江西省九江市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
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2017-2018学年江西省九江市高二(上)期末数学试卷(文科)
一.选择题(本大题共18小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的)
1.已知P:∃x∈R,x2+2x+2<0,则¬P为()
A.∃x∈R,x2+2x+2≥0,真B.∀x∈R,x2+2x+2<0,假
C.∃x∉R,x2+2x+2≥0,假D.∀x∈R,x2+2x+2≥0,真
2.“k<0”是“方程+=1表示双曲线”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递
减区间是()
A.[x1,x3]B.[x2,x4]C.[x3,x5]D.[x1,x2]
4.(重点中学做)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,那么
△ABC是()
A.等腰直角三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等边三角形
5.(普通中学做)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,
B=,则C=()
A.B.C.D.
6.设实数x,y满足约束条件,则目标函数z=x﹣3y的最大值为()
A.7B.﹣C.﹣26D.6
7.(重点中学做)在等差数列{a n}中,已知a6=1,则数列{a n}的前11项和S11=()A.7B.9C.11D.13
8.在等比数列{a n}中,已知a2+a3=1,a4+a5=2,则a8+a9等于()
A.2B.4C.8D.16
9.(重点中学做)不等式≤x﹣1的解集是()
A.(﹣∞,﹣1]∪(1,3]B.[﹣1,1)∪[3,+∞)C.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)D.[﹣1,1)∪(1,3]
10.(普通中学做)不等式≤1的解集是()
A.(﹣∞,1]∪[5,+∞)B.(﹣∞,1)∪[5,+∞)C.(1,5]D.[5,+∞)
11.函数y=sinx﹣x在区间[0,2π]上的最小值为()
A.﹣πB.1﹣C.0D.﹣2π
12.(重点中学做)已知x>0,y>0,2x+y+2xy=3,则2x+y的最小值是()
A.6B.3C.2D.1
13.(普通中学做)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值为()
A.2B.3C.18D.
14.已知函数f(x)=x2+kx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为3x﹣y+b=0,则数列{}
的前n项和为()
A.B.C.D.
15.(重点中学做)已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足对任意m,n∈N+,2S m S n=S m+n 恒成立,那么a2015=()
A.22013B.22014C.22015D.22016
16.(普通中学做)已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足对任意m,n∈N+,S m+S n=S m+n 恒成立,那么S2015=()
A.2014B.2015C.2016D.2017
17.如图,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,
以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该椭圆的离心率为()
A.B.C.﹣1D.
18.(普通中学做)已知双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)以及双曲线C2:﹣=1
(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则C1,C2的离心率之积为()
A.B.或4C.D.4
二.填空题(每小题5分,共20分)
19.“若x2﹣2x﹣3>0,则x<﹣1或x>3”的逆否是.
20.函数y=x﹣e x的单调减区间是.
21.(重点中学做)已知直线x﹣my﹣2=0与抛物线y2=8x相交于A,B两点,线段AB的中点为M(6,4m),则|AB|=.
22.(普通中学做)过抛物线C:y2=8x焦点的直线与C相交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,m),则|AB|=.
23.(重点中学做)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=ax有且
仅有三个不相等的实数根,则实数a的取值范围为.
24.(普通中学做)若函数f(x)=|lnx|﹣ax有且仅有三个零点,则实数a的取值范围
为.
三.解答题(每小题12分,共70分)
25.已知p:函数f(x)=x2+ax﹣2在(﹣2,2)内有且一个零点.q:x2+2ax+4≥0对任意x∈R 恒成立.若“p∧q”是假,求实数a的取值范围.
26.设数列{a n}满足a1=2,a n+1﹣a n=2n(n∈N+)
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和S n.
27.(重点中学做)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=
(1)求角C的大小;
(2)若c=4,求a+b的最大值.
28.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosA+ccosA+acosC=0.(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求bc的最大值.
29.已知函数f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx(a∈R)
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(0,1]上的最小值为0,求a的取值范围.
30.(重点中学做)如图所示,设A,B分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点和
上顶点,过原点O作直线交线段AB于点M(异于点A,B),交椭于C,D两点(点C在第一象限内),△ABC与△ABD的面积分别为S1与S2.
