF⊥DE,BF平分∠DBE,∴∠DBF=30°,即点F在∠DBE的角平分线上运动,∴当点D在CF上时,∠CFB=90°,根据垂线段最短可知,此时CF最短,又∵∠ABC=30°,∴∠CBF=60°,∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,∴BC=AC=6,∴Rt△BCF中,CF=BC×sin∠CBF=×=9,故选:C.8.解:如图所示,边长为1的正三角形共有1+3+5=9个,边长为2的正三角形共有3个,边长为3的正三角形共有1个,边长为的正三角形有2个,红颜色和蓝颜色的两个三角形,综上可知:共有9+3+1+2=15个,故选:C.9.解:延长EP交BC于点G,延长FP交AC于点H,如图所示:∵PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC,∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形,∴PE=AH,PG=CD.又∵△ABC为等边三角形,∴△FGP和△HPD也是等边三角形,∴PF=PG=CD,PD=DH,∴PE+PD+PF=AH+DH+CD=AC,∴AC=a;故选:D.10.解:①连接CF,∵F为AB中点,AC=BC,∠ACB=90°,∴AF=BF=CF,CF⊥AB,∴∠AFM+∠CFM=90°.∵∠DFE=90°,∠CFM+∠CFN=90°,∴∠AFM=∠CFN.同理,∵∠A+∠MCF=90°,∠MCF+∠FCN=90°,∴∠A=∠FCN,在△AMF与△CNF中,∵,∴△AMF≌△CNF(ASA),∴MF=NF.故①正确;②当MF⊥AC时,四边形MFNC是矩形,此时MA=MF=MC,根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确;③连接MN,当M为AC的中点时,CM=CN,根据边长为4知CM=CN=2,此时MN最小,最小值为2,故③错误;④当M、N分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF,∴S△CEF=S△AMF∴S四边形CDFE=S△AFC.故④正确;⑤由于△MNF是等腰直角三角形,因此当DM最小时,DN也最小;即当DF⊥AC时,DM最小,此时DN=BC=2.∴DN=DN=2 ;当△CEF面积最大时,此时△DEF的面积最小.此时S△CMN=S四边形CFMN﹣S△FMN=S△AFC﹣S△DEF=4﹣2=2,故⑤正确.故选:C.11.解:连接AD,如图:∵AB的垂直平分线交BC于点D,∴AD=BD=6,∵在△ABC中,∠B=30°,∴∠BAD=∠B=30°,∴∠ADE=∠B+∠BAD=60°.∵AE⊥BC于点E,∴∠AED=90°,∴∠DAE=30°,∴DE=AD=3,∴AE==3,∵∠C=45°,∴△AEC为等腰直角三角形,∴EC=AE=3,故选:D.12.解:∵AX⊥AC,∴∠P AQ=90°,∴∠C=∠P AQ=90°,分两种情况:①当AP=BC=5时,在Rt△ABC和Rt△QP A中,,∴Rt△ABC≌Rt△QP A(HL);②当AP=CA=10时,在△ABC和△PQA中,,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL);综上所述:当点P运动到AP=5或10时,△ABC与△APQ全等;故答案为:5或10.13.解:∵CF平分∠ACB,CE平分∠ACD,∴∠ACF=∠ACB,∠ACE=∠ACD,∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=(∠ACB+∠ACD)=90°,故①正确;∵BE平分∠ABC,BE⊥AC,∴∠ABE=∠CBE,∠BHA=∠BHC=90°,∴∠BAH+∠ABE=90°,∠ACB+∠EBC=90°,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∵BE⊥AC,∴AH=CH,∴EA=EC,故②正确;∵∠BFC=180°﹣(∠FBC+∠FCB)=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣∠BAC)=90°+∠BAC,故③正确;设∠ACE=∠ECD=x,∠ABE=∠EBC=y,则有,可得∠BAC=2∠BEC,故④正确,∵EA=EC,BE⊥AC,∴∠AEB=∠BEC,∵∠FCH+∠ACE=90°,∠ACE+∠BEC=90°,∴∠FCH=∠BEC=∠AEB,∵∠ACF=∠BCF,∴∠AEH=∠BCF,故⑤正确.故答案为:①②③④⑤.14.解:∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ABC=∠C=65°,∵DE是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠ABD=∠A=50°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=15°.故答案为:15.15.解:∵|x﹣3|+(y﹣1)2=0,∴x=3,y=1.当腰长为3时,三边长为3、3、1,周长=3+3+1=7;当腰长为1时,三边长为3、1、1,1+1<3,不能组成三角形.故答案为:7.16.解:①∠B是顶角,∠A=(180°﹣∠B)÷2=65°;②∠B是底角,∠B=∠A=50°.③∠A是顶角,∠B=∠C=50°,则∠A=180°﹣50°×2=80°,∴当∠A的度数为50°或65°或80°时,△ABC是等腰三角形.故答案为:50°或65°或80°.17.解:∵BP=QC=PQ=AP=AQ,∴△APQ为等边三角形,△ABP为等腰三角形,△AQC为等腰三角形,∴∠P AQ=∠APQ=∠AQP=60°,在△ABP和△CAQ中,∴△ABP≌△ACQ,∴∠QAC=∠B=∠APQ=30°,同理:∠BAP=30°,∠BAC=∠BAP+∠P AQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.故答案为:120°18.解:如图所示,过点C作直线n∥m,在直线m上取一点D,∵直线l∥m,∴l∥m∥n,∴∠1=∠2,∠3=∠CBD=20°,∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠2+∠3=60°,∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣20°=40°,∴∠1=40°.故答案为:40°.19.解:由已知条件a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0化简得,(a﹣b)2+(b﹣c)2=0∴a﹣b=0,b﹣c=0即a=b,b=c∴a=b=c故答案为等边三角形.20.