陕西省西安七十中2017届高三上学期10月月考数学试卷 (理科) Word版含解析

2016-2017学年陕西省西安七十中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}2．设集合S={x|（x﹣2）2＞9}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣1）B．[﹣3，﹣1]C．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）3．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈R，f（x）=x3﹣x2+6的极大值为6．则下面选项中真命题是（）A．（￢p）∧（￢q）B．（￢p）∨（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧q4．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）6．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]8．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．99．已知函数f（x）=（a为非零常数），则f（x）的图象满足（）A．关于点（1，0）对称B．关于点（1，1）对称C．关于原点对称 D．关于直线x=1轴对称10．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2）B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8]D．（﹣4﹣2，﹣8]11．定义在[0，+∞）的函数f（x），对任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），a=，b=，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置）13．已知x∈R，y＞0，集合A={x2+x+1，﹣x，﹣x﹣1}，B={﹣y，﹣，y+1}，若A=B，则x2+y2的值为．14．已知命题p：方程4x2﹣4（m﹣2）x+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程x2+3mx+1=0无实根．若p∨q为真，￢q为真，则实数m的取值范围是．15．定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈[1，22014]，则函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为．16．关于函数f（x）=lg（x≠0，x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若p是q的充分条件，求实数m 的取值范围．18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．19．某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A型零件的工人人数为x名（x∈N*）（1）设完成A型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？20．已知函数f（x）=，且f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．21．函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[﹣3，1]上最大值；（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．22．已知函数f（x）=e x（Ⅰ）当f（x）≥ex+a对任意的实数x恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＜b，a，b∈R，求证：＜ [+f（）]．2016-2017学年陕西省西安七十中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】图中阴影部分表示的集合是A∩（C U B）．利用题设条件，分别求出集合A和集合B，由此能求出A∩（C U B）．【解答】解：图中阴影部分表示的集合是A∩（C U B）．∵A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1）∴C U B=[1，+∞）A∩（C U B）=[1，2）故选：B．2．设集合S={x|（x﹣2）2＞9}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣1）B．[﹣3，﹣1]C．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列关于a的不等式组，求解不等式组得答案．【解答】解：∵S={x|（x﹣2）2＞9}={|x|x＜﹣1或x＞5}，{x|，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，∴，解得：﹣3＜a＜﹣1．故选：A．3．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈R，f（x）=x3﹣x2+6的极大值为6．则下面选项中真命题是（）A．（￢p）∧（￢q）B．（￢p）∨（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，进而利用“或”、“且”、“非”命题的判断方法即可得出结论．【解答】解：对于命题p：分别画出函数y=2x，y=3x的图象，可知：不存在x∈（﹣∞，0），使得2x＜3x成立，故命题P不正确；对于命题q：由f（x）=x3﹣x2+6，∴f′（x）=3x2﹣2x=，令f′（x）=0，解得x=0，或，列表如下：由表格可知：当x=0时，函数f（x）取得极大值，且f（0）=6．故命题q正确．综上可知：p假q真，∴￢p真，￢q假，∴（￢p）∨（￢q）正确．故选B．4．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．5．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数恒成立问题．【分析】这是一道类似二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a﹣2是否为零．【解答】解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求解得：a∈（﹣2，2）综合①②可知：a∈（﹣2，2]故选C．6．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵函数f（x）=lg（|x|﹣1），∴f（﹣x）=lg（|x|﹣1）=f（x），f（x）是偶函数，当x=1或﹣1时，y＜0，故选B；7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]【考点】简单线性规划；一元二次不等式的应用．