6.丰台评标：202001九上数学期末
2020丰台区九年级数学期末试卷及答案
第一学期初三期末质量检测数 学 试 卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 1．已知∠A 为锐角，且sin A ＝12，那么∠A 等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为A ．40°B ．30°C ．80°D ．100°3．已知△ABC ∽△'''A B C ，如果它们的相似比为2∶3，那么它们的面积比是A ．3:2B ． 2:3C ．4:9D ．9:4 4．下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是 A ．2y x = B ．4y x=C ．3y x =-D ． 12y x =5．正方形ABCD 内接于O ，若O 的半径是2，则正方形的边长是A ．1B ．2C ．2D ．226．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若BC =3，DE =1.5，AD =2，则AB 的长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5D EC BA第6题图 y x P N M B A O 第8题图第2题图yxO第4题图DCBAO第5题图7．若要得到函数()21+2y x =-的图象，只需将函数2y x =的图象A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度8. 如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（-2，-3），（1，-3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为 A.-1 B.-3 C.-5 D.-7 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．二次函数241y x x =++－2图象的开口方向是__________. 10．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为 .11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为 .12.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 . 13.如图所示的网格是正方形网格，则sin ∠BAC 与sin ∠DAE 的大小关系是 .14.写出抛物线y=2(x-1)2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标 可以是 和 .15.如图，为测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在l 上顺次取A ，C ，D 三点，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B 到公路l 的距离为 米．16.在平面直角坐标系xOy 内有三点：（0，-2），（1，-1），（2.17，0.37）.则过这三个点 （填“能”或“不能”）画一个圆，理由是 .三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．已知：53a b =. 求：a bb+.11题图13题图CB A18．计算：2cos30-4sin 45︒︒19．已知二次函数 y = x 2-2x -3.（1）将y = x 2-2x -3化成y = a (x －h )2 + k 的形式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标.20．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=BC =7，sin 2B =，求AC 的长．21. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，AD =1，AE =2，BC =3，BE =1.5. 求证：∠DEC =90°．22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程. 已知: △ABC .求作: 在BC 边上求作一点P, 使得△P AC ∽△ABC .作法:如图，E DCBA ABC①作线段AC的垂直平分线GH；②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O；③以点O为圆心，以OA为半径作圆；④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D(与点A不重合)；⑤连接线段AD交BC于点P.所以点P就是所求作的点.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明.证明: ∵CD=AC，∴CD= .∴∠=∠.又∵∠=∠，∴△P AC∽△ABC ( )(填推理的依据).23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与双曲线kyx相交于点A(m，3).（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，当OA=P A时.直接写出点P的坐标．24. 如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点A，C，D分别为O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F.（1）求证：//CD BM；（2）连接OE，若DE=m，求△OBE的周长.B25. 在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为cm.26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4． （1）求抛物线的表达式； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是x 轴上的一点，且ABP CAO ∠=∠，直接写出点P 的坐标．27. 在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH . （1） 依题意补全图1；（2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明；（3）若141AHQ ∠=︒，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路. （可以不写出计算结果．．．．．．．．．）A BCDP图1A BCD备用图28.在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足12QAQB=，则称点Q是线段AB的“倍分点”．（1）若点A（1，0），AB=3，点Q是线段AB的“倍分点”．①求点Q的坐标；②若点A关于直线y= x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求' QA QB；（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y x=上，⊙T上存在点B，使点Q是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．数学试卷评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.下10.3411. m712.32π13.sin∠BAC>sin∠DAE14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15.能，因为这三点不在一条直线上.三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)17．解：∵53ab=，∴1a b ab b+=+=53+1=83.………………………5分=218.解：原式………………………3分………………………4分5分19．解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-1-3……………………………2分=(x-1)2-4．……………………3分（2）∵y=(x-1)2-4，∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，-4）．………………………5分20.解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵sin 22B =， ∴∠B=∠BAD=45°.………………2分 ∵AB =32∴AD=BD=3.…………………………3分 ∵BC =7，∴DC=4. ∴在Rt △ACD 中，225AC AD DC +=.…………………………5分21.（1）证明：∵AB ⊥BC ，∴∠B =90°． ∵AD ∥BC ，∴∠A =90°．∴∠A =∠B ．………………2分 ∵AD =1，AE =2，BC =3，BE =1.5， ∴121.53=.∴AD AEBE BC=∴△ADE ∽△BEC .∴∠3=∠2．………………3分 ∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°． ∴∠DEC =90°．………………5分22.（1）补全图形如图所示:………………2分 （2）AC ,∠CAP=∠B ，∠A CP=∠A CB ，有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5分23.解：(1)∵直线y=x+2与双曲线ky x=相交于点A （m ，3）.∴3=m+2，解得m=1.∴A （1，3）……………………………………1分 把A （1，3）代入ky x=解得k=3， ∴3y x=……………………………………2分(2)如图……………………………………4分(3)P (0，6)或P (2，0) ……………………………………6分 24.证明：(1)∵点A 、C 、D 为O 的三等分点，∴AD DC AC == , ∴AD=DC=AC. ∵AB 是O 的直径，∴AB ⊥CD.∵过点B 作O 的切线BM ， ∴BE ⊥AB.BCB AEFGHOPD yx–1–2–3–4–5–6–71234567–1–2–3–4–51234AOACDFM O∴//CD BM .…………………………3分(2) 连接DB.①由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解得BE=2m ，DB=3m. ②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=23m ，OB=3m.…………………4分③在Rt △OBE 中，由勾股定理得出OE=7m.………………………………5分④计算出△OB E 周长为2m+3m+7m.………………………………6分25.（1）3.00…………………………………1分（2）…………………………………………4分（3）1.50或4.50……………………………2分26．解：（1）由题意得，抛物线22y ax ax c =++的对称轴是直线212a x a=-=-.………1分 ∵a ＜0，抛物线开口向下，又与x 轴有交点，∴抛物线的顶点C 在x 轴的上方.由于抛物线顶点C 到x 轴的距离为4，因此顶点C 的坐标是()1,4-.可设此抛物线的表达式是()214y a x =++，由于此抛物线与x 轴的交点A 的坐标是()3,0-，可得1a =-.因此，抛物线的表达式是223y x x =--+.………………………2分（2）点B 的坐标是()0,3.联结BC .∵218AB =，22BC =，220AC =，得222AB BC AC +=.∴△ABC 为直角三角形，90ABC ∠=.所以1tan 3BC CAB AB ∠==.即CAB ∠的正切值等于13.………………4分 （3）点p 的坐标是（1，0）.………………6分27.（1）补全图形，如图所示.………………2分（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120°.证明：如图，由平移可知，PQ=DC.∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60°，∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30°.∴AD=PQ.∵HQ=HD ，∴∠HQD =∠HDQ =30°.∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°.∴△ADH ≌△PQH.∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ .∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP . ∴∠A HP=∠D HQ . ∵∠D HQ=120°，∴∠A HP=120°.………………5分（3）求解思路如下：由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°.a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°.b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°.c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120°.由a 、b 、c 可得∠DAP =21°.在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长.…………………………………7分28.解：（1）∵A （1，0），AB =3∴B （1，3）或B （1，-3） ∵12QA QB = ∴Q （1，1）或Q （1，-1）………………3分（2）点A （1，0）关于直线y = x 的对称点为A ′（0，1）∴Q A =Q A ′ ∴QB A Q '21=………………5分 （3）-4≤t ≤4………………7分AB C D P H Q x。
北京市丰台区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
丰台区2020-2021学年度第一学期期末练习初三数学一、选择题1. 函数y=(x+1)2-2的最小值是（）A. 1B. －1C. 2D. －2【答案】D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.2. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【详解】A、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（）A. 32πB. 3πC. 6πD. 9π【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形公式S 扇形=2360n R π，代入数据运算即可得出答案．【详解】解：由题意得，n=90°，R=6，S 扇形=229069360360n R πππ==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义． 4. 点()11,A y -，()21,B y ，()32,C y 是反比例函数2y x=图象上的三个点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） A. 321y y y << B. 132y y y <<C. 231y y y <<D. 312y y y <<【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式中，求出y 1、y 2、y 3的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点()11,A y -，()21,B y ，()32,C y 是反比例函数2y x=图象上的三个点， ∴y 1=﹣2，y 2=2，y 3=1， ∴y 1＜y 3＜y 2， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足此函数的解析式是解答的关键．5. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB 为8分米，则积水的最大深度CD 为（ ）A. 2分米B. 3分米C. 4分米D. 5分米【答案】A 【解析】 【分析】先求出OA 的长，再由垂径定理求出AC 的长，根据勾股定理求出OC 的长，进而可得出结论． 【详解】O 的直径为10分米，5OA ∴=（分米）， OD AB ⊥，8AB =（分米）， 142AC BC AB ∴===（分米）， ∴2222534OC OA AC ==-=-（分米）， ∴积分的最大深度532CD OD OC =-=-=（分米）．故选：A ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC 的长是解答此题的关键．6. 二次函数2++y ax bx c =（0a ≠）的图象是抛物线G ，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x ... ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ... y (4)﹣2 ﹣2 04 …下列说法正确的是（ ） A. 抛物线G 的开口向下B. 抛物线G 的对称轴是直线2x =-C. 抛物线G 与y 轴的交点坐标为(0，4)D. 当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x 、y 轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性．【详解】由表中数据可得，抛物线与y 轴交点为：(0,4)，故C 正确；x 轴的交点坐标为：(4,0),(1,0)--，因此可得抛物线的对称轴为 2.5x =-，故B 错误； 由上可知，抛物线开口向上，故A 错误；当 2.5x >-时，y 随x 的增大而增大，当 2.5x <-时，y 随x 的增大而减小，故D 错误， 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7. 如图，点O 为线段AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC ，BD ．则下面结论不一定成立的是（ ）A. ∠ACB=90°B. ∠BDC=∠BACC. AC 平分∠BADD. ∠BCD+∠BAD=180°【答案】C 【解析】 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可． 【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知： OA=OB=OC=OD ．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．由图可知AB 为经过圆心O 的直径，根据圆周角定理推论可知90ACB ∠=︒．故A 不符合题意． B ．BC BC =，所以根据圆周角定理可知BAC BDC ∠=∠．故B 不符合题意． C ．当BC CD ≠时，BAC DAC ∠≠∠，所以此时AC 不平分BAD ∠．故C 符合题意． D ．根据圆周角定理推论可知，180BCD BAD ∠+∠=︒．故D 不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．8. 函数211+2y x=的图象如图所示，若点()111,P x y ，()222,P x y 是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A. 10x ≠ ，20x ≠B. 112y >，212y > C. 若12y y =，则12||||x x = D. 若12y y <，则12x x < 【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式，结合图象的对称性、图象与坐标轴的关系、点的位置与图象的关系等逐项分析判断即可．【详解】解：A 、根据图象与y 轴没交点，所以10x ≠ ，20x ≠，此选项正确；B 、∵x 2＞0，∴21x ＞0，∴211+2y x =＞12，此选项正确；C 、∵图象关于y 轴对称，∴若12y y =，则12||||x x =，此选项正确；D 、∵图象关于y 轴对称，∴若12y y <，则12||||x x >，此选项错误， 故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象与性质，能从图象上获取有效信息是解答的关键．二、填空题9. 将抛物线y=x 2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为______． 【答案】y=x 2-2 【解析】 【分析】根据“上加下减”可得答案．【详解】将抛物线y=x 2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为y=x 2-2. 故答案为y=x 2-2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移.抛物线平移变换的规律：左加右减（在括号内），上加下减（在末梢）. 10. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，AC BE ，交于点O ，若:1:2AE ED =，则:AOE COB S S △△=_______．【答案】1:9 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，从而得到△AOE ∽△COB ，再根据相似三角形的性质定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∴△AOE ∽△COB ，2⎛⎫∴= ⎪⎝⎭AOE BOCS AE SBC ∵:1:2AE ED =， ∴:1:3AE AD =， ∴:1:3AE BC =， ∴:1:9△△=AOE COB S S 故答案为：1:9【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．11. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(精确到0.01) 【答案】0.88 【解析】因为（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8≈0.88,所以这种幼树移植成活率的概率约为0.88,故答案为:0.88.12. 抛物线2+4y x bx =+与x 轴有且只有1个公共点，则b=_______________．【答案】±4 【解析】 【分析】根据抛物线与x 轴有且只有1个公共点可知，当0y =时，此方程有且有两个相等的实数根，根据=240b ac -=算出b 的值即可．【详解】∵抛物线2+4y x bx =+与x 轴有且只有1个公共点，∴令2+4y x bx =+=0，∴24140b =-⨯⨯=△， ∴b =±4， 故答案为：±4． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，正确把握抛物线与x 轴交点个数确定方法是解题的关键． 13. 如图，O 是ABC ∆的外接圆，D 是AC 的中点，连结,AD BD ，其中BD 与AC 交于点E . 写出图中所有与ADE ∆相似的三角形：________.【答案】BCE ；BDA ．【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等可得CBE EAD ∠=∠，可利用含对顶角的8字相似模型得到~CBE DAE ∆∆，由等弧所对的圆周角相等可得EAD ABE ∠=∠，在BDA ∆和ADE ∆含公共角ADB ∠，出现母子型相似模型BDAADE ∆∆．【详解】∵∠ADE =∠BCE ， ∠AED =∠CEB ， ∴~ADE BCE ；∵D 是AC 的中点， ∴AD DC =， ∴∠EAD =∠ABD ， ∠ADB 公共， ∴~ADE BDA ．综上：~ADE BCE ；~ADE BDA ．故答案为：BCE ；BDA ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等的应用是解题的关键．14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．【答案】8【解析】【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．【详解】如图：∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE=AC：DE，即1：5=1.6：DE，∴DE=8m，故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出ABC中∠BAC的平分线的步骤：①延长OD交BC于点M；②连接AM交BC于点N．所以∠BAN=∠CAN．即线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是______．【答案】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．【解析】【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到∠BAN=∠CAN．【详解】如图所示：根据题目的步骤，延长OD交BC于点M，∴由垂径定理得到点M为BC的中点，∴BM CM=，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BAN=∠CAN，∴线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．【点睛】本题考查圆的基本性质，属于基础题，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．16. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔⋅卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；（2）按照阿尔⋅卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：3 1.732≈）【答案】(1). 1(2). 3.23【解析】【分析】（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；（2）利用锐角三角函数分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．【详解】解：（1）如图，∵该多边形为圆内接正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB=1，∴△AOB为等边三角形，∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,故答案为：1；（2）如图，设圆的半径为1，当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，圆外切正六边形的边长为232tan30=3根据题意得：2π= 6+432， 则π= 1.5+3≈1.5+1.732=3.232≈3.23，故答案为：3.23．【点睛】本题考查了圆周率π的近似值的计算、圆的内接和外切正多边形的性质、锐角三角函数解直角三角形，根据题意，结合图形，计算出单位圆内接正六边形和外切正六边形的边长是解答的关键．三、解答题17. 已知二次函数24+3y x x =-．（1）求二次函数24+3y x x =-图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系x O y 中，画出二次函数24+3y x x =-的图象；（3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）(2，-1)；（2）见解析；（3） -1≤y <3．【解析】【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即可直接写出顶点坐标．（2）求出二次函数的顶点，与x 轴、y 轴的交点，即可画出图象．（3）根据图象即可知y 的取值范围．【详解】（1） ∵2243(2)1y x x x =-+=--，∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1).（2） 如图,（3）根据图象可知当2x =时，y 最小为-1；当4x =时，3y =．所以13y -≤<．【点睛】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象和图象的性质，根据二次函数的解析式求出顶点、与x 轴、y 轴的交点坐标是解答本题的关键．18. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，连接DE ，且AD AB AE AC ⋅=⋅．（1）求证：ADE ∽ACB ；（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A 的度数．【答案】（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】（1）由AD AB AE AC ⋅=⋅得AD AE AC AB=，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE ∽△ACB ； （2）由△ADE ∽△ACB ，得∠ADE =∠ACB =75°，再由∠B =55°及三角形的内角和为180°可求出∠A ．【详解】（1）证明：∵AD AB AE AC ⋅=⋅， ∴AD AE AC AB=. 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ；（2）解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE =∠ACB ，∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°. 又∵∠B =55°，∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．（1）画出A 1OB 1，使A 1OB 1与AOB 关于点O 中心对称；（2）以点O 为位似中心，将AOB 放大为原来的2倍，得到A 2OB 2，画出一个满足条件的A 2OB 2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可；（2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可．【详解】解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．【点睛】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(4，0)，C(0，2)．点D 是矩形OABC 对角线的交点．已知反比例函数k y x=（0k ≠）在第一象限的图象经过点D ，交BC 于点M ，交AB 于点N ． （1）求点D 的坐标和k 的值；（2）反比例函数图象在点M 到点N 之间的部分（包含M ， N 两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x 的取值范围．【答案】（1）D(2，1)；k =2；（2）14x ≤≤【解析】【分析】（1）根据矩形的性质即可求解D 的坐标，从而求解k ；（2）结合矩形的性质可得到M 的纵坐标，以及N 的横坐标，从而得出结论．【详解】（1）∵点D 是矩形OABC 的对角线交点，∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，又∵A (4，0)，C (0，2)，∴点D 的坐标为(2，1)，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴12k =，解得：k =2； （2）由题意可得：点M 的纵坐标为2，点N 的横坐标为4.∵点M 在反比例函数2y x=的图象上， ∴点M 的坐标为(1，2)，∴14x ≤≤．【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．21. 如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）连接OD ，根据平行线性质得出∠ODE=∠AOD ，∠DEO=∠AOC ，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE ，即可得出∠AOC=∠AOD ，进而证得△AOD ≌△AOC （SAS ），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO ，由切线长定理得到AD=AC ，再根据勾股定理，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD ，如图：∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ，∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ，∴∠AOC =∠AOD .