解:分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P,如图所示:∵六边形ABCDEF的六个角都是120°,∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°,∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形,∴GC=BC=3cm,DH=DE=EH=2cm,∴GH=3+3+2=8(cm),F A=P A=PG﹣AB﹣BG=8﹣3﹣3=2(cm),EF=PH﹣PF﹣EH=8﹣2﹣2=4(cm).∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4=17(cm);故答案为:17.21.解:∠α=24°24'=24.4°,90°﹣24.4°=65.6°,故答案为24.4°,65.6°.22.证明:(1)在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°AC=BD,BC为公共边,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL);(2)△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB=∠DCB∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形23.(1)证明:过D点分别作DG⊥BC,DK⊥AB,DH⊥AC,垂足分别为G,K,H,如图,∴∠EKD=∠FHD=90°,∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴DK=DG=DH,在△EKD和△FHD中,,∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE,∴△EKD≌△FHD(AAS),∴ED=FD;(2)解:∠BDC=90°+∠A.理由如下:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB),∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,∴∠BDC+(∠ABC+∠ACB)=180°,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∴∠BDC+(180°﹣∠A)=180°,∴∠BDC=90°+∠A;(3)解:如图,∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠2+∠7+∠4=180°,∠5+∠6+∠7=180°,∴∠2+∠4=∠5+∠6,即∠1+∠3=∠5+∠6,∵∠AEF=∠AFE,∴∠1+∠5=∠3+∠6,∴∠5=∠3,∠1=∠6,∴△BED∽△CED,∴ED:CF=BE:DF,∵DE=DF,则ED2=CF⋅BE=2×4=8,则ED=,∴EF=2ED=.24.解:(1)∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,垂足分别是M、N,∴AD=BD,AE=CE,∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10.(2)∵∠BAC=100°,∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°,∵AD=BD,AE=CE,∴∠BAD=∠B,∠CAE=∠C,∴∠BAD+∠CAE=80°,∴∠DAE=∠BAC﹣(∠BAD+∠CAE)=100°﹣80°=20°.25.解:∵DE垂直平分AC,∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=30°,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=(180°﹣30°)÷2=150°÷2=75°,∴∠BCD=∠ACB﹣∠DCA=75°﹣30°=45°.∴∠BCD的度数为45°.26.证明:∵∠ADE+∠CDE+∠BDC=180°,∠BCD+∠B+∠BDC=180°,∠CDE=∠B,∴∠ADE=∠BCD,∵AC=BC,∴∠A=∠B,在△ADE和△BCD中,,∴△ADE≌△BCD(ASA),∴DE=CD,∴△CDE是等腰三角形.27.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=72°,又∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=36°,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD,又∵E是AB的中点,∴DE⊥AB,即FE⊥AB;(2)∵FE⊥AB,AE=BE,∴FE垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠BAF=∠ABF,又∵∠ABD=∠BAD,∴∠F AD=∠FBD=36°,又∵∠ACB=72°,∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°,∴∠CAF=∠AFC=36°,∴AC=CF,即△ACF为等腰三角形.28.证明:∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN,又∵AB=AC,∠BAN=∠ACM,∴△AMC≌△BNA,则∠BNA=∠AMC,∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°,∴∠AQN=∠ACB,∵∠BQM=∠AQN,∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°.29.解:(1)∵∠AOB=60°,∠PNO=60°,∴∠OPN=60°,∴∠PON=∠PNO=∠OPN,∴△PON是等边三角形;(2)作PH⊥MN于H,如图,∵PM=PN,∴MH=NH=MN=1,在Rt△POH中,∵∠POH=60°,∴∠OPH=30°,∴OH=OP=×12=6,∴OM=OH﹣MH=6﹣1=5.30.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC,即∠ACD=120°,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE=60°,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,又∵∠BAC=60°,∴∠DAE=60°,∴△ADE为等边三角形.31.解:(1)∵△AOB是直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°,∵∠A=∠AOC=30°,∴∠B=∠BOC=60°∴△BOC是等边三角形,∴BC=BO故答案为:=;(2)∵OD⊥AB,∠AEO=α,∴∠DOE=90°﹣α,∵∠DOB=∠BOE,∴∠BOE==(90°﹣α)=45°﹣α,∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°+45°﹣=135°﹣;(3)∠R的度数不变,∠R=27°.理由如下:设∠AOM=β,则∠AOC=90°﹣β,∵OF平分∠AOM,∴∠FOM=∠RON=,∴∠COR=∠CON+∠RON=90°+,∵∠OCB=∠A+∠AOC=36°+90°﹣β=126°﹣β,∵CR平分∠BCO,∴∠OCR==63°﹣,∴∠R=180°﹣(∠OCR+∠COR)=180°﹣63°+﹣90°﹣=27°,∴∠R的度数不变,∠R=27°。