(1)若M是线段AB的中点,直线OM的方程为y=x,点P(3,1)在椭圆E上,求
椭圆E的方程;
(2)当点M在线段AB上运动时,求的最大值.
31.(普通中学做)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,2),离心率e=.(1)求椭圆C的方程;
(2)试问是否存在直线l:y=kx﹣与椭圆C相交于不同的两点M,N,且|PM|=|PN|?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
请考生在下面三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
32.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为4m2,问x,y分别为多少时用料最省?并求最省用料.
33.某物流公司购买了一块长AM=60m,宽AN=30m的矩形地块AMPN,规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上.若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑,问AB 长为多少时仓库的库容最大?并求最大库容.(墙体及楼板所占空间忽略不计)
34.如图所示,某公司设计生产一种长方形薄板ABCD(AB>AD),其周长为8m,这种薄板须沿对角线AC折叠后使用.设AB′交DC于点P.问AB长为多少时,△ADP的面积最大?并求最大面积.
2015-2016学年江西省九江市高二(上)期末数学试卷(文
科)
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共18小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的)
1.已知P:∃x∈R,x2+2x+2<0,则¬P为()
A.∃x∈R,x2+2x+2≥0,真B.∀x∈R,x2+2x+2<0,假
C.∃x∉R,x2+2x+2≥0,假D.∀x∈R,x2+2x+2≥0,真
【考点】的否定.
【分析】利用特称的否定是全称写出结果,然后判断真假即可.
【解答】解:因为特称的否定是全称,所以,P:∃x∈R,x2+2x+2<0的否定¬P为:∀x∈R,x2+2x+2≥0,真.
故选:D
2.“k<0”是“方程+=1表示双曲线”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可.
【解答】解:若方程+=1表示双曲线,
则k(1﹣k)<0,
即k(k﹣1)>0,解得k>1或k<0,
即“k<0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件,
故选:A
3.函数f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递
减区间是()
A.[x1,x3]B.[x2,x4]C.[x3,x5]D.[x1,x2]
【考点】函数的图象.
【分析】根据函数f(x)的导函数图象,得出f′(x)≤0的区间,即是函数f(x)的单调递减区间.
【解答】解:根据函数f(x)的导函数图象,得;
当x∈[x2,x4]时,f′(x)≤0,
函数f(x)是减函数;
∴函数f(x)的单调递减区间是[x2,x4].
故选:B.
4.(重点中学做)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,那么
△ABC是()
A.等腰直角三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等边三角形
【考点】三角形的形状判断.
【分析】由已知利用正弦定理可得:sinC=2sinAcosB,由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得
sin(A﹣B)=0,利用正弦函数的图象和性质可得A=B,从而得解为等腰三角形.
【解答】解:∵cosB=,
∴利用正弦定理可得:sinC=2sinAcosB,
∴sin(A+B)=2sinAcosB,
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,
∴sin(A﹣B)=0,
∴A=B,
∴△ABC为等腰三角形.
故选:B.
5.(普通中学做)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,
B=,则C=()
A.B.C.D.
【考点】正弦定理.
【分析】由正弦定理可求得:sinC==,利用大边对大角可得C<B,利用特殊角的三角函数值即可得解.
【解答】解:∵b=2,c=2,B=,
∴由正弦定理可得:sinC===,
又∵b>c,
∴c=.
6.设实数x,y满足约束条件,则目标函数z=x﹣3y的最大值为()
A.7B.﹣C.﹣26D.6
【考点】简单线性规划.
【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线y=x结合图象可得.
【解答】解:作出约束条件所对应的可行域(如图阴影),
变形目标函数可得y=x﹣z,平移直线y=x可知,
当直线经过点A(﹣2,﹣3)时,直线的截距最小值,
此时目标函数取最大值z=﹣2﹣3(﹣3)=7,
故选:A.
7.(重点中学做)在等差数列{a n}中,已知a6=1,则数列{a n}的前11项和S11=()A.7B.9C.11D.13
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解.