在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD ≌△AOC ，∴ ∠ADO =∠ACO .∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3.在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=，∴BO =5，∴BC =BO +OC =8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6；【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．22. 在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推． ②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．请根据上述信息，回答下列问题：（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元；（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．【答案】（1）3，0.75；（2）16 【解析】【分析】（1）由题意可得里程数为11公里，则里程数在11到15公里之间，进而问题可求解；（2）由题意易得学生乙应在里程数为16到20公里之间，则他可能在云岗北区和北京十中之间的站台上车，由此可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），故答案为：3，0.75；（2）实际支付了1元，则票价为：140.25=(元)， ∴里程数在16和20公里之间，∴24-8=16，24-4=20，∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车， ∴他在佃起村上车的概率为16； 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+y ax bx =（0a ≠）过点(4，0)．（1）用含a 的代数式表示b ；（2）已知点A(0，a)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，再将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若线段AC 与抛物线有公共点，求a 的取值范围．【答案】（1）4b a =-；（2）(a +2，0)；（3）2a ≥或2a ≤-【解析】【分析】（1）根据已知条件抛物线2+y ax bx =（0a ≠）过点(4，0)，将该点代入到抛物线中即可用含a 的代数式表示b ；（2）根据旋转的角度和平移的单位长度，即可在平面直角坐标系中表示出点C 的坐标；（3）若线段AC 与抛物线有公共点，则线段AC 有交点，此时可分a >0和a <0两种情况，分别列式计算即可．【详解】（1）∵抛物线y =ax 2+bx 过点(4，0)，∴0164a b =+，∴4b a =-.（2）∵点A (0，a )绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，∴点B 的坐标为(a ，0)，∵点B 向右平移2个单位长度得到点C ，∴点C 的坐标为(a +2，0).（3）（i ）如图1，当a >0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向上，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0)，若线段AC 与抛物线有公共点（如图），只需满足：024a a >⎧⎨+≥⎩， 解得：2a ≥，（ii ）如图2，当a <0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向下，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图），只需满足：020a a <⎧⎨+≤⎩， 解得：2a ≤-，综上所述，a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.【点睛】本题考查了点的平移、旋转、二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数开口方向、图像上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．24. 如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC=∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)见解析；(2) ①见解析；②BF=DF+CG ，理由见解析．【解析】【分析】（1）由∠FBC +∠COB =90°，∠CDF +∠DOF =90°，根据等角的余角相等证明即可；（2）①根据题意画出图形即可；②结论：BF =DF +CG ．利用截长补短法，构造相似三角形解决问题即可；【详解】（1）如图1中，设CD 交BF 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCO=90°，∵BF ⊥DE ，∴∠OFD=∠OCB=90°，∴∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，∵∠DOF=∠BOC ，∴∠FBC=∠CDF ．（2）①如图2，②结论：BF=DF+CG ．理由：在线段FB 上截取FM ，使得FM=FD ．∵∠BDC=∠MDF=45°，∴∠BDM=∠CDF ， ∵2BD DM DC DF== ∴△BDM ∽△CDF ，∴2BM DM CF DF==，∠DBM=∠DCF ， ∴BM=2CF ，∴∠CFE=∠FCD+∠CDF=∠DBM+∠BDM=∠DMF=45°，∴∠EFG=∠EFC=45°，∴∠CFG=90°，∵CF=FG ，∴CG=2CF ，∴BM=CG ，∴BF=BM+FM=CG+DF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，余角的性质，轴对称作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，通过截长补短法作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．25. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下定义：若在图形M 上存在点Q ，使得OQ=kOP ，k 为正数，则称点P 为图形M 的k 倍等距点．已知点A(－2，2)，B(2，2)．（1）在点C(1，0)，D(0，-2)，E(1，1)中，线段AB 的2倍等距点是 ；（2）画出线段AB 的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；（3）已知直线y=－x+b 与x 轴，y 轴的交点分别为点F ， G ，若线段FG 上存在线段AB 的2倍等距点，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）点C 和点E ；（2）见解析；4；（3）22b -≤≤．【解析】【分析】（1）先设Q 为线段AB 上一点，再根据图可知，OQ 的取值范围，由题意可得2OQ OP =，可求出OP 的取值范围，即可求出满足条件的点；（2）由（1）知，线段AB 的所有2倍等距点形成的图形，再根据图形求得面积；（3）已知y x b =-+，且该直线上线段FG 上存在线段AB 的2倍等距点，可得该直线必在如图所示的两条直线内，且平行于这两条直线，即可求出b 的取值范围．【详解】（1）设Q 为线段AB 上一点，则由图可知，OQ 的取值范围是222OQ ≤≤，()1,0C ，()0,2D -，()1,1E ，∴1OC =，2OD =，2OE =，设线段AB 的2倍等距点为P ，则2OQ OP =，12OP ∴≤≤，∴点C 和点E 为线段AB 的2倍等距点；故答案为：点C 和点E ；（2）由（1）知，12OP ≤≤，∴线段AB 的所有2倍等距点形成的图形如图所示，由图可知，该图形是边长为2的正方形，∴由等距点围成图形的面积224S =⨯=；（3）对于直线y x b =-+，令0y =得x b =，则(),0F b ，令0x =得y b =，则()0,G b ，线段FG 存在线段AB 的2倍等距点，∴线段FG 必过线段AB 所有2倍等距点形成的图形，∴FG 在图中的两条直线内，且平行于这两条直线，∴b 的取值范围是22b -≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．。
北京丰台初三上期末数学试卷
年北京丰台初三上期末数学试卷一、选择题（共个小题，每小题分，共分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． ．如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是（ ）． ．45x y = ．54x y = ．45x y = ．54x y=．二次函数2(3)1y x =--+的最大值为（ ）．．1 ．1- ．3 ．3-．⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ，如果125cm O O =，那么⊙1O 和⊙2O 的位置关系是（ ）． ．内含 ．内切 ．相交 ．外切．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果30BAC ∠=︒，那么BOC ∠的度数是（ ）． ．60 ．45 ．30．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，如果3AC =，6AB =，那么AD 的值为（ ）． ．32 ．92 ．332．33．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（BAC ∠）为120︒，骨柄AB 的长为30cm ，扇面的宽度BD 的长为20cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）． ．2400πcm 3．2500πcm 3．2800πcm 3．2300πcm．如果点1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(3,)C y 都在反比例函数3y x=的图象上，那么（ ）． ．123y y y << ．132y y y << ．213y y y <<．321y y y <<EDACBD CA BAB C O．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,2)，动点A 以每秒1个单位长的速度从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点，将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转90︒得到线段AB ．连结CB ．设ABC △的面积为S ，运动时间为t 秒，则下列图象中，能表示S 与t 的函数关系的图象大致是（ ）．．．．．二、填空题（共个小题，每小题分，共分）．如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且DE BC ∥，如果:3:2AD DB =，4EC =，那么AE 的长等于．．如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，如果8AB =，3OC =，那么⊙O 的半径等于．．在某一时刻，测得一身高为1.80m 的人的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为m ．1SO t111SOt11SO t 11SO t1E A CBD ABCO M C BAOy x．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为．．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式：．．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，其中0y ≠，我们把点1(1,1)P x y'-+-叫做点P 的衍生点．已知点1A 的衍生点为2A ，点2A 的衍生点为3A ，点3A 的衍生点为4A ，L ，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，L ，n A ，L ，如果点1A 的坐标为(2,1)-，那么点3A 的坐标为；如果点1A 的坐标为(,)a b ，且点2015A 在双曲线1y x =上，那么11a b+=．三、解答题（本题共分，每小题分） ．计算：2tan45sin60cos30︒+︒-︒．．已知二次函数243y x x =-+．（）把这个二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；（）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x 为何值时，0y >．BCA1234221213143xO y．如图，矩形ABCD 中，AP 平分DAB ∠，且A P D P ⊥于点P ，连结CP ，如果8AB =，4AD =，求s i n D C P ∠的值．．如图，正比例函数12y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象分别交于M ，N 两点，已知点(2,)M m -．（）求反比例函数的表达式；（）点P 为y 轴上的一点，当MPN ∠为直角时，直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共分，第，题每小题分，第，题每小题分）．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+（2040x ≤≤），设销售这种产品每天的利润为W （元）．（）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式． （）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ABCD PNMOyx．如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A 处望见岛C 在船的北偏东60︒方向，前进20海里到达B 处，此时望见岛C 在船的北偏东30︒方向，以岛C 为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：2 1.43 1.7≈≈，）．如图，PB 切⊙O 于点B ，连结PO 并延长交⊙O 于点E ，过点B 作BA PE ⊥交⊙O 于点A ，连结AP ，AE ．（）求证：PA 是⊙O 的切线；（）如果3OD =，1an 2t AEP ∠=，求⊙O 的半径．北A BCO ABED P。
2020~2021北京市丰台区九年级初三上学期期末数学试卷及答案
北京市丰台区2020-2021学年度第一学期期末试卷初三数学2021.01考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，25道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1. 函数212y x=+-（）的最小值是A．1B．－1C．2D．－22.下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B．C．D．3. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为A．32πB．3πC．6πD．9π4. 点11A y-（，），21B y（，），32C y（，）是反比例函数2yx=图象上的三个点，则123y y y，，的大小关系是A．321y y y<<B．132y y y<<C．231y y y<<D．312y y y<<5．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米6.二次函数2++y ax bx c=（0a≠）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…A ．抛物线G 的开口向下B ．抛物线G 的对称轴是直线2x =-C ．抛物线G 与y 轴的交点坐标为（0，4）D ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大7．如图，点O 为线段AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC ，BD . 则下面结论不一定．．．成立的是 A.∠ACB =90° B.∠BDC =∠BACC. AC 平分∠BADD. ∠BCD+∠BAD =180°8. 函数211+2y x=的图象如图所示，若点111P x y （，），222P x y （，）是该函数图象上的任意两点,下列结论中错误的是A. 10x ≠ ，20x ≠B. 112y >，212y > C. 若12y y =，则12||||x x = D. 若12y y <，则12x x <二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．将抛物线y ＝x 2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式是 ． 10. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，，AC BE 交于点O ， 若:1:2AE ED =，则:AOE COB S S ΔΔ= .11. 某农科院在相同条件下做了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表： 根据以上数据，估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为 .12. 抛物线2+4y x bx =+与x 轴有且只有1个公共点，则b = .移植棵数n 1 000 1 500 2 500 4 000 8 000 15 000 20 000 30 000 成活棵数m 865 1 356 2 220 3 500 7 056 13 170 17 580 26 430 成活频率m n0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.88113. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形.第13题图第14题图14.如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．15. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D.下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：①延长OD交BC于点M；②连接AM交BC于点N．所以∠BAN=∠CAN.即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是______．16. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔⋅卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是；（2）按照阿尔⋅卡西的方法，计算n=1时π的近似值是.（结果保留两位小数）2）（参考数据：3 1.73三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题每小题6分，23-25题每小题7分）17. 已知二次函数24+3y x x =-.（1）求二次函数24+3y x x =-图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数24+3y x x =-的图象； （3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．18．如图，在中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，连接DE ，且AD AB AE AC ⋅=⋅. （1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）若∠B =55°，∠ADE =75°，求∠A 的度数.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的顶点坐标分别是A (1，0)， O （0，0），B (2，2)． （1）画出△A 1OB 1，使△A 1OB 1与△AOB 关于点O 中心对称； （2）以点O 为位似中心，将△AOB 放大为原来的2倍，得到△A 2OB 2，画出一个满足条件的△A 2OB 2．ABC △20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （4，0），C （0，2）．点D 是矩形OABC 对角线的交点．已知反比例函数ky x=（0k ≠）在第一象限的图象经过点D ，交BC 于点M ，交AB 于点N ．（1）求点D 的坐标和k 的值；（2）反比例函数图象在点M 到点N 之间的部分（包含M ， N 两点）记为图形Ｇ， 求图形Ｇ上点的横坐标x 的取值范围.21. 如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．图6CB22. 在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．请根据上述信息，回答下列问题：（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为元，他使用学生卡实际支付元；（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为．23. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线2+=（0y ax bxa≠）过点(4,0)．（1）用含a的代数式表示b；（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围.24. 已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF.（1）求证：FAB BCF∠=∠；（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM.①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明.25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知点A（－2，2），B（2，2）．（1）在点C（1，0），D（0，-2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是；（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；（3）已知直线y=－x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．丰台区2020—2021学年第一学期期末试卷初三数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.y=x2-210. 1∶911. 0.881b=±13. △BDA，△BCE14. 812. 415. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等16. 1；3.23三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题6分，23-25题每小题7分）17. 解：（1） ∵2243(2)1y x x x =-+=--， ∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1).·································································································· 2分 （2） 如图：········································································································· 4分 （3） -1≤y <3. ····················································································· 5分 18. （1）证明： ∵AD AB AE AC ⋅=⋅，∴AD AEAC AB=. 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB . ················································································ 2分 （2）解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE =∠ACB . ················································································· 3分 ∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°. 又∵∠B =55°，∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°. ······························································ 5分 19. 解： （1）如图：········································································································· 2分 （2）如图：········································································································· 5分20. 解：（1）∵点D 是矩形OABC 的对角线交点， ∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， 又∵A (4，0)，C (0，2)，∴点D 的坐标为(2，1). ··································································· 1分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点D ， ∴12k=，解得：k =2. ············································································· 2分 （2）由题意可得：点M 的纵坐标为2，点N 的横坐标为4.∵点M 在反比例函数2y x=的图象上， ∴点M 的坐标为(1，2)， ········································································· 3分 ∴14x ≤≤. ························································································· 5分 21. （1）证明：连接OD .∵OE =OD ，∴∵OED =∵ODE ，∵DE ∥OA ，∴∵OED =∵AOC ，∵ODE =∵AOD ，∴∵AOC =∵AOD .在∵AOD 和∵AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ △AOD ∵△AOC ， ······································································ 1分 ∵ ∵ADO =∵ACO .∵AC 与⊙O 相切于点C ，∵ ∵ADO =∵ACO =90°, ··································································· 2分 又∵OD 是⊙O 的半径，∵AB 是⊙O 的切线. ········································································ 3分（2）解：∵CE =6，∵OE =OD =OC =3.在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∵222BD OD BO +=，∵BO =5，∵BC =BO +OC =8. ·················································································· 4分 ∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∵AD =AC .在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6. ······················································································· 5分22. 解：（1）3，0.75； ····················································································· 4分（2）16. ······························································································ 6分 23. 解： （1）∵抛物线y =ax 2+bx 过点(4，0)，∴0164a b =+，（2）∵点A (0，a )绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，∴点B 的坐标为(a ，0)， ········································································· 3分 ∵点B 向右平移2个单位长度得到点C ，∴点C 的坐标为(a +2，0). ······································································· 4分 （3）（i ）当a >0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向上，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图1），只需满足：024a a >⎧⎨+⎩≥，解得：2a ≥. ······································································· 5分图1（ii ）当a <0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向下，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图2），只需满足：020a a <⎧⎨+⎩≤，解得：2a -≤. ······································································ 6分图2综上所述，a 的取值范围为2a ≥或2a -≤.24.（1）证明：∵CF ⊥AE ，∴EFC ∠=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴ABC ∠=90°，∴ABE ∠=90°，∴EFC ∠=ABE ∠，又∵AEB CEF ∠=∠，∴FAB BCF ∠=∠. ·················································································· 2分（2）①如图：········································································································· 3分② AF +BM = CF . ·················································································· 4分 证明：在CF 上截取点N ，使得CN =AF ，连接BN .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =CB .在∵AFB 和∵CNB 中，AF CN FAB NCB AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ △AFB ∵∵CNB ， ·············································································· 5分 ∵ ∵ABF =∵CBN ，FB =NB ，∵∵FBN =∵ABC =90°，∵△FBN 是等腰直角三角形，∵∵BFN =45°.∵点B 关于直线AE 的对称点是点M ，∵FM =FB ，∵CF ⊥AE ，∵BFN =45°，∵∵BFE =45°，∵∵BFM =90°，∵∵BFM =∵FBN ，∵FM //NB .∵FM =FB ，FB =NB ，∵FM =NB ，∵四边形FMBN 为平行四边形， ································································ 6分 ∵BM =NF ，∵AF +BM = CF . ····················································································· 7分 （其它方法酌情给分）25. 解：（1）点C 和点E ； ················································································ 2分（2）线段AB 的所有2倍等距点形成的图形为以点O 为圆心，以1为半径的圆围成的区域（包括边界），如图所示：········································································································· 4分 该区域的面积为：221S =π⨯-π⨯=π.········································································································· 5分（3）21b --≤≤或12b ≤≤. ·································································· 7分。
