圆锥曲线-双曲线共56页文档
圆锥曲线与方程双曲线及其标准方程
双曲线的离心率
总结词
双曲线的离心率是双曲线的一个重要特征，表示双曲线向外 扩张或向内收缩的速度。
详细描述
双曲线的离心率用符号$e$表示，其值为$e = \frac{c}{a}$。 当离心率接近1时，双曲线越来越扁平；当离心率接近0时， 双曲线越来越接近于一条直线。
双曲线的焦点和准线
总结词
双曲线的焦点是其两条渐近线的交点，准线则是焦点到双曲线上的点的距离等于 实轴长度的点的集合。
两顶点关于原点对称
两焦点在x轴或者y轴上
离心率e为根号下(1+k^2)，其中k为实轴和虚 轴的比值
同心率双曲线
总结词：同心率双曲线是指双曲线的离心率相等的双曲 线，具有特殊的性质和方程。 性质：同心率双曲线具有以下性质
两焦点在x轴或者y轴上
方程：同心率双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) (y^2/b^2) = k (a,b > 0,k≠0) 两顶点关于原点对称
根据双曲线方程的形式，可以判断 出双曲线的焦点在哪个轴上。
求双曲线的实轴和虚轴长
根据双曲线方程的形式，可以求出 双曲线的实轴和虚轴长。
双曲线的范围
根据双曲线方程的形式，可以求出 双曲线的范围。
双曲线的渐近线
根据双曲线方程的形式，可以求出 双曲线的渐近线。
03
双曲线的简单性质
双曲线的范围
总结词
双曲线的范围是指双曲线在直角坐标系中呈现出的边界 。
01
02
03
04
05
早在公元前145年，希 腊数学家欧几里得 (Euclid)已经研究过双 曲线。
1795年，法国数学家拉 朗日(Lagrange)给出了 双曲线的第一个现代定 义。
1796年，德国数学家高 斯(Gauss)独立给出了 双曲线的第二个现代定 义。
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
专题2.9 圆锥曲线-双曲线(解析版)
专题2.9 圆锥曲线-双曲线1．求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．2．点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的检验．1．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上．当BF AF ⊥时，BF =． （1）求双曲线C 的方程．（2）设P 为双曲线上一点，点M ，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN 的中点，试判断MON △的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（三）【答案】（1）2214x y -=；（2）是定值，2．【分析】（1）由BF =可得2)b a c a =+，求出a 即可得出方程；（2）设出点M ，N 的坐标，可得点P 的坐标，代入双曲线C 的方程，可得1mn =，设2MON θ∠=，利用渐近线方程的斜率得角θ的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得sin 2θ，由M ，N 的坐标得OM ，ON ，结合sin 2θ及三角形面积公式即可求出MONS．【解析】（1）由题意，易得(c,0)F ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，则由BF =，可得2)b a c a =+，)22220c ac ∴--=，即)2220e e -=．又1c e a =>，解得e =，222254c a a b ∴==+， 解得2244a b ==，∴双曲线C 的方程为2214xy -=．（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为12y x =±， 设(2,)M m m ，(2,)N n n -，其中0m >，0n >．P 为线段MN 的中点，,2m n P m n -⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22()()144m n m n +--=，解得1mn =．设2MON θ∠=，则1tan 2θ=． 又sin 1tan cos 2θθθ==，22sin cos 1θθ+=，02πθ<<，sin θ∴=，cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ∴==．又OM =，ON =，114sin 222225MON S OM ON mn θ∴=⋅⋅=⋅==△， MON ∴△的面积为定值2．【名师点睛】本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点M ，N 的坐标，设2MON θ∠=，得出1mn =和sin 2θ．2．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-．（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（二）【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞． 【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果． 【解析】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =．因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =．①又双曲线过点，所以22231a b-=．② 由①②解得1a =，b =1C 的标准方程为2213y x -=．（2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=．因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN ==2d <，故2103m ≤<． 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-==-，则1212S S PQ MN +=⋅== 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞． 即12S S +的取值范围为[)12,+∞．【名师点睛】设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键．3．已知双曲线2222:1x y C a b-=，点(P 在C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点()1,0的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）2214x y -=；（2）存在；27364QM QN ⋅=；定点23,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由已知得到a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 、c ，即可求出双曲线C 的方程； （2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t ，联立方程组，用“设而不求法”表示出QM QN ⋅为常数，求出t ，即可求出定点Q ．【解析】（1）由题意，222221631a b ca abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得24a =，21b =． 所以双曲线方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t ，联立221,41x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()224230m y my -+-=． 所以240m -≠，且()2241240m m =+->△，解得23m >且24m ≠． 设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以12224m y y m +=--，12234y y m =--， 所以()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()222121212122232111144m m x x my my m y y m y y m m =++=+++=--+--2224420444m m m +=-=----． 所以()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+-+=-++---- 为常数，与m 无关， 所以8230t -=，即238t =，此时27364QM QN ⋅=． 所以在x 轴上存在定点23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为常数． 【名师点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点(3,1)P 在C 上，且1210PF PF ⋅=．（1）求C 的方程；（2）斜率为3-的直线l 与C 交于A ，B 两点，点B 关于原点的对称点为D ．若直线,PA PD的斜率存在且分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值． 【试题来源】江苏省徐州市高三二检考试（数学学科）【答案】（1）22188x y -=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由点的坐标求c ，再根据双曲线定义求a ，即可求解；（2）设直线l 方程为3y x m =-+，直接求出,PA PD 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，化简即可求解．【解析】（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，其中c =．因为1210PF PF =10=，解得216c =或0c ，又0c >，故4c =．所以2a =-=a =所以2228b c a =-=．所以C 的方程为22188x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,D x y --． 设直线l 方程为3y x m =-+，与双曲线C 方程联立， 消去y 得，228680x mx m -++=．由()22(6)3280m m ∆=--+>，得||8m >．1234m x x +=，21288m x x +=．所以()()()2212121212339398m y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++=-+．所以1212121212121211133339y y y y y y k k x x x x x x ---+--⋅=⋅=---+--()()2122128381838m x x mx x -+--==--+-． 所以12k k ⋅为定值．【名师点睛】设直线l 方程为3y x m =-+，联立直线与双曲线方程，消元，由根与系数关系可得123 4 mx x+=，21288mx x+=，计算斜率12k k⋅化简是解题关键，属于中档题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两个焦点分别为()12,0F-，()22,0F，点(P在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点()0,2Q的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若OAB的面积为，求直线l的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22122x y-=；（2）2y=+和2y=+．