【高三暑期培优】第7讲.直线与圆.尖子班

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高中数学第七章直线与圆的方程课件

解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切所以圆心C到这条直线的距离等于半径r 根据点到直线的距离公式，得
r= | 3×1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 因此，所求圆的方程是 = 16 O
C M
x
5
256 = 25
(x-1)2+(y-3)2
y
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
x02 + y02
=
r2
x0x +y0 y = r2
O
x
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知识点拨：
已知圆的方程是
的切线的方程：
x 2 y 2 r 2，经过圆上一点 M ( x0 , y0 )
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的切线方程为：
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
x
x0x +y0 y = r2
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圆的标准方程
2 x 2 y 2 r，求经过圆上一点例2 已知圆的方程是
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 y1 y2
解法三（利用平面向量知识）： OM MP OM MP= 0
所以切线方程为：y = x± 2
（2）在y轴上截距是 2 的切线方程。 y = ± x+ 2
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圆的标准方程
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

高考数学直线与圆的位置关系

AB的斜率为k，由题意：
消去y得：
(1 + k2 )x2 -10k2 x + 25k2 -16 = 0（*）
消去k得：当y=0时,k=0 此时x=0 而的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上，若在圆上，则该点为切点.若在圆外，一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解题较为简单. 切线应有两条，若求出的斜率只有一个，应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线.
3.若方程
有解，则b的取值范围是_____
例题４
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求弦AB中点M的轨迹.
y
x
O
P(5,0)
Q
A
y
M(x ,y)
B
x
O
P(5,0)
例题1 已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求弦AB中点M的轨迹.
3.在课前热身(3)中，判断两圆关系得到|O1O2|＜|r1+r2|，未必相交，还可能内含，一定要追加|O1O2|＞|r1-r2|才行.
例1（1）过圆x2+y2=1上一点A(a ,b)的切线方程为 ___a_x_+_b_y_=_1___ (2):若点A(a ,b)在圆x2+y2=1内，则直线ax+by=1与此圆的位置关系是__相_离____
4.在坐标平面上与点A(1, 2 )的距离为1 且与点B(3, 1 )的距离为2的直线共有 __2____条
直线与圆的位置关系的判定方法：

高考培优课程数学讲义：直线与圆【讲师版】

高考培优数学 “直线与圆”讲义编号：目标1：根据条件求直线的方程、圆的方程，学会把条件中的“点与线，线与线、直线与圆的位置关系”转化成适当的代数关系。

目标2：进一步体会几何特征代数化和代数结构几何化。

目标3：直线与圆的位置关系的判断。

目标4：直线与圆的位置关系的综合应用。

1．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值；（3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．答案：（1）∵ 点P （a ，a+1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a ,P （4,5），∴102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---，（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7），∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。

（3）设点（－2,3）的直线l 的方程为：032 )2(3=+--+=-k y kx x k y 即，，易知直线l 与圆方程相切时，K 有最值， ∴221|3272|2=++---kk k ，∴32±-=k∴3-=n K 的最大值为32+-，最小值为32--.]例1预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1 5倍，问桌、椅各买多少才行？（★★☆☆☆）解设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x xy x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如图) 由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37故有买桌子25张，椅子37张是最好选择根据条件求直线的方程、圆的方程，学会把条件中的“点与线，线与线、直线与圆的位置关系”转化成适当的代数关系。

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

, 到直线： − − = 的距离 =

≤ + ，解得−

≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆，所以注意检验是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5，即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用结论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的公共弦长为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒

直线与圆高考题精选培优

直线与圆高考题精选培优引言在高考数学中，直线与圆是一个非常重要的知识点，涉及到的知识点较多，且题目多样化。

本文将为大家精选了一些高考题，旨在帮助大家理解直线与圆的相关概念和解题技巧，加深对该知识点的理解。

1. 直线与圆的基本概念在开始解答高考题之前，我们需要先了解直线与圆的基本概念。

直线：直线是一个无限延伸的平面几何对象，其上的点满足相邻两点间的距离是恒定的。

圆：圆是一个平面几何对象，由一个平面上距离中心恒定为r的点组成，其中r称为圆的半径。

对于直线和圆的相关性质和定理，请参考数学教材和相关学习资料。

2. 高考题精选解析题目一已知点A(-2,3)和点B(4,-1)分别在直线l上，且l与圆C的交点为M(-1,2)和N(3,0)。

求直线l的方程和圆C的方程。

解析：首先求直线l的方程。

由题目可知，直线l过点A(-2,3)和点B(4,-1)，我们可以使用两点式求直线的方程。

直线l的斜率为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (4 - -2) = -1然后我们可以使用点斜式求直线l的方程。

直线l通过点A(-2,3)，斜率为-1，直线的方程为：y - y1 = m(x - x1) => y - 3 = -1(x - -2) => y - 3 = -x - 2 => y = -x + 1接下来，我们求圆C的方程。

已知圆C的两个交点为M(-1,2)和N(3,0)，我们可以使用两点式求圆的方程。

圆C的半径为r，中心点为O(x0, y0)，则圆的方程为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2代入两个交点的坐标，我们有：(-1 - x0)^2 + (2 - y0)^2 = r^2 和 (3 - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2通过联立方程，我们可以求解圆的方程。

具体的求解过程省略。

题目二已知圆O的半径为4，点A(3,0)为圆上的一点，直线l过点A且与圆O相切。

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

位置关系
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x

7.29高一数学暑假培训必修二直线与方程及圆与方程复习要点(提高班学生版)

高一数学暑假培训必修二直线与方程及圆与方程复习要点知识点归纳：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ；当90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x ya b+=，直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++CBy Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

