三角形四心的向量特征及应用
三角形四心的向量性质及应用 学生版
，若
2
AB
AB
AC
AB CB
BC CA ，则 ABC 为(
)
A．等腰三角形 二．填空题
则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的(
)．
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AB 边的中点
7．已知 O 是 ABC 的重心，动点 P 满足 OP 1 (1 OA 1 OB 2OC) ,则点 P 一定为△ABC 的(
)
32 2
A．AB 边中线的中点
B．AB 边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB 边的中点
满足 OP
OB OC
AB
AC
，R，
2
AB
cos B
AC
cos C
则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的(
)．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
6． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP 1[(1 )OA (1 )OB (1 2)OC] ， R * ， 3
---1---
五．欧拉线： △ABC 的外心 O ，重心 G ，垂心 H 三点共线(欧拉线)，且 OG 1 GH ． 2
测试题
一．选择题
1． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC) ， 0, ，
三角形的四心的向量表示及其应用
三角形的四心的向量表示及其应用
以三角形的四心的向量表示及其应用为题，我们将探讨三角形的四个特殊点，即垂心、重心、外心和内心，并介绍它们在几何学和工程中的应用。
让我们来了解这四个特殊点的定义和向量表示。对于任意给定的三角形ABC，我们可以定义以下四个特殊点：
1. 垂心（Orthocenter）：垂心是三角形三条高线的交点，记为H。垂心到三角形三个顶点的向量分别为AH、BH和CH。
2. 重心（Centroid）：重心是三角形三条中线的交点，记为G。重心到三角形三个顶点的向量分别为AG、BG和CG。
3. 外心（Circumcenter）：外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。外心到三角形三个顶点的向量分别为AO、BO和CO。
4. 内心（Incenter）：内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。内心到三角形三个顶点的向量分别为AI、BI和CI。
这些特殊点在几何学和工程中有着广泛的应用。下面我们将介绍它们的一些应用：
1. 垂心的应用：垂心在三角形的垂心定理中起着重要作用。根据垂心定理，垂心到三个顶点的距离乘积等于垂心到三个对边的距离乘
积。这个定理在解决三角形的垂直问题时非常有用。
2. 重心的应用：重心是三角形的质心，它将三角形分成六个等面积的三角形。重心在结构力学中的应用非常广泛，例如在计算物体的质心、计算物体的转动惯量等方面。
3. 外心的应用：外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是唯一一个同时与三个顶点相切的圆。外心在计算三角形的外接圆半径、判断三角形的形状等方面有着重要的应用。
4. 内心的应用：内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是唯一一个同时与三条边相切的圆。内心在计算三角形的内切圆半径、判断三角形的形状等方面有着重要的应用。
三角形“四心”的向量表示
三角形“四心”的向量表示及应用
一、知识总结
1、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）
命题一：G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 命题二：
1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点). 命题三：点O 是三角形ABC 的重心则∆∆∆AOB BOC COA S = S = S 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边B C A C A ，，的中点．则AD BE CF ++=0 ．
变式引申：平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++
2、三角形的垂心的向量表示及应用：（三边高线交点） 命题一：H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA ∙=∙=∙ 例1：若H 为△ABC 所在平面内一点，且
222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ，则点H 是△ABC 的垂心
3．外心(三边垂直平分线交点，外接圆圆心)
命题一：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC | (点O 到三边距离相等)
4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)
命题一：O 是△ABC 的内心⇔
()()()0||||||||||||AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB ∙-=∙-=∙-=
命题二：||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ 为△ABC 的内心; 变式：向量()(0)||||AB AC AB AC λλ+≠ 所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角
高考专题之三角形四心的向量性质
高考专题之三角形“四心”的向量性质
四心的概念
（1）重心：中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心：高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 一、三角形的重心的向量表示及应用
命题一 已知A B
C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若G A G B G C ++=0．则G 是ABC △的重心．
证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，
所以 ()GA GB GC =-+．
以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，
所以GD GA =-．
又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．
所以AE 是ABC △的边BC 的中线．
故G 是ABC △的重心．
点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．
例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，
=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．
解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴
而03=-++∴OG c b a
3
c
b a OG ++=
∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．
三角形四心的向量性质及其应用
三角形“四心”的向量性质及其应用
东阳市中天高级中学数学组：蔡航英
自从2003年高考(江苏卷)第5题向量考出彩后，在中学数学向量教学时，挖掘三角形“四心”向量性质及其应用，引起了广泛重视。与三角形的“四心”(重心、垂心、外心、内心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，现将有关三角形“四心”向量性质及其应用罗列如下：
一、三角形的重心的向量表示及应用
命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若
GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r
．则G 是ABC △的重心．
证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r
，
所以 ()GA GB GC =-+u u u r u u u r u u u r
．
以GB u u u r
，GC u u u r
为邻边作平行四边形BGCD ，
则有GD GB GC =+u u u r u u u r u u u r
， 所以GD GA =-u u u r u u u r
．
又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =u u u r
u u u r
，GE ED =u u u r
u u u r
．
所以AE 是ABC △的边BC 的中线．
故G 是ABC △的重心．
点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．
三角形四心的向量式
三角形“四心”的向量特征及应用
1、 三角形重心的向量特征
,,,0==G ABC GA GB GC ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++= AGB BGC CGA AGB BGC CGA 定理一已知为的重心，记AGB,BGC,CGA 的面积S S S 则，且S S S 。
2、 三角形垂心的向量特征
()
cos cos .