八年级数学下册第一章《三角形的证明》综合测试题-北师大版(含答案)

八年级数学下册第一章《三角形的证明》综合测试题-北师大版(含答案)一.选择题(共7小题,满分28分)1.满足下列条件的△ABC(a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边)不是直角三角形的是()A.a2﹣b2=c2B.∠A﹣∠B=∠CC.∠A:∠B:∠C=3:4:5D.a:b:c=7:24:252.等腰三角形的一个内角等于70°,则它的底角是()A.70°B.55°C.60°D.70°或55°3.如图,a∥b,△ABC为等边三角形,若∠1=45°,则∠2的度数为()A.75°B.95°C.105°D.120°4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是()A.45°B.70°C.65°D.50°5.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分,则此三解形的底边长为()A.7B.11C.7或11D.无法确定6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,边BC的垂直平分线MN交AB于D,连结CD,下列说法不一定正确的是()A.∠BDN=∠CDN B.∠ADC=2∠BC.∠ACD=∠DCB D.2∠B+∠ACD=90°7.如图,在△ABC中,AB=AC,中线AD与角平分线CE相交于点F,已知∠ACB=40°,则∠AFC的度数为()A.70°B.110°C.40°D.140°二.填空题(共7小题,满分28分)8.已知等腰三角形的底边长为2,腰长为8,则它的周长为.9.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△BDC的面积为24,BC=12,则DE =.10.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E,CD平分∠ACB,若∠B=30°,则∠A为度.11.如图,DF垂直平分AB,EG垂直平分AC,点D、E在BC边上,且点D在点B和点E 之间.若∠BAC=100°,则∠DAE=.12.如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.若CD=6,AD=8,则BD=,MN=.13.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC=12cm,S△ABC=24cm2,点D是底边BC边上的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.则DE+DF=cm.14.如图所示,已知△ABC中,BC=16cm,AC=20cm,AB=12cm,点P是BC边上的一个动点,点P从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t (s),若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,则运动时间t=.三.解答题(共6小题,满分64分)15.如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB于E,交AC于D,连接BD.(1)如果∠A=40°,求∠CBD的度数;(2)若AB=AC=9cm,BC=5cm,求△BCD的周长.16.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD分∠ABC交AC于点D,过点D作DE∥AB交BC 于点E,DF⊥AB,垂足为点F.(1)求证:BE=DE;(2)若DE=2,,求BD的长.17.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD为△ABC的角平分线;(1)若AB=BD,则∠A的度数为°(直接写出结果);(2)如图1,若E为线段BC上一点,∠DEC=∠A;求证:AB=EC.(3)如图2,若E为线段BD上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC.18.如图,A、B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.(1)求证:OC平分∠MON;(2)若AD=3,BO=4,求AO的长.19.在边长为9的等边三角形ABC中,点Q是BC上一点,点P是AB上一动点,以每秒1个单位的速度从点A向点B移动,设运动时间为t秒.(1)如图1,若BQ=6,PQ∥AC,求t的值;(2)如图2,若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C 向点A运动,当t为何值时,△APQ为等边三角形?20.已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.(1)【特殊情况,探索结论】如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”、“<”或“=”).(2)【特例启发,解答题目】如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下,过点E作EF∥BC,交AC 于点F.(请你完成以下解答过程).(3)【拓展结论,设计新题】在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).参考答案一.选择题(共7小题,,满分28分)1.解:A、∵a2﹣b2=c2,∴a2=b2+c2,即△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;B、∵∠A﹣∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,即△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;C、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°×=45°,∠B=180°×=60°,∠C=180°×=75°,即△ABC不是直角三角形,故本选项符合题意;D、∵a:b:c=7:24:25,∴a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意.