北京市丰台区2020年新人教版九年级上期末考试数学试题及答案
丰台区2020-2021学年度第一学期期末练习初 三 数 学学校 姓名 考号 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是A ．45x y= B ．54x y = C ．45x y =D ．54x y= 2．二次函数2(3)1y x =--+的最大值为A ．1B ．－1C ．3D ．－33．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，如果O 1O 2=5cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠BAC =30°，那么∠BOC 的度数是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6， 那么AD 的值为 A.32 B. 92 C. 33 D. 336．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度(∠BAC )为12020骨柄 AB 的长为30cm ，扇面的宽度BD 的长为2020，那么这把折扇的扇面面积为A ．2400πcm 3B ．2500πcm 3C ．2800πcm 3D ．2300πcm考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分12020考试时间12020. 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. EDCBD CA AB COBCA7. 如果点A ()11y -,，B ()22y ,，C ()33y ,都在反比例函数3y x=的图象上，那么 A ． B ． C ． D ．321y y y << 8．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0，2)，动点A 以每 秒1个单位长的速度从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点，将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转︒90得到线段AB ．联结CB ．设△ABC 的面积为S ，运动时间为t 秒，则下列图象中，能表示S 与t 的函数关系的图象大致是 1SO t 111SOt 11S O t 11SOt1A BC D二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且 DE ∥BC ，如果 AD ∶DB =3∶2， EC =4，那么AE 的长等于 ．10．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O 的半径等于 ．11．在某一时刻，测得一身高为1.80m 的人的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为__________．13．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式: ．14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，其中0≠y ，我们把点)11,1(y x P -+-'叫做点P 的衍生点.已知点1A 的衍生点为2A ，点2A 的衍生点为3A ，点3A 的衍生点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，如果点1A 的坐标为)1,2(-，123y y y <<132y y y <<213y y y <<E A CBD M C BAOy xABCO那么点3A 的坐标为________；如果点1A 的坐标为()b a ,，且点2015A 在双曲线xy 1=上， 那么=+ba 11________． 三、解答题(本题共2020每小题5分) 15．计算:2tan45sin60cos30︒+︒-︒.16．已知二次函数y = x 2－4x ＋3.(1)把这个二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；(2)画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x 为何值时，y>0．17．如图，矩形ABCD 中，AP 平分∠DAB ，且AP ⊥DP 于点P ，联结CP ，如果AB ﹦8，AD ﹦4，求sin ∠DCP 的值.18．如图，正比例函数12y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象分别交于M ，N 两点，已知点M (-2，m ).(1)求反比例函数的表达式；(2)点P 为y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点P 的坐标．NMOyx1234221213143xO yABCD P四、解答题(本题共22分，第19，22题每小题5分，第202021题每小题6分)19．某工厂设计了一款产品，成本为每件2020投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间满足280y x =-+ (20≤x ≤40)，设销售这种产品每天的利润为W (元).(1)求销售这种产品每天的利润W (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？2020如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A 处望见岛C 在船的北偏东60°方向，前进2020到达B 处，此时望见岛C 在船的北偏东30°方向，以岛C 为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. (参考数据:2 1.43 1.7≈≈，)21．如图，PB 切O 于点B ，联结PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA ⊥PE 交O 于点A ，联结AP ，AE ． (1)求证:P A 是O 的切线； (2)如果OD ＝3，tan ∠AEP ＝12，求O 的半径．22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形北A BCO AB D互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，222A B C ∆∽ABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.11AA 1C BA 2AB 2C 2图1 图2(1)在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；BEA DCG XHFNQOPM图3 图4 图5(2)在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点(不与点A ，C 重合)，过这个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异．相似．．，符合条件的直线有_____条.五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. 已知抛物线22y x x m =--与x 轴有两个不同的交点． (1)求m 的取值范围；(2)如果A 2(1,)n n -、B 2(3,)n n +是抛物线上的两个不同点，求n 的值和抛物线的表达式； (3) 如果反比例函数ky x=的图象与(2)中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ， 且满足4<0x <5，请直接写出k 的取值范围.。
2022-2023学年北京丰台九上期末考试数学试卷答案
丰台区2022—2023学年第一学期期末练习初三数学评分标准及参考答案一、二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 21=x ，22-=x 10. 5 11. 41 12. 3π2 13. 答案不唯，如：一12+=x y14. （2，1） 15. 0.318；3.14 16. 3.6；＜三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24，25题，每小题6分，第26-28题，每小题7分）17. 解： (2)(4)0x x --=.得20x -=或 40x -=. ……3分∴ 12x =，42=x . ……5分 18. 解：（1）正确画出函数图象；分（240y -≤≤ 19.（1）证明：∵ ……2分 ∴方程总有两个实数根. …3分（2）解：∵∴ 11-=x ，m x -=12. (4)分∵方程有一个根为正数，∴m -1＞0.∴1＜m . ……5分20.2分 （2）证明：连接．∵OP 是⊙T 的直径，∴∠OAP = 90 ° ……3分(直径所对的圆周角是直角)．4分 ∴OA ⊥AP ．又∵OA 为⊙O 的半径， ∴直线PA 是⊙O 的切线． ( 经过半径外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线)． ……5分同理可证,直线PB 也是⊙O 的切线． 21. 解：设该科技园总收入的月平均增长率为.x依题意，得()72015002=+x . …2分 解方程，得2.01=x ，2.22-=x （舍）. ∴ %20=x 是方程的解且符合实际意义.答：该科技园总收入的月平均增长率为%.20……5分()()222414420m m m m m ∆=--=-+=-≥，().22242-±-=-±-=m m aac b b x∴PA PC =.又∵OA OC =，PO PO =， ∴△PCO ≌△P AO .∴∠PCO=∠P AO . ∵PA 切⊙O 于点A ，∴BA ⊥P A . ∴∠P AO=90°. …2分 ∴∠PCO=90°. ∴OC ⊥PC . ∴PC 是⊙O 的切线. ……3分（2）∵OD BC ∥，∴∠POA=∠B . ∴∠POC=∠B . ……4分 ∵∠B=2∠CPO ，∴∠POC=2∠CPO . ∵∠PCO=90，∴∠POC=60°，∠CPO=30°. ∵OD ⊥AC ，∴∠OCD=90°-∠POC=30°. …5分 在Rt △CDO 中，∵OD=1， ∴OC=2OD=2.在Rt △PCO 中，∵∠CPO=30°, ∴OP=4. ∴PC=. ……6分 25. 解：（1）xx y 4022+=； ……2分 （2）28.0； ……3分（3）正确画出函数图象； ……5分（4）2.2. ……6分y/26. 解： （1）①∵m =0，∴点（1，0）在抛物线2+y x bx =上，又∵点（0，0）在抛物线2+y x bx =上，∴对称轴为直线 ……2分② t ＞2或t ＜1-； ……4分 （2）∵点（1，m ）和点（3，n ）在抛物线2+y x bx =上， ∴b m +=1，b n 39+=.∵0mn ＜，① 当0m ＞，0n ＜时，无解. ② 当0m ＜，0n ＞时，解得13--＜＜b . 综上所述13--＜＜b . ……7分 27.解：（1）①正确补全图形； ……1分②Ⅱ； ……3分（2）成立； ……4分证明：将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连接BE ，DE . ∴AD=AE ，∠DAE =60°， ∴△ADE 是等边三角形.∴∠AED =∠EAD =60°，AD=DE . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =60°，AB=AC . ∵∠BAC =∠EAD =60°， ∴∠BAC -∠2=∠EAD -∠2. 即∠1=∠3. ∴△ABE ≌△ACD .∴∠4=∠ADC =30°，BE=CD . ∴∠BED =∠4+∠AED =90°. 在Rt △BDE 中，DE 2+BE 2=BD 2. ∴AD 2+CD 2=BD 2. ……7分28.解：（1）2P ，3P ； ……2分（2）∵点D （m ，2）是ABC △关于原点O 的“伴随点”，∴ 点'D （2，m -）落在ABC △上或ABC △的内部.∴231≤-≤m . ∴123-≤≤-m . ……5分 （3）321321+≤≤-n . ……7分1.2x =4312EBCADDAC B。
2022-2023学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷1. 下列图形是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )A. B.C. D.3. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是( )A. B. C. D.4. 如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为( )A. B.C. D.5. 下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是( )A. 144B. 120C. 72D. 607. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是( )A.， B. ，C. ，D. ，8. 下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB. 当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x9. 一元二次方程的实数根为__________.10. 如图，AB是的弦，于点C，若，，则半径的长为__________.11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________.12. 若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为，则这个扇形的面积是__________13. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式__________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为__________.15. 十八世纪法国的博物学家布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：试验次数15002000250030003500400045005000相交频数4956237999541123126914341590相交频率可以估计出针与直线相交的概率为__________精确到，由此估计的近似值为__________精确到16. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系小明进行了两次掷实心球训练．第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离123456竖直高度根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是____ m ；第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则____填“>”，“=”或“<”17. 解方程：18. 已知二次函数在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象；当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．19. 已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个实数根；如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．20. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，及外一点求作：过点P的的切线．作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交于点A、点B；③作直线PA，所以直线PA，PB就是所求作的的切线．根据小东设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接是的直径，________填推理的依据又为的半径，直线PA是的切线____填推理的依据同理可证，直线PB也是的切线．21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．22. 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：中，所对的圆周角为，圆心角为求证：证明：情况一如图：点O 在的一边上．，，即情况二如图：点O 在的内部．情况三如图：点O 在的外部．23. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A ，B 之间电流能够通过的概率．24. 如图，AB 是的直径，AC ，BC 是弦，过点O 作交AC 于点D ，过点A作的切线与OD 的延长线交于点P ，连接求证：PC 是的切线；如果，，求PC 的长．25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省底面边长不超过3dm，且不考虑接缝某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：设长方体包装盒的底面边长为xdm，表面积为可以用含x的代数式表示长方体的高为根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积+侧面积．得到y与x的关系式：____；列出y与x的几组对应值：…………a说明：表格中相关数值精确到十分位则____；在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为____ dm时，需要的材料最省．26. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．当时，①求抛物线的对称轴；②若点，在抛物线上，且，直接写出t的取值范围；若，求b的取值范围．27. 已知等边，点D、点B位于直线AC异侧，如图1，当点D在BC的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：；，其中正确的是____填“Ⅰ”或“Ⅱ”；如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．28. 对于平面直角坐标系xOy内的点P 和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M 关于原点O的“伴随点”．已知点，，①在点，，中，点____是线段AB关于原点O的“伴随点”；②如果点是关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，故选：3.【答案】A【解析】【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是，故选：4.【答案】C【解析】【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求解即可．【解答】解：四边形ABCD是的内接四边形，，，，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；③明天太阳从东边升起，是必然事件；故其中是随机事件的有1个．故选：6.【答案】C【解析】【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，旋转的度数至少为，故选：7.【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：，根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是，关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，故选：8.【答案】D【解析】【分析】根据每个选项的意义，找出它们之间的函数关系，逐一判断．【解答】解：汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y是行驶时间x的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意；当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻x成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意；圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径x成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意；用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x成二次函数关系，开口向下，故D符合题意.故选：9.【答案】，【解析】【解答】解：，，解得，故答案为：，10.【答案】5【解析】【分析】根据垂径定理得出AC，根据勾股定理解答即可．【解答】解：连接OA，，为AB的中点，在中，，，的半径5，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，解方程可求得k的值．【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得故答案为13.【答案】答案不唯一【解析】【分析】根据二次函数的性质得到，由于二次函数图象经过点，则当a取1，b取0时可得到满足条件的一个二次函数解析式．【解答】解：设二次函数解析式为，二次函数的图象开口向上，二次函数图象经过点，，当a取1，b取0时，二次函数解析式为故答案为：答案不唯一14.【答案】【解析】【分析】利用外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质，找出点P的位置，利用网格图确定点P的坐标．【解答】解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图，则，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据频率和概率的关系判断即可．【解答】解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为，由此估计的近似值为：故答案为：；16.【答案】解：：【解析】【分析】先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，实心球竖直高度的最大值是故答案为：把代入得：，解得，当时，负值舍去，在中，令得：，解得负值舍去，，，，故答案为：17.【答案】解：，或，所以，【解析】【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．18.【答案】解：，则抛物线的顶点坐标为，函数图象如图所示：观察图象得：当时，；当时，，当时，y的取值范围为【解析】【分析】先把解析式配成顶点式为，则抛物线的顶点坐标为，再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；先计算，时，y的值，然后利用图象写出对应的y的范围．19.【答案】证明：，方程总有两个实数根．，解得，，方程只有一个根是正数，，【解析】【分析】先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到m的范围．20.【答案】解：如图，PA、PB为所作；，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形；连接OA，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线PA为切线，同理可证，直线PB也是的切线．21.【答案】解：设该科技园总收入的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，不符合题意，舍去答：该科技园总收入的月平均增长率为【解析】【分析】设该科技园总收入的月平均增长率为x，利用2022年9月份该科技园的总收入年7月份该科技园的总收入该科技园总收入的月平均增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．22.【答案】证明：情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，，，同理可得：，，；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点，，，，同理可得：，，【解析】【分析】情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，利用等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得：，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点E，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．23.【答案】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，、B之间电流能够正常通过的概率为【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可．24.【答案】证明：如图1，连接OC，是的切线，，是的直径，，，，，，，，≌，，点C在上，是的切线，解：由得：≌，，，，，，，，，，，，，，，，，【解析】【分析】连接OC，可证明OD是AC的垂直平分线，从而得出，进而证明≌，进而得出，进一步得出结果；可证明，进而得出，在中求出AP，进而得出结果．25.【答案】解：函数图像如图所示：【解析】【分析】根据长方体的表面积公式求解即可；求出时，y的值即可；利用描点法画出函数图象即可；利用图象法判断即可．26.【答案】解：①，把代入，得，，抛物线的对称轴为直线：②在上，，，它的对称点为，，或把点和点代入，得，，当，有两种情况，①，得，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组无解．②，则，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组的解集为，综上所述，b的取值范围是：【解析】【分析】①把代入，得，求出解析式，进而求出顶点坐标；②把代入，求出，再求出它的对称点，根据，求出t的取值范围；当，有两种情况，①，得，②，则，求出不等式组的解．27.【答案】解：①图形如图所示．②是等边三角形，，，，，故Ⅰ错误．，，，，，故Ⅱ正确．故答案为：结论：理由：如图2中，以AD为边向下作等边，连接为等边三角形，，为等边三角形，，，，，≌，，，，为直角三角形，，【解析】【分析】①根据要求作出图形即可；②证明，，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；结论：如图2中，以AD为边向下作等边，连接证明≌，推出，，推出，可得结论．28.【答案】解：①，②过点D作轴交于点P，过点作轴交于点Q，，，，，，≌，，，，，，在第一象限，，设直线AC的解析式为，，解得，，当在AC上时，，当在AB上时，，时，点是关于原点O的“伴随点”．在直线上，圆E的半径为1，将圆E绕点O逆时针旋转得到圆，圆E关于原点的“伴随点”在圆的内部及其边界上，，在直线上，直线上存在关于原点O的“伴随点”，当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，与直线平行，，，，令，解得，，，解得，时，直线上存在关于原点O的“伴随点”．【解析】【分析】①，，轴，顺时针旋转后，得到点，不是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”，是线段AB关于原点O的“伴随点”；故答案为：，②由三角形全等可知，当在AC上时，，当在AB上时，，则时，点是关于原点O的“伴随点”；圆E上的点顺时针旋转后的对应点在以，半径为1的圆上，由直线上存在关于原点O的“伴随点”，可知当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，由，可知，求出，则，解得。