广东省高一数学尖子班教案：直线、圆的位置关系

广东省高一数学尖子班教案：直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：当d r<时，直线l与圆C相交；当d r=时，直线l与圆C相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.要点二、圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三、求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =- 要点四、圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．要点五、圆系方程1．过直线0A x B y C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠； 3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=； 4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1．已知P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=R 2的内部，试判断直线x 0x+y 0y=R 2与圆的位置关系．【答案】相离【解析】 ∵点P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=R 2的内部， ∴22200x y R +<．又圆心O （0，0）到直线x 0x+y 0y=R 2的距离为2d =22200x y R +<，1R >=，∴2R R R =，即d ＞R ．∴直线x 0x+y 0y=R 2与圆x 2+y 2=R 2相离．【总结升华】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．例2．已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点;（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程. 【答案】（1）略（2）10x y --=【证明】（1）证法一：将直线l 与曲线C 的方程联立得22430 68210 kx y k x y x y --+=⎧⎨+--+=⎩①②，消去y 得(1+k 2)x 2―2(4k 2+k+3)x+2(8k 2+4k+3)=0． ③ ∵Δ=4(4k 2+k+3)2―8(1―k 2)(8k+4k+3)=12k 2―8k+12=21812039k ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线l 与曲线C 恒有两个交点．证法二：将曲线C 的方程配方得(x ―3)2+(y ―4)2=4，它表示以C （3，4）为圆心，2为半径的圆．设圆心C 到直线l 的距离为d ，则222222121211k k k d k k ⎛⎫++===+≤++，即d r ≤<， ∴直线l 与曲线C 恒有两个交点．证法三：注意到直线l ：kx ―y ―4k+3=0可化为y ―3=k(x ―4)，可知直线l 恒过定点A （4，3）．∵曲线C 是以C （3，4）为圆心，2为半径的圆，（见“证法二”）又42+32－6×4－8×3+21＜0，即点A 在圆C 内， ∴直线l 与曲线C 恒有两个交点．（2）设直线l 被曲线C 所截的线段为AB ，当PQ ⊥AB 时，||AB 最小，直线PQ 的斜率43134PQ k -==--，所以直线AB 的斜率1AB k =，其方程l 为：10x y --=【总结升华】证法一抓住了直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；证法二抓住了直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；证法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．举一反三：【变式1】若直线y=x+b 与曲线3y =有公共点，则b 的值范围是（）A ．[1,1-+ B ．[1-+ C ．[1- D ．[1 【答案】C【解析】曲线方程可化简为()()22234(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2,3），半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线y x b =+距离等于2，解得1b =+1b =-，因为是下半圆，故可得1b =+，当直线过（0,3）时，解得3b =，故13b -≤，所以C 正确．【变式2】已知直线l ：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C ：(x ―1)2+(y ―2)2=25，则m 为任意实数时，l 与C 是否必相交？【答案】相交类型二：切线问题例3．过点A （4，―3）作圆C ：(x ―3)2+(y ―1)2=1的切线，求此切线方程．【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】15x+8y ―36=0【解析】 ∵(4―3)2+(―3―1)2=17＞1， ∴点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y+3=k(x ―4)．因为圆心C （3，1）到切线的距离等于半径11=，解得158k =-．所以切线方程为153(4)8y x +=--，即15x+8y ―36=0．②若切线斜率不存在，圆心C （3，1）到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4，综上，所求切线方程为15x+8y ―36=0或x=4．【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．举一反三：【变式1】（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ；（2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．【答案】（1）2100x +-=（2）(3)5y x =±- 【变式2】已知点P(0x ，0y )是圆222:O x y r +=上一点，求证：过P 点00(,)x y 的圆O 的切线方程是：200x x y y r +=.【解析】当0x r =±时，过P 点切线方程为x r =± 当0x r ≠±时，可设切线斜率为k. 法一：方程组，判别式为0；过P 切线方程00()y y k x x -=- ∴ 00()y k x x y =-+代入222x y r += ∴ 22200[()]x k x x y r +-+= 由△=0，可解得0x k y =-(较繁琐，过程略)从而可得切线方程：0000()x y y x x y -=-- 即 200x x y y r +=. 法二：∵ 00OP y k x =，由OP l ⊥切线， ∴ 00x k y =-∴ 切线方程为：0000()x y y x x y -=-- 即 200x x y y r +=. 法三：平面几何法.点O 到切线l 的距离为半径；设过P 切线方程00()y y k x x -=- 即000kx y kx y --+= ∴d r ==∴ 222220000(1)2r k k x y kx y +=+- ∴ 222220000()20k x r kx y y r --+-= ∴ 222000020y k kx y x ---= ∴ 200()0y k x += ∴ 0x k y =-下同法二. 类型三：弦长问题例4．直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为求l 的方程．【思路点拨】求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长。

2022年高考数学总复习考点培优——直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课前基础巩固[教材回扣]＜＝＞＞＝＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2，则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。

直线与圆圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

2. 过圆内一点最长的弦是直径，最短的弦是垂直于这点与圆心连线的弦.
3. 过两圆交点的圆系方程过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆 .【注意】当时，得方程，即两个圆公共弦所在的直线方程.
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”,错的打“×”）
（1）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.( )
,
解析因为，所以直线关于直线的对称直线为，所以，整理可得，解得 .
判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
代数法
将直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，利用根的判别式：相交；相切；相离
几何法
利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系：相交；相切；相离
考点二圆的弦长、切线问题［多维探究］
1.（2024 · 海淀模拟改编）已知圆，若直线与圆相切，则的值为( ) .
D
A.1 B. C. D.
解析在圆中，圆心，因为直线与圆相切，所以，故 .故选D.
2.（2024 · 柳州校考）已知圆及直线，则直线与圆的位置关系是( ) .
A
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
AD
A.2 B.3 C.4 D.5
解析圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为，因为，所以两圆相离或内含，又 , 所以当两圆相离时，， ,故A正确；当两圆内含时，，，故B,C错误，D正确.故选 .
2.（改编）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知,,动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是( ) .

