第五章因子分析和主成分分析

m
(ˆ
* i
)
2
1
ai2k
（i = 1，…，p），
k 1
则A和D为因子模型的一个解，这个解称为主因子解。
在实际中特殊因子方差(或变量共同度)是未知的。
以上得到的解是近似解。为了得到近似程度更好的 解，常常采用迭代主因子法。即利用上面得到的
D*
=
diag(ˆ12
,...,ˆ
2 p
)
作为特殊因子方差的初始估计，重复上述步骤，直
个公共因子的相关程度。在这种意义上公共因子解
释了观测变量间的相关性。
(2) 变量共同度的统计意义
m
因子载荷矩阵第i行的元素平方和： hi2 ai2j
j 1
称为变量Xi的共同度（i = 1，2，…，p）。
对Xi = ai1F1 +…+ aimFm + εi两边求方差：
m
m
Var( X i ) Var( ait Ft i )
2. 因子分析模型中的几个统计特征
(1) 因子载荷aij的统计意义 由Xi = ai1F1 +…+ aimFm + εi，两边同乘以Fj E(XiFj)=ai1E(F1Fj)+…+aijE(FjFj)+…+aimE(FmFj)+E(εiFj)
从而有
ρij = E(XiFj) = aij
即载荷矩阵中第i行，第j列的元素aij是第i个变量与 第j个公共因子的相关系数，反映了第i个变量与第j
m um )
1 u1 ' 2 u2 '
m um '
2 1
2 2
2 p
AA' D
其中 A ( 1 u1, 2 u2 ,..., m um ) (aij ) 为pm阵， m
2 i
sii
ai2k ，即得因子模型的一个解。载荷阵A中
k 1
的第j列和X的第j个主成分的系数相差一个倍数（j =
p
q
2 j
ai2j
i 1
称为公共因子Fj对X的贡献，是衡量Fj相对重要性的 指标，qj2越大表明Fj对X的贡献越大。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 金融时间序列中因子的类型 收益率时间序列
宏观经济因子：GDP , 通胀，失业率，收益率曲线的 陡峭度等（或者这些变量的意外冲击----扰动项） 基本面因子：财务分析得到的变量 Fama-French方法(1992):市场收益率，企业规模，价值 型/成长型（市场资产净值或市场资产净值/账面资产 净值） 统计因子：数学过程得到的变量，主成分分析(PCA), 主因子分析
ai2tVar(Ft )
Var(i )
hi2
2 i
t 1
t 1
显然，若因子方差hi2大，剩余方差i2必小。而
hi2大就表明Xi对公因子的共同依赖程度大。可见 hi2反映了变量Xi对公共因子F的依赖程度，故称 hi2为变量Xi的共同度。
(3) 公共因子Fj方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵A中各列元素的平方和：
1,…,m），故这个解称为主成分解。
（2）主因子法
主因子方法是对主成分方法的修正，设R = AA' + D，
则R* = R – D = AA'称为约相关矩阵，若已知特殊因子
方差的初始估计(ˆ
* i
)
2，也就是已知变量共同度的估
计： (hi*)2 1 (ˆi*)2
则R*对角线上的元素是 hi* ，而不是1。即：
1 因子载荷矩阵的估计
给定p个相关变量X1，...，Xp的观测数据阵X， 由X = AF + ε易推出
∑ = AA' + D 其中∑ = D(X)为X的协方差阵，A = (aij)为p m的因子
载荷阵，D = diag(12，22，…，p2)为p阶对角阵。
由p个相关变量的观测数据可得到协差阵的估计， 记为S。为了建立因子模型，首先要估计因子载荷aij
a
2m
F2
2
a
pm
Fm
p
(m p)
或
X = AF + ε
其中F1、F2、…、Fm称为公共因子，简称因子，是不 可观测的变量；待估的系数阵A称为因子载荷阵，aij （i = 1,2,…,p；j = 1,2,…,m）称为第i个变量在第j个因
子上的载荷（简称为因子载荷）；
ε称为特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的
和特殊方差i2。常用的参数估计方法有以下三种：
主成分法，主因子法和极大似然法。
(1) 主成分法
设样本协方差阵S的特征值为λ1≥λ2≥…≥λp≥0， u1,u2,…,up，为对应的标准化特征向量，当最后p–m 个特征值较小时，S可近似地分解为：
1 S U
2
U ' D (
m
1 u1,
2 u2 ,...,
到解稳定为止。
变量共同度hi2常用的初始估计有以下几种方法： ● 取第i个变量与其他所有变量的多重相关系数的 平方；
● 取第i个变量与其他变量相关系数绝对值的最大 值；
● 取1，它等价于主成分解。
(3) 极大似然法
假定公共因子F和特殊因子ε服从正态分布，那么 可得到因子载荷阵和特殊因子方差的极大似然估计， 设p维观测向量X(1)，...，X(n)为来自正态总体Np(μ,∑) 的随机样品，则样品似然函数为μ，∑的函数L(μ,∑)。
5.1 因子分析模型与应用
1. 因子分析模型
设p维可观测的随机向量X = (X1，...，Xp)'（假定Xi为 标准化变量，即E(Xi) = 0，Var(Xi) = 1，i = 1，2，…，p） 表示为
X 1 a11 a12
X
2
a21
a22
X
p
a p1
a p2
a1m F1 1
设∑= AA' + D，取μ = X ，则似然函数为A，D的函
数：(A，D)，求A，D使达最大。为保证得到唯一
部分。并且满足：cov(F,ε) = 0，即F，ε不相关；
D(F) = Im，即F1、F2、…、Fm互不相关，方差为1；
D(ε) = diag(12,22,…,p2)，即ε1、ε2、…、εp互不相关， 方差不一定相等，εi～N(0，i2)。
因子分析的目的就是通过模型X = AF + ε以F代替X，
由于m < p，从而达到降维的愿望。
(h1* )2
R*
r21
rp1
r12 (h2* )2
rp2
r1p
r2 p
(
h*p
)2
计算R*的特征值和特征向量，取前m个正特征值 λ1*≥λ2*≥…≥λp*> 0，相应的特征向量为u1*,u2*,…,up*， 则有近似分解式：
R* = AA'
其中 A ( 1* u1* , *2 u2* ,..., *m um* ) ，令