2022-2023学年北京丰台区初三第一学期数学期末试卷及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年北京丰台区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．【详解】解：A ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；C ．图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；D ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．2. 如图，四边形ABCD 内接于，若，则的度数为（ ）O 130C ∠=︒BOD ∠A. 50°B. 100°C. 130°D. 150° 【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，=2∠A=100°，BOD ∠故选：B ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）()21y x =--A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y 轴D. 顶点在x 轴上【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质判断即可．2()y a x h =-【详解】在二次函数中，()21y x =--∵，10a =-<∴图像开口向下，故A 错误；令，则，0x =2(01)10y =--=-≠∴图像不经过原点，故B 错误；二次函数的对称轴为直线，故C 错误；()21y x =--1x =二次函数的顶点坐标为，()21y x =--(1,0)∴顶点在x 轴上，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．2()y a x h =-4. 若关于x 的一元二次方程有一个根是，则a 的值为()2210a x a x a -+-=1x =（ ）A.B. 0C. 1D. 或1 1-1-【答案】A【解析】【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 1x =()2210a x a x a -+-=【详解】∵关于x 的一元二次方程有一个根是 ()2210a x a x a -+-=1x =∴210a a a -+-=解得1a =±∵一元二次方程 ()2210a x a x a -+-=∴10a -≠∴1a ≠∴1a =-故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．5. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )A. πB. π 258254C. π D.π 25162532【答案】B【解析】【详解】∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6=10，∴S 阴影部分=．故选B ． 2905253604ππ⨯=6. 某口袋放有编号1~6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是（ ） A. B. C. D. 1361181612【答案】C【解析】【分析】此题需要两步完成，可采用列表法，列举出所有情况，看两次摸到的球相同的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：列表得：(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(2,1)(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)两次摸到的球相同的情况数占总情况数的概率 61366==故答案为：C【点睛】此题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题需要注意是放回实验还是不放回实验，列举出所有情况是解题关键．7. 如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300 m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A. A ，B ，C 都不在B. 只有BC. 只有A ，CD. A ，B ，C【答案】D【解析】 【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角ABC ∆形斜边上的中线性质即可得．【详解】解：如图所示：连接BD ，∵，，，300AB =400BC =500AC =∴，222AC AB BC =+∴为直角三角形，ABC ∆∵D 为AC 中点，∴，250AD CD BD ===∵覆盖半径为300 ，∴A、B 、C 三个点都被覆盖，故选：D ．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B 对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物0ac <0a b c -+>90m a +=线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序(),C t n 4t +2ax bx c n ++=号是（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则(),C t n ()4,-C t n 可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是B ，则线段AB 的长为______．()3,2A -【答案】【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点B 的坐标，再根据平面上两点间的距离公式得出答案．【详解】关于原点对称的点是()3,2A - ()3,2B -,AB ∴==故答案为：【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质及平面上两点间的距离公式，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键. 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.10. 将抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表22y x =达式为______．【答案】22y x =【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，22y x =得到的抛物线的函数表达式为：，222112y x x =+-=故答案为：．22y x =【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．11. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．【答案】1【解析】【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：， 12222ππ⨯⨯=∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则： ，22r ππ=解得：，1r =故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．12. 点，在抛物线上，则，的大小关系为：()11,A y -()22,B y 22y x =1y 2y 1y__________（填“>”，“=”或“<”）．2y 【答案】<【解析】【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大，从而求解．【详解】解：由可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴，22y x =∵，1020--<-∴点A 离y 轴的距离小于B 离y 轴的距离,∴，12y y <故答案为：<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法．13. 如图，分别切于点A ，B ，Q 是优弧上一点，若，则PA PB ，O AB 40P ∠=︒Q ∠的度数是________．【答案】70°##70度【解析】【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内OA OB 、90OAP OBP ∠=∠=︒角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可．AOB ∠【详解】解：如图所示，连接，OA OB 、∵分别切于点A ，B ，PA PB ，O ∴，90OAP OBP ∠=∠=︒又∵，40P ∠=︒∴，360909040140AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒∴， 7201Q AOB ∠=∠=︒故答案为：70°．【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.【答案】1：2：3.【解析】【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．【详解】解：如图：在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，∴R=2r，AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值．15. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．【答案】0.2【解析】【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2， 故答案为：0.2．【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．16. 某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，O 转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座18P 舱到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m ．A B C D【答案】 ①. C ②. 78 【解析】【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈，即可确定出座舱到达了哪个23位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可. 【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈 23∴乘坐的座舱到达图2中的点C 处 如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC 于点E由图2可知圆的半径为44m ， 120BOC ∠=︒即 44OB OC OQ ===∵OQ⊥BC ∴ 111206022EOC BOC ∠=∠=⨯︒=︒∴ 1cos 6044222OE OC =︒=⨯= ∴ 442222QE OQ OE =-=-=∴点C 距地面的高度为 m 1002278-=故答案为C,78【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.三、解答题（共68分，本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17. 解方程：． 229100x x -+=【答案】或 152x =22x =【解析】【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解． 【详解】， 229100x x -+=，(25)(2)0x x --=∴或， 250x -=20x -=解得：或． 152x =22x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键． 18. 已知：如图，A 为上的一点．O求作：过点A 且与相切的一条直线． O 作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与的一个交点为B ，作射线OB ； O ③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）；④作直线PA ． 直线PA 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA ．由作法可知． BO BA BP ==∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴（ ）（填推理的依据）． 90OAP ∠=︒∵OA 是的半径，O ∴直线PA 与相切（ ）（填推理的依据）．O 【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理 【解析】【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP 即为所求作；（2）证明：连接BA ， 由作法可知， BO BA BP ==∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴（直径所对的圆周角是直角）， 90OAP ∠=︒∵OA 是的半径，O ∴直线PA 与相切（切线的判定定理），O 故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．19. 已知关于的一元二次方程． x 2(2)10x m x m +-+-=（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值． 0m <m 【答案】（1）见解析；（2） 3m =-【解析】【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可； （2）用m 表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程， 2(2)10x m x m +-+-=∴ ()()2241m m ∆=---==． 24444m m m -+-+2m ∵， 20m ≥∴．0∆≥∴ 该方程总有两个实数根． （2）解：∵一元二次方程， 2(2)10x m x m +-+-=解方程，得，． 11x =-21x m =-∵ ， 0m <∴ ．11m ->-∵该方程的两个实数根的差为3， ∴ ． 1(1)3m ---=∴．3m =-【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．xOy ()231y a x =--()2,1（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点． （3）当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 04x ≤≤【答案】（1） ()=--2y 2x 31（2） 1（3） 117y -≤≤【解析】【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式． ()2,1a （2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．（3）利用函数的顶点和函数图象轴的交点，以及代入特殊点作二次函数的图象即可求得y 的取值范围y 【小问1详解】∵ 抛物线经过点，()231y a x =--()2,1∴ ， 11a -=解得：，2a =∴ 该抛物线的表达式为． ()=--2y 2x 31【小问2详解】由（1）知抛物线的表达式为 ()=--2y 2x 31∴抛物线的顶点坐标为， ()3,1-∵抛物线与轴只有一个公共点，x∴只需向上平移个单位，顶点变为，此时满足题意，1()3,0∴将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点， 1故答案为：1． 【小问3详解】函数图象如下图所示：()=--2y 2x 31通过图象可知当时，； 0x =17y =当时，； 3x =1y =-当时，；4x =1y =∴当时，04x ≤≤117y -≤≤【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式、函数图象的平移和二次函数图象，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图象整体平移的情况，会画二次函数的图象是解决该题的关键．21. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；1P 活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．2P 请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的1P 2P 猜想．【答案】，验证过程见解析 12P P <【解析】【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】活动1： 红球1 红球2 白球 红球1（红1，红2） （红1，白） 红球2 （红2，红1）（红2，白） 白球（白，红1）（白，红2）∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况， ∴摸出的两个球都是红球的概率记为 12163P ==活动2： 红球1 红球2 白球 红球1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红球2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白球（白，红1）（白，红2）（白，白）∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况， ∴摸出的两个球都是红球的概率记为 249P =∴12P P <【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重点需要注意球放回与不放回的区别．22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售x (40)x -2x 出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求(202)x +(40)(202)x x -+解．【详解】解：设每件衬衫应降价元， x 根据题意得， (40)(202)1200x x -+=整理得 22604000x x -+=解得：，． 120x =210x =因为要扩大销售， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 23. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的y x 图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为A 3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________； B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米 【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可； （2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把()()23 3.30y a x a =-+≠x=0代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3）， B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：，()()233.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得B ()23 3.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+，解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．24. 如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE∥OA，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS ），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO ，由切线长定理得到AD=AC ，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接OD ，如图：∵OE=OD， ∴∠OED=∠ODE， ∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD， ∴∠AOC=∠AOD. 在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD≌△AOC， ∴ ∠ADO=∠ACO. ∵AC 与⊙O 相切于点C ， ∴ ∠ADO=∠ACO=90°， 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）解：∵CE=6， ∴OE=OD=OC=3.在Rt△ODB 中，BD=4，OD=3， ∴， 222BD OD BO +=∴BO=5，∴BC=BO+OC=8. ∵⊙O 与AB 和AC 都相切， ∴AD=AC.在Rt△ACB 中，，222AC BC AB +=即：，2228(4)AC AC +=+解得：AC=6；【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 25. 阅读理解：某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了221y x x =-++探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表： x … 3- 52- 2- 1- 0 1 2 52 3… y … 2- 14- m 2 1 2 1 14- 2-…其中______；m =（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，xOy 画出该函数的图象；（3）根据函数图象，回答下列问题：①当时，则y 的取值范围为______．11x -≤<②直线经过点，若关于x 的方程有4个互不相等的实y kx b =+()1,2221x x kx b -++=+数根，则b 的取值范围是______．【答案】（1）1（2）见解析 （3）①；②12y ≤≤12b <<【解析】【分析】（1）把代入函数解析式即可得的值；2x =-m （2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数的图象关于y 轴对称；当221y x x =-++时，根据函数图象可得到；11x -≤<12y ≤≤②根据函数的图象即可得到b 的取值范围是．12b <<【小问1详解】将代入函数得： 2x =-221y x x =-++．()222214411m =--+⨯-+=-++=故答案为：1【小问2详解】根据表格： x … 3- 52- 2- 1- 0 1 2 52 3… y … 2- 14- 1 2 1 2 1 14- 2-… 描点法作出函数的图象如下图所示：221y x x =-++【小问3详解】①根据函数图象可知：当时，y 的取值范围是；1<1x ≤-12y ≤≤故答案为：；12y ≤≤②由函数图象知：∵关于x 的方程有个互不相等的实数根， 221x x kx b -++=+4∴b 的取值范围是．12b <<故答案为：；．12y ≤≤12b <<【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线． xOy ()21y ax a x =-+（1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴；()2,0（2）若，为抛物线上两个不同的点．()11,M x y ()22,N x y①当时，，求a 的值；124x x +=-12y y =②若对于，都有，求a 的取值范围．122x x >≥-12y y <【答案】（1）抛物线的对称轴1x =（2）①② 15a =-105a -≤<【解析】【分析】（1）抛物线经过点，可得，解得()21y ax a x =-+()2,0042(1)a a =-+1a =，则抛物线为，利用抛物线的对称轴公式即可求解；22y x x =-（2）①由，为抛物线上两个不同的点，时，可()11,M x y ()22,N x y 124x x +=-12y y =得二次函数图像的对称轴为直线，利用抛物线对称轴公式可得的2x =-(1)22a a -+-=-a 值；②对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当2x ≥-y x 0a >a<0a 时不能满足对于，都有，当时可以满足对于0a >122x x >≥-12y y <a<0122x x >≥-，都有的条件，使得即可，从而可得a 的取值范围． 12y y <(1)22a a-+-≤-【小问1详解】解：函数图像经过点， ()2,0，042(1)a a ∴=-+，1a ∴=，22y x x ∴=-， 2122b a -∴-=-=抛物线的对称轴是；∴1x =【小问2详解】解：①时，124x x +=- 12y y =二次函数图像的对称轴为直线，∴2x =-， (1)22a a-+∴-=-； 15a ∴=-②由题意可得，对于任意的，随的增大而减小，2x ≥-y x当时，抛物线开口向上，对称轴为， 0a >(1)110222a x a a-+=-=+>在对称轴左侧，在直线的右侧可满足题意，而在对称轴右侧则有都有2x =-122x x >≥-，故不可能；12y y >0a >当时，，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线a<0()11,M x y ()22,N x y 12y y <左侧，即抛物线对称轴，， 2x =-(1)112222a x a a -+=-=+≤-整理得：， 15a ≥-． ∴105a -≤<【点睛】此题考查了抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线解析式和对称轴公式是解题关键．27. 在正方形中，点E 在射线上（不与点B 、C 重合），连接，，将ABCD BC DB DE 绕点E 逆时针旋转得到，连接．DE 90︒EF BF（1）如图1，点E 在边上．BC ①依题意补全图1；②若，，求的长；6AB =2EC =BF （2）如图2，点E 在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关BC BD BE BF 系，并证明．【答案】（1）①见解析；②BF =（2），证明见解析BF BD +=【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②过点F 作，交的延长线于H ，证明得到FH CB ⊥CB DEC EFH △≌△2EC FH ==，，则，在中，利用勾股定理即可求解； 6CD BC EH ===2HB EC ==Rt FHB △（2）过点F 作，交的延长线于H ，证明得到FH CB ⊥CB DEC EFH △≌△EC FH =，，则，和都是等腰直角三角形，由此利CD BC EH ==HB EC HF ==DCB △BHF 用勾股定理求解即可．【小问1详解】①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F 作，交的延长线于H ，FH CB ⊥CB∵四边形是正方形，ABCD ∴，，6CD AB ==90C ∠=︒∵，90DEF C ∠=∠=︒∴，，90DEC FEH ∠+∠=︒90DEC EDC ∠+∠=︒∴，FEH EDC ∠=∠在和中，DEC EFH △，90H C FEH EDC EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，DEC EFH △≌△∴，，2EC FH ==6CD BC EH ===∴，2HB EC ==∴在中，Rt FHB △BF ===【小问2详解】结论：，理由如下：BF BD +=过点F 作，交的延长线于H ，FH CB ⊥CB∵四边形是正方形，ABCD ∴，，CD AB =90DCE ∠=︒∵，90DEF DCE ∠=∠=︒∴，，90DEC FEH ∠+∠=︒90DEC EDC ∠+∠=︒∴，FEH EDC ∠=∠在和中，DEC EFH △，90FHE DCE FEH EDC EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，DEC EFH △≌△∴，，EC FH =CD BC EH ==∴，HB EC HF ==∴和都是等腰直角三角形，DCB △BHF ∴，，BD ===BF ==∵，EH BH BE +=∴．BF BD +=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．28. 如图1，对于的顶点P 及其对边上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆PMN MN 心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点Q 为关于点P PQ MN MN PMN 的内联点．在平面直角坐标系中：xOy （1）如图2，已知点，点B 在直线上． ()70A ，1y x =+①若点，点，则在点O ，C ，A 中，点______是关于点B 的内联点； ()3,4B ()30C ，AOB ②若关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；AOB （2）已知点，点，将点D 绕原点O 旋转得到点F ，若关于点E 的()2,0D ()4,2E EOF 内联点存在，直接写出线段EF 长度的取值范围．【答案】（1）①O，C②18n ≤≤（2）EF ≤≤【解析】【分析】（1）①分别以B 为圆心，、、为半径作圆，观察图像根据线段与BO BC BA OA 圆的交点位置，可得结论；②如图，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点O 是()10B ,OB OA 关于点B 的内联点；当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，AOB (7,8)'B AB 'OA 此时点A 是关于点B 的内联点；AOB （2）如下图，过点E 作轴于H ，过点F 作轴于N ，利用相似三角形的性EH x ⊥FN y ⊥质求出点F 的坐标，再根据对称性求出的坐标，当时，设交于F 'OF EF ''''⊥OH F E ''P ，再求出的坐标，结合图像可得出结论．F ''【小问1详解】①如下图中，根据点Q 为关于点P 的内联点的定义，观察图象可知，点O ，点C 是PMN 关于点B 的内联点AOB。
2020北京丰台初三(上)期末数学备考训练圆(教师版)含答案