2013高三暑期第7讲.直线与圆.尖子班

第7讲直线与圆本讲分三小节，分别为直线与圆的基本量与方程、地点关系、线性规划，建议用时 3 课时．直线的基本量有倾斜角、斜率与截距，直线方程要点掌握点斜式方程、斜截式方程与一般式方程，注意这三种直线方程分别在什么形式下使用，以及建立方程时要议论斜率不存在的直线．直线与圆的地点关系中，着重对圆的几何性质的应用．直线系问题是选讲考点．第一小节为直线与圆的基本量与方程，共 3 道例题．此中例 1 主要讲直线的基本量；例 2 主要解说直线方程；例 3 主要解说圆的基本量与方程；第二小节为地点关系，共 4 道例题．此中例 4 主要解说直线与直线的地点关系；例 5 主要解说对称问题；（以后有直线系的选讲知识点与例题，学生版不出现）例 6 主要讲直线与圆的相离与相切问题；例 7 主要解说直线与圆订交与弦长问题；第三小节为线性规划，共 1 道例题．例 8 主要解说线性规划的一些问题．注：本讲铺垫学生版出现，能够作为知识点与基本方法的复习；拓 1 到拓 5 学生版不出现，能够作为一些程度特别好的班级的拓展思虑．知识构造图真题再现（ 2008 北京理7）过直线y x 上的一点作圆222 的两条切线 l1，l2x 5y 1，当直线l 1，l2对于y x 对称时，它们之间的夹角为（）A．30B．45C．60D．90【分析】 Cx y11≥0（ 2010 北京理7）设不等式组3x y3≥0表示的平面地区为 D ，若指数函数y a x的图5x 3 y9 ≤ 0象上存在地区 D 上的点，则a的取值范围是（）A． 1，3B． [2 ，3]C． 1，2D． 3，【分析】 A小题热身1、下边命题中正确的选项是（）A ．经过定点 P0 (x0，y0 ) 的直线都能够用方程y y0k( x x0 ) 表示B ．经过随意两个不一样的点P (x ，y ) ，P ( x ，y)的直线都能够用方程1 11222( y y1 )( x2x1 ) (x x1 )( y2y1) 表示C．不经过原点的直线都能够用方程x y1 表示a bD ．经过点 A(0 ，b) 的直线都能够用方程y kx b 表示2、点 (4 ，a) 到直线 4 x 3y 1 的距离不大于3，则实数a的取值范围是（）A ． [2 ，12]B． [1，12]C． [0 ，10] D ． [1，9]3、已知过点A( 2 ，m) 和 B(m，4) 的直线与直线 2 x y10 平行，则 m 的值为（）A ．0B．8C．2D．104、 A C 0 且 B 0 是方程Ax2Bxy Cy 2Dx Ey F0 表示圆的（）A ．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足也非必需条件5、“a b ”是“直线y x 2 与圆 ( x a)2( y b)22相切”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足又不用要条件6、圆 x2y22x 6 y90对于直线 x y50 对称的圆的方程是（）A ． ( x 6) 2( y 2)21B ． ( x 6)2( y 2) 21C． ( x 2)2( y 6)21 D ． (x 2)2( y 6) 217、圆 x2y22x 4 y30上到直线 x y10 的距离为 2 的点共有（）个A ．1B．2C．3 D ．48、点 A(1，3) ， B(5 ， 2)，点 P 在x轴上使AP BP 最大，则P的坐标为（）A． (4，0)B． (13，0)C． (5，0)D． (1，0)9、直线 y x m 与圆x2y21在第一象限内有两个不一样交点，则m 的取值范围是（）A ． 0 m2B ． 1m2C． 1 ≤ m2 D ． 1 ≤ m ≤ 210、△ ABC 中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsin A 、 lgsin B 、 lgsin C 成等差数列，则以下两条直线 l1： sin2A x sin A y a0 与 l2： sin 2B x sin C y c 0的地点关系是（）A ．重合B．订交（不垂直）C．垂直D．平行12345678910B C B B A C C B B A知识梳理1．直线⑴直线 l 的倾斜角： x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．⑵直线 l 的斜率 k ：① k tan；② k y2y1 x1 x2；倾斜角为90 的直线斜率不存在．x2x1⑶直线方程①点斜式②斜截式y y0k x x0，P x0，y0为直线上任一点，k 为直线的斜率．y kx b ．③截距式x ya b1 ab 0 ．④一般式Ax By C0 A2B20 ．⑷两条直线的地点关系：l1 : A1x B1 y C10 ，l 2 : A2 x B2 y C2 0 ．① l1与 l 2重合A1B2B1 A20 且 B1C2C1B20 ；若 l2的系数均不为0 能够写成：A1B1C1；A2B2C2② l1∥ l 2A1B2B1A20 且 B1C2C1B20 ；若 l 2的系数均不为0能够写成：A1B1C1；A2B2C2③ l1与 l 2订交A1B2B1 A20 ；④ l1l2A1 A2B1B20 ．⑸距离公式：点到直线距离公式：点 A x0，y0到直线 l : Ax By C0 的距离 d Ax0 By0C；A2B2平行线间距离公式：l1: Ax By C10，l 2 : Ax By C20 的距离 d C1C2．22A B2．圆⑴圆的方程2y b 22， C a ，b为其圆心， r0 为其半径；①标准方程：x a r②一般方程x2y2Dx Ey F0，圆心 C D，E，半径 r12E24F，22D22 2当 D E 4F 0 时，方程表示圆；⑵地点关系①直线与圆的地点关系：圆心到直线l 的距离为 d ，r为圆的半径．d r 时，相离； d r 时，相切； d r 时，订交．②圆与圆的地点关系：两圆半径r1，r2，圆心距为d．d r1 r2时，外离； d r1r2时，外切； r1 r2 d r1 r2时，订交；d r1 r2时，内切；当 d r1 r2时，内含．3．线性规划当B 0时，Ax By C0 所表示的平面地区是直线Ax By C 0 的上半部分；Ax By C0 所表示的平面地区是其下半部分；反之，当B0 时，则Ax By C 0表示的平面地区是直线Ax By C0 的下半部分；Ax By C0 所表示的平面地区是其上半部分．也可依据A的正负，确立不等式对应的是直线的左半部分仍是右半部分．