【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c=，所以224a b+=，代入双曲线方程，可得()222221044x yaa a-=<<-，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；（2）设直线l的方程为2y kx=+，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数关系，可得1212,x x x x+的表达式，代入弦长公式，即可求得AB，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l的距离d，代入面积公式，结合题意，即可求得k的值，即可得答案．【解析】（1）依题意，2c=，所以224a b+=，则双曲线C的方程为()222221044x yaa a-=<<-，将点P代入上式，得22252314a a-=-，解得250a=(舍去)或22a=，故所求双曲线的方程为22122x y-=．（2）依题意，可设直线l的方程为2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得()221460k x kx---=．因为直线l与双曲线C交于不同的两点,A B，所以()22210(4)2410kk k⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1kk≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩(*)设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题．6．已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ．（1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）221832y x -=；（2）8- 【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k值，即可得答案；（2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案．【解析】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，又该双曲线过点()2,3，所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c === 在12F PF △中，2222121212121212()280cos150222PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===-，解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【名师点睛】解题的关键是掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题． 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为O 到直线BD的距离是B ，D 的坐标分别为()0,b ，302,⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）2214x y -=；（2）存在，直线l 的方程为21630x y -+=． 【分析】（1）记双曲线的焦距为2c，得到c =；根据题中条件，得到直线BD 的方程，由点到直线距离公式，求出21b =，进而可求出2a ，得出双曲线方程；（2）先假设存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，设3:2l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与双曲线方程，根据判别式确定k 的范围；记MN 的中点为P ，根据根与系数关系求出P 的坐标，由BMN △为等腰三角形，得到BP MN ⊥，由斜率之积为1-，列出方程求出k ，即可得出结果． 【解析】（1）记双曲线的焦距为2c ，由题意，可得225c =，即5c =，又B ，D 的坐标分别为()0,b ，302,⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为132x yb +=-， 即213x y b -+=， 又坐标原点O 到直线BD 的距离是31313， 所以2231311233b =⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得21b =，所以2224a cb =-=，因此双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由（1）可得()0,1B ，假设存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，则直线l 的斜率显然存在，设3:2l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ， 由223214y k x x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 整理得()22221412940k x k x k ----=，因为直线l 与双曲线C 有两不同交点，所以()()2422140144414940k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-+>⎪⎩， 解得247k <且214k ≠，则2122212212149414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，所以()2121222123331414k k y y k x x k k k ⎛⎫+=++=+= ⎪--⎝⎭， 记MN 的中点为P ，则222362,1414k k P k k ⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭， 为使BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形， 只需BP MN ⊥，所以1BP MN BP k k k k ⋅=⋅=-，即222321141614k k k kk --⋅=--，整理得281520k k +-=，解得2k =-或18k =， 因为2k =-不满足247k <，应舍去，故18k =， 所以存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，此时直线l 的方程为1382y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21630x y -+=． 【名师点睛】求解圆锥曲线中存在直线满足某条件的问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程，根据判别式判断斜率的范围，结合根与系数关系以及题中条件，求出斜率，即可得解．8．设双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，A 、B 为其左､右两个顶点，P 是双曲线1C 上的任意一点，引QB PB ⊥，QA PA ⊥，AQ 与BQ 交于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为2C ，1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e，当1e ≥2e 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外）；（2）1e <≤【分析】（1）根据题意，设()()00,,,P x y Q x y ，根据椭圆的几何性质得出A 、B 的坐标，由QB PB ⊥，QA PA ⊥，由直线的斜率公式得出Q 点的坐标间的关系式，从而得出Q 点的轨迹方程；（2）由（1）得2C 的方程为224221x y a a b -=，利用椭圆的几何性质求出2221111e e =+-，最后根据1e ≥2e 的取值范围． 【解析】（1）根据题意，设()()00,,,P x y Q x y ，000(,0),(,0),,,1,1,11QB PB QA PA A a B a QB PB QA PA k k k k y y x a x a y y x a x a-⊥⊥∴⋅=-⋅=-⎧⋅=-⋯⋯⎪++⎪∴⎨⎪⋅=-⋯⋯⎪--⎩①②，由①⨯②得002222221y y x a x a ⋅=--③，00002222222221,x y y b a b x a a -=∴=-， 代入③得222221b y a x a⋅=-，即22224b y x a a =-， 即22224a xb y a -=，经检验点(,0),(,0)a a -不合题意，因此Q 点的轨迹方程为22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外）．（2）由（1）得Q 点的轨迹方程为22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外），所以2C 的方程为224221x y a a b -=，422222222222111111a a a ab e a bc a e +==+=+=+--， 12e ≥，2212e ∴≤+=，1e ∴<≤ 【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质、直线垂直的条件、不等式的运算，以及点的轨迹方程的求法，解题的关键在于求解点的轨迹方程，考查数形结合思想和数学运算的能力． 9．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（通用版）【答案】（1）221124x y -=；（2）． 【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及,,a b c 之间的关系进行求解即可；（2）直线l 与双曲线C 的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可．【解析】（1）设双曲线C 的方程为 22221x y a b-= (a >0，b >0)．由已知得，a ＝c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为221124x y -=．（2）设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋与221124x y -=联立，得(1－3k 2)x 2－kx －36＝0．由题意可得2130(1)k -≠，22()4(13)(36)0(2)k ∆=--⋅-⋅->，120(3)x x +=<，122360(4)13x x k -=>-，解不等式(1)(2)(3)(4)，得3<k <1．所以当3<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点．所以k 的取值范围为 10．已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点．（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；（2）由点到直线的距离求出||||PQ PR ，，求积后由双曲线方程化简即可．【解析】（1）双曲线渐近线方程为3y x =±，又1b =，所以23a =， 双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22222000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为22000000|||||3|||||224x x x y PQ PR +-⋅=⋅=又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值．【名师点睛】00(,)P x y ，利用点到直线的距离求出2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==后，根据点00(,)P x y 在双曲线上，化简求值是解题关键．