2020北京丰台初三（上）期末数学备考训练圆（教师版）一．选择题（共13小题）1．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形＝πR2是解题的关键．3．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C．140°D．70°或110°【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．【解答】解：如图1，∠ACB＝∠AOB＝70°；如图2，∠ADB＝∠AOB＝70°，∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝110°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，进而即可求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠C＝40°，∴∠DAB＝∠C＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．6．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD＝3，AB＝4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A．16：9 B．3：4 C．4：3 D．9：16【分析】根据图形可得∠DCP＝∠BAP，∠CPD＝∠APB，进而得出△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，S△PDC：S△PBA＝（）2，最后根据CD＝3，AB＝4进行计算即可．【解答】解：∵∠DCP＝∠BAP，∠CPD＝∠APB，∴△ABP∽△CDP，∴S△PDC：S△PBA＝（）2＝（）2＝，故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的运用，解题时注意：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BAD的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．120°【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．8．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论，把数学知识运用到实际生活中去．9．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠BAC＝30°，那么∠BOC的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．10．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．300πcm2【分析】先求出AD的长，再根据S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形DAE即可得出结论．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝30﹣21＝10（cm），∴S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝＝＝cm2．故选：C．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．11．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE＝AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE＝＝4，∴AB＝2AE＝8，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE．12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，若∠BAC＝40°，则∠D等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】由“直径所对的圆周角是直角”推知∠ACB＝90°，则易求∠D＝∠B＝90°﹣40°＝50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又∵∠BAC＝40°，∠D＝∠B，∴∠D＝∠B＝90°﹣∠BAC＝50°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝30°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°【分析】由OB＝OC，∠OBC＝30°，易求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∠OBC＝30°，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共18小题）14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为 4 ．【分析】由AB是⊙O的直径，根据由垂径定理得出AD＝AC，进而利用等边三角形的判定和性质求得答案．【解答】解：连接AD，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∴AD＝AC，∵∠B＝60°，AC＝4，∴CD＝AC＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了垂径定理以及等边三角形数的性质．注意由垂径定理得出AD＝AC是关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 3.12 ．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．17．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为π．【分析】将n＝60，r＝2代入弧长公式l＝进行计算即可．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．18．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 1 ．【分析】过点O作OH⊥AB与点H，则OH为内切圆的半径，根据等边三角形的性质即可求出OH的长．【解答】解：过点O作OH⊥AB与点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝1，故答案为：1【点评】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为（2，0）．【分析】已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），则过A、B、C三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点即可．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y＝kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y＝﹣x+2，设AC的垂直平分线解析式为x＝m，把（2，2）代入解析式，可得：x＝2，所以AC的垂直平分线解析式是x＝2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】此题考查垂径定理，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键．20．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．请回答以下问题：①连接OA，OB，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，理由是直径所对圆周角是直角；②直线PA，PB是⊙O的切线，依据是经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】①根据“直径所对圆周角是直角”可得；②根据“经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得．【解答】解：①连接OA，OB，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，理由是：直径所对圆周角是直角，故答案为：直径所对圆周角是直角；②直线PA，PB是⊙O的切线，依据是：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及圆周角定理、切线的判定．21．已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是12 ．【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S＝，计算即可．【解答】解：设这个扇形的半径是为R，则＝24π，解得，R＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．22．如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为2cm．【分析】连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，由点C是劣弧AB的中点，得到OC⊥AB，AE＝BE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，∵点C是劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AE＝BE，∵OD＝3，OC＝1，∴CE＝DE＝1，∴OE＝2，∴AE＝＝，∴AB＝cm；故答案为：2．【点评】本题考查的是翻折变换，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是6π．【分析】根据扇形的面积公式S＝计算，即可得出结果．【解答】解：该扇形的面积S＝＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．24．排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，如果圆心O到水面的距离是3m，那么水面宽AB＝8 m．【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长，进而可得出AB的长．【解答】解：过O点作OC⊥AB，连接OB，如图所示：∴AB＝2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2＝OB2，∵OB＝5m，OC＝3m，∴BC＝＝4m，∴AB＝2BC＝8m．即水面宽AB为8m；故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是垂径定理．【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．故答案是：垂径定理．【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．26．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8cm，OC＝3cm，则⊙O的半径为 5 cm．【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出．【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC＝BC＝AB＝4cm在Rt△ACO中，AC＝4，OC＝3，由勾股定理可得AO＝＝5（cm），即⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．27．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为3πcm2．【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：扇形的面积＝＝3πcm2．故答案是：3π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．28．如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD＝15°，⊙O的半径为10，则AB＝10 ．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据垂径定理得出∠AOD的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵∠BCD与∠BOD是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×15°＝30°，∵点E是弦AB的中点，∴AB⊥CD，＝，∴AB＝2AE，∠AOD＝∠BOD＝30°，∴∠AOB＝60°，∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∵⊙O的半径为10，∴OA＝AB＝BO＝10．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如图，⊙O的弦AB＝8，OD⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径等于 5 ．【分析】连接OA，由OD垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD的长，在直角三角形AOD中，由AD与OD的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝4，在Rt△AOD中，OD＝3，AD＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5，则圆O的半径为5．故答案为：5【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．30．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是πcm．【分析】弧长公式是l＝，代入就可以求出弧长．【解答】解：弧长是：＝πcm．故答案为：π．【点评】此题考查了扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．31．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC＝20°，点D是弧CAB上一点，若∠ABC＝20°，则∠D的度数是70°．【分析】由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，再由∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，由同弧所对的圆周角相等得到所求的角与∠BAC的度数相等，进而确定出所求角的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝20°，∴∠BAC＝70°，∵∠D和∠BAC都为所对的圆周角，∴∠D＝∠BAC＝70°．故答案为：70°【点评】此题考查了圆周角定理，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．三．解答题（共18小题）32．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△BEH中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△BEH中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．33．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0 1 2 3 4 5 6y/cm0 2.2 2.9 3.2 3.4 3.3 3 （2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3 cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC ＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．34．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．35．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF ＝3是解本题的关键．36．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC＝30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB＝6，求PA的长．【分析】（1）由圆的切线的性质，得∠PAB＝90°，结合∠BAC＝30°得∠PAC＝90°﹣30°＝60°．由切线长定理得到PA＝PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P＝60°．（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB＝90°，结合Rt△ACB中AB＝6且∠BAC＝30°，得到AC＝AB cos∠BAC＝3．最后在等边△PAC中，可得PA＝AC＝3．【解答】解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB＝90°．∵∠BAC＝30°，∴∠PAC＝90°﹣30°＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P＝60°．（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB＝90°，∴在Rt△ACB中，AB＝6，∠BAC＝30°，可得AC＝AB cos∠BAC＝6×cos30°＝3．又∵△PAC是等边三角形，∴PA＝AC＝3．【点评】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点的运用是关键，难度适中．37．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆，请保留作图痕迹；（2）至少写出两条作图的依据．【分析】（1）分别作出线段AB、BC的垂直平分线，画出外接圆即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求；（2）作图依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形外接圆性质是解答此题的关键．38．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BD＝m．求出m＝．得出AD＝，AB＝．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．∵E是弧BD的中点，∴，∴∠1＝∠2．∴∠BAD＝2∠1．∵∠ACB＝2∠1，∴∠C＝∠BAD．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠DAC+∠C＝90°．∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC+∠BAD＝90°．∴∠BAC＝90°．即AB⊥AC．又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线．（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理得：BD＝＝m．∵BD＝5，∴m＝．∴AD＝，AB＝．∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，∴FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，∴．解得：＝3．∴BF＝3．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．39．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB＝6，tan∠CDA＝，依题意补全图形并求DE的长．【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠1，于是∠CDA+∠ADO＝90°；（2）根据切线的性质得到ED＝EB，OE⊥BD，推出AD∥OE，∠OEB＝∠ADC，即可解决问题；【解答】（1）证明：连OD，OE，如图1所示，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠BDO＝90°，又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠BDO，∴∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2所示，连接EO．∵EB为⊙O的切线，ED为切线，∴∠OED＝∠OEB，∵AD⊥BD，OE⊥BD，∴AD∥OE，∴∠ADC＝∠OED＝∠OEB，∴tan∠OEB＝＝，∵OB＝3，∴BE＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定与性质，由三角函数和证明三角形相似是解决问题（2）的关键．40．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．【分析】（1）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD即可；（2）由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE＝CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直线l与⊙O相切与点P，∴OP⊥l，∵l∥BC，∴PE⊥BC，∴BE＝CE，∴弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及切线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．41．如图，PB切⊙O于点B，联结PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，联结AP，AE．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果OD＝3，tan∠AEP＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA、OB，根据垂径定理的知识，得出OA＝OB，∠POA＝∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．（2）根据tan∠AEP＝得出＝，设AD＝x，DE＝2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，进而就可求得⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连结OA，OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PE于点D，∴∠POA＝∠POB，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PA⊥OA，∴直线PA为⊙O的切线，（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∵tan∠AEP＝＝，∴设AD＝x，DE＝2x，∴OE＝2x﹣3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2＝x2+32，解得x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝OE＝2x﹣3＝5，即⊙O的半径的长5．【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目能灵活运用．42．如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC＝130°，AB＝2．求：（1）的长；（2）∠D的度数．【分析】（1）直接利用弧长公式求出即可；（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝130°，AB＝2，∴＝＝＝；（2）由∠AOC＝130°，得∠BOC＝50°，又∵∠D＝∠BOC，∴∠D＝×50°＝25°．。
丰台区九年级上期数学期末试卷及答案(word).doc
第一学期期末练习 初 三 数 学学校 姓名 考号 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知23(0)x y xy =≠，则下列比例式成立的是A ．32x y= B ．32x y= C ．23x y =D ．23=x y 2．二次函数2)1(2-+=x y 的最小值是A ．1B ．－1C ．2D ．－23．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，若O 1O 2=8cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含 4．若ABC DEF △∽△，相似比为1∶2，且△ABC 的面积为4，则△DEF 的面积为 A ．16 B ．8 C ．4D ．25．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是A ．21B ．2C ．25D ．5526．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ，若CE =2，则AB 的长是A ．4B ．6C ．8D ．107． 如图，若点P 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，若矩形PMON 的面积为6，则k 的值是考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
αA．-3 B．3 C．-6 D．68．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是A B C D二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）9．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A A＝__________．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6，则EC的长等于．11．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是cm ．12．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC=20°，点D是弧CA B上一点，若∠ABC=20°，则∠D的度数是______．13．已知二次函数y=ax2+bx+c，若x与y的部分对应值如下表：则当x=4时，y= ．14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，I HFBEFBEAEDCBNBCD则正方形CDEF 的边长a 1是 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中△EDA 的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长a 2= ；继续在图2中的△HGA 中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n 个内接正方形的边长a n =．（n 为正整数） 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．计算：2cos30°＋sin45°－tan60°． 16．已知二次函数322--=x x y ．（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出这个函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．17．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，联结BD ，过点C 作CE ⊥BD 于交AB 于点E ，垂足为点H ，若AD =2，AB =4，求sin ∠BCE ．18．已知：在平面直角坐标系xOy 中，将直线x y =绕点O 顺时针旋转90°得到直线l ，反比例函数xky =的图象与直线l 的一个交点为A (a ，2)，试确定反比例函数的解析式．四、解答题（本题共22分，第19、 22题每小题5分，第21、 22题每小题6分）H A EBCD 图1 图219．如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC=50m，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）求证：BC为⊙O的切线；(2）若AC= 6，tan B=43，求⊙O的半径．（1）若日销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；（2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？22．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O处，两条直角边与抛物线2(0)y ax a=<交于A、B两点．（1）如左图，当2OA OB==时，则a= ；（2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转到如右图所示的位置时，过点B作BC x⊥轴于点C，测得1OC=，求出此时点A的坐标；（3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段A B总经过一个定点，请直接写出B30°60°CAB该定点的坐标．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx nx =+-与直线y =x －1交于A （－1，a ）、B （b ，０）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）点(t,0)P 是x 轴上的一个动点．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．当点M 位于点N 的上方时，直接写出t 的取值范围．24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AC =BC ，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结BE 交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥BE 交AB 于点G ，（1） 如图1，当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 ；（2） 如图2，当12CE AE =，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明； （3） 如图3，当nAE CE 1=，线段EF 与EG 的数量关系是 ．图1 图2 图325．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：212.y x x=-+（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式=322232-+⨯ ------3分3223-+=------4分 22=------5分16．解：（1）∵4)1(3222--=--=x x x y ，∴对称轴是1=x ，顶点坐标是（1，4-）．------2分 （2）令y =0，则0322=--x x ，解得11-=x ，32=x ；令x =0，则3-=y ．∴图象与x 轴交点坐标是(-1，0)、(3，0)，与y 轴的交点坐标是)3,0(-． ------5分17．解：∵CE ⊥BD ，∴∠1+∠3=90°．∵∠ABC =90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．------1分∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°． 在Rt △ABD 中，AD =2，AB =4， 由勾股定理得，BD =52． ------2分 ∴sin ∠2=55522==BD AD ．------4分∴sin ∠BCE 55=．------5分 18．解：根据题意，直线l 的解析式为x y -=．------1分 ∵反比例函数xky =的图象与直线l 交点为A (a ，2)，∴2=-a . ∴2-=a . ------2分∴A (-2，2)． ------3分∴22-=k. ∴4-=k . ------4分 ∴反比例函数的解析式为xy 4-=．------5分A E B19．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADC =90°．------1分∵∠B =30°，∠ACD =60°，∴∠1=30°．------2分 ∴∠1=∠B ， ∴CA =CB =50．------3分在Rt △ACD 中，sin ∠ACD =ACAD，------4分∴0523AD =，325=AD ．答: 热气球离地面的高度是325米. ------5分20．（1）证明：联结OD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2．∵OA =OD ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OD ∥AC ．------1分∴∠C =∠ODB =90°， 即OD ⊥BC ．------2分又点D 在⊙O 上，∴BC 为⊙O 的切线．------3分（2）解：∵∠C =90°，tan B =43，∴43=BC AC ．∵AC =6，∴BC =8．------4分 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AB =10． 设⊙O 的半径为r ，则OD =OA = r ，OB =10-r .∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ．------5分 ∴AB OB AC OD =，即10106r r -=，解得415=r ． 所以，⊙O 的半径为415．------6分21．解：（1）设y =kx +b (k ≠0)．∴⎩⎨⎧=+=+.40040,50030b k b k ------1分解得⎩⎨⎧=-=.800,10b k ------2分 ∴y =80010+-x ．------3分(2) )80010)(20()20(+--=-=x x x y W ------4分9000)50(102+--=x ．------5分∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W 最大，最大利润是9000元．------6分A22．解：（1）22-=a ．------1分 （2）由（1）可知抛物线的解析式为222x y -=. ∵OC =1, ∴y B =22-, ∴B （1，22-）．------2分过点A 作AD ⊥x 轴于点D ， 又BC ⊥x 轴于点C ， ∴∠ADO =∠BCO =90°． ∴∠1+∠2 =90°． ∵AO ⊥OB ，∴∠1+∠3 =90°．∴∠2=∠3． ∴△DAO ∽△COB ．∴OC AD BC OD =． ------3分设点A 坐标为（222,x x -），则OD =-x ，AD =222x ． ∴122222xx =- , 解得x =-2, ∴y A =22-,故点A 的坐标为(-2, 22-)．------4分（3）定点坐标是（0，2-）．------5分23．解：（1）∵抛物线与直线交于点A 、B 两点，∴a =--11，01=-b ．∴2-=a ，1=b ． ∴A （-1，-2），B （1，0）．------2分∴⎩⎨⎧=-+-=--.02,22n m n m 解得⎩⎨⎧==.1,1n m ∴抛物线的解析式为22-+=x x y ．------4分（2）点A （-1，-2），点C （0，2-），∴AC ∥x 轴，AC =1．------5分 过点B 作AC 的垂线，垂足为点D ，则BD =2．∴S △ABC =1212121=⨯⨯=⋅BD AC ．------ 6分（3） 1-<t <1．------7分24．解：（1） EF =EG ; ------1分(2)21=EG EF ; ------2分 证明：过点E 作EM ⊥CD 于点M ，作EN ⊥AB 于点N ， ------3分∴∠ENA =∠CME =∠EMF =90．∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠CDA =90°． ∴EM ∥AD ．∠A =∠CEM ． ∴△EMC ∽△ANE . ∴ANEMAE CE =. ------4分 ∵EM ∥AD ，∴∠NEM =90．即∠2＋∠3=90°．∵ EG ⊥BE ，∴∠3＋∠2=90，∴∠1＝∠2． ∴△EFM ∽△EGN ． ∴ENEMEG EF =. ------5分 ∵∠ACB =90，AC =BC ，∴∠A =45， ∴tan ∠A =ANEN=1, ∴AN =EN . ∴AN EM EG EF =, ∵21=AE CE , ∴21=EG EF ． ------6分(3) nEG EF 1=. ------7分25．解：(1) ∵1)1(2221+--=+-=x x x y ，------1分∴抛物线C 1的顶点坐标是（1,1），∴平移后的抛物线C 2顶点P （3，2）．------2分∴2)3(22+--=x y ． （或者7622-+-=x x y ）------3分 (2) 存在点N （x ,y ）满足条件．------ 4分∵以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴N P y y -=，∴2-=N y ． 当点N 在C 1上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ；B∴N 1（2,31-+）, N 2（2,31--）;当点N 在C 2上时，22-=y ，即22)3(2-=+--x ，解得1543==x x ，； ∴N 3（2,5-）, N 4（2,1-）．∴满足条件的点N 有4个，分别是N 1（2,31-+）、N 2（2,31--）、N 3（2,5-）、N 4（2,1-）．------ 8分(说明: 每求出一个点N 的坐标得1分)。