7.1 直线与圆的基本量与方程考点：直线的基本量<教师存案 > 直线的倾斜角、斜率、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范围．一般来说，知道直线的两个基本量就能够确立一条直线．注意倾斜角变化时，斜率的变化规律；当倾斜角[0 ，90 ) 时，斜率k都随的增添而增添，从0增添到；当倾斜角(90 ，180 )时，斜率 k 都随的增添而增添，从增添到0．倾斜角为90时，斜率不存在．直线的截距要注意的是可正可负，与距离没关，是与坐标轴交点对应的坐标值．【例 1】⑴直线xcos20y sin 20 3 0 的倾斜角是（）A ．20B．160C．70D．110⑵已知 A( 2 ，4) ，B(3 ，0) ，直线l过原点 O(0 ，0) 且与线段AB 订交，则直线 l 斜率的取值范围是 _____．⑶假如直线Ax By C 0 经过第一、二、四象限，则（）A．AC0，BC 0B．AC0，BC 0C．AC0，BC 0D．AC0，BC 0【分析】⑴ D；⑵， 2[0 ，)；⑶ C【拓 1】直线 x y sin10 的倾斜角的范围是 __________．【分析】π，3π；44考点：直线方程<教师存案 > 直线的五种形式里面，常用的形式是斜截式、点斜式与一般式．已知直线上一点，用点斜式方程；已知直线的斜率用斜截式方程．注意这两种形式都不可以表示斜率不存在的直线．有时已知直线的横截距我们会将直线设为倒斜横截式，即myx b 的形式，这类形式不可以表示斜率为零的直线，斜率为1．一般式方程在求点到m直线的距离公式时用到，它能够表示全部的直线．直线的截距式使用较少，一般在比较明显波及到横纵截距或其关系时使用，要注意独自讨论截距为零的状况；直线的两点式极少使用，给出两点求直线方程往常也会先求斜率，再用点斜式写出．【例 2】直线 l 过点 M 2 ，1 且分别交 x 、 y 轴于 A 、 B 点， O 为坐标原点，⑴ 若直线的横截距与纵截距相等，则切合条件的直线l 有 _____条． ⑵ 若直线的横截距与纵截距之和为3 ，则切合条件的直线 l 有 ______条． ⑶ 若 M 为 AB 中点，则直线 l 的方程为 ___________；⑷ 若 MA : MB 1: 2 ，则直线 l 的方程为 ____________．⑸A ，B 在 x 、y 轴正半轴时， △AOB 的面积的最小值为 ______ ．【分析】 ⑴ 2 ；⑵ 2 ；⑶ x 2y 4 0 ； ⑷ x y 3 ；⑸ 4 ；考点：圆的基本量与方程<教师存案 > 求圆的方程能够先经过几何关系求圆心坐标与半径，再写出圆的标准方程；也能够直接设圆的一般方程，经过条件获得参数的方程，求得结果，后者的计算量更大．例 3 求圆的方程的题有些假如经过几何关系求圆心，需要用到线段的中垂线的求法．注意圆的一般方程x 2y 2 Dx EyF0 表示圆需要 D 2 E 2 4F 0 ，能够经过配方成圆的标准方程获得此不等式．例：方程x 2y 2 ax 2ay2a 2 a1 0 表示圆，则 a 的2a22取值范围是 _______．解：a y2a 22a 2a 1xa4，解得 2 a23【铺垫】写出知足以下各条件的圆的方程：⑴ 以 A( 3， 1) ， B(5 ，5) 为直径的圆；⑵ 圆心为 (1，2) 且与直线 5 x 12y 70 相切的圆的方程．【分析】 ⑴ ( x 1)2 ( y2)2 25 ；⑵ ( x 2( y 24 ．1) 2)【例 3】写出知足以下各条件的圆的方程：⑴ 与 x ，y 轴均相切且过点 (1，8) 的圆； ⑵ 圆心在直线 4x y 0 上，且与直线 l : x⑶过点 A(1，1) ， B( 3 ，5) ，且圆心在直线y 1 0 切于点 P(3 ， 2) 的圆的方程；2 x y 20 上的圆的方程．【分析】 ⑴ ( x 5) 2( y 5) 2 25 或 ( x 13)2 ( y 13)2169 ；⑵ ( x 1)2( y 4) 28 ；⑶ ( x 2) 2 ( y 2) 2 10 ．7.2 地点关系考点：直线与直线的地点关系<教师存案 >铺垫复习两直线平行、垂直的条件，以及平行线间的距离公式．【铺垫】 ⑴ “两直线的斜率相等 ”是 “两直线平行 ”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件⑵ “1”是 “直线 (m 2) x 3my 1 0 与直线 (m2) x(m 2) y 3 0 互相垂直 ”的（）m2A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件⑶ 已知直线 l : x 2 y2 0 ，与直线 l 平行且距离等于2 5的直线方程为 ______________．5【分析】 ⑴ A ；⑵ A ；⑶ x 2 y 0 或 x 2 y 4 0 ．【例4】 ⑴直线 2x y 10绕 (1，1) 逆时针旋转 90 ，再向上平移1 个单位，所获得的直线为（）A ． x 2 y 1 0B ． x 2 y 5 0C ． x 2 y 1 0D ． x 2 y 5 0⑵已知正方形的中心为直线 2 x y 20 和 xy 1 0 的交点，正方形一边所在直线的方程为 x 3 y 5 0 ，其余三边所在的直线方程分别为_______________________________ ．⑶若直线 m 被两平行线 l 1 : x y 1 0 与 l 2 : x y 3 0 所截得的线段的长为2 2 ，则 m 的倾斜角是 ① 15② 30 ③ 45④ 60 ⑤ 75此中正确答案的序是．（写出全部正确答案的序）【分析】 ⑴ D ⑵ x 3 y 7 0 ， 3 x y9 0 ， 3 x y 30；⑶ ①⑤【拓 2】已知两点 A(1，6 3) 、 B(0 ，5 3) 到直线 l 的距离等于 a ，且这样的直线 l 可作4 条，则 a 的取值范围为（）A ． a ≥1B ． 0 a 1C ． 0 a ≤ 1D ． 0 a 21【分析】 B ；考点：对称问题<教师存案 >1．点对于直线的对称点：点 P (x 0 ，y 0 ) 关于直线 A x B y C0 的对称点 Q( x ，y) 可以通过解方程组A( y y 0 )B( xx 0 )来求出，第一个方程代表PQ 与对称轴垂直，第二个方程A( x x 0 ) B( y y 0 ) 2C 0代表 PQ 的中点在对称轴上．对于几个特别情况能够独自总结：⑴P(x0，y0 ) 对于 x 轴的对称点是 Q( x0， y0 ) ，对于y轴的对称点是 Q( x0，y0 ) ，对于原点O的对称点是 Q(x0， y0 ) ；⑵P( x0，y0 ) 关于直线y x 的对称点是Q( y0，x0)，关于 y x 的对称点是Q(y0， x0 ) ．