11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F ，且过点 （1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线两条渐近线分别为1l ，2l 已知直线:2l y x m =+交1l ，2l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求AOB 的面积【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22122x y -=；（2）2．【分析】（1）设方程为22(0)x y λλ-=≠，将点代入方程即可求解． （2）求出直线2y x m =+与x 的交点(,0)2mD -， 再求出,A B y y ，由 12ACBA B SOD y y =⋅⋅-即可求解．【解析】（1，故该双曲线为等轴双曲线，设方程为22(0)x y λλ-=≠，代入点，得422λ-==，故双曲线的方程为22122x y -=（2）在直线方程2y x m =+中，令0y =，得(,0)2mD -， 故12ACBA B SOD y y =⋅⋅-，联立2222x y y x m ⎧-=⎨=+⎩， 得223420x mx m +++=，由题意得2221612(2)4240m m m ∆=-+=-=，故26m =，联立2y x y x m =⎧⎨=+⎩，得A y m =-；联立2y x y x m=-⎧⎨=+⎩，得3B my =，因此211222233AOBA B m m m SOD y y m =⋅⋅-=⋅-⋅--== 12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆．（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=．【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解． 【解析】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--，由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--，即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=．所以M 的轨迹方程为224x y +=．13．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离等于a ．（1）求双曲线C 的离心率； （2）若c =(2,1)P -的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，试求直线l 的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1；（2）23y x =--．【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===，结合条件a b =，即可得解； （2）利用点差法，设点1122(,),(,)A x y B x y ，带入作差可得2k =-，利用点斜式即可得解． 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线为0bx ay -=， 焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===， 根据题意得a b =，所以离心率c e a === （2）由（1）知ce a==c =1a b ==， 所以双曲线方程为221x y -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，带入双曲线方程可得2211222211x y x y ⎧-=⎨-=⎩，作差可得222212120x x y y --+=（*）， 由P 为线段AB 的中点，可得12124,2x x y y +=-+=， 带入（*）可得12124()2()0x x y y ----=，所以12122y y k x x -==--， 所以直线l 的方程为23y x =--， 带入221x y -=可得2312100x x ++=，144120240∆=-=>，有两个交点，满足题意，故直线l 的方程为23y x =--．14．已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点()2,0F，一个顶点为)A ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:=+l y kx C 的左右两支各有一个交点，求k 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）2213x y -=；（2）(．【分析】（1）由题可得2,c a ==b 即得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和根与系数关系即可求出． 【解析】（1）双曲线C 的一个焦点()2,0F，一个顶点为)A，∴双曲线的焦点在x轴上，且2,c a ==2221b c a ∴=-=，∴双曲线C 的方程为2213xy -=；（2）联立直线与双曲线方程2213x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得()221390k x ---=，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，()22272361309013k k k ⎧∆=+->⎪∴⎨-<⎪-⎩，解得k ⎛∈ ⎝⎭．15．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x ． 【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程． 【解析】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩， 所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， 所以324AB k ⋅=，得8AB k =， 所以直线AB 方程为810yx ，满足0∆>，符合题意 ．【名师点睛】（1）由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c ．（2）()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程．。
圆锥曲线-双曲线
圆锥曲线-双曲线一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 23.双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()1x a x a <>≤-≥范围：，或<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。
<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x1 22121x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2. 220ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 22sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线4.曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。
圆锥曲线---双曲线
圆锥曲线---双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==.16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b -=+;(2) L =. 17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-. 19．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot 2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± .21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e=+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =. 32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce a αγβ==±-. 35．经过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||PA P A b ⋅=.36．已知双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b -=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc eα≤（当且仅当1||PF =时取等号）.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）. 56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠= ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=. 60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a+≥==61．到双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c a b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c a b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c a b -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()bx a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P 作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM AM b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆锥曲线之----双曲线专题(附答案)