,,H ABC AH b C AB c B AC b ABC B C λλ∆=+∆∠∠
引理
已知为的垂心，则存在实数，使得其中为中所对的边。
,,,,,
AHB BHC CHA H ABC AH B BH C C H A S S S ∆∆∆∆∆∆定理
已知为非直角三角形的垂心，记的面积为tan tan tan 0=tan tan tan AHB BHC CHA A HA B HB C HC S S S C A B ∆∆∆⋅+⋅+⋅=
则，且：：：：。 (),0,,cos cos O A B C P O P O A AB AC
P ABC AB B AC C λλ=+⎛
⎫
⎪+∈+∞∆ ⎪⎝
⎭
例：已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足则动点的轨迹一定通过的垂心
3、 三角形内心的向量特征
3,,,,
0.=::.
AIB BIC CIA AIB BIC CIA I ABC AIB BIC CIA S S S a IA b IB c IC S S S c a b ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++= 定理：已知为的内心，记的面积为，则且：： 4、 三角形的外心的向量特征
,,,,,sin 2sin 2sin 20=sin 2sin 2sin 2.
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。它们的位置可以用向量的形式来描述。本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:
重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：
G=(A+B+C)/3
其向量形式为：
OG=(OA+OB+OC)/3
其中O为坐标原点。
证明：
由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:
外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。用O表示外心。假设三角形的三个顶点分别为
A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：
O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)
其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：
OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)
其中O为坐标原点。
证明：
设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到
以下关系：
OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB
由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：
三角形四心的向量应用
→ →
→
→
→
→Βιβλιοθήκη Baidu
→
→
→
7.已知向量OP1，
OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，
求证：△P1P2P3 是正三角形．
证明
→
→
→
→
→
1
由已知条件可得OP1＋OP2＝－OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－ .
2
→
→
→
→
1
同理OP2·OP3＝OP3·OP1＝－ .即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，
角形各顶点的距离相等．
三角形各心的向量表示
→ → →
(1)O是△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0；
→ → → → → →
(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
→
→
→
→
→
→
(3)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC2)；
→
→
→
→
→
的(
D
)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
→ → → →
→ → → →
→ → →
解析 由PA·PB＝PB ·
PC，得PA·PB－PB·PC＝0，即PB·(PA－PC)＝0，
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1． O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;
1
若
O 是
ABC
的重心，则
S BOC S AOC S AOB 3S ABC 故 OA OB OC 0 ; PG 1 (PA PB PC )
G 为
ABC
的重心
.
3
2． O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;
若
O 是
ABC (
非直角三角形 )
的垂心，则
S BOC
：
S
AOC
：
S
AOB tan A
：
tan B
：
tan C
故 tan A OA tan BOB tan COC 0
222
3．O 是 ABC 的外心 |OA | |OB | |OC |(或OA
OB OC )
若
O 是
ABC
的外心则
S BOC ：S AOC ：S AOB sin BOC ：
sin AOC ：
sin AOB sin2A:sin2B:sin2C
故 sin2AOA sin2BOB sin 2COC 0
原式可化为
AP
（e 1 e 2） ，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC 中， AP 平分 BAC ，则知选 B.
4． OA
O 是内心 ABC 的充要条件是
( AB AC
) OB ( BA
| AB | AC | BA |
BC
) OC ( CA CB ) 0 | BC | | CA | | CB |
引进单位向量，使条件变得更简洁。 如果记
AB,BC, CA 的单位向量为 e 1,e 2,e 3，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条 件可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1
e 2） OC （e 2 e 3） 0
平面向量中三角形“四心”与应用
平面向量种三角形“四心”与应用
一．重要结论
1.重心：三角形三条中线的交点，重心为O →
→
→
→
=++⇔0
OC OB OA 证明：G 是ABC ∆所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明:作图如右，图中GE
GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.