【解答】解:∵在等差数列{a n}中,a6=1,
∴数列{a n}的前11项和:
S11==11.
8.在等比数列{a n}中,已知a2+a3=1,a4+a5=2,则a8+a9等于()
A.2B.4C.8D.16
【考点】等比数列的通项公式;等比数列的性质.
【分析】设等比数列{a n}的公比为q,可得q2==2,而a8+a9=(a4+a5)q4,代入计算
即可.
【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,
则q2==2,
故a8+a9=(a4+a5)q4=2×22=8
故选C
9.(重点中学做)不等式≤x﹣1的解集是()
A.(﹣∞,﹣1]∪(1,3]B.[﹣1,1)∪[3,+∞)C.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)D.[﹣1,1)∪(1,3]
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】根据x﹣1>0和x﹣1<0两种情况分类讨论,能求出不等式≤x﹣1的解集.
【解答】解:∵≤x﹣1,
∴当x﹣1>0时,(x﹣1)2≥4,解得x≥3;
当x﹣1<0时,(x﹣1)2≤4,解得﹣1≤x<1,
∴不等式≤x﹣1的解集是[﹣1,1)∪[3,+∞).
故选:B.
10.(普通中学做)不等式≤1的解集是()
A.(﹣∞,1]∪[5,+∞)B.(﹣∞,1)∪[5,+∞)C.(1,5]D.[5,+∞)
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】通过移项,利用通分,转化不等式求解即可.
【解答】解:不等式≤1,即为﹣1≤0,即为≤0,即为(x﹣5)(x﹣1)≥0,
且x﹣1≠0,
解得x≥5或x<1,
故不等式的解集为(﹣∞,1)∪[5,+∞),
故选:B.
11.函数y=sinx﹣x在区间[0,2π]上的最小值为()
A.﹣πB.1﹣C.0D.﹣2π
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出函数的导数,判断函数的单调性,然后求出最小值.
【解答】解:函数y=sinx﹣x,可得y′=cosx﹣1≤0,函数是减函数,
函数y=sinx﹣x在区间[0,2π]上的最小值为:﹣2π.
故选:D.
12.(重点中学做)已知x>0,y>0,2x+y+2xy=3,则2x+y的最小值是()
A.6B.3C.2D.1
【考点】基本不等式.
【分析】由x>0,y>0,2x+y+2xy=3,化为(2x+1)(y+1)=4,利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:由x>0,y>0,2x+y+2xy=3,化为(2x+1)(y+1)=4,
∴(2x+1)+(y+1)≥2=4,
即2x+y≥2,当且仅当2x+1=y+1=2,即x=,y=1时等号成立,
∴2x+y的最小值是2,
故选:C.
13.(普通中学做)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值为()
A.2B.3C.18D.
【考点】基本不等式.
【分析】由正实数x,y满足2x+y+6=xy≥6+2,令=t>0,化为t2﹣2t﹣6≥0,解出即可得出.
【解答】解:由正实数x,y满足2x+y+6=xy≥6+2,
令=t>0,化为t2﹣2t﹣6≥0,解得t≥3,
∴xy的最小值为18.当且仅当2x=y=6时取等号.
故选:C.
14.已知函数f(x)=x2+kx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为3x﹣y+b=0,则数列{}的前n项和为()
A.B.C.D.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和.
【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,求出k,推出f(n),然后利用裂项消项法求
解数列{}的前n项和
【解答】解:函数f(x)=x2+kx,可得f′(x)=2x+k,
∵函数f(x)=x2+kx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为3x﹣y+b=0,
∴2+k=3,∴k=1,∴f(n)=n2+n,=.
S n===.
故选:C.
15.(重点中学做)已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足对任意m,n∈N+,2S m S n=S m+n 恒成立,那么a2015=()
A.22013B.22014C.22015D.22016
【考点】数列递推式.
【分析】利用赋值法判断{S n}是等比数列,求出Sn,然后求解a2015.
【解答】解:由题意可得:2S1S n=S n+1,可得=2,
∴{S n}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴,
∴a2015==22013.
故选:A.