故选:C.2.解:①当这个角为顶角时,底角=(180°﹣70°)÷2=55°;②当这个角是底角时,底角=70°.故选:D.3.解:∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,∵∠1=45°,∴∠1+∠ACB=105°,∵a∥b,∴∠2=∠1+∠ACB=105°.故选:C.4.解:如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,,∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE,∵∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD,∴∠B=∠FDE=65°,∴∠C=∠B=65°,∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣65°﹣65°=50°,故选:D.5.解:根据题意,①当AC+AC=15,解得AC=10,所以底边长=12﹣×10=7;②当AC+AC=12,解得AC=8,所以底边长=15﹣×8=11.所以底边长等于7或11.故选:C.6.解:∵MN垂直平分线段BC,∴DB=DC,MN⊥BC,∴∠BDN=∠CDN,∠DBC=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B,∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∴2∠B+∠ACD=90°,故选项A,B,D正确,故选:C.7.解:在△ABC中,AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵CE是角平分线,∠ACB=40°,∴∠DCF=20°,∴∠AFC=∠ADC+∠DCF=90°+20°=110°.故选:B.二.填空题(共7小题,满分28分)8.解:∵等腰三角形的底边长为2,腰长为8,∴它的周长=2+8+8=18,故答案为:18.9.解:过点D作DF⊥BC于点F,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,∴DE=DF,∵,BC=12,∴,∴DF=4,∴DE=DF=4.故答案为:4.10.解:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD又∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴3∠A+∠B=180°,∵∠A==50°.故答案为:50.11.解:∵∠BAC=100°,∴∠B+∠C=180°﹣100°=80°,∵DF垂直平分AB,EG垂直平分AC,∴DA=DB,EA=EC,∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=80°,∴∠DAE=100°﹣80°=20°,故答案为:20°.12.解:∵BM∥CD,∠BCD=90°,∴∠MBD=∠CDB,BM⊥BC,又∵DB平分∠ADC,∴∠MDB=∠CDB,∴∠MBD=∠MDB,∴MB=MD,∵∠A+∠ADB=90°,∠ABM+∠MBD=90°,∴∠A=∠ABM,∴MA=MB,∴MA=MB=MD=AD=4,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∵∠ABD=∠BCD=90°,∴△ABD∽△BCD,∴BD:CD=AD:BD,∴BD2=AD•CD;∵CD=6,AD=8,∴BD2=8×6=48,∴BD=4,在Rt△BCD中,BC2=BD2﹣CD2=48﹣62=12,在Rt△BCM中,MC===2.∵BM∥CD,∴,∴,∴MN=.故答案为:4.13.解:∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,S,S,∴S,∵AB=AC=12cm,S△ABC=24cm2,∴S,即=24,∴DE+DF=4cm,故答案为:4.14.解:∵BC=16cm,AC=20cm,AB=12cm,∴BC2+AB2=AC2,∴∠B=90°,如图1,AB=PB=12cm,∴t=12÷2=6s;如图2,AP=AB=12cm,∴BC+PC=(16+20﹣12)cm=24cm,∴t=24÷2=12s;如图3,AB=BP=12cm,过点B作BD⊥AC于D,则AD=PD,∵S△ABC=×AB×BC=×AC×BD,∴12×16=20BD,∴BD=9.6cm,由勾股定理得:AD===7.2cm,∴AP=2AD=14.4cm,∴t=(12+20﹣14.4)÷2=8.8s,综上所述,t的值是6s或12s或8.8s.故答案为:6s或12s或8.8s.三.解答题(共6小题,满分64分)15.解:(1)∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C=70°,∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∵∠DBA=∠A=40°,∴∠DBC=70°﹣40°=30°;(2)由(1)得DA=DB,∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AC+BC=9+5=14(cm),答:△BCD的周长为14cm.16(1)证明:∵BD分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥AB,∴∠EDB=∠ABD.∴∠CBD=∠EDB.∴DE=EB.(2)解:∵∠C=90°,∴DC⊥BC.又∵BD分∠ABC交AC于点D,DF⊥AB,∴CD=DF=.在Rt△CDE中,CE==1.∵DE=EB=2,∴BC=CE+EB=3.在Rt△CDB中,BD===2.17.(1)解:如图1中,设∠C=x.∵∠ABC=2∠C,∴∠ABC=2x,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=x,∵AB=BD,∴∠A=∠ADB=∠DBC+∠C=2x,∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴2x+2x+x=180°,∴x=36°,∴∠A=2x=72°,故答案为:72.(2)证明:如图1中,∵∠ABD=∠DBC=∠C,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴AB=EC.(3)证明:如图2中,延长BD到T,使得CD=CT.∵CD=CT,∴∠T=∠CDT=∠ADB,∵BD=CD,∴BD=CT,在△ABD和△ECT中,,∴△ABD≌△ECT(AAS),∴AB=EC.18.(1)证明:∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠ADC=∠CEB=90°,在Rt△ADC和Rt△BEC中,,∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),∴CD=CE,∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴OC平分∠MON;(2)解:∵Rt△ADC≌Rt△BEC,AD=3,∴BE=AD=3,∵BO=4,∴OE=OB+BE=4+3=7,∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠CDO=∠CEO=90°,在Rt△DOC和Rt△EOC中,,∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL),∴OD=OE=7,∵AD=3,∴OA=OD+AD=7+3=10.19.解:(1)如图1,∵△ABC是等边三角形,PQ∥AC,∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°,又∠B=60°,∴∠B=∠BQP=∠BPQ,∴△BPQ是等边三角形,∴BP=BQ,由题意可知:AP=t,则BP=9﹣t,∴9﹣t=6,解得:t=3,∴当t的值为3时,PQ∥AC;(2)如图2,①当点Q在边BC上时,此时△APQ不可能为等边三角形;②当点Q在边AC上时,若△APQ为等边三角形,则AP=AQ,由题意可知,AP=t,BC+CQ=2t,∴AQ=BC+AC﹣(BC+CQ)=9+9﹣2t=18﹣2t,即:18﹣2t=t,解得:t=6,∴当t=6时,△APQ为等边三角形.20.解:(1)当E为AB的中点时,AE=DB;(2)AE=DB,理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F,证明:∵△ABC为等边三角形,∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF,BE=CF,∵ED=EC,∴∠D=∠ECD,∵∠DEB=60°﹣∠D,∠ECF=60°﹣∠ECD,∴∠DEB=∠ECF,在△DBE和△EFC中,,∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,则AE=DB;(3)点E在AB延长线上时,作EF∥AC,则△EFB为等边三角形,如图所示,同理可得△DBE≌△CFE,∵AB=1,AE=2,∴BE=1,∵DB=FC=FB+BC=2,则CD=BC+DB=3.故答案为:(1)=;(2)=。
2020-2021学年 北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 之直角三角形综合练(一)

北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练(一)1.如图1,∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,CE⊥AD,且BE平分∠ABC.(1)求证:∠ACE=∠ABC;(2)求证:∠ECD+∠EBC=∠BEC;(3)求证:∠CEF=∠CFE.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=36°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数;(2)点F是AE延长线上一点,过点F作∠AFD=27°,交AB的延长线于点D.求证:BE ∥DF.3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE是△ABC的角平分线,CD⊥AB,垂足D,延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F.(1)若∠A=60°,求∠DCE和∠F的度数;(2)若∠A=n°(0<n<90)直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F.(3)在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q,在(2)的条件下求∠CQH的度数,请直接写出∠CQH的度数.4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.(1)若∠DEC=25°,求∠B的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.5.我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,这个定理的逆命题也是真命题.(1)请你写出这个定理的逆命题是;(2)下面我们来证明这个逆命题:已知:如图,CD是△ABC的中线,CD=AB.求证:△ABC为直角三角形.请你写出证明过程:6.如图在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是AD,BC,AB,CD上的点,连接EF,GH.①若EF⊥GH,则必有EF=GH.②若EF=GH,则必有EF⊥GH.判断上述两个命题是否成立,若成立,请说明理由;若不成立,请举出反例.7.在△AOB中,∠AOB=90°,点C为直线AO上的一个动点(与点O,A不重合),分别作∠OBC和∠ACB的角平分线,两角平分线所在直线交于点E.(1)若点C在线段AO上,如图1.①依题意补全图1;②求∠BEC的度数;(2)当点C在直线AO上运动时,∠BEC的度数是否变化?若不变,请说明理由;若变化,画出相应的图形,并直接写出∠BEC的度数.8.已知△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G.(1)如图1,若∠ACB=90°,∠A=50°,直接求出∠G的度数;(2)如图2,若∠ACB≠90°,试判断∠G与∠A的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,若FE∥AD,求证:∠DFE=∠ABC+∠G.9.如图1,直线PQ⊥直线MN,垂足为O,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与直线PQ交于点C.