⑶P(x0，y0 ) 对于直线y x m 的对称点是Q( y0m，x0m) ，对于y x m 的对称点是 Q( y0m ， x0m) ．2．直线l对于点P对称直线l；l∥l，且l上的点对于P的对称点在l上．如：直线 x y 1 0 对于点 (1，2) 的对称直线方程可设为x y m0，又 ( 1，0)在直线 x y10 上， ( 1，0) 对于 (1，2) 的对称点为 (3 ，4) ，故m7，即所求直线为x y70 ．3．直线 l0对于直线l的对称直线 l 0：⑴若 l0∥ l，则 l 0∥ l0，且 l0与 l 之间的距离等于l0与 l 之间的距离；⑵若 l0与 l 订交，则交点在l0上，且 l0上任一点对于直线l 的对称点也在l0上．【例5】⑴已知 A( 1，2)，B(4 ，3) ，在x 轴上有一点P ，使PA PB 最小，则P 点的坐标为______ ．⑵直线 l : x 2 y 1 0 对于点 (1，1) 的对称直线方程为____________________ ．⑶△ABC 中，点 A 的坐标为( 2，2)，点 B 的坐标为( 4，2)， A 的角均分线恰巧经过原点，则边AC 所在的方程为．【分析】⑴(1，0) ；⑵x 2 y50 ；⑶x 2 y60 ；****************************************************************************************直线系选讲（学生版不出现）<教师存案 >直线系问题是选讲考点，不作惯例要求，能够依据学生状况选择解说．圆系与曲线系问题因为使用较少，不再介绍．知识点：⑴过定点 (x0， y0 )的直线系方程y y0k(x x0 ) ；⑵和直线 Ax By C 0 平行的直线系方程Ax By C0（C C）；和直线 y kx b 平行的直线系方程y kx b ，b b ；⑶和直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程Bx Ay C0；⑷经过两相交直线 A1 x B1 y C10 和 A2 x B2 y C20的交点的直线系方程A1 x B1 y C1( A2 x B2 y C2 )0 （不包含直线A2 x B2 y C2 0）．【例题】⑴ 直线l 经过直线3x 2 y60 和 2 x 5 y7 0 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程；⑵求经过直线 3x 2 y 10 和 x 3 y 4 0 的交点，垂直于直线x 3 y40 的直线l的方程；⑶求经过两直线 2 x 3 y 1 ， 3x2y 2 的交点，且平行于直线y 3x0 的直线方程；⑷已知过点 P 3,1的直线 l 被两平行直线l1: x 2 y 1 0与 l 2 : x2y30 所截的线段中点在直线 l2 : x y10 上，求直线l的方程．【分析】⑴明显直线 2x 5 y70 不知足要求，∴设直线l的方程为3x 2 y62x 5 y 70依据截距相等列方程，解得l 的方程为3x 4 y0 或 x y 10 ．⑵ 3x y 2 0 ；⑶ 3x250 ；y13⑷设点P3,1的直线 l 被两平行直线l1 : x 2 y 10 与 l 2 : x 2 y 30 所截的线段中点为M ，则简单知道点M 在直线x 2 y20 上，于是能够利用过两直线交点的直线系方程求解：设直线 l 的方程是x 2 y2x y10 ，则因为该直线过点P 3,1 ，解得3．于是直线 l 的方程是 2 x 5 y 10 ．****************************************************************************************考点：直线与圆的地点关系<教师存案 > 圆的地点关系问题我们主要议论直线与圆的地点关系，有相离、订交与相切三类，因为圆有很好的几何性质，因此直线与圆的地点关系问题经常是经过圆的几何性质求解的，极少联立方程求解．这是直线与圆的地点关系与直线与圆锥曲线的地点关系问题明显不一样的地方．圆与圆的地点关系问题波及较少，我们不特意说起，在例题中有所波及．在直线与圆的地点关系里面有几类问题是比较有代表性的：⑴ 过切点的切线方程与切点弦方程：若直线与圆 x2y2r 2相切于点 (x0，y0 ) ，则切线方程能够写成：x0 x y0 y r 2；更一般地，与圆(x a)2( y b)2r 2相切于点 (x0，y0 ) 的切线方程为：( x0a)( x a)( y0b)( y b )r 2．假如点 ( x0，y0 ) 在圆外，则与切线方程相同形式的方程表示过该点所作的圆的两条切线对应的切点连线的方程，即切点弦方程．⑵ 定圆外一动点引圆的切线问题：设圆的圆心为 O ，半径为r，过圆外一点P 引圆的切线 PA 、 PB ，PO d，那么△ POA 和△POB 是对于 PO 对称的直角三角形，APA PB d 2r 2；θO以下几个条件完整等价：Pd 越短切线长 PA 越短圆心角AOB越小B弧长 AB 和弦长 AB 越短四边形 PAOB面积越小．⑶ 定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题：设圆的圆心为 O ，半径为 r ，圆心 O 到定直线 l 的距离为 d ．求圆上到直线 l 距离为 m 的点的个数．到直线 l 距离为 m 的点的轨迹是两条与 l 平行，距离为 m 的直线；和圆心在 l 同侧的那条记为 l 1 ，此外一条记为 l 2 ．则 O 到 l 1 的距离为 d m ， O 到 l 2 的距离为 dm ，圆与 l 1 和l 2 的交点就是圆上到 l 距离为 m 的点．分别判断 dm 和 d m 与 r 的大小，可知圆与 l 1和 l 2 的交点个数．【铺垫】⑴ 已知圆 O : x 2 y 2 5 和点 A(1，2) ，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．⑵ 过圆 O ： x 2y 22 外一点 P(4 ，2) 向圆引切线，切点为P 1 ，P 2 ，则切线方程为 ________，直线 P 1P 2 的方程为 ________________ ．【分析】 ⑴254⑵ x y 2 0 与 x7 y 10 0 ； 2x y 1 0 ；【例6】 ⑴222 x 2 y 1 0 上的动点 Q 到直线3 x4 y 8 0 距离的最小值为 ______．