【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选C．8．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选B9．已知函数f（x）=（a为非零常数），则f（x）的图象满足（）A．关于点（1，0）对称B．关于点（1，1）对称C．关于原点对称 D．关于直线x=1轴对称【考点】函数的图象与图象变化．【分析】本题可先将函数的解析式进行化简变形，求出函数的渐近线方程，两条渐近线的交点即为函数图象的对称点，得到本题答案．【解答】解：函数f（x）==，∴x﹣1≠0，即x≠1，∵a为非零常数，∴，y≠x﹣1．故函数f（x）=的渐近线方程为：x=1，y=x﹣1．对称中心为：（1，0）．故选：A10．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2）B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8]D．（﹣4﹣2，﹣8]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，∴f′（1）=2×1=2，则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，当x≤0时，y=f（x）=+b，即（x+2）2+（y﹣b）2=4（y≥b）作出函数图象如右图随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即=2，解得b=﹣4﹣2＜﹣8∴b的取值范围是（﹣4﹣2，﹣8]．故选：D．11．定义在[0，+∞）的函数f（x），对任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），a=，b=，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数，研究其单调性即可．【解答】解：令，则g′（x）==，∵对任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），e x＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）是在定义域上是减函数，所以g（2）＞g（3），即a＞b，故选：A．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置）13．已知x∈R，y＞0，集合A={x2+x+1，﹣x，﹣x﹣1}，B={﹣y，﹣，y+1}，若A=B，则x2+y2的值为5．【考点】集合的相等．【分析】根据集合A中元素x2+x+1恒大与0，而集合B中元素只有y+1＞0，说明A中的﹣x，﹣x﹣1有可能与B中的﹣y，﹣分别相等，分类讨论后有一种情况与题意不符，只有另外一种情况，求出此时x和y的值，则x2+y2的值可求．【解答】解：由A={x2+x+1，﹣x，﹣x﹣1}，B={﹣y，﹣，y+1}，且A=B，因为x2+x+1=+＞0，且﹣y＜0，﹣＜0．所以只有x2+x+1=y+1．若，解得x=y=﹣2，与y∈R+不符．若，解得x=1，y=2；代入集合A，B中验证满足集合元素的互异性．此时x2+y2=12+22=5，故答案为：5．14．已知命题p：方程4x2﹣4（m﹣2）x+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程x2+3mx+1=0无实根．若p∨q为真，￢q为真，则实数m的取值范围是m≤﹣，或≤m＜1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先求出使命题p，q为真时，m的取值范围，结合p∨q为真，￢q为真，得到p真q假，进而得到答案．【解答】解：若命题p：方程4x2﹣4（m﹣2）x+1=0有两个不相等的负根，为真，则，解得：m＜1若命题q：方程x2+3mx+1=0无实根．则△=9m2﹣4＜0，解得：﹣＜m＜，∵p∨q为真，￢q为真，∴m≤﹣，或≤m＜1故答案为：m≤﹣，或≤m＜115．定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈[1，22014]，则函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为1007．【考点】进行简单的合情推理；函数的值．【分析】f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是单调增函数，利用定义，即可求出函数f（x）=log2x 在[1，22014]上的“均值”【解答】解：f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是单调增函数，∴函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为M=（log21+log222014）=1007，故答案为：1007．16．关于函数f（x）=lg（x≠0，x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为①③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，再由函数t（x）=，的单调性可判其他命题．【解答】解：∵函数，显然f（﹣x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x＞0时，，令t（x）=，则t′（x）=1﹣可知当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t （x）单调递增，即在x=1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若p是q的充分条件，求实数m 的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由1＜2x＜8，得0＜x＜3，即p：0＜x＜3，∵p是q的充分条件，∴不等式x2﹣mx+4≥0对∀x∈（0，3）恒成立∴对∀x∈（0，3）恒成立，∵，当且仅当x=2时，等号成立．∴m≤4．18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；（2）令x＞0，则﹣x＜0，根据条件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，从而可得函数f（x）的解析式；（3）先求出抛物线对称轴x=a﹣1，然后分当a﹣1≤1时，当1＜a﹣1≤2时，当a﹣1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．【解答】解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，，则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x∴解析式为f（x）=（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；∴g（x）=．