2022-2023学年北京丰台区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京丰台区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．【详解】解：A ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；C ．图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；D ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．2. 如图，四边形ABCD 内接于，若，则的度数为（ ）O 130C ∠=︒BOD ∠A. 50°B. 100°C. 130°D. 150° 【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，=2∠A=100°，BOD ∠故选：B ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）()21y x =--A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y 轴D. 顶点在x 轴上【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质判断即可．2()y a x h =-【详解】在二次函数中，()21y x =--∵，10a =-<∴图像开口向下，故A 错误；令，则，0x =2(01)10y =--=-≠∴图像不经过原点，故B 错误；二次函数的对称轴为直线，故C 错误；()21y x =--1x =二次函数的顶点坐标为，()21y x =--(1,0)∴顶点在x 轴上，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．2()y a x h =-4. 若关于x 的一元二次方程有一个根是，则a 的值为()2210a x a x a -+-=1x =（ ）A.B. 0C. 1D. 或1 1-1-【答案】A【解析】【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 1x =()2210a x a x a -+-=【详解】∵关于x 的一元二次方程有一个根是 ()2210a x a x a -+-=1x =∴210a a a -+-=解得1a =±∵一元二次方程 ()2210a x a x a -+-=∴10a -≠∴1a ≠∴1a =-故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．5. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )A. πB. π 258254C. π D.π 25162532【答案】B【解析】【详解】∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6=10，∴S 阴影部分=．故选B ． 2905253604ππ⨯=6. 某口袋放有编号1~6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是（ ） A. B. C. D. 1361181612【答案】C【解析】【分析】此题需要两步完成，可采用列表法，列举出所有情况，看两次摸到的球相同的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：列表得：(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(2,1)(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)两次摸到的球相同的情况数占总情况数的概率 61366==故答案为：C【点睛】此题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题需要注意是放回实验还是不放回实验，列举出所有情况是解题关键．7. 如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300 m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A. A ，B ，C 都不在B. 只有BC. 只有A ，CD. A ，B ，C【答案】D【解析】 【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角ABC ∆形斜边上的中线性质即可得．【详解】解：如图所示：连接BD ，∵，，，300AB =400BC =500AC =∴，222AC AB BC =+∴为直角三角形，ABC ∆∵D 为AC 中点，∴，250AD CD BD ===∵覆盖半径为300 ，∴A、B 、C 三个点都被覆盖，故选：D ．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B 于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经0ac <0a b c -+>90m a +=过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是(),C t n 4t +2ax bx c n ++=（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④(),C t n ()4,-C t n 进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是B ，则线段AB 的长为______．()3,2A -【答案】【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点B 的坐标，再根据平面上两点间的距离公式得出答案．【详解】关于原点对称的点是()3,2A - ()3,2B -,AB ∴==故答案为：【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质及平面上两点间的距离公式，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键. 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.10. 将抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表22y x =达式为______．【答案】22y x =【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，22y x =得到的抛物线的函数表达式为：，222112y x x =+-=故答案为：．22y x =【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．11. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．【答案】1【解析】【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：， 12222ππ⨯⨯=∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则： ，22r ππ=解得：，1r =故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．12. 点，在抛物线上，则，的大小关系为：__________()11,A y -()22,B y 22y x =1y 2y 1y（填“>”，“=”或“<”）．2y 【答案】<【解析】【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大，从而求解．【详解】解：由可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴，22y x =∵，1020--<-∴点A 离y 轴的距离小于B 离y 轴的距离,∴，12y y <故答案为：<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法．13. 如图，分别切于点A ，B ，Q 是优弧上一点，若，则的PA PB ，O AB 40P ∠=︒Q ∠度数是________．【答案】70°##70度【解析】【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角OA OB 、90OAP OBP ∠=∠=︒和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可．AOB ∠【详解】解：如图所示，连接，OA OB 、∵分别切于点A ，B ，PA PB ，O ∴，90OAP OBP ∠=∠=︒又∵，40P ∠=︒∴，360909040140AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒∴， 7201Q AOB ∠=∠=︒故答案为：70°．【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.【答案】1：2：3.【解析】【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．【详解】解：如图：在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，∴R=2r，AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值．15. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．【答案】0.2【解析】【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，故答案为：0.2．【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．16. 某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，O 转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱18P 到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m ．A B C D【答案】 ①. C ②. 78【解析】【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈，即可确定出座舱到达了哪个23位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈 23∴乘坐的座舱到达图2中的点C 处如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC 于点E由图2可知圆的半径为44m ， 120BOC ∠=︒即44OB OC OQ ===∵OQ⊥BC∴ 111206022EOC BOC ∠=∠=⨯︒=︒∴ 1cos 6044222OE OC =︒=⨯= ∴442222QE OQ OE =-=-=∴点C 距地面的高度为 m1002278-=故答案为C,78【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.三、解答题（共68分，本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 解方程：．229100x x -+=【答案】或 152x =22x =【解析】【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．【详解】，229100x x -+=， (25)(2)0x x --=∴或，250x -=20x -=解得：或． 152x =22x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．18. 已知：如图，A 为上的一点．O求作：过点A 且与相切的一条直线．O 作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与的一个交点为B ，作射线OB ；O ③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）；④作直线PA ．直线PA 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA ．由作法可知．BO BA BP ==∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴（ ）（填推理的依据）．90OAP ∠=︒∵OA 是的半径，O ∴直线PA 与相切（ ）（填推理的依据）．O 【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【解析】【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP 即为所求作；（2）证明：连接BA ，由作法可知，BO BA BP ==∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴（直径所对的圆周角是直角），90OAP ∠=︒∵OA 是的半径，O ∴直线PA 与相切（切线的判定定理），O 故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．19. 已知关于的一元二次方程．x 2(2)10x m x m +-+-=（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．0m <m 【答案】（1）见解析；（2）3m =-【解析】【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；（2）用m 表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．【详解】（1）证明：∵一元二次方程，2(2)10x m x m +-+-=∴()()2241m m ∆=---==．24444m m m -+-+2m ∵，20m ≥∴．0∆≥∴ 该方程总有两个实数根． （2）解：∵一元二次方程，2(2)10x m x m +-+-=解方程，得，．11x =-21x m =-∵ ，0m <∴ ．11m ->-∵该方程的两个实数根的差为3，∴ ．1(1)3m ---=∴．3m =-【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． xOy ()231y a x =--()2,1（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．（3）当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．04x ≤≤【答案】（1）()=--2y 2x 31（2）1（3）117y -≤≤【解析】【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式．()2,1a （2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．（3）利用函数的顶点和函数图象轴的交点，以及代入特殊点作二次函数的图象即可求得y y 的取值范围【小问1详解】∵ 抛物线经过点， ()231y a x =--()2,1∴ ，11a -=解得：，2a =∴ 该抛物线的表达式为．()=--2y 2x 31【小问2详解】由（1）知抛物线的表达式为()=--2y 2x 31∴抛物线的顶点坐标为，()3,1-∵抛物线与轴只有一个公共点， x∴只需向上平移个单位，顶点变为，此时满足题意，1()3,0∴将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点，1故答案为：1．【小问3详解】函数图象如下图所示： ()=--2y 2x 31通过图象可知当时，；0x =17y =当时，；3x =1y =-当时，；4x =1y =∴当时，04x ≤≤117y -≤≤【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式、函数图象的平移和二次函数图象，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图象整体平移的情况，会画二次函数的图象是解决该题的关键．21. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；1P 活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．2P 请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的1P 2P 猜想．【答案】，验证过程见解析12P P <【解析】【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】活动1：红球1 红球2 白球 红球1 （红1，红2） （红1，白） 红球2（红2，红1） （红2，白） 白球 （白，红1） （白，红2）∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为 12163P ==活动2：红球1 红球2 白球 红球1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红球2（红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白球 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为 249P =∴12P P <【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重点需要注意球放回与不放回的区别．22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？【答案】每件衬衫应降价20元【解析】【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出x (40)x -2x 件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．(202)x +(40)(202)x x -+【详解】解：设每件衬衫应降价元，x 根据题意得，(40)(202)1200x x -+=整理得22604000x x -+=解得：，．120x =210x =因为要扩大销售，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．23. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的图象y x 如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；A 当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把x=0()()233.30y a x a =-+≠代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3），B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：，()()23 3.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得， B ()233.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．24. 如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE∥OA，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）连接OD ，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS ），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO ，由切线长定理得到AD=AC ，再根据勾股定理，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD ，如图：∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD.在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD≌△AOC，∴ ∠ADO=∠ACO.∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO=∠ACO=90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE=6，∴OE=OD=OC=3.在Rt△ODB 中，BD=4，OD=3，∴，222BD OD BO +=∴BO=5，∴BC=BO+OC=8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD=AC.在Rt△ACB 中，，222AC BC AB +=即：，2228(4)AC AC +=+解得：AC=6；【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．25. 阅读理解：某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探221y x x =-++究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表： x … 3- 52- 2- 1- 0 1 2 52 3…y … 2- 14- m 2 1 2 1 14- 2-… 其中______；m =（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画xOy 出该函数的图象；（3）根据函数图象，回答下列问题：①当时，则y 的取值范围为______．11x -≤<②直线经过点，若关于x 的方程有4个互不相等的实数y kx b =+()1,2221x x kx b -++=+根，则b 的取值范围是______．【答案】（1）1（2）见解析 （3）①；②12y ≤≤12b <<【解析】【分析】（1）把代入函数解析式即可得的值；2x =-m （2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数的图象关于y 轴对称；当221y x x =-++时，根据函数图象可得到；11x -≤<12y ≤≤②根据函数的图象即可得到b 的取值范围是．12b <<【小问1详解】将代入函数得： 2x =-221y x x =-++．()222214411m =--+⨯-+=-++=故答案为：1【小问2详解】根据表格：x … 3- 52- 2- 1- 0 1 2 52 3… y … 2- 14- 1 2 1 2 1 14- 2-… 描点法作出函数的图象如下图所示：221y x x =-++【小问3详解】①根据函数图象可知：当时，y 的取值范围是；1<1x ≤-12y ≤≤故答案为：；12y ≤≤②由函数图象知：∵关于x 的方程有个互不相等的实数根， 221x x kx b -++=+4∴b 的取值范围是．12b <<故答案为：；．12y ≤≤12b <<【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线． xOy ()21y ax a x =-+（1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴；()2,0（2）若，为抛物线上两个不同的点．()11,M x y ()22,N x y ①当时，，求a 的值；124x x +=-12y y =②若对于，都有，求a 的取值范围．122x x >≥-12y y <【答案】（1）抛物线的对称轴1x =（2）①② 15a =-105a -≤<【解析】【分析】（1）抛物线经过点，可得，解得，()21y ax a x =-+()2,0042(1)a a =-+1a =则抛物线为，利用抛物线的对称轴公式即可求解；22y x x =-（2）①由，为抛物线上两个不同的点，时，可()11,M x y ()22,N x y 124x x +=-12y y =得二次函数图像的对称轴为直线，利用抛物线对称轴公式可得的2x =-(1)22a a -+-=-a 值；②对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当2x ≥-y x 0a >a<0a 时不能满足对于，都有，当时可以满足对于，0a >122x x >≥-12y y <a<0122x x >≥-都有的条件，使得即可，从而可得a 的取值范围． 12y y <(1)22a a-+-≤-【小问1详解】解：函数图像经过点， ()2,0，042(1)a a ∴=-+，1a ∴=，22y x x ∴=-， 2122b a -∴-=-=抛物线的对称轴是；∴1x =【小问2详解】解：①时，124x x +=- 12y y =二次函数图像的对称轴为直线，∴2x =-， (1)22a a-+∴-=-； 15a ∴=-②由题意可得，对于任意的，随的增大而减小，2x ≥-y x 当时，抛物线开口向上，对称轴为， 0a >(1)110222a x a a-+=-=+>在对称轴左侧，在直线的右侧可满足题意，而在对称轴右侧则有都有2x =-122x x >≥-，故不可能；12y y >0a >当时，，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线a<0()11,M x y ()22,N x y 12y y <左侧，即抛物线对称轴，， 2x =-(1)112222a x a a -+=-=+≤-整理得：， 15a ≥-． ∴105a -≤<【点睛】此题考查了抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线解析式和对称轴公式是解题关键．27. 在正方形中，点E 在射线上（不与点B 、C 重合），连接，，将ABCD BC DB DE DE 绕点E 逆时针旋转得到，连接．90︒EF BF（1）如图1，点E 在边上．BC ①依题意补全图1；②若，，求的长；6AB =2EC =BF （2）如图2，点E 在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，BC BD BE BF 并证明．【答案】（1）①见解析；②BF =（2），证明见解析 BF BD +=【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②过点F 作，交的延长线于H ，证明得到，FH CB ⊥CB DEC EFH △≌△2EC FH ==，则，在中，利用勾股定理即可求解；6CD BC EH ===2HB EC ==Rt FHB △（2）过点F 作，交的延长线于H ，证明得到，FH CB ⊥CB DEC EFH △≌△EC FH =，则，和都是等腰直角三角形，由此利用CD BC EH ==HB EC HF ==DCB △BHF 勾股定理求解即可．【小问1详解】①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F 作，交的延长线于H ，FH CB ⊥CB∵四边形是正方形，ABCD ∴，，6CD AB ==90C ∠=︒∵，90DEF C ∠=∠=︒∴，，90DEC FEH ∠+∠=︒90DEC EDC ∠+∠=︒∴，FEH EDC ∠=∠在和中，DEC EFH △，90H C FEH EDC EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，DEC EFH △≌△∴，，2EC FH ==6CD BC EH ===∴，2HB EC ==∴在中，Rt FHB △BF ===【小问2详解】结论：，理由如下：BF BD +=过点F 作，交的延长线于H ，FH CB ⊥CB∵四边形是正方形，ABCD ∴，，CD AB =90DCE ∠=︒∵，90DEF DCE ∠=∠=︒∴，，90DEC FEH ∠+∠=︒90DEC EDC ∠+∠=︒∴，FEH EDC ∠=∠在和中，DEC EFH △，90FHE DCE FEH EDC EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，DEC EFH △≌△∴，，EC FH =CD BC EH ==∴，HB EC HF ==∴和都是等腰直角三角形，DCB △BHF ∴，，BD ===BF ==∵，EH BH BE +=∴．BF BD +=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．28. 如图1，对于的顶点P 及其对边上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PMN MN 为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点Q 为关于点P 的内联PQ MN MN PMN 点．在平面直角坐标系中：xOy （1）如图2，已知点，点B 在直线上． ()70A ，1y x =+①若点，点，则在点O ，C ，A 中，点______是关于点B 的内联点； ()3,4B ()30C ，AOB ②若关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；AOB （2）已知点，点，将点D 绕原点O 旋转得到点F ，若关于点E 的()2,0D ()4,2E EOF 内联点存在，直接写出线段EF 长度的取值范围．【答案】（1）①O，C②18n ≤≤（2）EF ≤≤【解析】【分析】（1）①分别以B 为圆心，、、为半径作圆，观察图像根据线段与BO BC BA OA 圆的交点位置，可得结论；②如图，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点O 是()10B ,OB OA 关于点B 的内联点；当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此AOB (7,8)'B AB 'OA 时点A 是关于点B 的内联点；AOB （2）如下图，过点E 作轴于H ，过点F 作轴于N ，利用相似三角形的性质EH x ⊥FN y ⊥求出点F 的坐标，再根据对称性求出的坐标，当时，设交于P ，再F 'OF EF ''''⊥OH F E ''求出的坐标，结合图像可得出结论．F ''【小问1详解】①如下图中，根据点Q 为关于点P 的内联点的定义，观察图象可知，点O ，点C 是PMN AOB 关于点B 的内联点故答案为：O ，C ；②如下图中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点O ()10B ,OB OA 是关于点B 的内联点，AOB 当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点A 是关于点B 的(7,8)'B AB 'OA AOB 内联点，观察图像可知，满足条件的n 的值为；18n ≤≤【小问2详解】如下图，过点E 作轴于H ，过点F 作轴于N ，EH x ⊥FN y ⊥∵(4,2)E ∴，，4OH =2EH =∴OE ==当时，点O 是关于点E 的内联点，OF OE ⊥OEF ∵，90EOF NOH ∠=∠=︒∴EOF EOH ∠=∠∵90FNO OHE ∠=∠=︒∴，FNO EHO ∴， OF FN ON OE EH OH ==， 24FN ON ==∴， FN =ON =∴， (F∴此时EF =观察图象可知当时，满足条件；4EF ≤≤作点F 关于点O 的对称点， F '此时EF '=当时，设交于P ，OF EF ''''⊥OH F E ''∵，，，90EF O EHO ''∠=∠=︒OE EO =EH OF ''=∴，OHE EF O ''≅ ∴，EOH OEF ''∠=∠∴，设，PE OP =PE OP t ==在中，则有，Rt PEH 2222(4)t t =+-解得， 52t =∴，， 52OP =32PH PF ''==可得，86(,55F ''-此时EF ''=观察图象可知，当EF ≤≤综上所述，满足条件的的取值范围为EF EF ≤≤【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