(1)若∠A=∠AOC=30°,则BC BO(填“>”“=”“<”);(2)如图2,延长AB交直线MN于点E,过O作OD⊥AB,若∠DOB=∠EOB,∠AEO=α,求∠AOE的度数(用含α的代数式表示);(3)如图3,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点R,∠A=36°,当△AOB绕O点旋转时(斜边AB与直线PQ始终相交于点C),问∠R的度数是否发生改变?若不变,求其度数;若改变,请说明理由.10.锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,点E在边AB上.①如果DE∥BC,那么DE=BC②如果DE=BC,那么DE∥BC.判断上述两个命题是否成立,若成立,请说明理由;若不成立,请举出反例.11.如图,在△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,在AB上取点F,过A作AB的垂线,使得AD=BF,连接BD,CD、CF,CE是∠ACB的角平分线,交BD于点M,交AB于点E.(1)若AC=6,AF=4.求BD的长:(2)求证:2CM=AF12.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,过点C作CE⊥BD,交BD的延长线于点E,∠ABC=60°,∠ECD=15°.(1)直接写出∠ADB的度数是;(2)求证:BD=AB;(3)若AB=2,求BC的长.13.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且点P不与点A,C重合,那么当点P 运动到什么位置时,才能使△ABC与△APQ全等?参考答案1.证明:(1)∵CE⊥AD,∠ACD=90°,∵∠ACE+∠ECD=∠D+∠ECD=90°,∴∠ACE=∠D.∵∠D=∠ABC,∴∠ACE=∠ABC;(2)∵∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,∴∠ACB=∠DAC,∴AD∥BC,∵CE⊥AD,∴CE⊥BC,∴∠BEC+∠EBC=90°,∵∠D+∠ECD=90°,∠D=∠ABC,∴∠ABC+∠ECD=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD=90°,∴2∠EBC+∠ECD=∠BEC+∠EBC,即∠EBC+∠ECD=∠BEC;(3)∵∠ABF+∠AFB=90°,∠AFB=∠CFE,∴∠ABF+∠CFE=90°,∵∠CBE+∠CEF=90°,∠ABF=∠CAE,∴∠CEF=CFE.2.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=36°,∴∠ABC=90°﹣∠A=54°,∴∠CBD=126°.∵BE是∠CBD的平分线,∴∠CBE=∠CBD=63°;(2)∵∠ACB=90°,∠CBE=63°,∴∠CEB=90°﹣63°=27°.又∵∠F=27°,∴∠F=∠CEB=27°,∴DF∥BE3.解:(1)∵CD⊥AB,∠A=60°,∴∠ADC=90°,∠ACD=30°,∵CF平分∠ACB,∠ACB=90°,∴∠ACE=∠FCB=∠ACB=45°,∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=45°﹣30°=15°,∵∠ABG=∠A+∠ACB=150°,∵BF平分∠ABG,∴∠FBG=∠ABG=75°,∵∠FBG=∠F+∠FCB,∴∠F=75°﹣45°=30°.(2)∵CD⊥AB,∠A=n°,∴∠ADC=90°,∠ACD=90°﹣n°,∵CF平分∠ACB,∠ACB=90°,∴∠ACE=∠FCB=∠ACB=45°,∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=45°﹣90°+n°=n°﹣45°,∵∠ABG=∠A+∠ACB=90°+n°,∵BF平分∠ABG,∴∠FBG=∠ABG=45°+n°∵∠FBG=∠F+∠FCB,∴∠F=n°.(3)如图,∵FH⊥CG,∴∠FHC=90°,∵∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠DCB=90°∴∠A=∠DCB=n°,∵CQ平分∠DCB,∴∠QCH=n°,∴∠CQH=90°﹣n°.4.解:(1)∵∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=25°,∴∠BDE=50°,又∵DE⊥AB,∴Rt△BDE中,∠B=90°﹣∠BDE=90°﹣50°=40°;(2)∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB,又∵DE=DC,AD=AD,∴△AED≌△ACD(HL),∴AE=AC,∴点D在CE的垂直平分线上,点A在CE的垂直平分线上,∴直线AD是线段CE的垂直平分线.5.解:(1)∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,∴它逆命题是:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,故答案为:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形;(2)∵CD是△ABC的中线∴AD=BD=AB,∵CD=AB,∴AD=CD=BD,∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCB,在△ABC中,∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°∴∠A+∠B+∠A+∠B=180°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°,∴△ABC为直角三角形.6.解:①成立,②不成立;理由如下:①作GM⊥CD于M,FN⊥AD于N,如图1所示:则∠GMH=∠FNE=90°,GM⊥FN,GM=AD,FN=AB,∴∠OGQ+∠OQG=90°,∵EF⊥GH,∴∠PFQ+∠PQF=90°,∵∠OQG=∠PQF,∴∠OGQ=∠PFQ,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∴FN=GM,在△EFN和△HGM中,,∴△EFN≌△HGM(ASA),∴EF=GH;②作GM⊥CD于M,FN⊥AD于N,如图2所示:则∠GMH=∠FNE=90°,GM⊥FN,GM=AD,FN=AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∴FN=GM,在Rt△EFN和Rt△HGM中,,∴Rt△EFN≌Rt△HGM(HL),∴∠OGQ=∠PFQ,∵∠OGQ+∠OQG=90°,∠OQG=∠PQF,∴∠PQF+∠PFQ=90°,∴∠FPQ=90°,∴EF⊥GH;作GH关于GM的对称线段GH',则GH'=GH=EF,显然EF与GH'不垂直;综上所述,若EF=GH,则必有EF⊥GH.