圆 x y⑵与直线 xy 2 0 相切且与曲线x 2 y 2 12x 12 y 54 0 相外切的半径最小的圆的标准方程是 ___________．【分析】 ⑴ 2 ；⑵ ( x2)2( y 2) 2 2y 【拓 3】已知点 P( x ，y) 是直线 kxy 4 0 (k0) 上一动点， PA ， PB 是AC 圆 C : x2y22 y0 的两条切线， A ， B 是切点，若四边形 PACBB的最小面积是 2，则 k 的值为（）POx21A ． 3C ． 2 2B ．2D ．2【分析】 D【例7】 ⑴ 若P2，1为圆2y 2 25的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（）x 1A ． x y 3 0B ． 2 x y 3 0C ． x y 1 0D ． 2 x y 5 0⑵（ 2011 上学期东城期末统考文 4）直线 l 过点 ( 4 ，0) 且与圆 (x 1)2( y2) 2 25 交于A ，B 两点，假如 AB 8 ，那么直线 l 的方程为（）A ． 5x 12 y 20 0B ． 5 x 12 y 20 0 或 x 4 0C ． 5 x 12y 20 0D ． 5 x 12 y 20 0 或 x 4 0⑶（ 2010 江西理 8）直线 ykx 3 与圆 ( x 3)2( y 2)24订交于 M ，N 两点，若MN ≥ 2 3 ，则 k 的取值范围是（）3 ， B ．，30 ，C ．3 ， 3D ．2 ，A ．43 354【分析】 ⑴A ；⑵ D ⑶ A【拓 4】（2010 江苏 9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 x 2y 24 上有且只有四个点到直线12 x 5 y c 0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 ______________．【分析】( 13，13) ．7.3 线性规划考点：线性规划【铺垫】 ⑴原点和点 (1，1) 在直线 x y a0 的双侧，则 a 的取值范围是．x y ≥ 0⑵（ 2012 旭日高三期末11）在平面直角坐标系中，不等式组x y 4 ≥ 0 所表示的平面地区x ≤ a的面积是 9，则实数 a 的值为．x 2 y ≤ 5⑶ 在拘束条件 2 x y ≤4下， z3x 4 y 的最大值是 _______．x ≥ 0y ≥ 0【分析】 ⑴0,2；⑵1；⑶ 11 ．x≤ ，1【例8】 ⑴已知点 P x ，y 的坐标知足条件 y ≤ 2 ，，那么 x 2 y 2 的取值范围是 _________，2 x y2 ≥ 0y1的取值范围是 _________． x 1x ≤ 0⑵（ 2012 昌平二模 13）若变量 x ， y 知足拘束条件y ≥ 0表示的平面地区为M ，y x ≤ 4则当4≤ a ≤ 2 时，动直线 x y a 所经过的平面地区M 的面积为 ______．x y ≥⑶2 x y ≤ 2表示的平面地区是一个三角形，则a 的取值范围是（）若不等式组y ≥ 0xy ≤ aA ． a ≥4B ． 0 a ≤ 1C ． 1 ≤ a ≤4D ． 0 a ≤1 或 a ≥4333【分析】 ⑴4 ，； 1，；⑵ 7 ；⑶ D ；5 2x 2 y 19 ≥ 0【拓 5】设二元一次不等式组xy 8 ≥ 0所表示的平面地区为M ，使函数 y a x (a 0 ，a 1) 的2xy 14≤ 0 图象过地区 M 的 a 的取值范围是（）A．[1，3]B．2， 10C．[2 ，9]D．10 ，9【分析】 C课后习题一、选择题1、设 A ，B 为 x 轴上两点，点P的横坐标为2，且 PA PB，若直线PA的方程为x y 1 0 ，则直线 PB 的方程为（）A ． 2 x y 7 0B． 2 x y 1 0C． x 2 y 4 0 D ． x y 5 0【分析】 D2、“ab 4 ”是“直线2x ay10 与直线 bx 2 y 20 平行”的（）A ．充足必需条件B ．充足而不用要条件C．必需而不充足条件 D ．既不充足也不用要条件【分析】 C3、若过点 A(4 ，0) 的直线l与曲线 ( x 2)2y2 1 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ． 3 ， 3B ． 3 ， 3C． 3 ， 3 D ． 3 ， 33333【分析】 C4、（ 2011 东城高三期末理6）直线 ax by a b222 的地点关系为（）0 与圆 x yA ．订交B．相切C．相离 D ．订交或相切【分析】D5、直线 y x 3 与圆 x2y22x15 订交于P， Q 两点，点M是圆上一点，且△ MPQ 的面积等于 8，这样的点M有且仅有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】 D二、填空题6、（ 2012 旭日高三期末12）设直线 x my22订交于 A ，B 两点，1 0 与圆 x 1y 24且弦 AB 的长为2 3 ，则实数 m 的值是．【分析】 3 ；37、假如直线 (m2) x(m23m 2) y m 2 与y轴平行，则 m_____．【分析】1；8、（ 2012海淀高三期末13）已知圆C： (x 1)2y2 2 ，过点 A( 1，0) 的直线l将圆C分红弧长之比为1:3 的两段圆弧，则直线l 的方程为．【分析】 x3y 10 ；9、已知点 P x ，y的坐标知足条件x≥ 2y ≥ x，点 O 为坐标原点，那么| PO | 的最大值等于＿x y ≤ 8＿＿．【分析】 2 10．x≤ 110、若实数 x，y 知足y≤ x，则 z 3x 2 y 的最小值是；在平面直角坐x2y24x 2 ≥ 0标系中，此不等式组表示的平面地区的面积是．【分析】 0 ；2π．2三、解答题11、求由三条直线 x 2 y20 ， 2x y 6 0 ， x 2 y 60 所组成的三角形的外接圆方程．【分析】 x2y22x 7 y 180．12、x2y21( x 2) 2( y 4)21，由两圆外一点P(a ，b) 引两圆切线PA、已知圆 O：，圆C：PB ，切点分别为 A 、 B ，如右图，知足PA PB ．⑴务实数 a 、b间知足的等量关系；⑵求切线长PA 的最小值．⑶能否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切，而且与圆 C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明原因．【分析】⑴ a 2b50 ．y⑵ | PA |min2．C⑶不存在切合题设条件的圆 P ．BPO xA。