将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））
重心性质1．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3
1PC PB P A PG ++=.证明：CG PC BG PB AG P A PG +=+=+=⇒)()(3PC PB P A CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，
即PC PB P A PG ++=3，由此可得)(3
1
PC PB P A PG ++=.（反之亦然（证略））
重心性质2.如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N
两点，且AM xAB = ，AN y AC = ，则11
3x y
+=.
证明：点G 是ABC ∆的重心，知GA GB GC ++=
O ，
得()()AG AB AG AC AG -+-+-=
O ，有1()3
AG AB AC =+ .又M ，N ，G 三点共线（A
三角形四心”的向量表示及应用
A
C
B
1
e 2
e P
三角形“四心”的向量表示及应用
（一）三角形各心的概念介绍 姚保英 丁晓欣 1、重心——三角形的三条中线的交点； 注：重心性质
①三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。 ②已知ABC ∆及其重心O ，则有→
→
→
→
=++0OC OB OA
其中若()()()()y x O y x C y x B y x A ,,,,,,,332211则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=++=33
321321y y y y x x x x
2、垂心——三角形的三条垂线的交点；
3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 注：角分线性质
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这 个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两 条线段与这个角的两邻边对应成比例，. 如图：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则
BC
AB DC AD =
4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． （二）三角形各心的向量表示
1、 O 是ABC ∆的重心0=++⇔OC OB OA ；
2、 O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔；
3、 O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或2
平面向量三角形四心(有详解)
平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)
平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面
等几何对象。在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状
之一。本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质
和应用。
1. 三角形的四心概述
三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内
心和垂心。这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状
和性质非常重要。
1.1 重心
三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的
连线交于一点。重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几
何意义。
1.2 外心
三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的
交点。外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。
1.3 内心
三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。
1.4 垂心
三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的
交点。垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。
2. 平面向量与四心关系的性质
平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下
面将分别介绍。
2.1 重心与向量
以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向
量相对于重心的位置向量之和为零。即，三角形三个顶点的位置向量
和为零向量。
2.2 外心与向量
三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。即，OA + OB + OC = 3OO。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用
三角形“四心”的概念介绍
(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；
(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；
(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：
AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅='
'''
即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅='
'；
同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .
一、三角形的重心的向量表示及应用
知识：G 是ABC △的重心⇔)(3
1
AC AB AG +=
⇔0=++GC GB GA ⇔)(3
1
OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)
变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用
三角形“四心”的向量表示及运用2
三角形“四心”的向量表示及运用示例
平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则
=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.
本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.
一、两个定理
定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,
则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0
证:如图,设→OA ＝－→
OA '.
过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→
OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1
所以→OB '＝k 2k 1→OB ,
同理→OC '＝k 3k 1→OC
所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1
→OC
即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→
0 □
定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,
若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→
证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→
OC ' OB '
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O 是ABC ∆的重心⇔
=++;
若O 是ABC ∆的重心，则
ABC AOB AOC BOC S 31
S S S ∆∆∆∆=
==故
0OC OB OA =++;
1()
3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.
2．O 是ABC ∆的垂心⇔
⋅=⋅=⋅;
若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则
C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆
故0OC C tan OB B tan OA A tan
=++
3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2
2
2
OC OB OA ==)
若O 是ABC ∆的外心则
C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：
故C 2sin B 2sin A 2sin =++
4．O
是内心ABC ∆的充要条件是
|
CB ||
CA |(
|
BC ||
BA |(
)AC
|
AB |(
=⋅=⋅=⋅
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要
条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以
是c b a =++ 。若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆
三角形四心的向量性质
三角形“四心”的向量性质及其应用
一、三角形的重心的向量表示及应用
命题一已知A B, C是不共线的三点，G是AABC一点，若
GA + GB + GC = O.则G 是ZvlBC 的重心.
证明：如图1所示，因为GA + GB + GC = O , 所以GA = -(GB + GC).
以面,左为邻边作平行四边形3GCQ,
贝>J<GD = GB + GC,
所以亦=一鬲・
又因为在平行四边形3GCD中，BC交GD于点、E,
所以旋=瓦，克=EB・
所以AE是AABC的边BC的中线.
故&是2\?仏(7的重心.
点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；
②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.
例1如图2所示，ZXABC的重心为G, O为坐标原点，OA=a, OB= b ,
OC= c ,试用a, b, c表示oO・
解：设AG交BC于点M,则M是BC的中点,
a — OG = GA
\-<b-OG = GB
c-OG = GC
a +
b +
c —OG — GA + GB + GCJ 而..a + 5 + c —3OG = 0
——a-\-b + c
:.OG = -------
3
点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键.
变式：已知D, E, F分别为AABC的边BC, AG AB的中点.则AD+BE + CF = O .