6.丰台评标：202001九上数学期末
丰台区2019—2020学年第一学期期末练习初三数学评分标准及参考答案二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.12 10. 30 11. 1212. 5 13. 1y x=-（答案不唯一） 14. 4515.1216. C ；78 三、解答题（本题共60分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分）17. 解：原式1232=⨯+ ……4分 13=+4=- ……5分 18. 证明： ∵□ ， ∴∠B =∠D . ……2分 且BE ∥CD ， ……3分∴∠E =∠DCE ． ……4分 ∴△EBC ∽△CDF ．……5分19. 解：（1）函数图象如下图所示： ……3分（2）4-≤y ≤0． ……5分20. 解：（1）∵点P (m ，1)在直线y x =上， ∴1m =． ……1分 ∵点P (1，1)在k y x=上， ∴1k =． ……2分 ∵点Q 为直线y x =与ky x=的交点， ∴点Q 坐标为(1-，1-)． ……3分 （2）1A ,0) , 2A (0)． ……5分 21. 解：（1）设一次函数的表达式为：y kx b =+，将(20，20)，(30，10)代入y kx b =+，得到关于k ，b 的二元一次方程组2020,3010.k b k b +=+=⎧⎨⎩……1分 解得 1,40.k b =-=⎧⎨⎩∴售量y (袋)与售价x (元)之间的函数表达式为40y x =-+． ……2分 (2) P =(10x -)(40x -+)=250400x x -+-． ……3分(3) P =250400x x -+-=-(25x -)2225+ ．…4分(10x ＜＜40)∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元. ……5分ABCD22. 解：（1）平行式或倾斜式． ……3分（2）36． ……5分 23. （1）解：∵到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ，∴图形W 是以O 为圆心，OM 的长为半径的圆． 根据题意补全图形：……1分∵OM AB M ⊥于点， ∴∠90BMO =︒．在△BMO 中，2sin 3OM ABC BO ∠==， ∴23BO MO =．∵2BE =∴322BO OE OM =+=，解得：4OM OE ==． ……2分 ∴6BO =．在Rt △BOM 中， 222BM OM BO +=， ∴25BM =．，解得：453MH =． ……3分（2） 解： 1个．证明：过点O 作ON ⊥BD 于点N ，∵∠CBD +∠MOB 90=︒，且∠ABC +∠MOB 90=︒，∴ ∠CBD =∠ABC ．∴OM ON =． ……4分∴BD 为⊙O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个． ……5分24. 解法1：选择小聪的作法，列表并作出函数3221y x x =-+的图象：（列表略）………2分根据函数图象，得近似解为 10.6x ≈- ，2 1.0x ≈，3 1.6x ≈． ……....…………5分 解法2：选择小明的作法，列表并作出函数212y x x =-和21y x =-的图象：（列表略）……2分根据函数图象，得近似解为 10.6x ≈- ，2 1.0x ≈，3 1.6≈..…………5分 y 2= -1xy 1= x 2-2xyxO -1-2-3-1-2-31231243y= x 3-2x +1yxO-1-2-3-1-2-31231231122BMO S MO MB MH BO =⋅=⋅25.（1）顶点坐标为（1-，1）；…….…....………….....…………….…...….….....…………2分 （2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--． ….…...….….....…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界)结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =，结合图象可得 19m ＜≤14． ….…...…..….....………….........………6分26.解：（1）正确补全图形；………………1分DE BE =． ………………3分 （2）解：∠45ACB =︒． ……………………………………………………4分证明：∵45ACB ∠=︒，∴AB AC =． ∵AC AD =，∴AB AD =． ……………………………………………………………5分 过点D 作DF AC ⊥于点F ，∴90DFE ∠=︒∵30CAD ∠=︒，∴1122DF AD AB ==． ∵90BAE ∠=︒，∴90DFE BAE ∠=∠=︒． ∵FED ∠=∠AEB ． ∴△FED ∽△AEB ． ∴12DE DF BE AB ==． …………………………………………………………7分M N A B CDEFD ECB AM N27.解：（1）①A ，C . ………………………………………………………………2分 ②∵点D 是直线y x =的图上点，∴点D 在y x =上.又∵点D 是22y x =-的上位点，∴点D 在y x =与22y x =-的交点R ，S 之间运动.∵22,.y x y x ⎧=-⎨=⎩ ∴111,1.x y =-⎧⎨=-⎩222,2.x y =⎧⎨=⎩ …………3分∴点R (1-，1-)，S (2，2).∴2D x -1＜＜. ……………………………………………………………5分（2）32Hx ->或3+2H x -＜. ………………………………………………7分(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)。
6.丰台试题：202001九上数学期末
丰台区2019-2020学年度第一学期期末练习初三数学2020. 01一、选择题（本题共24分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果3AD =，6BD =，2AE =，那么AC 的值为A ．4B ．6C ．8D ．93．在Rt △ABC 中，∠90C =︒，如果4AC =，3BC =，那么cos A 的值为A ．45B ．35C ．43D ．344．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 A ．55︒B ．70︒C ．110︒D ．140︒5．点A (1x y ，11x y ，)，B (2x y ，22xy ，)是反比例函数2y x=的图象上的两点，如果120x x ＜＜， 那么1y ，2y 的大小关系是 A ．210y y ＜＜ B ．120y y ＜＜C ．210y y ＞＞D ．120y y ＞＞6．如图，在扇形OAB 中，∠90AOB =︒，2OA =，则 阴影部分的面积是 A ．2B ．πC ．2πD ．π2-7．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行ABC A A CDE的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(0a ≠)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.CBA图1 图2有如下四个结论：① 勒洛三角形是中心对称图形② 图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等 ③ 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④ 使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果12a b a -=，那么b a = ．10．如果tan α=α= 11．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m ．12．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA . 如果8AB =，2CD =，那么⊙O 的半径为．13．请你写出一个函数，使它的图象与直线y x =无公共点，这个函数的表达式为．⌒14．如图所示的网格是正方形网格，△ABC 和△CDE 的顶点都是网格线交点，那么∠BAC +∠CDE = °．15．将矩形纸片ABCD 按如下步骤进行操作：（1）如图1，先将纸片对折，使BC 和AD 重合，得到折痕EF ；（2）如图2，再将纸片分别沿EC ，BD 所在直线翻折，折痕EC 和BD 相交于点O .那么点O 到边AB 的距离与点O 到边CD 的距离的比值是 ．D F CBE AA EBC FD O图1 图216．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O 顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点 处(填A ，B ，C 或D )，此点距地面的高度 为 m ．图1 图2三、解答题（本题共60分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题7分） 17．计算：22sin 30cos 45tan 60︒-︒+︒．18．如图，E 是□ ABCD 错误!未找到引用源。
北京市丰台区九年级上册期末数学试题有答案
丰台区第一学期期末练习初三数学考 生 须 知1. 本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（ > 0）图象上的一点，过点A 作轴的平行线交y轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相CBA②①③ ④ AB xOy似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标与纵坐标y 的对应值如下表：… 1-0 1 2 3 … y…31-m3…有以下几个结论：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，的取值范围是＜0或＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果sin α =12，那么锐角α = .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm. 12．如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .14．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2）， C （4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD的延长线上，且DG = 2BE . 如果设BE 的长为（单位：m ），绿地AEFG 的图1图2 ABCE DGFHACBA B'A'BOO AC BOAB面积为y （单位：m 2），那么y 与的函数的表达式为 ；当BEAEFG 的面积最大.16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是 ； （2）直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = 2 - 4 + 3．（1）用配方法将y = 2 - 4 + 3化成y = a ( - h )2 + 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤≤3时，y 的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长．D CBA E请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=+与双曲线kyx=的一个交点为P(m，2).（1）求的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a > b时，n的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN 顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.24．如图，AB是⊙O的直径，点C是»AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD AC=，点E是OB上一点，且23OEEB=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当2OB=时，求BH的长.OACHECDABNMEPCBA25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为cm ，△DEF 面积为y cm 2． 小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究．DC BAEF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量的取值范围是 ；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为 cm ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线 =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BCAC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .（1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系Oy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12），P 2（0，－2），P 3，0）中，⊙O 的“离心点”是 ；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.EMNFA CEMN F AC图1图2丰台区第一学期期末练习 初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. 30°； 10.2π3； 11. 10； 12. 1； 13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：2cos30sin45tan60︒+︒-︒=2……3分……4分……5分18. 解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC=.……2分即243EC=．∴EC＝6．……4分∴AC＝AE + EC＝10．……5分其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x=-+-()221x=--. ……2分（2）如图：….3分（3）13y-≤≤….5分20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD==.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r-.在Rt OCE∆中，∵222OE CE OC+=，∴()22125r r-+=.∴=13r. …4分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分21. 解：（1）一次函数1y x=+的图象经过点(,2)P m，1m=．……… 1分点P的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数kyx=的图象经过点P(1，2)，2k=………3分（2）0n<或2n>…………5分22.解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，∴EN=AC=1.5.AB=CD=15.在Rt MEDV中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴∠EMD＝∠MDE＝45°.∴ME＝DE.…2分设ME＝DE＝，则EC＝+15.在Rt MECV中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵tanME EC MCE=⋅∠，∴()0.715x x≈+.∴35x≈ .∴35ME≈ .…4分∴36.5MN ME EN=+≈ .∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图.于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k=-+根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6）. ……2分∵点P为抛物线顶点，∴1 3.6h k==， .∵点A在抛物线上，∴ 3.62a+=，a=-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x=--+. ……4分当点C的纵坐标y=0时，有OEABC DCDABNMEDCAEx+3()21.61 3.6=0x--+.10.5x=-（舍去），22.5x=.∴BC=2.5.∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m. ……5分24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分 ∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分 其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OE BF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分 在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==.∵1122ABFS AB BF AF BH =⋅=⋅V ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分 （2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分 （4）0或2. ……6分 26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.（3）点Q的坐标为（12-）或（12-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分 又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE . ∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAFAE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。
北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类
北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类一．一元二次方程的解（共1小题）1．（2021秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个解为x＝0，那么m的值是（ ）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1二．函数的图象（共2小题）2．（2021秋•丰台区期末）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．3．（2022秋•丰台区期末）下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB．当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x三．反比例函数的图象（共1小题）4．（2020秋•丰台区期末）函数y＝+的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A．x1≠0，x2≠0B．y1＞，y2＞C．若y1＝y2，则|x1|＝|x2|D．若y1＜y2，则x1＜x2四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）5．（2020秋•丰台区期末）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2五．二次函数的性质（共2小题）6．（2020秋•丰台区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（ ）A．抛物线G的开口向下B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大7．（2021秋•丰台区期末）抛物线y＝（x﹣4）2+1的对称轴是（ ）A．x＝4B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝﹣4六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）8．（2021秋•丰台区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A．a＝2b B．c＞0C．a+b+c＞0D．4a﹣2b+c＝0七．二次函数图象与几何变换（共1小题）9．（2022秋•丰台区期末）将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2八．二次函数的最值（共1小题）10．（2020秋•丰台区期末）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2九．抛物线与x轴的交点（共1小题）11．（2022秋•丰台区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是（ ）A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝3D．x1＝﹣7，x2＝3一十．垂径定理的应用（共1小题）12．（2020秋•丰台区期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米一十一．圆周角定理（共2小题）13．（2020秋•丰台区期末）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BACC．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°14．（2021秋•丰台区期末）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC 的度数是（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°一十二．圆内接四边形的性质（共1小题）15．（2022秋•丰台区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠DAB＝40°，则∠DCB的度数为（ ）A．80°B．100°C．140°D．160°一十三．扇形面积的计算（共2小题）16．（2020秋•丰台区期末）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ）A．B．3πC．6πD．9π17．（2021秋•丰台区期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）A．πB．2πC．D．2π﹣2一十四．中心对称图形（共1小题）18．（2022秋•丰台区期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．一十五．利用旋转设计图案（共3小题）19．（2020秋•丰台区期末）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．20．（2021秋•丰台区期末）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．21．（2022秋•丰台区期末）图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．144B．120C．72D．60一十六．随机事件（共1小题）22．（2022秋•丰台区期末）下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是360°；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个一十七．概率公式（共2小题）23．（2021秋•丰台区期末）把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为（ ）A．B．C．D．24．（2022秋•丰台区期末）不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ）A．B．C．D．北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类参考答案与试题解析一．一元二次方程的解（共1小题）1．（2021秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个解为x＝0，那么m的值是（ ）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1【答案】A【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m＝±1，而m﹣1≠0，∴m≠1，∴m＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共2小题）2．（2021秋•丰台区期末）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由题知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除CD选项，随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项，故选：B．3．（2022秋•丰台区期末）下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB．当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x【答案】D【解答】解：A：汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y是行驶时间x的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意；B：当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻x成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意；C：圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径x成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意；D：用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x成二次函数关系，开口向下，故D符合题意；故选：D．三．反比例函数的图象（共1小题）4．（2020秋•丰台区期末）函数y＝+的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A．x1≠0，x2≠0B．y1＞，y2＞C．若y1＝y2，则|x1|＝|x2|D．若y1＜y2，则x1＜x2【答案】D【解答】解：由图象可知，x1≠0，x2≠0，故选项A正确；∵y＝+，∴y1＞，y2＞，故选项B正确；∵由y＝+可知，当x取不为0的相反数时，函数值相同，∴函数的图象关于y轴对称，∴y1＝y2，则|x1|＝|x2|，故选项C正确；根据函数的增减性，当x＜0时，若y1＜y2，则x1＜x2，当x＞0时，若y1＜y2，则x1＞x2，故选项D错误，故选：D．四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）5．（2020秋•丰台区期末）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2【答案】B【解答】解：∵中，k＝2＞0，∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，∵﹣1＜0，∴A点在第三象限，∴y1＜0，∵2＞1＞0，∴B、C两点在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y1＜y3＜y2．故选：B．五．二次函数的性质（共2小题）6．（2020秋•丰台区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（ ）A．抛物线G的开口向下B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大【答案】C【解答】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，故选项B错误，该抛物线开口向上，在x＝﹣时，取得最小值，故选项A错误，当x＞﹣时，y随x的增大而最大，故选项D错误，当x＝0时，y＝4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；故选：C．7．（2021秋•丰台区期末）抛物线y＝（x﹣4）2+1的对称轴是（ ）A．x＝4B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝﹣4【答案】A【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）2+1∴该抛物线的对称轴为直线x＝4，故选：A．六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）8．（2021秋•丰台区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A．a＝2b B．c＞0C．a+b+c＞0D．