高考数学必胜秘诀(07)直线与圆

高考数学必胜秘诀（7）直线与圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。

如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： A B B C k k =。

如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y k x b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

高一升高二暑期数学衔接学习与指导：直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系知识清单1.直线与圆的位置关系设直线:0l Ax By C ++=和圆22:0C x y Dx Ey F +++++.(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨+++++⎩是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点.①直线l 与圆C 相交⇔有两组实数解⇔△＞0；②直线l 与圆C 相切⇔有一组实数解⇔△＝0；③直线l 与圆C 相离无实数解⇔△＜0.（2）几何法：判断圆心到直线的距离d 与半径r 的关系，即：①直线l 与圆C 相交⇔d r <；②直线l 与圆C 相切⇔d r =； ③直线l 与圆C 相离d r >. 2.圆与圆的位置两圆的位置关系有五种，如下图.（1）两圆的位置关系主要依赖于连心距（即两圆圆心连线距离）与它们的半径之间的关系. 设圆22222211112222:()(),:()(),O x a y b r O x a y b r -+-=-+-=12,r r <12d OO =. ①两圆外离⇔12d r r >+；②两圆外切⇔12d rr =+； ③两圆相交⇔1212||r r d r r -<<+；④两圆内切⇔12||d r r =-；⑤两圆内离⇔120||d r r ≤<-.（2）代数法：由两个圆的方程2211122222x 0x 0y D x E y C y D x E y C ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩联立求解，方程组解的个数就是两圆交点个数.方法清单1.判定直线与圆位置关系的方法①几何法：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小；②代数法：看直线与圆的方程联立所得方程组解的个数。

2.判定圆与圆位置关系的方法①几何法：比较连心距与两圆半径之和与差得大小；②代数法：看圆与圆的方程联立所得方程组解的个数。

3.利用圆的性质及图形特征简化运算（1）圆的弦长M r d l C M r dl C M B A r d l C O 2r 1r 2O 1O 2r 1r 2O 1BA O 2r 1r 2O 1A O 2r 1r 2O 1O 2r 1r 2O 1当直线与圆相交时，弦长的计算一般用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解（如图），这是利用圆本身的特征性质简化运算.（2）圆的切线长计算：转化为定点与圆心的距离.（3）有关范围、最值等代数问题往往对应于直线与圆、圆与圆的位置的运动，需要利用它们之间的位置关系对应的代数特征求解.理解交点圆系(1)经过直线l ：Ax+By+C =0和圆：22x y +0Dx Ey F +++=两个交点的圆系方程可设为:22x y Dx Ey F +++++λ(Ax+By+C ) =0.(2)经过圆1C :222x y D x +++2E y 20F +=和圆2C :221x y D x ++1E y ++10F =两个交点的圆系方程为(22111x y D x E y F ++++)+λ(2x +2222y D x E y F +++)=0（λ≠-1）. 【说明】①该圆系不能表示圆2C .②若两圆相交且λ=-1，得到的是两圆公共弦所在的直线方程. 基础测试1．（2006年，江苏）圆22(1)(1x y -+=的切线方程中有一个是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x = D. 0y =2.若直线y x b =-与圆22(2)1x y -+=有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（）A. (2B. [2C. (,2(22,)-∞++∞D. (23．直线1x y +=与圆2220x y ay +-= (0)a >没有公共点，则a 的取值范围是4．已知圆C:229x y +=，则过M(1,2)的最短弦PQ 所在直线的方程是 ..三、重难点突破考点1 直线和圆的位置关系例1．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，()m R ∈.（1）证明：不论m 取什么实数，直线与圆恒交于两点;（2）求直线l 被圆C 截得的弦的最小值，并求此时直线l 的方程.考点2 圆与圆的位置关系例2．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=，61m（1）m 取何值时，两圆外切;（2）m 取何值时，两圆内切;（3）求45m =时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长考点3 与圆有关的范围与最值问题例3.（1）由直线:l y ＝x ＋1上的一点向圆1)3(22=+-y x 引切线，则切线长的最小值为（）A 、1B 、22C 、7D 、3（2）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若||MN ≥则k 的取值范围是（）A. 3[,0]4-B.3(,][0,)4-∞-+∞C. [D.2[,0]3- （3）点M 在圆221:6210C x y x y ++-+=上，点N 在圆222:2410C x y x y ++++=上，则||MN 的最大值为（）3 C.2 D. 5考点4 直线与圆的综合问题例4.在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．四、练习A1．与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条2.过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为（）A.1B.3C.177D. 1k =或177 3．直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能4.在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．25B ．210C ．D ．2205. 若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（） A. )33,33(- B. )33,0()0,33( - C. ]33,33[- D. ),33()33,(+∞--∞ 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 取值范围是__________．7.已知⊙O 的方程是x 2+y 2-2=0, ⊙O '的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和⊙O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .8.自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，则光线l 所在直线的方程为 .9．求和圆422=+y x 相外切于点)3,1(-P ，且半径为4的圆M 的方程.10．已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．练习B1.已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅ ＝ .2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且恰有四个点到直线12x -5y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是_________3.已知圆C:08622=--+y x y x ，1121,,,a a a 是该圆过点P （3，5）的11条弦的长，若数列1121,,,a a a 是等差数列,则数列1121,,,a a a 的公差的最大值为4.设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若A B ≠Φ 则实数m 的取值范围是____________.5.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =（）A ．4B ．C ．8D ．。

