最短路径问题---原创优秀课件
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《13-4 课题学习 最短路径问题》课件(共21张ppt)
线．
· A·
B
l 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
·
B
l
B′
思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ A
·
B
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
·
C′ C
l
B′
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小呢？ 思考1：如何将点B转“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与 CB′的长度相等？ 思考2：你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ A
C
山 A Q P 河岸
大桥
B
2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵 出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
a A b M
A′
N B
问题2
a M′ A M A′ N N′ b
证明:取不同于,M，N的另外两
13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
13.4最短路径问题 课件
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问题， 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到，今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，请教一个百思不得其解的问题：
C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现， 互联网出现在20世纪90年代。 答案：B
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
《最短路径问题》课件
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究 跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行）， 现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何 选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的 长等于河宽； （2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
最短路径问题原创优秀课件_图文
解:如图
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
《最短路径问题》共36页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。—时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
《最短路径问题》
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
Thank you
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A A' M N B
A’
a b
B A C l
A A' N B M
a b
B′
轴对称 变换
A
C
l
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变 式 练 习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？ .B A. a
P
.
Q
.
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
问:转化为刚才的哪一类似题？
B
A l
抽象为数学问题
解决实 际问题
A C B l
两点之间,线段最短.
练习:导学案作业 1、2
P
Q
C’
P
P’
Q’
Q D’
’
’
解:如图 (1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1 (2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短 ．
要在两条街道a和b上各设 实际应用：
立一个邮筒,M处是邮局,问邮筒设在哪 里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮 筒取完信再回到邮局的路程最短？
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 （3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1 A1
M’
M
A N l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A. a
A’
.
P
.
Q
Q’
B’
2.某班晚会时桌子摆成如图AO,BO两直排 ,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖 果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然 后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走 路线,使其所走的总路程最短？
最短路径问题
太平一 中
理论依据:
1.两点的所有连线中,线段最短. （两点之间,线段最短）
2.三角形两边之和大于第三边. （证明时用）
常用方法：
1.直接运用两点之间线段最短解决
“求直线异侧的两点与直线上一点所 连线段的和最小”的问题---- 只要连 接这两点,与直线的交点即为所求．
A
l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
A’
a b
B A C l
A A' N B M
a b
B′
轴对称 变换
A
C
l
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变 式 练 习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？ .B A. a
P
.
Q
.
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
问:转化为刚才的哪一类似题？
B
A l
抽象为数学问题
解决实 际问题
A C B l
两点之间,线段最短.
练习:导学案作业 1、2
P
Q
C’
P
P’
Q’
Q D’
’
’
解:如图 (1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1 (2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短 ．
要在两条街道a和b上各设 实际应用：
立一个邮筒,M处是邮局,问邮筒设在哪 里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮 筒取完信再回到邮局的路程最短？
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 （3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1 A1
M’
M
A N l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A. a
A’
.
P
.
Q
Q’
B’
2.某班晚会时桌子摆成如图AO,BO两直排 ,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖 果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然 后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走 路线,使其所走的总路程最短？
最短路径问题
太平一 中
理论依据:
1.两点的所有连线中,线段最短. （两点之间,线段最短）
2.三角形两边之和大于第三边. （证明时用）
常用方法：
1.直接运用两点之间线段最短解决
“求直线异侧的两点与直线上一点所 连线段的和最小”的问题---- 只要连 接这两点,与直线的交点即为所求．
A
l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题