16.(普通中学做)已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足对任意m,n∈N+,S m+S n=S m+n 恒成立,那么S2015=()
A.2014B.2015C.2016D.2017
【考点】数列递推式.
【分析】利用赋值法判断{S n}是等比数列,求出S n,然后求解S2015.
【解答】解:由题意可得:a1=1,S1+S n=S n+1,可得S n+1﹣S n=1,∴{S n}是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴S n=1+(n﹣1)×1=n,∴S2015=2015.
故选:B.
17.如图,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,
以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该椭圆的离心率为()
A.B.C.﹣1D.
【考点】椭圆的应用.
【分析】连结AF1,根据圆的直径的性质和等边三角形的性质,证出△F1AF2是含有30°角
的直角三角形,由此得到|F1A|=c且|F2A|=c.再利用椭圆的定义,得到2a=|F1A|+|F2A|=
(1+)c,即可算出该椭圆的离心率.
【解答】解:连结AF1,
∵F1F2是圆O的直径,∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2,
又∵△F2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,
∴∠AF1F2=∠AF2B=30°,
因此,在Rt△F1AF2中,|F1F2|=2c,|F1A|=|F1F2|=c,|F2A|=|F1F2|=c.
根据椭圆的定义,得2a=|F1A|+|F2A|=(1+)c,解得a=c,
∴椭圆的离心率为e==﹣1.
故选C.
18.(普通中学做)已知双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)以及双曲线C2:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则C1,C2的离心率之积为()
A.B.或4C.D.4
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线的渐近线的方程可得=tan30°或=tan60°,即为b=a或b=a,利用c2=a2+b2,将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率,进而得到所求之积.
【解答】解:双曲线C1:﹣=1的渐近线方程为y=±x,
双曲线C2:﹣=1的渐近线方程为y=±x,
由渐近线将第一象限三等分,可得:
=tan30°或=tan60°,
即为b=a或b=a,
可得c==a或c=2a,
即e=或e=2.
则C1,C2的离心率之积为或4.
故选:B.
二.填空题(每小题5分,共20分)
19.“若x2﹣2x﹣3>0,则x<﹣1或x>3”的逆否是若﹣1≤x≤3,则x2﹣2x﹣3≤0.【考点】四种间的逆否关系.
【分析】根据逆否的定义进行求解即可.
【解答】解:的逆否为:“若﹣1≤x≤3,则x2﹣2x﹣3≤0”,
故答案为:若﹣1≤x≤3,则x2﹣2x﹣3≤0
20.函数y=x﹣e x的单调减区间是(0,+∞).
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】函数的单调减区间,可以由y′<0,解得x的取值范围即可.
【解答】解:由函数y=x﹣e x的,可得y′=1﹣e x,
由y′=1﹣e x<0,解得x>0.
∴函数f(x)=x﹣e x的单调递减区间是(0,+∞).
故答案为:(0,+∞).
21.(重点中学做)已知直线x﹣my﹣2=0与抛物线y2=8x相交于A,B两点,线段AB的中点为M(6,4m),则|AB|=16.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),再由中点坐标公式,以及抛物线的定义,可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4,计算即可得到所求值.
【解答】解:抛物线C:y2=8x焦点为(2,0),准线方程为x=﹣2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可得=6,
即有x1+x2=12,
由抛物线的定义可得
|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=12+4=16.
故答案为:16.
22.(普通中学做)过抛物线C:y2=8x焦点的直线与C相交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,m),则|AB|=10.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),再由中点坐标公式,以及抛物线的定义,可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4,计算即可得到所求值.
【解答】解:抛物线C:y2=8x焦点为(2,0),准线方程为x=﹣2,
设直线AB的方程为y=k(x﹣2),
A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可得=3,
即有x1+x2=6,
由抛物线的定义可得
|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=6+4=10.
故答案为:10.
23.(重点中学做)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=ax有且
仅有三个不相等的实数根,则实数a的取值范围为(0,\frac{1}{e}).