圆锥曲线之----双曲线专题1. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. 43B. 2√33C. 76D. √426【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a 2与c 2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．利用双曲线的定义与余弦定理可得到a 2与c 2的关系，从而可求得该双曲线的离心率． 【解答】解：设该双曲线的离心率为e ，依题意，||PF 1|−|PF 2||=2a ， ∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，不妨设|PF 1|2+|PF 2|2=x ，|PF 1|⋅|PF 2|=y ， 上式为：x −2y =4a 2，① ∵∠F 1PF 2=60°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|⋅cos60°=4c 2，② 即x −y =4c 2，②又|OP|=3b ，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36b2， 即|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|⋅|PF 2|=36b 2，即x +y =36b 2，③由②+③得：2x =4c 2+36b 2， ①+③×2得：3x =4a 2+72b 2， 于是有12c 2+108b 2=8a 2+144b 2， ∴c 2a =76， ∴e =ca =√426． 故选D ．2. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( )A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ， ∴e =√1+(ba )2=√5， 故选：C3. 已知F 1，F 2分别是双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,√2) D. (√2,+∞) 【答案】A【解析】解：如图1，不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =ab x 平行的直线为y =ab x +c ， 联立{y =a b x +cy =−a b x 解得{x =−bc2a y =c 2即M(−bc 2a ,c2) 因M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2内， 故(−bc 2a )2+(c2)2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线离心率e =ca >1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选：A ．不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =a b x 平行的直线为y =ab x +c ，联立直线组成方程组，求出M 坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．4. 若双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(3,0)，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为P(−3,−6)，则E 的方程为( )A. x 25−y 24=1B. x 24−y 25=1C. x 26−y 23=1D. x 23−y 26=1【答案】D【解析】解：由题意可得直线l 的斜率为k =k PF =0+63+3=1， 可得直线l 的方程为y =x −3， 代入双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1可得(b 2−a 2)x 2+6a 2x −9a 2−a 2b 2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2，由AB的中点为P，可得6a2a2−b2=−6，即有b2=2a2，又a2+b2=c2=9，解得a=√3，b=√6，则双曲线的方程为x23−y26=1．故选：D．求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √2D. √5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c=√a2+b2=√3a，进而得到离心率．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|=2a，|F1N|=√c2−a2=b，即有|F1A|=2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2√2a，即有|MF1|=2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF2|=2b+2a−2√2a=2a，可得b=√2a，∴c=√a2+b2=√3a，∴e=ca=√3．故选：A ．6. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,√2) B. (√2,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】D【解析】【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 【解答】解：联立{x 2a 2−y 2b2=1y =b a(x −c)，解得{x =c 2y =−bc 2a，∴M(c 2,−bc2a )，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c 2,bc 2a)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )， 由题意可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即b 2c 24a 2−3c24>0，化简可得b 2>3a 2，即c 2−a 2>3a 2， 故可得c 2>4a 2，c >2a ，可得e =ca >2 故选D ．7. 设双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6【答案】B【解析】解：若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2，即e=ca=√3．故选：B．由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|=|NF2|=m，则|MN|=√2m，运用双曲线的定义，求得|MN|=4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其离心率为()A. √3B. 2C. √3+1D. 2√3【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c−a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S△AF1F2=12|AF2|⋅|F1F2|=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=|AF2|+|F1F2|−|AF1|2=2c−2a2=c−a=(√3−1)a，从而可以得出c=√3a，则离心率e=ca=√3，故选A．9.已知O为坐标原点，双曲线x2−y2b2=1(b>0)上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为()A. √17B. √15C. √5D. √3【答案】C【解析】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，则l的方程为：bx+y−bm−n=0，l与渐近线bx−y=0交点为A，则A(bm+n2b ,bm+n2)，|OA|=|bm+n2b|√1+b2，P点到OA的距离是：d=√b2+1，∵|OA|⋅d=1，∴|bm+n2b |√1+b2⋅bm−n√b2+1=1，∴b=2，∴c=√5，∴e=√5故选：C．求得双曲线的渐近线方程，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±12x C. y=±√32x D. y=±√52x【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c⋅sin30°=c，MF1=2c⋅cos30°=√3c，由双曲线的定义可得BF1−BF2═2a，AF2−AF1=2a，即有AB=BF1−AF1=BF2+2a−(AF2−2a)=4a，即有MA=2a，AF2=√MA2+MF22=√4a2+c2，AF1=MF1−MA=√3c−2a，由AF2−AF1=2a，可得√4a2+c2−(√3c−2a)=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=√2a，b=√c2−a2=a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB= 4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．11. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. 2√33D. √3【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线l 的斜率为−ab ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立{y =−a b (x −c)x 2a2−y 2b 2=1，得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0． ∴y =ab 3±a 2b 2(b 2−a 2)c．由题意，方程得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0的两根异号， 则a >b ，此时y A =ab 3+a 2b 2(b 2−a 2)c<0，y B =ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c>0．则ab 3+a 2b 2(a 2−b 2)c =3ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c，即a =2b ．∴a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，∴4c 2=5a 2，即e =ca=√52． 故选：B ．不妨设直线l 的斜率为−a b ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±xD. y =±2x 【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．13. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√5【答案】D【解析】解：设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =ba x ， 由x =a 代入渐近线方程可得y =b ， 则A(a,b)，可得AF 的中点为(a+c 2,12b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a 2−14=1，可得4a 2−2ac −c 2=0， 由e =ca ，可得e 2+2e −4=0，解得e =√5−1(−1−√5舍去)， 故选：D ．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2+y 2=a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. y =±x B. y =±2xC. y =±12xD. y =±√32x 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和渐近线方程，属于中档题． 由已知可得|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′，由P 为线段FQ 的中点，知|QF′|=2a ，|QF|=2b ，由双曲线的定义知：2b −2a =2a ，由此能求出双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，∴|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得，P 为线段FQ 的中点， ∴|QF′|=2|OP |=2a,|QF |=2|PF |=2b,，由双曲线的定义知：|QF |−|QF′|=2b −2a =2a ， ∴b =2a ． ∴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x =±2x ， 故选B ．15. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点.过点F 向C 的一条渐近线引垂线.垂足为A.交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|，则C 的离心率是( )A. √62B. 2√33C. √2D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线性质的常用方程，考查数形结合思想，属于中档题．方法一：由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求得|AF|，分别求得|OB|，|根据勾股定理|OB|2=|OA|2+|AB|2，求得a 和b的关系，即可求得双曲线的离心率； 方法二：利用余弦定理求得：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB =2c 2+2bc ，即可求得求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的离心率；方法三：根据三角形的面积相等及渐近线方程求得A 点坐标，利用直角三角形的性质，即可求得a和b的关系，即可求得双曲线的离心率；方法四：求得双曲线的渐近线及AB的方程，联立即可求得A和B点坐标，根据等腰三角形的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：方法一：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，|AB|=b+c，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，|OB|2=OA|2+|AB|2=a2+ (b+c)2．∴4a2=a2+(b+c)2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33，故选B．方法二：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a由∠OFB=π−∠OFA，cos∠OFB=cos(π−∠OFA)=−cos∠OFA=−bc，由余弦定理可知：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB=2c2+2bc，∴2c2+2bc=4a2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33故选B．方法三：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，根据三角形的面积相等，则A(a2c ,abc)，∴在Rt△OAB中，2a=2×2×abc ，即c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca=2√33故选B．方法四：双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，直线AB的方程为：y=−ab(x−2)，{y=baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2cy=abc，则A(a2c,abc)，{y=−baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2ca2−b2y=−abca2−b2，则B(a2ca2−b2,abca2−b2)，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，则2×abc =abca2−b2，整理得：a2=3b2，∴e=c a=√1+b 2a =2√33， 故选：B ．16. 已知双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|⋅|PB|的值为( )A. 45B. 35C. 43D. 34【答案】A【解析】解：双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，可得e 2=c 2a 2=(m+1)2+m 2(m+1)2=54， 解得m =1，即双曲线的方程为x 24−y 2=1，渐近线方程为x ±2y =0， 设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4， 由题意可得|PA|⋅|PB|=√1+4⋅√1+4=|s 2−4t 2|5=45．故选：A ．运用离心率公式，解方程可得m =1，求得渐近线方程，设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．17. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √173B. √176C. √105D. √102【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=23a ，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率． 【解答】解：由若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得E 为PF 的中点， 令右焦点为F′，O 为FF′的中点， 则|PF′|=2|OE|=23a ，由E 为切点，可得OE ⊥PF ， 即有PF′⊥PF ，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， 即|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即649a 2+49a 2=4c 2，即c =√173a ，则离心率e =c a =√173．故选A ．18. 已知双曲线M ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2c.若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A. (1,2+√73) B. (1,2+√73] C. (1,2) D. (1,2]【答案】A【解析】解：由a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1， 可得3c ⋅PF 2=a ⋅PF 1，且PF 1−PF 2=2a联立可得PF 2=2a 23c−a >0，即得3c −a >0，即e =ca >13，…①又PF 2>c −a(由P 在双曲线右支上运动且异于顶点)， ∴PF 2=2a 23c−a >c −a ，化简可得3c 2−4ac −a 2<0， 即3e 2−4e −1<0，得2−√73<e <2+√73…②又e >1，③由①②③可得，e 的范围是(1,2+√73).故选：A ．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的不等式，结合PF 2>c −a ，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．19. 设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，则|F 1F 2|=2√5．即{|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20||PF 1|−|PF 2|=4， 得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选A ．先由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，得出|F 1F 2|=2√5.再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．20. 已知双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，过F 1且倾斜角为锐角的直线1与圆x 2+y 2=a 2相切，与双曲线的上支交于点M.若线段MF 1的垂直平分线过点F 2，则该双曲线的渐近线的方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±53xD. y =±35x【答案】B【解析】解：设MF 1与圆相切于点E ，因为|MF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△MF 1F 2为等腰三角形， N 为MF 1的中点， 所以|F 1E|=14|MF 1|，又因为在直角△F 1EO 中，|F 1E|2=|F 1O|2−a 2=c 2−a 2， 所以|F 1E|=b =14|MF 1|①又|MF 1|=|MF 2|+2a =2c +2a ②， c 2=a 2+b 2 ③ 由①②③可得c 2−a 2=(c+a 2)2， 即为4(c −a)=c +a ，即3c =5a ， b =√c 2−a 2=√259a 2−a 2=43a ， 则双曲线的渐近线方程为y =±ab x ， 即为y =±34x.故选：B ．先设MF 1与圆相切于点E ，利用|MF 2|=|F 1F 2|，及直线MF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. √62C. 2√105D. √2【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键．设渐近线方程为y =b a x ，则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，由中点公式求得中点B 的坐标，再把点B 的坐标代入双曲线求得离心率． 【解答】解：由题意设渐近线方程为y =ba x ， 则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)， 代入渐近线方程y =b a x 可得A 的坐标为(a 2c ,abc)，B 是线段AF 2的中点(c+a 2c2,ab2c )，根据中点B 在双曲线C 上， ∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故选：D ．22. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|=2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2=( )A. 1+√172B. 1+√174C. 2+√52D. 2+√54【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ， 可得M(c,bca )， 即有2a =bc a ，即bc =2a 2，即b 2c 2=4a 4，即(c 2−a 2)c 2−4a 4=0，由e=c可得e4−e2−4=0，a(负的舍去)，解得e2=1+√172故选：A．设出F的坐标和一条渐近线方程，求得M的坐标和|FM|，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
圆锥曲线双曲线的定义和方程
圆锥曲线之双曲线双曲线的定义和性质一：知识要点知能点1：双曲线的定义平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
特别提醒：1、在此定义中“常数要大于0且小于12F F ”这一限制条件非常重要，不可去掉。
2、如果定义中的常数改为等于12F F ，此时动点的轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线（含端点）。
3、如果定义中的常数为零，此时动点的轨迹为线段12F F 的垂直平分线。
4、如果定义中的常数改为大于12F F ，此时动点的轨迹不存在。
5、若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支。
6、设(),M x y 为双曲线上的任意一点，若M 点在双曲线右支上，则()1220MF MF a a -=>；若M 点在双曲线左支上，则()1220MF MF a a -=->。