19．某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A型零件的工人人数为x名（x∈N*）（1）设完成A型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？【考点】函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f（x）=，代入数据整理即可；（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，同理可得完成B型零件加工所需时间g（x）；完成全部生产任务所需时间h（x），是f（x）与g（x）的较大者；故令f（x）≥g（x），得；所以，当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．即；求得函数h（x）的最小值即可．【解答】解：（1）生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间（其中x∈N*，且1≤x≤49）；（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间（其中x∈N*，且1≤x≤49）；设完成全部生产任务所需时间h（x）小时，则h（x）为f（x）与g（x）的较大者，令f（x）≥g（x），则，解得，所以，当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．故；当1≤x≤32时，，故h（x）在[1，32]上单调递减，则h（x）在[1，32]上的最小值为（小时）；当33≤x≤49时，，故h（x）在[33，49]上单调递增，则h（x）在[33，49]上的最小值为（小时）；∵h（33）＞h（32），∴h（x）在[1，49]上的最小值为h（32），∴x=32为所求．所以，为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32．20．已知函数f（x）=，且f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），根据题意和导数的几何意义列出方程组，求出a、b的值即可求出f（x）；（2）由（1）求出f′（x），由导数的几何意义得直线l的斜率k=f′（x0），利用分离常数法化简，利用换元法和二次函数的性质求出k的最小值和最大值，可得k的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）===，因为f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，所以，解得，则；（2）由（1）可得，f′（x）=，所以直线l的斜率k=f′（x0）===﹣4•+，设t=，则t∈（0，1]，所以k=4（2t2﹣t）=8（t﹣）2﹣，则在对称轴t=处取到最小值，在t=1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是[，4]．21．函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[﹣3，1]上最大值；（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出导函数在x=1处的值，利用点斜式写出切线方程，化为斜截式令其斜率为3，纵截距为1，令导函数在﹣2处的值为0，列出方程组，求出f（x）的解析式．（II）求出f（x）的导函数，令导函数为0，求出根，列出x，f（x），f′（x）的变化表，求出极大值，端点值，求出函数f（x）的最大值．（III）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．【解答】解（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2+bx+c 求导数得f'（x）=3x2+2ax+b，过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）=f'（1）（x﹣1），即y﹣（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x﹣1），而过y=f（x）上P（1，f（1））的切线方程为：y=3x+1，故，即∵y=f（x）在x=﹣2时有极值，故f'（﹣2）=0∴﹣4a+b=﹣12 (3)由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=﹣4，c=5，f（x）=x3+2x2﹣4x+5…221+5=4 极大∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 …（Ⅲ）y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增又f'（x）=3x2+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x2﹣bx+b依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立．①在②在则b∈Φ③在综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0…或者（Ⅲ）y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增又f'（x）=3x2+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x2﹣bx+b依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴令m（x）=3（x﹣1）+（x≤1）则m（x）22．已知函数f（x）=e x（Ⅰ）当f（x）≥ex+a对任意的实数x恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＜b，a，b∈R，求证：＜ [+f（）]．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）设g（x）=f（x）﹣ex﹣a，求出导数利用导数的符号，判断函数的单调性，求出最小值，即可得到a的范围．（Ⅱ）设a=lnm，b=lnn，要证明：＜ [+f（）]．转化为证明构造函数，h（x）=lnx﹣利用函数的单调性，然后令x=，证明即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设g（x）=f（x）﹣ex﹣a，则g′（x）=e x﹣e，令g′（x）＞0⇒x＞1；可得g（x）在（1，+∞）上递增；令g′（x）＜0⇒x＜1，在（﹣∞，1）为减函数，∴g（x）min=g（1）=﹣a≥0，从而a≤0…（Ⅱ）设a=lnm，b=lnn，f（x）=e x，要证明：＜ [+f（）]．也就是证明：…．，构造函数，h（x）=lnx﹣…．可以证明h（x）在（1，+∞）上为增函数，h（x）＞h（1）=0，令x=，得，，可得…所以…2017年1月3日。