广东省高一数学尖子班教案：直线与圆的方程的应用

广东省高一数学尖子班教案：直线与圆的方程的应用【学习目标】1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．【要点梳理】要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．【典型例题】类型一：直线与圆的方程的实际应用例1．有一种大型商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A 、B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【答案】圆C 内的居民应在A 地购物．同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物．圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．【解析】以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B （5，0）．在坐标平面内任取一点P （x ，y ），设从A 地运货到P 地的运费为2a 元／km ，则从B 地运货到P 地的运费为a 元／km ．若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2<整理得222252033x y ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即点P 在圆2222520:33C x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．举一反三：【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱A P的长度（精确22到0.01m）.【答案】3.86m【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：222+-=()x y b r因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以22222204100()()b r b r⎧+-=⎨+-=⎩ 解得105=-.b ，22145=.r .所以圆的方程为222105145++=(.).x y把22-(,)P y 代入圆的方程得2222105145-++=()(.).y ，所以386≈.y ,即支柱的高度约为3.86m.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以40 km/h 的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy ，其中圆A 的半径为250 km ，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C 、D ，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C 开始至D 结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=33-(x-300)(x ≤300). 该市受台风影响时，台风中心在圆x 2+y 2=2502内，设射线与圆交于C 、D ，则CA=AD=250，∴台风中心到达C 点时，开始影响该市，中心移至D 点时，影响结束，作AH ⊥CD 于H ，则AH=AB ·sin30°=150，HB=3150，CH=HD=22AH AC -=200，∴BC=3150-200，则该市受台风影响的起始时间t 1=402003150-≈1.5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t 2=40200200+=10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10 h. 【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+21x -表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，x y 表示原点与曲线f(x ，y)=0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用例2．AB 为圆的定直径，CD 为直径，自D 作AB 的垂线DE ，延长ED 到P ，使|PD|=|AB|，求证：直线CP 必过一定点．【答案】直线CP 过定点（0，―r ）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP 的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x 2+y 2=r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD ．令C （x 0，y 0），则D （―x 0，―y 0），∴P （―x 0，―y 0―2r ）．∴直线CP 的方程为 0000002()y r y y y x x x x ----=---．即 (y 0+r)x ―(y+r)x 0=0．∴直线CP 过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r ），即直线CP 过定点（0，―r ）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．举一反三：【变式1】如图，在圆O 上任取C 点为圆心，作一圆与圆O 的直径AB 相切于D ，圆C 与圆D 交于E 、F ，求证：EF 平分CD ．证明：令圆O 方程为x 2+y 2=1． ①EF 与CD 相交于H ，令C （x 1，y 1），则可得圆C 的方程(x －x 1)+(y －y 1)2=y 12，即x 2+y 2－2x 1x －2y 1y+x 12=0． ②①－②得2x 1x+2y 1y －1－x 12=0． ③③式就是直线EF 的方程，设CD 的中点为H ＇，其坐标为11,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将H ＇代入③式，得222222211111111122121102y x y x x y x x y +⋅--=+--=+-=．即H ＇在EF 上，∴EF 平分CD ．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用例3．已知实数x 、y 满足x 2+y 2+4x+3=0，求21y x --的最大值与最小值．【答案】34+ 34-【解析】（1）如图所示，设M （x ，y ），则点M 在圆O ：(x+2)2+y 2=1上．令Q （1，2），则设21MQ y k k x -==-，即kx ―y ―k+2=0．过Q 作圆O 1的两条切线QA 、QB ，则直线QM 夹在两切线QA 、QB 之间， ∴k AQ ≤k QM ≤k QB ．又由O 1到直线kx ―y ―k+2=0的距离为1，得1=，即34k ±=．∴21y x --．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢？关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由21y x --等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如y b u x a-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x －a)2+(y －b)2形式的最值问题，可转化为到定点P （a ，b ）距离的平方的最值问题．举一反三：【变式1】设函数()f x a =4()13g x x =+，已知当x ∈[－4，0]时，恒有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】(],5-∞-【解析】因为()()f x g x ≤，所以413a x +≤+，即413x a ≤+-，分别画出y =和413y x a =+-的草图，利用数形结合法，当直线413y x a =+-与半圆y =相切时a 取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出5a =-，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用例4．设圆满足：（1）截y 轴所得的弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l ：x ―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x ―1)2+(y ―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线l 的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 点到x 轴、y 轴的距离分别是|b|和|a|．由题设知：圆P 截y 轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P 截x 轴所得弦∴r 2=2b 2．又圆P 截y 轴所得的弦长为2，∴r 2=a 2+1，从而2b 2―a 2=1．又∵P （a ，b ）到直线x ―2y=0的距离为d =， ∴5d 2=|a ―2b|2=a 2+4b 2―4ab=2(a ―b)2+2b 2―a 2=2(a ―b)2+1≥1，当且仅当a=b 时取等号，此时min 5d =．由2221a b b a=⎧⎨-=⎩，得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，∴r 2=2．故所求的圆的方程为(x ―1)2+(y ―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．举一反三：【变式1】已知圆x 2+y 2+x ―6y+m=0与直线x+2y ―3=0相交于P 、Q 两点，点O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，求m 的值．【答案】3。

【高三暑期培优】第7讲.直线与圆.尖子班

高中数学第七章 直线与圆的方程课件

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