知能点2：双曲线的标准方程（1）()222210,0x y a b a b-=>>，焦点在x 轴上，焦点为(),0F c ±，焦距122F F c =； （2）()222210,0y x a b a b-=>>，焦点在y 轴上，焦点为()0,F c ±，焦距122F F c = 特别提醒：1、上述方程中，222c a b =+2、标准方程中，若2x 项的系数为正⇔双曲线的焦点在x 轴上；若2y 项的系数为正⇔双曲线的焦点在y 轴上。
知能点3：双曲线的一般方程我们把()2210Ax By A B +=<称为双曲线的一般方程。
二：经典例题例1.一动圆与圆C 1：()1122=-+y x 和圆C 2：()4122=++y x 都外切；则动圆的轨迹为例2． 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1） 过点P （4,0），Q （0，5）焦点在坐标轴上；（2）c=6，经过点（-5，2），焦点在x 轴上；例3．求与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程.三：当堂练习A 级试题1．已知点12(4,0),(4,0)F F -，曲线上的动点P 到F 1的距离与到点F 2的距离之差为6，则曲线方程为（ ） Ａ．221(0)97x y x -=>； Ｂ．22197x y -= Ｃ．221(0)97y x y -=> Ｄ．22197y x -= 2．在双曲线的标准方程中，6,8a b ==，则其方程为 。
圆锥曲线（双曲线）
圆锥曲线（双曲线）圆锥曲线（双曲线）一．双曲线的定义（第一定义）平面内与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于定长2a注意：⑴当2a＜|21FF|时动点P的轨迹表双曲线的轨迹表双曲线若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
⑵当2a=|21FF|时动点P的轨迹表以F1、F2为端点的两条射线为端点的两条射线⑶当2a＞|21FF|时点P不存在不存在二．双曲线的标准方程及几何性质222bac+=标准方程标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>图像图像焦点坐标焦点坐标 )0,(),0,(21cFcF-)0,(),0,(21cFcF-顶点坐标顶点坐标 )0,(),0,(21aAaA-),0(),,0(21aBaB-取值范围取值范围|x|≥a，RyÎ|y|≥a，RxÎ对称轴对称轴 x轴，y轴实轴为a2、虚轴为b2准线方程准线方程cax2±=cay2±=渐近线渐近线xaby±=xaby±=离心率离心率 )1(>=eace（离心率越大，开口越大）（离心率越大，开口越大）通径通径ab22三、双曲线常规题型1．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：⑴经过两点（⑴经过两点（227,3,3））、（-7-7，，-62） ⑵双曲线经过点（⑵双曲线经过点（3,93,92），离心率为310⑶双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(⑷与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2） ⑸过点P （2，－1），渐近线方程是y ＝±3x. 2．双曲线221102x y -=的焦距为（的焦距为（） A ．32B ．42C ．33D ．433．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为的轨迹方程为（（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+= C ．221(3)169x y y -+=≥ D ．221(3)169x y y -+=-≤4．到两定点(3,0))0,3(21F F 、-的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（的轨迹是（ ） A ．椭圆．椭圆 B ．线段．线段 C ．双曲线．双曲线 D ．两条射线．两条射线5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为的值为( ( )A ．－14B B．－．－．－4C 4 C 4 C．．4 D.146．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为的值为 ．7．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（的渐近线方程是（ ） A ．x y32±=B ．x y94±=C ．x y23±= D ．x y 49±=8．已知双曲线的方程为1222=-2b y a x，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点2F ，m AB =||，1F 为另一焦点，则1ABF D 的周长为（的周长为（ ） A ． m a 22+ B ． m a 24+ C ．m a + D ． m a 42+9．已知双曲线4422=-y x上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（一焦点的距离等于（ ） A ．10 B ．10或2 C ．526+D ．526±10．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．1-＜k ＜1 B ．k ＞0 C ．k ≥0 D ．k ＞1或k ＜1-11．双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（的焦距是（ ） A ．4 B ．22C ．8 D ．与m 有关有关12．过双曲线191622=-y x 左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABFD （F 2为右焦点）为右焦点） 的周长是（的周长是（ ）A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 13．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．与曲线1492422=+yx 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（共渐近线的双曲线方程为（）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x16．方程151022=-+-ky k x 表示双曲线，则Îk （ ） A ．（5，10） B ．（5,¥-） C ．（10，¥+） D ．),10()5,(+¥È-¥17．双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6，则这样的点P 的个数为（的个数为（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 1818．双曲线．双曲线)0,1(,x 122222222¹¹=-=-l l l by a b y a x 与双曲线有相同的（有相同的（ ）） A ．焦点．焦点 B ．准线．准线C ．离心率．离心率D ．渐近线．渐近线19．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件．充分不必要条件C ．充要条件．充要条件D ．非充分非必要条件．非充分非必要条件20．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（都外切，则动圆心的轨迹为（ ）A ．抛物线．抛物线B ．圆．圆C ．双曲线的一支 D ．椭圆．椭圆21．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则24t <<；②若曲线C 为双曲线，则4t >或2t <； ③曲线C 不可能为圆；不可能为圆； ④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。
高二数学——选修21圆锥曲线课件双曲线的性质1
实轴 A1A2 虚轴 B1B2
e= c
a
y=±
b a
x
Y B2
0
A2 F2 X
B1
➢ 双曲线图像(2)
标准方程
范围
对称性
顶点
焦点
A1
对称轴
离心率 渐近线
Y F2 B2
y2 x2 1 a2 b2
O
A2 X
B1
F1
➢双曲线图像与性质(2)
标准方程 范围
y2 a2
x2 b2
1
y≥a 或y≤-a
对称性
直线方程： y=
b a
x
F1 A1
0
设M（x,y) 是c上一点,
B1
Q .N.. M
A2 F2 X
N (x,Y)是直线 y=
b a
x
上一点。
b a
=√ e2- 1
Y
▪ e越小（接近1）
B2
b a
越接近0
F1 A1
0
双曲线开口越小（褊狭）
B1
▪
e越大
b 越大
a
双曲线开口越大（开阔）
A2 F2 X
双曲线的简单几何性质
双曲线的定义
点p到两定点
Y
F1 F2的距离之差
p
的绝对值为常数 （小于F1 F2的距离）
F1
0
F2 X
点p 的轨迹
双曲线的简单几何性质
➢双曲线图像(1)
标准方程 范围 对称性 顶点 焦点
对称轴 离心率 渐近线
F1 A1
Y
x2 a2
y2 b2
1
B2
0
B1
A2 F2 X
圆锥曲线：第三讲 双曲线(1)
第三讲双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(习惯上称为第一定义)．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线．离心率e＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质【答案】1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)虚轴2．(2)x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝ca (e ＞1)(11)y ＝±ba x【基础自测】1 设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解：由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±3a x ，又a ＞0，可知a ＝2.故选C.2 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3 已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A. x 220－y 25＝1B. x 25－y 220＝1C. x 280－y 220＝1D. x 220－y 280＝1 解：根据已知可得半焦距c ＝5，∵点P (2，1)在双曲线的一条渐近线方程y ＝ba x 上，∴a ＝2b .根据c 2＝a 2＋b 2，有25＝4b 2＋b 2，得b 2＝5，a 2＝20，所求C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A .4 双曲线x 216－y 29＝1的离心率为__________．解：依题意知a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，c ＝5.∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.故填54.5 已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________．解：∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)＞0，解得λ＜－2或λ＞－1.故填λ＜－2或λ＞－1.【典例】类型一 双曲线的定义及标准方程例一 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)；(2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上， ∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)，(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8. ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．变式 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)对称轴为坐标轴，经过点P (3，27)，Q (－62，7)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，∵所求双曲线经过P (3，27)，Q (－62，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋28B ＝1，72A ＋49B ＝1，解得A ＝－175，B ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.(2)解法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，易求c ＝25，∵双曲线过点(32，2)， ∴（32）2a 2－4b 2＝1，得a 2＝18b 2b 2＋4.类型二 双曲线的离心率例二 (1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b2＝34c ，得3c 4＝16a 2b 2＝16a 2(c 2－a 2)，即3c 4－16c 2a 2＋16a 4＝0，有3e 4－16e 2＋16＝0，解之得e 2＝4或e 2＝43.∵b ＞a ＞0，∴b 2＞a 2，即c 2－a 2＞a 2，e 2＞2. ∴e 2＝4，e ＝2.故填2.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF→＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比(参看本节课时作业附加题)．变式 (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为_________．(2)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，P 为双曲线上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．解：∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴P 点在双曲线的右支上． 又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴6a ≥2c ，即ca ≤3.∵e ＞1，∴1＜e ≤3.故填(1，3]． 类型三 双曲线的渐近线例三 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ． y ＝±x解：根据双曲线的性质可知e ＝c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，联立可得b 2＝a 24，即b a ＝12，故C 的渐近线方程为y ＝±12x .故选C. 【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．|OA |·12＝28.【名师点睛】1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解． 2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大． 6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．8．双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)双曲线上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，则①x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在右支上，则r 1＝ex 0＋a ，r 2＝ex 0－a ；若点P 在左支上，则r 1＝-ex 0－a ，r 2＝－ex 0＋a .②y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在上支上，则r 1＝ey 0＋a ，r 2＝ey 0－a ；若点P 在下支上，则r 1＝-ey 0－a ，r 2＝－ey 0＋a . 【针对训练】1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( )A. 5B.32C.52D. 32．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455解：双曲线x 24－y 2＝1的顶点坐标为(±2，0)，渐近线方程为x ±2y ＝0，由点到直线的距离公式知d ＝||±212＋（±2）2＝255.故选C.3．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1 解：由题意知c ＝3，e ＝c a ＝3a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5.∴C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D ．2解：渐近线方程为y ＝±ba x ，一个焦点的坐标为(c ，0)，由点到直线的距离公式得d ＝bc a 1＋b 2a2＝b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a 2＝5a ，∴离心率e ＝ca＝ 5.故选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 解：圆C 的方程可化为(x －3)2＋y 2＝4，则圆心C (3，0)，半径r ＝2，∴c ＝3. 又双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，∵两条渐近线均和圆C 相切，∴3ba 2＋b 2＝2， 即3b ＝2c ＝6，b ＝2，a 2＝c 2－b 2＝5. ∴所求双曲线方程为x 25－y 24＝1.故选A.6．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，3)C ．(2－1，2＋1)D ．(1，1＋2)解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，x 2a 2－y 2b2＝1 得A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，∴|AF 1|＝b 2a .易知|F 1F 2|＝2c .7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为____________．解：在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，离心率e ＝ca ＝a 2+b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .故填y ＝±2x .8．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为____________．解：由题意知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5，0)为双曲线C 的右焦点．又∵||PF －||P A ＝2a ＝6，||QF －||QA ＝2a ＝6，||PQ ＝4b ＝16，∴△PQF 的周长l ＝||PF ＋||QF ＋||PQ ＝(||P A ＋6)＋(||QA ＋6)＋||PQ ＝2||PQ ＋12＝32＋12＝44.故填44.9．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1，3)，求C 的离心率．解：易求得直线l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a 2.由M (1，3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，∴12×4a 2b 2－a 2＝1，有b 2＝3a 2. ∴c ＝a 2＋b 2＝2a . ∴C 的离心率e ＝ca＝2.10．已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程．即x 1＝2x ，y 1＝2yx ，③则x ≠0，|x |＜ 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为 x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1.(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若||MF ＝22，求M 点的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则||MF 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222.由M 是双曲线C 右支上一点，知x ≥22， ∴||MF ＝3x ＋22＝22，得x ＝62，此时y ＝±2. ∴M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2. (2)易知左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程为y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12，所求平行四边形的面积S ＝||OA ||y ＝24. 12 设A 是双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 为右焦点，连结AF 交双曲线的右支于B 点，作直线BC 垂直定直线l ：x ＝165，垂足为C ，求证：直线AC 恒过定点．易知直线AC 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－165，故直线AC 的方程为y －y 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －165，⎣⎦y 12又y 2y 1－y 2⎝⎛⎭⎫x 1－165＝y 2y 1－y 2⎝⎛⎭⎫my 1＋95 ＝1y 1－y 2(81m 9m 2－16＋95y 2) ＝1y 1－y 2⎣⎡⎦⎤－910（y 1＋y 2）＋95y 2＝－910. 因此，直线AC 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －4110，故直线AC 恒过定点⎝⎛⎭⎫4110，0. 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知F (5，0)，C ⎝⎛⎭⎫165，y 2.如图，过点A 作AD 垂直于l ，D 为垂足．过点F 作直线PQ ⊥x 轴，交AD ，BC 于P ，Q ， 易知△APF ∽△BQF ，则|AF ||BF |＝|AP ||BQ |，易知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x 2－5， ∴y 2y 1－y 2＝x 2－5x 1－x 2.② 直线AC 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－165， 故直线AC 的方程为y －y 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －165，⎣⎦y 12将①②代入，经计算，y 2y 1－y 2⎝⎛⎭⎫x 1－165＝x 2－5x 1－x 2·⎝⎛⎭⎫x 1－165＝－910. 因此，直线AC 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －4110， 故直线AC 恒过定点⎝⎛⎭⎫4110，0(验证可知当直线AB 的斜率不存在时也满足)．。
