2020年春冀教版九年级数学下册易错专题：概率中的放回与不放回问题
小专题(八)概率中的“放回”与“不放回”问题
小专题(八) 概率中的“放回”与“不放回”问题【例】 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球； ①求两次取出的小球的标号的和等于4的概率；②求第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的概率；(2)随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸出一个小球，求两次取出的小球的标号的和等于4的概率是多少？请直接写出结果．【思路点拨】 (1)①先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，然后根据概率的概念计算即可；②由①可知有16种等可能的结果数，其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，进而可求出其概率；(2)根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】【方法归纳】 在解决有关摸取(球、卡片或扑克牌)的概率问题时，一定要注意条件中有没有放回．若没放回，在画树状图或列表时一定注意考虑两次摸到(球、卡片或扑克牌)的数字不能重复．类型1 “放回”问题1．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是( )A ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球2．如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b)在第三象限的概率是( )A.49B.13C.12D.233．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，试求出牌面数字是偶数的概率；(2)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．4．(武汉中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球，直接写出摸出小球标号是3的概率；(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，计算下列结果： ①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．类型2 “不放回”问题5．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为( ) A.118 B.19 C.215 D.1156．如图，有6张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是( )A.45B.56C.715D.8157．(潜江中考)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀．从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是____________．8．(宁波中考)一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为12.(1)布袋里红球有多少个？(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．参考答案【例】 (1)①画树状图如图所示：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，所以两次摸出的小球标号的和等于4的概率为316.②其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，所以其概率为816＝12.(2)列表如下：1 2 3 4 1 —— (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) —— (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) —— (4，3) 4(1，4)(2，4)(3，4)——所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等于4的情况数是2，所以其概率为212＝16.1．A 2.A3．(1)从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，∴P(牌面是偶数)＝24＝12.(2)根据题意，画树状图如图所示：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好是4的倍数的共有4种，∴P(4的倍数)＝416＝14.。
专题(十三) 概率中的放回与不放回问题
解：(1)
2 0 1 2 3 0 2 1 3
1 (2)游戏不公平．理由：由表可知 P(甲胜)＝3， 2 1 2 P(乙胜)＝3，∵3＜3，∴游戏是不公平的
4．一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色 外其余都相同)， 其中有红球 2 个 ，蓝球 1 个， 黄球若干个， 现从中任 1 意摸出一个球是红球的概率为 . 2 (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请 用“画树状图法”或“列表法” ，求两次摸出都是红球的概率；
解：(1)∵1，2，3，4，5，6 六个小球， 3 1 ∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为6＝2
(2)画树状图如图：
如图所示，共有 36 种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同 为奇数或同为偶数的结果有 18 种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的 18 1 18 1 结果有 18 种，∴P(甲)＝36＝2，P(乙)＝36＝2，∴这个游戏对甲、乙两 人是公平的
1甲从中任取一球不放回再从中任取一球请用画树状图的方法求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成灵秀或中国的概2乙从中任取一球记下汉字后再放回袋中然后再从中任取一球记乙取出的两个球上的汉字恰能组成灵秀或中国的概率为的大小关系
九年级上册人教版数学 第二十五章 概率初步
专题(十三) 概率中的放回与不放回问题
一、概率中的放回问题 放回问题是指上一轮被选中的元素，下一轮仍在其中 1．(2016·威海)一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个 小球，这些小球除标号数字外都相同． (1)从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率 ； (2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸 出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随 机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为 奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶 ，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两 人是否公平．
教材回归概率中的”放回“与”不放回“问题课件
问题课件
目录
• 教材回归概率中“放回”与“不放 回”的基本概念
• “放回”与“不放回”在教材回归 概率中的应用
• “放回”与“不放回”问题的解题 技巧
• “放回”与“不放回”问题案例解 析
教材回归概率中“放回”与“ 01 不放回”的基本概念
“放回”的定义与特点
特点