不成立.7.解:(1)①图形如图所示.②设∠EBO=∠EBC=x,∠OCE=∠ECK=y.则有:,可得∠E=×90°=45°.(2)如图,当点C在OA的延长线上时,结论∠BEC=135°.理由:∵∠AOB=90°,∴∠OBC+∠OCB=90°,∵∠EBC=∠OBC,∠ECB=∠OCB,∴∠EBC+∠ECB=×90°=45°,∴∠BEC=180°﹣45°=135°.如图当点C在AO的延长线上时,同法可证:∠BEC=135°.8.解:(1)如图1,∵∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠ABC=40°,∵BG平分∠ABC,∴∠CBG=20°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD=90°,∵DG平分∠ADE,∴∠CDF=45°,∴∠CFD=45°,∴∠BFD=180°﹣45°=135°,∴∠G=180°﹣20°﹣135°=25°;(2)如图2,∠A=2∠G,理由是:由(1)知:∠ABC=2∠FBG,∠CDF=∠CFD,设∠ABG=x,∠CDF=y,∵∠ACB=∠DCF,∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD,即∠A+2x=2y,∴y=,同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF,∴∠A+x=∠G+y,即∠A+x=∠G++x,∴∠A=2∠G;(3)如图3,∵EF∥AD,∴∠DFE=∠CDF,由(2)得:∠CFD=∠CDF,△FBG中,∠G+∠FBG+∠BFG=180°,∠BFG+∠DFC=180°,∴∠DFC=∠G+∠FBG,∴∠DFE=∠CFD=∠FBG+∠G=+∠G.9.解:(1)∵△AOB是直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°,∵∠A=∠AOC=30°,∴∠B=∠BOC=60°∴△BOC是等边三角形,∴BC=BO故答案为:=;(2)∵OD⊥AB,∠AEO=α,∴∠DOE=90°﹣α,∵∠DOB=∠BOE,∴∠BOE==(90°﹣α)=45°﹣α,∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°+45°﹣=135°﹣;(3)∠R的度数不变,∠R=27°.理由如下:设∠AOM=β,则∠AOC=90°﹣β,∵OF平分∠AOM,∴∠FOM=∠RON=,∴∠COR=∠CON+∠RON=90°+,∵∠OCB=∠A+∠AOC=36°+90°﹣β=126°﹣β,∵CR平分∠BCO,∴∠OCR==63°﹣,∴∠R=180°﹣(∠OCR+∠COR)=180°﹣63°+﹣90°﹣=27°,∴∠R的度数不变,∠R=27°.10.解:①∵锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,DE∥BC,∴AE=EB,即DE是△ABC的中位线,∴DE=BC故①正确;②令E为AB中点,可以在AB上取到一点F,使DF=DE,但DF与BC不平行.故②错误.11.解:(1)∵AC=CB=6,∠ACB=90°,∴AB=12∵AF=4,∴BF=AB﹣AF=12﹣4=8,∴AD=BF=8,在Rt△ADB中,BD==4;(2)∵AC=CB,∠ACB=90°,CE平分∠ACB,∴AE=BE=CE=AB,CE⊥AB,∵∠DAB=∠MEB=90°,∠DBA=∠MBE,∴△MBE∽△DBA,∴==,∴ME=AD,∴ME=BF,∵CE=AB,∴CM+ME=(BF+AF),∴CM+BF=BF+AF,∴CM=AF,即AF=2CM.12.解:(1)∵CE⊥BE,∴∠E=90°,∵∠ECD=15°,∴∠ADB=∠CDE=90°﹣15°=75°故答案为75°.(2)证明:∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠ABD=∠DBC=30°,∵∠ADB=75°,∴∠A=75°,∴∠A=∠ADB,∴AB=DB.(3)过点D作DF⊥BC,交BC于F点.∵DF⊥BC,∴∠DFB=∠DFC=90°,∵∠DBF=30°,∴DF=BD,∵BD=AB=2,∴DF=1,∴FB=,∵CE⊥BE,∴∠E=90°,∵∠DBC=30°,∴∠ECB=60°,∵∠ECD=15°,∴∠DCB=45°,∴∠DCF=∠FDC=45°,∴FD=FC=1,∴BC=.13.解:根据三角形全等的判定方法HL可知:①当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°,在Rt△ABC与Rt△QPA中,,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=10;②当P运动到与C点重合时,AP=AC,不合题意.综上所述,当点P运动到距离点A为10时,△ABC与△APQ全等.。
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三角形证明
【命题趋势】
常考的知识点包括:全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等,在中考时,灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察,而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现,难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型,能较好的考察学生的推理和证明能力,同时能把三角形全等有机的结合起来,因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题,本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法.
三角形证明(一)
【经典专题突破】
例1.如图,等边ABC △中,AO 是BAC ∠的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边
且在CD 下方作等边CDE △,连结BE . (1)求证:ACD BCE △≌△;
(2)延长BE 至Q , P 为BQ 上一点,连结CP 、QC 使5CP CQ ==, 若8BC =时,求PQ 的长.
例2.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,AC BC <,D 为AB 的中点,DE 交AC 于
点E ,DF 交BC 于点F ,且D E D F ⊥,过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G . (1)求证:AG BF =;
(2)若9AE =,18BF =,求线段EF 的长.