4a﹣2b+c＝0【答案】D【解答】解：A、对称轴是直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，故选项A不符合题意；B、由函数图象知，抛物线交y的负半轴，∴c＜0，故选项B不符合题意；C、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项C不符合题意；D、由图可知：对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（4，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故选项D符合题意；故选：D．七．二次函数图象与几何变换（共1小题）9．（2022秋•丰台区期末）将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2【答案】B【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y＝x2﹣2，故选：B．八．二次函数的最值（共1小题）10．（2020秋•丰台区期末）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】D【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．九．抛物线与x轴的交点（共1小题）11．（2022秋•丰台区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是（ ）A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝3D．x1＝﹣7，x2＝3【答案】A【解答】解：∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是：x1＝3，x2＝﹣1，故选：A．一十．垂径定理的应用（共1小题）12．（2020秋•丰台区期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米【答案】A【解答】解：连接OA，如图所示：∵⊙O的直径为10分米，∴OA＝5分米，由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，∴AC＝BC＝AB＝4分米，∴OC＝＝＝3（分米），∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），故选：A．一十一．圆周角定理（共2小题）13．（2020秋•丰台区期末）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BACC．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°【答案】C【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，所以A选项的结论正确；∵∠BDC和∠BAC都对，∴∠BDC＝∠BAC，所以B选项的结论正确；只有当CD＝CB时，∠BAC＝∠DAC，所以C选项的结论不正确；∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D选项的结论正确．故选：C．14．（2021秋•丰台区期末）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC 的度数是（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解答】解：因为所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC，所以：∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，故选：C．一十二．圆内接四边形的性质（共1小题）15．（2022秋•丰台区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠DAB＝40°，则∠DCB的度数为（ ）A．80°B．100°C．140°D．160°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠A＝40°，∴∠DCB＝140°，故选：C．一十三．扇形面积的计算（共2小题）16．（2020秋•丰台区期末）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ）A．B．3πC．6πD．9π【答案】D【解答】解：S扇形＝＝9π，故选：D．17．（2021秋•丰台区期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）A．πB．2πC．D．2π﹣2【答案】C【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）＝[﹣]+[﹣]＝π﹣+π﹣2＝﹣2，故选：C．一十四．中心对称图形（共1小题）18．（2022秋•丰台区期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．一十五．利用旋转设计图案（共3小题）19．（2020秋•丰台区期末）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．20．（2021秋•丰台区期末）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．21．（2022秋•丰台区期末）图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．144B．120C．72D．60【答案】C【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∴旋转的度数至少为72°，故选：C．一十六．随机事件（共1小题）22．（2022秋•丰台区期末）下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是360°；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解答】解：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是360°，是必然事件；③明天太阳从东边升起，是必然事件；故其中是随机事件的有1个．故选：B．一十七．概率公式（共2小题）23．（2021秋•丰台区期末）把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：共13种等可能的结果，小于6的有5种结果，所以从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为，故选：D．24．（2022秋•丰台区期末）不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是＝，故选：A．。
北京市丰台区2020--2021学年第一学期九年级数学期末练习试卷
2020—2021学年度第一学期期末练习初三数学考 生 须 知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果是锐角，且21sin =A ，那么A ∠的度数是 （A ）90°（B ）60°（C ）45°（D ）30°2．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，如果∠BOC = 120°，那么∠BAC 的度数是 （A ）90° （B ）60°（C ）45°（D ）30°3．将二次函数142+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式为 （A ）1)4(2+-=x y （B ）3)4(2--=x y （C ）3)2(2--=x y（D ）3)2(2-+=x y4．如图，在□ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ， 那么EF 与CF 的比是 （A ）1∶2（B ）1∶3A BCDE F（C ）2∶15．如图，在平面直角坐标系xOy 象上，如果将矩形OCAD 的面积记为S 2的关系是（A ）S 1 > S 2 （B ）S 1 = S 2 （C ）S 1 < S 2 （D ）不能确定6OA = 25 cm ，OB =10 cm ，那么由AC ⌒线段CD 所围成的扇面的面积约是（A ）157 cm 2 （B ）314 cm 2 （C ）628 cm 2（D ）733 cm 27．二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 那么下列说法正确的是（A ）000>>>c b a ，， （B ）000>><c b a ，， （C ）000<><c b a ，， （D ）000><<c b a ，，8．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ★b =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+，，)()(b a bab a ba 那么函数y = 2★x的图象大致是BAO C D（A ） （B ） （C ） （D ）Oxy二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，AB = 6，那么=B cos _____． 10．如果n m 32=，那么=n m :_____． 11．如果反比例函数xm y 2-=，当0>x 时，y 随x 的 增大而减小，那么m 的值可能是____（写出一个即可）． 12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登 至塔顶，俯瞰园博园全貌. 如图，在A 处 测得∠CAD = 30°，在B 处测得∠CBD = 45°，并测得AB = 52米，那么永定塔的高CD 约 是 米．（4.12≈，7.13≈，结果保留整数）13. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E . 如果︒=∠60B ，AC =4，那么CD 的长为 .14．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … -2 -1 0 1 2 … y…5-3-4-3…那么该抛物线的顶点坐标是 .15．刘徽是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九章算术圆田术》中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法. （注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值.）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”. 刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.ABCDEO刘徽（约225年—约295年）刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R ，此时圆内接正六边形的周长为6R ，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3. 当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 ．（参考数据：sin15° ≈ 0.26）16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：小亮的作法如下：老师问：“小亮的作法正确吗？”请回答：小亮的作法______（“正确”或“不正确”），理由是_________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，请利用直尺和圆规四等分AB ⌒．如图，（1）连接AB ； （2）作AB 的垂直平分线CD 交AB ⌒于点M ， 交AB 于点T ；（3）分别作线段AT ，线段BT 的垂直平分线EF ，GH ，ABC BN AD G HE F T P M28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：︒+︒-︒60cos 245tan 60sin ．18．函数m mx mx y 322--=是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y 轴的交点为（0，3），那么m = ；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象.19．如图，在ABC △中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，连接DE ，且∠ADE =∠ACB .（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）如果E 是AC 的中点，AD =8，AB =10，求AE 的长.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形ABCD 的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB =4. （1）如果反比例函数xky =的图象经过点A ，求这个反比例函数的表达式；EABCD（2）如果反比例函数xky =的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k 的取值范围．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动. 在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全. 小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2. 在图2中大货车的形状为矩形，盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形.图1 图2 请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是 m 2；盲区2的面积约是 m 2；(4.12≈，7.13≈，4.025sin ≈︒，9.025cos ≈︒，5.025tan ≈︒，结果保留整数)2mA 大货车盲区1盲区2盲区3 盲区460°60°4m 25°25°2m2m（2）如果以大货车的中心A 点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22．如图是边长为1的正方形网格，△111A B C 的顶点均在格点上. （1）在该网格中画出△222A B C (△222A B C 的顶点均在格点上)，使△222A B C ∽△111A B C ；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△222A B C 和△111A B C 相似的依据.23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F ． 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD ； （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长．COA24．小哲的姑妈经营一家花店.随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利 元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？ （提示：单株获利 = 单株售价－单株成本）25．如图，P 是AB⌒所对弦AB 上一动点，过点P 作PC ⊥AB 交AB ⌒于点C ，取AP 中点D ，连接CD . 已知AB = 6cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，C ，D 两点间的距离为y cm ．（当点P 与点A 重合时，y 的值为0；当点P 与点B 重合时，y 的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：x /cm 0 1 23 4 5 6 y /cm2.23.23.43.33（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C =30°时，AP 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx a =+过点A （-1，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ，如果该抛物线与线段BC 有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围．27．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F .（1）∠BFE 的度数是 ； （2）如果21=AC AD ，那么=BF AF ； （3）如果nAC AD 1=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明.ADBF11 / 1128．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一个点M ，使得PM = MC ，则称点P 为⊙C 的“等径点”．已知点D )3121(，，E )320(，，F )02(， ．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的“等径点”是 ；②作直线EF ，若直线EF 上的点T （m ，n ）是⊙O 的“等径点”，求m 的取值范围．（2）过点E 作EG ⊥EF 交x 轴于点G ，若△EFG 上的所有点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r 的取值范围．。
北京市丰台区2020-2021学年数学九年级上学期期末试卷答案
丰台区2020—2021学年第一学期期末练习初三数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADB ACCD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.y =x 2-210.1∶911.0.88112.4b =±13.△BDA ，△BCE14.815.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等16.1；3.23三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题6分，23-25题每小题7分）17. 解：（1）∵2243(2)1y x x x =−+=−−，∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1). ··············································· 2分（2）如图：··············································· 4分（3）-1≤y <3. ··························· 5分18.（1）证明：∵AD AB AE AC ⋅=⋅，∴AD AEAC AB=. 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB . ······················ 2分 （2）解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE =∠ACB . ······················· 3分 ∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°. 又∵∠B =55°，∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°. ·····5分 19.解：（1）如图：················································2分（2）如图：················································5分20. 解：（1）∵点D 是矩形OABC 的对角线交点， ∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， 又∵A (4，0)，C (0，2)，∴点D 的坐标为(2，1). ················ 1分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点D ， ∴12k=，解得：k =2. ··················· 2分 （2）由题意可得：点M 的纵坐标为2，点N 的横坐标为4. ∵点M 在反比例函数2y x=的图象上， ∴点M 的坐标为(1，2)， ··············· 3分 ∴14x ≤≤. ······························· 5分 21. （1）证明：连接OD .∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ， ∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ， ∴∠AOC =∠AOD . 在△AOD 和△AOC 中，AO AOAOD AOC OD OC =∠=∠ =∴ △AOD ≌△AOC ， ·················· 1分 ∴ ∠ADO =∠ACO . ∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°, ·············· 2分 又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线. ···················· 3分 （2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3. 在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=， ∴BO =5，∴BC =BO +OC =8. ························4分 ∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=， 即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6. ······························5分 22. 解：（1）3，0.75； ····························4分 （2）16. ·····································6分23. 解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx 过点(4，0)，∴0164a b =+， ∴4b a =−. ··································2分 （2）∵点A (0，a )绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，∴点B 的坐标为(a ，0)， ················3分 ∵点B 向右平移2个单位长度得到点C ， ∴点C 的坐标为(a +2，0). ··············4分（3）（i ）当a >0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图1），只需满足：24a a >+≥，解得：2a ≥. ··············5分图1（ii ）当a <0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向下，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图2），只需满足：20a a <+≤，解得：2a −≤. ············ 6分图2综上所述，a 的取值范围为2a ≥或2a −≤. ··············································· 7分24.（1）证明：∵CF ⊥AE ，∴EFC ∠=90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴ABC ∠=90°， ∴ABE ∠=90°， ∴EFC ∠=ABE ∠， 又∵AEB CEF ∠=∠，∴FAB BCF ∠=∠. ························ 2分 （2）①如图：··············································· 3分② AF +BM = CF . ························4分证明：在CF 上截取点N ，使得CN =AF ，连接BN .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =CB .在△AFB 和△CNB 中，AF CNFAB NCB AB CB =∠=∠ =∴ △AFB ≌△CNB ， ···················5分∴ ∠ABF =∠CBN ，FB =NB ， ∴∠FBN =∠ABC =90°， ∴△FBN 是等腰直角三角形， ∴∠BFN =45°.∵点B 关于直线AE 的对称点是点M ， ∴FM =FB ，∵CF ⊥AE ，∠BFN =45°， ∴∠BFE =45°， ∴∠BFM =90°， ∴∠BFM =∠FBN ， ∴FM //NB .∵FM =FB ，FB =NB ， ∴FM =NB ，∴四边形FMBN 为平行四边形， ······6分 ∴BM =NF ，∴AF +BM = CF . ···························7分 （其它方法酌情给分）25. 解：（1）点C和点E； ······················ 2分（2）线段AB的所有2倍等距点形成的图形为以点O为圆心，以1为半径的圆围成的区域（包括边界），如图所示：··············································· 4分该区域的面积为：221S=π×−π×=π.··············································· 5分（3）21≤≤. ········ 7分bb≤≤或12−−。
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-3 -2 -1 O
-1
-2
1 2 34 x
…… 2 分
x1 0.6 ， x2 1.0 ， x3 1.6 .
-3 .………… 5 分
2
25.（ 1）顶点坐标为（ 1， 1 ）； …… .… ....………… .....…………… .… ...… .… .....………… 2 分 （ 2）①当 m 1 时， C1 : y x2 2 x ， C2 : y x2 2 x ． … .… ...….… .....………… 3 分
1
S
BMO
MO
解得：2 MH
MB4
3
（2） 解： 1 个．
， 1 MH BO 52． ……３ 分
证明：过点 O 作 ON ⊥ BD 于点 N ， ∵∠ CBD ∠ ， ∴ ∠ CBD ∠ ABC ．
∴ OM ON ． ……４分 ∴ BD 为⊙ O 的切线．
的长的所有点组成图形 W ， ∴ 图形 W 是以 O 为圆心， OM 的长
为半径的圆． 根据题意补全图形：
……１分
∵ OM AB于点 M ，
∴∠ BMO 90 ．
在△ BMO 中，
OM 2
sin ABC
，
BO 3
∴ BO 6 ． 在 Rt △ BOM 中， BM 2 OM 2 BO2 ，
∴ BM 2 5 ．
2
16. C； 78
三、解答题（本题共 60 分，第 17 24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26， 27 题，每
小题 7 分）
12
17. 解：原式 2
3
22
…… 4 分
2
1
3
2
2
4
.
2
…… 5 分
18. 证明： ∵ □ ABCD ，
∴∠ B ∠ D .
…… 2 分
且 BE ∥ CD ，
…… 3 分
∴∠ E ∠ DCE ． …… 4 分
∴ △ EBC ∽ △ CDF ．…… 5 分
19. 解： （1）函数图象如下图所示：
……３分
y
4
3
y= x 2-2x -3
2
1
-4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3 -4
1 234 x
（2） 4≤ y ≤0．
…… 5 分
20. 解：（ 1）∵点 P ( m ，1 )在直线 y x 上，
∴ 射线 BD 与图形 W 的公共
点个数为 1 个． ……５ 分
3
∴ BO MO ． 2
∵ BE 2
∴ BO
2 OE
3 OM ，
2
解得： OM OE 4 ． ……２分
24. 解法 1 ：选择小聪的作法，
列表并作出函数 y x3 2x2 1 的图象：（列表略）
y
3
2
1
y= x 3-2x2+1
-3 -2 -1 O
∴m 1． ∵点 P (1 ， 1 )在 y ∴ k 1．
……１ 分 k
上， x
…… 2 分
∵ 点 Q 为直线 y
x与 y
k 的交点，
x
∴点 Q 坐标为 ( 1， 1)． ……３ 分
（2） A1 ( 2 , 0) , A2 ( 2 , 0)． …… 5 分
21. 解：（ 1）设一次函数的表达式为：
y kx b ，将 ( 20 ，20 )，( 30，10 )
2分
②∵点 D 是直线 y x 的图上点，∴点 D 在 y x 上.
又∵点 D 是 y x 2 2 的上位点， ∴点 D 在 y x 与 y x2 2 的交点 R ， S 之间运动 .
C D
DE 3
E
． ……………… 3 分
BE 2
（ 2）解：∠ ACB 45 ． 证明：∵ ACB 45 ，
A
B
M
…………………………………………………… 4 分
∴ AB AC ．
∵ AC AD ，
∴ AB AD ． ……………………………………………………………
5分
过点 D 作 DF AC 于点 F ，
∴ DFE 90
∵ CAD 30 ，
∴ DF
1 AD
1 AB ．
2
2
∵ BAE 90 ，
N
C
D
F
E
∴ DFE BAE 90 ．
∵ FED ∠ AEB ． ∴△ FED ∽△ AEB ．
A
BM
∴ DE
DF
1 ． …………………………………………………………
7分
BE AB 2
3
27 .解：（ 1）① A ， C . ………………………………………………………………
根据图象可知， C1 和 C2 围成的 区域内 (包括边界 )整点有 5 个． … 4 分
y
2
y1= x 2+2x
1
-2
-1 O
1
2x
-1
y2= -x2-2x
-2
②抛物线在 C1 和 C2 围成的区域内 ( 包括边界 ) 恰有 7 个整点， 结合函数图象，可得抛物线与 x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为
-1
-2
-3
123x
……… 2 分
根据函数图象，得近似解为 x1 0.6 ， x2 1.0 ， x3 1.6 ． …… ....………… 5 分
解法 2：选择小明的作法， 列表并作出函数 y1 x2 2x 和 y2
y
3
1
x
的图象：（列表略）
y2=
-
1 x
2 1
y1 = x 2-2x
根据函数图象，得近似解为
1≤ x＜2．
将（ 1， 0 ）代入 y
mx2
2mx
m 1，得到
m
1 ，
4
…… .....……… 5 分
将（ 2， 0 ）代入 y mx2 2mx m 1，得到 m 1 ， 9
结合图象可得
1 ＜
m
≤
1
．
9
4
… .… ...…..… .....………… .........……… 6 分
N
26.解：（ 1）正确补全图形； ……………… 1 分
代入 y kx b ， 得到关于 k ， b 的二元一次方程组
20k b 20, 30k b 10.
…… 1 分
k 1, 解得
b 40.
∴售量 y (袋 )与售价 x (元 ) 之间的函数
表达式为 y x 40 ．
…… 2 分
(2) P (3) P
( x 10 )( x 40 ) x2 50x 400 ． …… 3 分
丰台区 2019—2020 学年第一学期期末练习
初三数学评分标准及参考答案
一、 选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
B
A
C
A
D
C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1 9.
2
10. 30
11. 12
12. 5
13. y
8 B
1 （答案不唯一）
x
14. 45
1 15.
x2 50x 400 ( x 25 ) 2 225 ． … 4 分
(10＜ x ＜ 40)
∴当每袋特色农产品以 25 元出售时， 才能使每日所获得的利润最大 , 最大利
润是 225 元 .
…… 5 分
1
22. 解：（ 1）平行式或倾斜式． （2） 36．
…… 3 分 …… 5 分
23. （ 1）解： ∵到点 O 的距离等于线段 OM