四川省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(15)复数与推理证明

一、选择题:
1.（四川省成都市2013届高三第三次诊断理）复数z =
【答案】C
1．(四川省凉山州2013届高三第三次诊断理)若21
()(,a i R a R i i
+-∈∈是虚数单位），则a=
（ ） A ．1 B ．0
C ．一
1
2
D ．
12
【答案】C
3. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z=
A. 1+i
B. -1-i
C. 1-i
D. -1+i
【答案】C
1、(四川省内江市2013届高三第一次模拟文)已知i 是虚数单位，复数11i
i
-+的虚部是（ ） A 、i B 、－i C 、1 D 、－1 【答案】D
1. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)复数11
212i i
+
--的虚部为( ) A.
15
B.15i
C.15-
D.15
i -
【答案】A
2. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)若是虚数单位，复数
2
5
-i 的共轭复数是: ( ) (A)2+i （B) 2-i (C) i --2 (D) i -2 【答案】B
1、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)复数i
i ++113
的虚部是
A ．i -
B ．1-
C ．
D ．1
【答案】B
1、(四川省成都十二中2013届高三3月考理)复数21i
i
=-（ C ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
二、填空题:
11．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)已知i 是虚数单位，x ，y ∈R ，若3i (8)i x x y -=-，则x y +=________． 【答案】3
14．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)观察以下各等式：
223sin 30cos 60sin 30cos 604++= ， 223sin 20cos 50sin 20cos504++= ， 223sin 15cos 45sin15cos 454
++=
． 试写出能反映上述各等式一般规律的一个等式 ． 【答案】223sin cos (30)sin cos(30)4
αααα++++= 三、解答题:
21. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)（本小题满分14分）已知函数
2
11()()1(1)
t f x t x x x =
--++，其中为正常数． （Ⅰ）求函数()t f x 在(0,)+∞上的最大值； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：15
3
a =
，132n n a a +=+， （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明：对任意的0x >，
231
()(*)n
n
f x n N a ≥∈； （Ⅲ）证明：2
121111
n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+．
解：（Ⅰ）由211()()1(1)t f x t x x x =
--++，可得3
2()()(0)(1)t t x f x x x -'=>+， …………………（2 分）
所以，()00t f x x t '>⇔<<，()0t f x x t '<⇔>，…………………（3 分） 则()t f x 在区间(0,)t 上单调递增，在区间(,)t +∞上单调递减， 所以，max 1
()()1t t f x f t t
==
+．…………………（4 分）
（Ⅱ）（1）由132n n a a +=+，得111(1)3n n a a +-=-，又12
13
a -=， 则数列{1}n a -为等比数列，且1212
1()333
n n n a --=
⋅=，…………………（ 5 分） 故223133n
n n n
a +=+=为所求通项公式．…………………（6 分）
（2）即证，对任意的0x >，
2231112
()()1(1)3n
n n f x x a x x ≥=--++(*)n N ∈ …………………（ 7分）
证法一：（从已有性质结论出发）
由（Ⅰ）知2max
2332131
()()233213
n
n n n n n n f x f a ====++…………………（9 分）
即有
231
()(*)n
n
f x n N a ≥∈对于任意的0x >恒成立．…………………（10 分） 证法二：（作差比较法）
由2103n n a =
+>及2
103
n n
a -=>…………………（ 8分） 222311112111()()(1)1(1)31(1)n
n n n n n f x x a x a a x x a x x -=-+-=-+--++++
2
212
01(1)n n a a x x =-+=≥++…………………（9 分） 即有
231
()(*)n
n
f x n N a ≥∈对于任意的0x >恒成立．…………………（10 分） （Ⅲ）证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩） 由（Ⅱ）知，对于任意的0x >都有
21112()1(1)3
n n x a x x ≥--++， 于是，2112111112
()1(1)3n
k
k n x a a a x x =⎡⎤++⋅⋅⋅+≥--⎢⎥++⎣⎦
∑ 221222
()1(1)333n
n nx x x =
-++⋅⋅⋅+-++ …………………（11 分）对于任意的0x >恒成立
特别地，令01103n nx -
-=，即0
11(1)03n
x n =->，…………………（12 分）
有2212011111111
1(1)133n n n
n n n n a a a x n n n ++⋅⋅⋅+≥==>+++-+-，故原不等式成立． …………………（14 分） 以下证明小组讨论给分
证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩）
由柯西不等式： 2222222
11221212()()()n n n n x y x y x y x x x y y y ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
其中等号当且仅当(1,2,)i i x ky i n ==⋅⋅⋅时成立．
令i x =
，i y =，可得 2212121212111111
(
)()()n n n n
a a a a a a n a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= 则2
1212111n n
n a a a a a a ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+ 而由213n n a =+，所以1211
(1)
133211313
n n n
a a a n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=+-- 故22
121111113
n n n n a a a n n ++⋅⋅⋅+≥>++-，所证不等式成立．
证法三：（应用均值不等式“算术平均数”≥“几何平均数”）
由均值不等式：
12n a a a n
++⋅⋅⋅+≥，其中0i a >
可得
12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥
12111n n a a a ++⋅⋅⋅+≥ 两式相乘即得21212111
(
)()n n
a a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥，以下同证法二． 证法四：（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路）
欲证2121111
n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+，
注意到13213232n n n n a ==-++，而2211111111
n n n
n n n n n n -+==-+=-++++ 从而所证不等式可以转化为证明
122223232321
n
n
n ++⋅⋅⋅+<++++
在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题
21．(四川省成都十二中2013届高三3月考理)（本小题满分14分） 已知：函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数在处的切线与直线3210x y +-=平行，且方程22()260f x x x m +-++=恒有三个实根，求m 的取值范围； （III ）求证：
ln 2ln 3ln 4ln 1
(2,)234n n n n n
*⋅⋅⋅⋅<≥∈N。