第1题图
第2题图
例3:如图1,在R t A B C △中,90ACB ∠=,CD AB ⊥,作ABC ∠的平分线交AC 、CD
于点E 、F .
(1)求证:CE CF =;
(2)如图2,过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ,若10AC =,4EG =,求CE 的长度.
【仿真题型演练】
1. 如图,在等腰Rt ABC △中,90ACB ∠=,AC CB =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD CE =.连接DE 、DF 、
EF .
(1)求证:DF =EF ;
(2)试证明△DEF 是等腰直角三角形.
2. 已知等腰Rt ABC △中,90ACB ∠=,AC BC =,点G 在BC 上,连接AG ,过C 作
CF ⊥AG ,
垂足为点E ,过点B 作BF ⊥CF 于点F ,点D 是AB 的中点,连接DE 、DF .
(1)若30CAG ∠=,EG =1,求BG 的长; (2)求证:∠AED =∠DFE
第3题图
F
E
D C
B
A
第1题图
G
F
E
D
C
B
A 第2题图
3. 如图
1,已知点D 为等腰直角ABC △内一点,90ACB ∠=,
15CAD CBD ∠=∠=,E 为AD 延长线上的一点,且CE CA =.
(1)求DCA ∠的大小;
(2)若点M 在DE 上,如图2,且DC DM =,求证:ME DB =.
4. 如图,在Rt ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=,,D E 为BC 上两点,
45DAE ∠=,F 为ABC △ 外一点,且FB BC ⊥,FA
AE ⊥。
(1
)证明:CE BF =; (2)证明:2
2
2
BD CE DE +=.
【一线名师预测】
1. 如图,在ABC △中,45ABC ∠=,CD AB ⊥,BE AC ⊥,垂足分别为,,D E F 为BC 中点,BE 与DF ,DC 分别交于点G ,H ,ABE CBE ∠=∠. (1)证明:BH CA =; (2)证明:2
2
2
BG GE EA -=.
第3题图
第4题图
第1题图
2.如图,分别以ABC △的边AB ,AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形
ACE ,线段BE 与CD 相交于点O ,连接AO .
(1)求BOD ∠的度数; (2)求证:AO 平分DOE ∠.
三角形证明(二)
【经典专题突破】
例1.如图,Rt ACB △中,90ACB ∠=,ABC △的角平分线AD 、BE 相交于点P ,
过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ,交AC 于点H . (1)求APB ∠的度数; (2)证明:AH BD AB +=.
例2. 如图,等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=,D 、E 分别为AB 、AC 边
上的点,AD AE =,AF BE ⊥交BC 于点F ,过点F 作FG CD ⊥交BE 的延长线于点G ,交AC 于点M . (1)证明:EGM △为等腰三角形; (2)证明:BG AF FG =+.
第2题图
第1题图
第2题图
例3.如图,ABC △中,AC BC =,90ACB ∠=,点D 在AC 上,点E 在BC 延长
线上,CD =CE ,BD 的延长线交AE 于点F ,连CF . (1)证明:AE BD =; (2)证明:2EF FD FC +=.
【仿真题型演练】
1.在四边形ABCD 中,AC AB =,DC DB =,60CAB ∠=,
120CDB ∠=,
E 是
AC 上一点,F 是AB 延长线上一点,且CE BF =.
(1)证明:DE DF =;
(2)在图中,若G 在AB 上且60EDG ∠=,
证明:CE BG EG +=.
2. 如图,D 是等边ABC △的边AB 上一点,E 是BC 延长线上一点,CE DA =,连接DE 交AC 于F ,过D 点作于DG AC ⊥于G 点. (1)证明:1
2
AG AD =
; (2)证明:GF FC AG =+.
第3题图
第1题图
第2题图
3. 如图,等边ABC △中,点E 、F 分别是AB 、AC 的中点,P 为BC 上一点,
连接EP ,作等边EPQ △,连接FQ ,EF .
(1)若等边ABC △的边长为20,且BPE ∠=45°,求等边EPQ △的边长; (2)证明:BP EF FQ =+.
4. 如图,Rt ABC △中,90E ACB ∠=,ABC ∠的角平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交
于点P ,分别交AC 和BC 的延长线于E ,D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ,交BC 的延长线于点F ,连接AF 交DH 于点G . (1)证明:45APB ∠=; (2)证明:BD AH AB -=;
第3题图
第4题图
【一线名师预测】
1.如图,在Rt ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=,ABE EBC ∠=∠,CE BD ⊥的延长线于E .
(1)证明:2BD CE =;
(2)若3AB =,1AD =,求BE 的长度.
2. 如图,已知90ACD ∠=,MN 是过点A 的直线,AC DC =,DB MN ⊥于点B .
(1)证明:2BD AB CB +=;
(2)当30BCD ∠=,2BD =时,求BC 的长度.
第1题图
N
M
D
C
B
A
第2题图。