证明：如图的所示，
XD=-—GA
2
丁~BE = - — GB
2
CF=-—GC
I 2
___ __ _____ 3 ________ _____ _____
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本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期
三角形“四心”的向量特征及应用
浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353）
翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考.
1 三角形重心的向量特征
定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为
,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==
证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3
1−+−=−. 故0=++GC GB GA .
由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB .
即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3
1, 故
.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为
=++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论.
推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠⋅⋅λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知,
点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S .
由于)''sin ''2
1(:)sin 21
(:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠⋅⋅∠⋅⋅=ΔΔ |
|||1'21'λλ⋅=⋅=PB PB PA PA ,即||||21''λλ⋅=ΔΔPB A APB S S ,
同理||||32''λλ⋅=ΔΔPC B BPC S S ,||||13''λλ⋅=ΔΔPA C CPA S S ,故||||:||||::32''21''λλλλ⋅⋅=ΔΔΔΔΔPC B PB A CPA BPC APB S S S S S |
|||:13''λλ⋅ΔPA C S ||:||:||213λλλ=. 说明 该推论多次出现在高中数学联赛试题中,如2006年高中数学联赛吉林省预赛第11题和陕西省预赛第5题,2008年高中数学联赛江苏省预赛第8题.
例1（2006年全国高中数学联赛陕西省预赛）设点P 为ABC Δ内一点，且5152+=
. 则ABP Δ的面积与ABC Δ的面积之比等于____________.
解 由于5152+=,则)(5
1)(52−+−=−,即 22=++,根据推论1得, 2:2:1::=ΔΔΔCPA BPC APB S S S ,故. 5:1:=ΔΔABC ABP S S 2 三角形垂心的向量特征
引理 已知H 为ABC Δ的垂心,则存在实数λ,使得)cos cos (B c C b ⋅+⋅=λ.其中为中所对的边.
c b ,ABC ΔC B ∠,∠证明 如图3设==,,则−=.设(x +)⊥,则
0cos )1()1()()(222
2=⋅−++−=⋅−++−=−⋅+A bc x xb c x x x . 则C
b B
c C ab B ac c b a b c a a c b b a c b c A bc b A bc c x cos cos cos 2cos 2)(2
1)(21cos cos 2222222222222222⋅⋅=⋅⋅=−+−+=−+−−+−=⋅−⋅−=, 则)cos cos (C b B c ⋅⋅+⊥，即B c C b ⊥⋅+⋅)cos cos (. 故与B c C b cos cos ⋅+⋅共线,则存在实数λ,使得
)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ.
例2 已知O 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足A
B C ，，P cos cos AB AC OP OA B AC C λ⎛⎞⎜=++⎜⎟⎝⎠
u AB ⎟uu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点的轨迹一定通过△的 P ABC _________.(填重心,垂心,内心,外心)
解 由cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎞⎜⎟=++⎜⎟⎝⎠
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,则cos ||cos ||(C AC B AB ⋅+⋅=λ,
由于B c C b cos cos ⋅+⋅C AC B AB cos ||cos ||⋅⋅共线,根据上述引理,得
⊥,动点的轨迹一定通过的垂心.
P ABC △定理2 已知H 为非直角的垂心,记ABC ΔCHA BHC AHB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ则tan tan tan =++C B A ,且|tan |:|tan |::A C S S S CHA BHC AHB =ΔΔΔ|tan :|B . 证明 根据引理,)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ……………………①. 同理]cos )cos cos [(]cos cos [A c A c C a C a A c ⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅=μμ. 则A c A c C a cos )cos cos 1(⋅+⋅−⋅−=+=μμμ…………………②. 根据平面向量基本定理,在同一组基底,下同一个向量表示唯一,则
⎩
⎨⎧⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅−=⋅⋅A c B c A c C a C b cos cos cos cos 1cos μλμμλ , 解得b
A C a C
B c B A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos λ. b
A C a C
B c B A b
C A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos cos 则 b
A C a C
B c B A c B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+cos cos cos cos cos cos cos cos . 又HA H
C AC HA
HB AB −=−=，,代入上式化简得 cos cos cos cos cos cos =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A c C A b C B a ,再由正弦定理即得
cos cos sin cos cos sin cos cos sin =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A C C A B C B A . 即tan tan tan =++C B A .
根据推论1得,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ::|tan |:|tan |:|tan |B A C =.
说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)H 为非直角ABC Δ的垂心的充要条件为
tan tan tan =++C B A .(2) C AC B AB cos ||cos ||⋅+⋅共线.
例3 (2006年武汉高三模拟试题)设H 为ABC Δ的垂心,6,5===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值.
n m +