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出函数f(x)的图象,利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:作出函数f(x)的图象如图:
若a≤0时,方程f(x)=ax不可能有三个不相等的实数根,
则必有a>0,
当直线y=ax与y=lnx在x>1时相切时,
设切点坐标为(x0,y0),
则f′(x)=,即f′(x0)=,
则切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),
即y=•x+y0﹣1=•x+lnx0﹣1,
∵切线方程为y=ax,
∴a=且lnx0﹣1=0,则x0=e,
则a=,
要使方程f(x)=ax有且仅有三个不相等的实数根,
则0<a<,
故答案为:(0,)
24.(普通中学做)若函数f(x)=|lnx|﹣ax有且仅有三个零点,则实数a的取值范围为(0,\frac{1}{e}).
【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.
【分析】法1:利用参数分离法转化a=,构造函数,求函数的导数,利用导数研究
函数的极值,利用数形结合进行求解即可.
法2:作出函数f(x)的图象,利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:法1:函数的定义域为(0,+∞),
由f(x)=|lnx|﹣ax=0得|lnx|=ax,
即a==,
设g(x)==,
则当x≥1时,g(x)=,g′(x)==,由g′(x)>0得1﹣lnx>0,
解得0<x<e,此时函数单调递增,
由g′(x)<0得1﹣lnx<0,解得x>e,此时函数单调递减,即当x=e时,函数g(x)取
得极大值g(e)==.
当0<x<1时,g′(x)=﹣=﹣=<0,此时函数单调递减,
作出函数g(x)的图象如图:
要使函数f(x)=|lnx|﹣ax有且仅有三个零点,
则等价为a=g(x)有且仅有三个不同的交点,
由图象知0<a<.
法2:
作出函数f(x)的图象如图:
若a≤0时,方程f(x)=ax不可能有三个不相等的实数根,
则必有a>0,
当直线y=ax与y=lnx在x>1时相切时,
设切点坐标为(x0,y0),
则f′(x)=,即f′(x0)=,
则切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),
即y=•x+y0﹣1=•x+lnx0﹣1,
∵切线方程为y=ax,
∴a=且lnx0﹣1=0,则x0=e,
则a=,
要使方程f(x)=ax有且仅有三个不相等的实数根,
则0<a<,
故答案为:(0,)
三.解答题(每小题12分,共70分)
25.已知p:函数f(x)=x2+ax﹣2在(﹣2,2)内有且一个零点.q:x2+2ax+4≥0对任意x∈R 恒成立.若“p∧q”是假,求实数a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题.
【分析】由p为真,由于f(﹣2)f(2)≤0得a≤﹣1,或a≥1.由q为真,由于判别式非负,解不等式可得a的范围.由“p且q”是真,求出a的范围.由此求补集,能求出实数a的取值范围.
【解答】解:若p为真,由于判别式为a2+8>0,
则有f(﹣2)f(2)≤0,即为(4﹣2a﹣2)(4+2a﹣2)≤0,
解得a≥1或a≤﹣1;
若q为真,由x2+2ax+4≥0对任意x∈R恒成立,
可得△=4a2﹣16≤0,
解得﹣2≤a≤2.
当“p∧q”是真,可得
,即为﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2,
则“p∧q”是假时,
a的范围是a<﹣2或﹣1<a<1或a>2.
26.设数列{a n}满足a1=2,a n+1﹣a n=2n(n∈N+)
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和S n.
【考点】数列递推式.
【分析】(1)直接利用类加法求数列的通项公式;
(2)把数列{a n}的通项公式代入b n=,然后利用错位相减法求和.【解答】解:(1)由a n+1﹣a n=2n,得
a n=[(a n﹣a n
﹣1)+(a n
﹣1
﹣a n
﹣2
)+…+(a2﹣a1)]+a1
=,又a1=2,
∴数列{a n}的通项公式为;
(2)由b n==,
知,
,
两式作差得:
==.
∴.
27.(重点中学做)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=
(1)求角C的大小;
(2)若c=4,求a+b的最大值.
【考点】正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理化简已知可得:=,整理可得sin(C﹣A)=sin (B﹣C),利用正弦函数的图象和性质可得2C=A+B,即可解得C的值.