由于样本被取出后不再放回，所以每 次抽取的概率会随着抽取次数的增加 而减小。这是因为样本的减少会影响 到下一次的抽取结果。
“放回”与“不放回”的对比分析
对比
在“放回”的情况下，每次抽取都是独立的，概率相同；而在“不放回”的情况下，每次抽取的概率会逐渐减小。
分析
理解“放回”与“不放回”的区别对于解决概率问题至关重要。在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合 适的抽样方式。例如，在彩票抽奖中，通常采用“放回”的方式以保证公平性；而在遗传学研究中，为了模拟自 然选择的过程，通常采用“不放回”的方式。
“放回”与“不放回”问题解题技巧的比较分析
差异点
最主要的差异在于每次抽取后是否将样本或物品放回原样本池。在“放回”问题中，每个 样本或物品都有相同的概率被抽中；而在“不放回”问题中，已抽中的样本或物品将不再 出现在后续的抽取中。
适用场景
在实际应用中，“放回”问题适用于需要保留原始样本池不变的情况，而“不放回”问题 适用于需要消耗或消耗掉部分样本的情况。
“放回”与“不放回”在教材 回归概率中的应用
02
“放回”在教材回归概率中的应用
“放回”是指在进行概率实验时，每次抽取样本后，样本仍 然放回原样本集中，再次进行抽取。这种情况下，每次抽取 的概率是相同的，因此，放回抽样可以用于计算样本的频率 和比例等统计量。
九年级数学易错专题：概率与放回、不放回问题
九年级数学易错专题：概率与放回、不放回问题——体会异同、避免出错1.有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，画出了如下图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A.随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球B.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球C.随机摸出1个球后放回，再随机摸出3个球D.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出3个球2.（天门中考）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6.随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.3.在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸球方法分别是：小明：随机摸出一个小球记下标号，然后放回，再随机摸出一个小球，记下标号；小强：随机摸出一个小球记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号. （1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.4.（通辽中考）一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于12.（1）口袋中有2个红球；（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率.5.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”“雅”“丹”“棱”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为多少？（2）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记下汉字，求乙取出的两个球上的汉字恰能组成“大雅”或“丹棱”的概率.九年级数学易错专题：概率与放回、不放回问题答案：1.A2.7163.解：（1）画树状图如下：（2）小明：P （两次摸球的标号之和等于5）＝416＝14；小强：P （两次摸球的标号之和等于5）＝412＝13.4.解：列表如下：总共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的结果有8种，则P （两次摸到的球中一个是红球和一个是白球）＝812＝23. 5.解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为14；（2）画树状图如下：红1 红2 白1 白2红1——（红1，红2） （红1，白1） （红1，白2）红2（红2，红1）——（红2，白1） （红2，白2）白1（白1，红1） （白1，红2）——（白1，白2） 白2（白2，红1） （白2，红2） （白2，白1）——总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能组成“大雅”或“丹棱”的结果有4种，所以P（恰能组成“大雅”或“丹棱”）＝416＝14.。
概率与放回、不放回问题
概率与放回、不放回问题1.有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，画出了如下图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A.随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球B.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球C.随机摸出1个球后放回，再随机摸出3个球D.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出3个球2.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6.随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.3.在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸球方法分别是：小明：随机摸出一个小球记下标号，然后放回，再随机摸出一个小球，记下标号；小强：随机摸出一个小球记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号. （1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.4.一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于1 2.（1）口袋中有2个红球；（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率.5.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”“雅”“丹”“棱”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为多少？（2）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记下汉字，求乙取出的两个球上的汉字恰能组成“大雅”或“丹棱”的概率.答案： 1. A 2.7163.解：（1）画树状图如下：（2）小明：P （两次摸球的标号之和等于5）＝416＝14；小强：P （两次摸球的标号之和等于5）＝412＝13.4.解：列表如下：总共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的结果有8种，则P （两次摸到的球中一个是红球和一个是白球）＝812＝23.5.解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为14；（2）画树状图如下：总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能组成“大雅”或“丹棱”的结果有4种，所以P （恰能组成“大雅”或“丹棱”）＝416＝14.红1 红2 白1 白2 红1——（红1，红2）（红1，白1） （红1，白2）红2 （红2，红1） ——（红2，白1） （红2，白2）白1 （白1，红1） （白1，红2） —— （白1，白2） 白2（白2，红1） （白2，红2）（白2，白1）——。