圆锥曲线的平面几何性质-双曲线
③2OA ON OM =⋅，即OA 是OM 、ON 的等比中项.二、双曲线1.双曲线的定义式如图，P 是双曲线上一点，1F 、2F 是焦点，AB 是实轴，则12PF PF AB -=，即双曲线定义.2.双曲线的直径与共轭直径如图，双曲线的平行弦CD 、EF 、GH 的中点M 、N 、P 在同一条直线l 上，当l 与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的交点为A 、B 时，这条线段AB 叫做抛物线的直径.双曲线的直径有若干条，它们都过双曲线的中心O .设平行弦斜率为k ，则直径方程为220b x a ky -=，其中双曲线为22221(,0)x y a b a b-=>.平行于直径AB 的弦11C D 、11E F 、11G H 的中点1M 、1N 、1P 也在同一条直线1l 上，当1l 与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的共轭双曲线22221(,0)x y a b a b-=->的交点为1A 、1B 时，线段11A B 叫做直径AB 的共轭直径.397（1）双曲线直径与共轭直径的关系：直径与共轭直径的斜率之积为定值，即1122AB A B b k k a=，其中双曲线方程为22221(,0)x y a b a b-=>.（2）双曲线的任意一条直径平分平行于其共轭直径的弦.（3）如图，设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>两共轭直径的长2AB m =、2CD n =，O 是双曲线的中心，两共轭直径与长轴的夹角（锐角）为2DOF α∠=、2BOF β∠=，且βα<，则sin()abmnαβ-=且2222m n a b -=-（定值）.（4）双曲线上任意一点P 的焦半径之积等于其对应的半共轭直径的平方.（5）如图，AB 、CD 是共轭直径，作EFGH 使其四边过共轭直径端点且与共轭直径平行，则4EFGH S ab = .3.双曲线中的弧与弓形如图A 是双曲线上的右顶点，右支上有点(,)M x y -和(,)N x y ，则398弧AN 的长度为2201x Archal ae ch tdt =+⎰；弓形MAN 的面积为ln()x y S xy ab a b=-+弓形MAN .4.双曲线的切线（1）如图，O 是双曲线的中心，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，P 是线段AB 上一点，若AM APBM BP =，则PC 、PD 是双曲线的切线.反之，若PC 、PD 是双曲线的切线，则AM APBM BP=.（2）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若BK CD ，则BK 是双曲线的切线.反之，若BK 是双曲线的切线，则BK CD .（3）如图，直线AB 切双曲线于点T ，交双曲线的渐近线于A 、B ，则TA TB =.且双曲线上动点的切线与渐近线形成的三角形的面积为定值OAB S ab ∆=.399更进一步，如图，直线交双曲线及其渐近线，则有AC BD =、EG FH =；以及OAC OBD S S ∆∆=、OEG OFH S S ∆∆=.（4）如图，O A 、OB 是渐近线，AB 、CD 是切线，则AD BC ，且OA OB OC OD⋅=⋅即OA OB ⋅为定值；（5）如图，两共轭双曲线中，TM 、TN 是切线，AB TM GH 、CD TN EF ，AB 、CD 交于P ，EF 、GH 交于双曲线的中心O ，则22TM OG OH TN OE OF ⋅=⋅；PA PB OG OHPC PD OE OF⋅⋅=⋅⋅.400（6）如图，AB 、AC 是焦点弦，则A 、B 处切线的交点I 在准线GH 上，即1AF B ∆的内心I 在准线上；A 、C 处切线的交点a I 在准线EF 上，即2AF C ∆的外心a I 在准线上.（7）如图，CE 、CF 是双曲线的定切线，动切线AB 交CE 、CF 于A 、B ，则2AF B ∠为定值.（8）如图，A B 是双曲线的实轴，CD 切双曲线于T ，且AC AB ⊥、BD AB ⊥，则①以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F .②反之，以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F ，则AC AB ⊥、BD AB ⊥.③若2CF 、1DF 交于H ，则以CH 为直径的圆过1F 、T ，以DH 为直径的圆过2F 、T .④若1F M 、2F N 垂直于切线CD ，则以AB 为直径的圆过M 、N .⑤1FT ON 、2F T OM .401⑥若11CF DF ⊥（110CF DF ⋅= ），则CD 是双曲线的切线或渐近线.另外，110CF DF ⋅<则CD 与双曲线相离；110CF DF ⋅>则CD 与双曲线相交.5.双曲线的特征三角形如图，双曲线方程为22221(,0)x y a b a b -=>，M 是准线2a x c =与渐近线by x a=的交点，A 是实轴右端点，B 是虚轴上端点，1F 、2F 是左右焦点，则（1）特征三角形2Rt AOB Rt OAN Rt OMF ∆≅∆≅∆；渐近线by x a=、直线x a =、直线y b =、圆222x y c +=四线共点N .（2）过焦点向渐近线作垂线，则垂足在准线上；反之，过准线与渐近线的交点作这条渐近线的垂线，则垂线过焦点；焦点到渐近线的距离2MF AN OB b ===.（3）以实轴、虚轴分别为长、宽的矩形DEHN 与以双曲线的中心为圆心、半焦距长为半径的圆相内接.（4）以双曲线的中心为圆心，实半轴长为半径的圆过准线与渐近线的交点，即OM OA a ==.（5）本图提供了双曲线草图的准确画法。
第二章 圆锥曲线与方程 第二讲双曲线
第二章 圆锥曲线与方程第二讲 双曲线[知识梳理]［知识盘点］1．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（ |,|21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为 。
这两个定点叫双曲线的 ，两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。
2．双曲线的第二定义：平面内，到定点)0,(c F (或(0,)F c )的距离与到定直线:l 的距离之比是常数ac（即 ）的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的 ，这条定直线叫做双曲线的 ，其中常数ac叫做双曲线的 。
二．双曲线的标准方程3．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为 ，其中焦点坐标为)0,(1c F ，)0,(1c F -，且2c = ；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为 ，其中焦点坐标为),0(1c F ，),0(1c F -，且2c = .当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式。
三．双曲线的几何性质方程 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图 形范围 x a ≤-或,x a y R ≥∈对称性关于x 轴，y 轴及原点对称关于x 轴，y 轴及原点对称顶点 12(,0),(,0)B b B b -离心率(1)ce e a=> 准线 2a x c=±渐近线a y x b=±［特别提醒］本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在复习中注意以下几点： 1.双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c .易见c 2=a 2+b 2，若记∠AOB =θ，则e =a c =θcos 1.2.双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||=2a ，其中2a ＜|F 1F 2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.3.参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程.4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P 到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是a x±by =0，则可把双曲线方程表示为22a x －22by =λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程.[基础闯关]1．设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )(A)1或5 (B)6 (C)7 (D)9 2．（2005年北京春）“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件3．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )(A)22y －42x =1 (B)42x －22y =1 (C)42y －22x =1 (D)22x －42y =14．（2006年陕西卷）已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 （ ）（A ）3 （B ）3（C （D ）2 5．已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.6．给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在题中的横线上.______________________________________________________.[典例精析]例1．设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
圆锥曲线四(双曲线)
【高考理科数学专题复习系列之____】圆锥曲线 （四）双曲线一． 要点梳理1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
F 1（-)0,c ，F 2（F （),0c -，F （,c o3、直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。
唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
4、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。
此即为共轭之意。
1）性质：共用一对渐近线。
双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为1-。
5、渐近线：①若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx 6、准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅7、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ9、与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x二、例题讲解例1：根据下列条件，求双曲线方程：(1) 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-； (2) 与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。