12-88第12章 联立方程估计与模拟_s

V Euu
2
I k
IT

(12.2.3)
其中：算子表示克罗内克积(kronecker product)，简称叉 积， 2 是系统残差的方差。
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2. k个方程间的残差存在异方差，但是不存在同期相关 时，用表示第i个方程残差的方差，i=1, 2, …, k，此时的矩阵
形式为
K t K t 1 I t
4
KleinⅠ模型框图
政府工资 WG 政府支出 G
消费
CS
收入
Y
投资
I
私人工资
WP
企业利润
P
资本存量
K
间接税收 T
注：方框内是行为方程内生变量，椭圆内是恒等方程内生变量，
粗体是外生变量。
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前3个方程称为行为方程，后面的3个方程称为恒等方程。
这是一个简单描述宏观经济的联立方程模型。式（12.1.2） 中的前3个行为方程构成联立方程系统：
CS P P (W p W g ) u (消 费) t 0 1 t 2 t 1 3 t t 1t ( 投 资) I t 0 1 P 2 P 1 3 K t 1 u2t t t p (私 人 工 资 ) Wt 0 1Yt 2Yt 1 3 At u3t
克莱因联立方程系统
克莱因（Lawrence Robert Klein ）于1950年建立的、 旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观 计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的 发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型
大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。以至
于萨缪尔森认为，“美国的许多模型，剥到当中，发现都 有一个小的Klein模型”。所以，对该模型 的了解与分析 对于了解西方宏观计量经济模型是重要的。 Klein模型是以美国两次世界大战之间的1920-1941年
以利用不同的解释变量值对被解释变量进行模拟和预测。
1
12.1 联立方程系统概述
本章将包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关 系的联立方程组称为“系统”(systems) ，可以利用12.2节介绍
的多种估计方法求解未知参数。本章的12.3节中将一组描述内
生变量的已知方程组称为“模型”(model) ，给定了联立方程 模型中外生变量的信息就可以使用联立方程模型对内生变量进
12 I T 0 0 0 0 2 k IT 0
V diag 1 , 2 , , k I T
2 2 2


2 IT
2
0
(12.2.4)
其中diag ( )代表对角矩阵。
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3. k个方程间的残差不但是异方差的，而且是同期相关 的情形，可以通过定义一个k×k的同期相关矩阵 进行描
第十二章 联立方程模型的估计与模拟
本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括
最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归
法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘 法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法 FIML和广义矩法GMM等估计方法。 联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一 些多元方法可以对系统进行估计，这些方法考虑到了方程 之间的相互依存关系。在估计了联立方程组的参数后就可
为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对 象并说明方程系统。单击Object/New Object/system或者在 命令窗口输入system，系统对象窗口就会出现，如果是第
一次建立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输
入方程，当然也包含了工具变量和参数初值。 使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统 中的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。 例12.1含有三个行为方程的系统是这样的：
这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的 情况下，使每个方程的残差平方和最小。如果没有这样的参数
约束，这种方法和使用单方程普通最小二乘法估计每个方程式
是一样的。 在协方差阵被假定为
V Euu
2
I k
IT

时，最小二乘法是非常有效的。 的估计值为：
ˆ X X 1 X Y ΔLS
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式(12.2.1)可以简单地表示为
Y XΔ u
(12.2.2)
δk 是m维向量。
其中：设 m k i ，Δ δ1
i 1
k
δ2
联立方程系统残差的分块协方差矩阵的 kT×kT 方阵 V 大体有如下 4 种形式。本章的估计方法都是在这些情形的基 础上进行讨论的。 1. 在古典线性回归的标准假设下，系统残差的分块协方 差矩阵是 kT×kT 的方阵 V
行模拟、评价和预测。
一般的联立方程系统形式是
f yt , z t , Δ ut
t =1, 2, , T (12.1.1)
其中：yt 是内生变量向量，zt 是外生变量向量，ut 是一个可能 存在序列相关的扰动项向量，T 表示样本容量。估计的任务是
寻找未知参数向量 的估计量。
2
例12.1
虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方
法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定 了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如
果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但
如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数 估计就会“传播”给系统中的其它方程。
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建立和说明联立方程系统
y
T

i
ˆ X i δi , LS

i =1, 2, , k
(12.2.11)
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3.似乎不相关回归(Seemingly Unrelated Regression , SUR)
该方法也称作多元回归法，既考虑到异方差性也考虑到不 同方程的误差项的相关性。 当方程右边的变量 X 全部是外生变量，残差是异方差和同 期相关的，误差协方差阵形式为 V = IT 时，使用SUR方法 是恰当的。进行广义最小二乘（GLS）估计，此时的Zellner SUR估计值为 ：
(12.2.1)
其中：yi 表示第 i 个方程的 T 维因变量向量，T 是样本观测值个 数，Xi 表示第 i 个方程的 Tki 阶解释变量矩阵，如果含有常数 项，则 Xi 的第一列全为1，ki 表示第 i 个方程的解释变量个数 (包含常数项)，i 表示第 i 个方程的 ki 维系数向量，i=1, 2, … , k。
(12.9)
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2. 加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS)
这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的 异方差性，方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未
加权的系统参数的估计值。如果方程组没有联立约束，该方法
与加权单方程最小二乘法产生相同的结果。 加权最小二乘法的估计值为：
12 Ω12 22 Ω22


1k Ω1k

2 k Ω2 k
(12.2.6)
k 2 Ωk 2
kk Ωkk
其中：ij 是第 i 个方程残差和第 j 个方程残差的自相关矩
阵。
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12.2.1 单方程估计方法
1.普通最小二乘法（Ordinary Least Squares , OLS）
规则2
系统方程可以包含自回归误差项（注意不能有MA、SAR或SMA误 差项），每一个AR项必须伴随系数说明（用方括号，等号，系数，逗 号），例如： cs=c(1)+c(2)*gdp+[ar(1)=c(3), ar(2)=c(4)]
规则3
如果方程没有未知参数，则该方程就是恒等式，即定义方程，系统 中不应该含有这样的方程。
ˆ ˆ 1 X ) 1 X ˆ 1Y ΔW LS ( X V V
(12.2.10)
其中， ˆ diags , s ,, s I 是 V 的一个一致估计量。 V 11 22 kk T V 中的元素 i2 的估计值 sii 为
sii

ˆ y i X i δi , LS
k 2 IT
1k I T 2k I T kk I T
(12.2.5)
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4. 在更一般的水平下，k 个方程间的残差存在异方差、 同期相关的同时，每个方程的残差还存在自相关。此时残
差分块协方差矩阵应写成
11 Ω11 21 Ω21 V Σ Ω Ω k1 k1
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这里使用了EViews缺省系数如c(10)、c(20)等等，当然
可以使用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单
上Object/New Object/Martrix-Vector-Coef/Coeffient Vector。 在说明方程时有一些规则：
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规则1
方程组中，变量和系数可以是非线性的。可以通过在不同方程组中 使用相同的系数对系数进行约束。
的年度数据为样本建立的。
3
KleinⅠ模型：
CSt 0 1 P 2 P 1 3 (Wt Wt ) u1t t t
p g
（消费）
（投资） （私人工资） （均衡需求） （企业利润）
I t 0 1 P 2 P 1 3 K t 1 u2t t t
t =1, 2, , T （12.1.3）
待估计出未知参数后，与式（12.1.2）中的后3个恒等方
程一起组成联立方程模型。
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在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量 仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系 统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变 量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，