三角形四心的向量特征及应用

本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期

三角形“四心”的向量特征及应用

浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353）

翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考.

1 三角形重心的向量特征

定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为

,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==

证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3

1−+−=−. 故0=++GC GB GA .

由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB .

即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3

1, 故

.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为

=++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论.

推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠⋅⋅λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知,

点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S .

由于)''sin ''2

1(:)sin 21

(:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠⋅⋅∠⋅⋅=ΔΔ |

|||1'21'λλ⋅=⋅=PB PB PA PA ,即||||21''λλ⋅=ΔΔPB A APB S S ,

同理||||32''λλ⋅=ΔΔPC B BPC S S ,||||13''λλ⋅=ΔΔPA C CPA S S ,故||||:||||::32''21''λλλλ⋅⋅=ΔΔΔΔΔPC B PB A CPA BPC APB S S S S S |

|||:13''λλ⋅ΔPA C S ||:||:||213λλλ=. 说明 该推论多次出现在高中数学联赛试题中,如2006年高中数学联赛吉林省预赛第11题和陕西省预赛第5题,2008年高中数学联赛江苏省预赛第8题.

例1（2006年全国高中数学联赛陕西省预赛）设点P 为ABC Δ内一点，且5152+=

. 则ABP Δ的面积与ABC Δ的面积之比等于____________.

解 由于5152+=,则)(5

1)(52−+−=−,即 22=++,根据推论1得, 2:2:1::=ΔΔΔCPA BPC APB S S S ,故. 5:1:=ΔΔABC ABP S S 2 三角形垂心的向量特征

引理 已知H 为ABC Δ的垂心,则存在实数λ,使得)cos cos (B c C b ⋅+⋅=λ.其中为中所对的边.

c b ,ABC ΔC B ∠,∠证明 如图3设==,,则−=.设(x +)⊥,则

0cos )1()1()()(222

2=⋅−++−=⋅−++−=−⋅+A bc x xb c x x x . 则C

b B

c C ab B ac c b a b c a a c b b a c b c A bc b A bc c x cos cos cos 2cos 2)(2

1)(21cos cos 2222222222222222⋅⋅=⋅⋅=−+−+=−+−−+−=⋅−⋅−=, 则)cos cos (C b B c ⋅⋅+⊥，即B c C b ⊥⋅+⋅)cos cos (. 故与B c C b cos cos ⋅+⋅共线,则存在实数λ,使得

)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ.

例2 已知O 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足A

B C ，，P cos cos AB AC OP OA B AC C λ⎛⎞⎜=++⎜⎟⎝⎠

u AB ⎟uu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点的轨迹一定通过△的 P ABC _________.(填重心,垂心,内心,外心)

解 由cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎞⎜⎟=++⎜⎟⎝⎠

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,则cos ||cos ||(C AC B AB ⋅+⋅=λ,

由于B c C b cos cos ⋅+⋅C AC B AB cos ||cos ||⋅⋅共线,根据上述引理,得

⊥,动点的轨迹一定通过的垂心.

P ABC △定理2 已知H 为非直角的垂心,记ABC ΔCHA BHC AHB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ则tan tan tan =++C B A ,且|tan |:|tan |::A C S S S CHA BHC AHB =ΔΔΔ|tan :|B . 证明 根据引理,)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ……………………①. 同理]cos )cos cos [(]cos cos [A c A c C a C a A c ⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅=μμ. 则A c A c C a cos )cos cos 1(⋅+⋅−⋅−=+=μμμ…………………②. 根据平面向量基本定理,在同一组基底,下同一个向量表示唯一,则

⎩

⎨⎧⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅−=⋅⋅A c B c A c C a C b cos cos cos cos 1cos μλμμλ , 解得b

A C a C

B c B A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos λ. b

A C a C

B c B A b

C A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos cos 则 b

A C a C

B c B A c B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+cos cos cos cos cos cos cos cos . 又HA H

C AC HA

HB AB −=−=，,代入上式化简得 cos cos cos cos cos cos =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A c C A b C B a ,再由正弦定理即得

cos cos sin cos cos sin cos cos sin =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A C C A B C B A . 即tan tan tan =++C B A .

根据推论1得,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ::|tan |:|tan |:|tan |B A C =.

说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)H 为非直角ABC Δ的垂心的充要条件为

tan tan tan =++C B A .(2) C AC B AB cos ||cos ||⋅+⋅共线.

例3 (2006年武汉高三模拟试题)设H 为ABC Δ的垂心,6,5===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值.

n m +