(2)由余弦定理可得:16=(a+b)2﹣3ab,又:ab≤()2,解得(a+b)2≤16,从而
解得:a+b≤8.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)∵=,
∴利用正弦定理可得:=,
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC,即:sinCcosA﹣sinAcosC=sinBcosC﹣sinCcosB,∴sin(C﹣A)=sin(B﹣C),
∴C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣(B﹣C)(不成立),或C﹣A=﹣π﹣(B﹣C)(不成立),即
2C=A+B,可得:C=…6分
(2)由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC,
可得:16=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab,
又:ab≤()2,
可得:16≥(a+b)2﹣3()2,即(a+b)2≤16…10分
可得:(a+b)2≤64.
解得:a+b≤8…11分
故a+b的最大值为8…12分
28.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosA+ccosA+acosC=0.(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求bc的最大值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由2bcosA+ccosA+acosC=0,利用正弦定理可得:
2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0,进而化为2cosA=﹣1,根据A的范围即可得出.
(2)根据余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,9=b2+c2+bc,再利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:(1)∵2bcosA+ccosA+acosC=0,
∴2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0,
∴2sinBcosA+sin(C+A)=0,
∴2sinBcosA=﹣sinB,
∵sinB≠0,∴cosA=﹣,
A∈(0,π),∴A=.
(2)根据余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bc,∴9=b2+c2+bc≥3bc,解
得bc≤3,当且仅当b=c=3时取等号.
∴bc的最大值为3.
29.已知函数f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx(a∈R)
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(0,1]上的最小值为0,求a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出函数的导数,计算f′(1),f(1)的值,代入切线方程即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定函数的单调区间,表示出最小值,得到关于a的方程,判断a的具体范围即可.
【解答】解:(1)a=1时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,x>0,
f′(x)=,(x>0),
∴f′(1)=﹣1,f(1)=0,
故切线方程是:y﹣0=﹣1(x﹣1),
故x+y﹣1=0;
(2)f′(x)=,x∈(0,1],
a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,1]递减,
∴f(x)min=f(1)=0,
0<a≤2时,f′(x)≤0,f(x)在(0,1]递减,
∴f(x)min=f(1)=0,
a>2时,令f′(x)<0,解得:0<x<,令f′(x)>0,解得:<x≤1,
∴f(x)在(0,)递减,在(,1]递增,
∴f(x)min=f()<f(1)=0(舍),
综上,a的范围是(﹣∞,2].
30.(重点中学做)如图所示,设A,B分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点和
上顶点,过原点O作直线交线段AB于点M(异于点A,B),交椭于C,D两点(点C在第一象限内),△ABC与△ABD的面积分别为S1与S2.
(1)若M是线段AB的中点,直线OM的方程为y=x,点P(3,1)在椭圆E上,求
椭圆E的方程;
(2)当点M在线段AB上运动时,求的最大值.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由中点坐标公式求出A,B的中点M,把M坐标代入直线y=x得到a与b
的关系,结合a2=b2+c2可求椭圆的离心率;
(2)设出C和D点的坐标,求出直线AB的方程,由点到直线的距离公式求出C和D到直线AB的距离,因为△ABC和△ABD同底,所以把两个三角形的面积比转化为C,D到直线AB的距离比,然后借助于基本不等式求最大值.
【解答】解:(1)由题意可知:A(a,0),B(0,b),
∴M(,),
点M(,)在y=x,
∴=,a2=3b2,
点P(3,1)在椭圆上,,
解得a2=12,b2=4,
故椭圆的方程为:;
(2)设C(x0,y0),x0>0,y0>0,则,点D(﹣x0,﹣y0),
由题意知直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0,点C的直线AB的上方,
∴点C到直线AB的距离h C=,
同理点D到直线AB的距离h D=,
===1﹣,
∵,,
∴≤=,当且仅当bx0=ay0取等号,
解得:,
∴≤1﹣=3﹣2,
∴的最大值为3﹣2.
31.(普通中学做)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,2),离心率e=.(1)求椭圆C的方程;
(2)试问是否存在直线l:y=kx﹣与椭圆C相交于不同的两点M,N,且|PM|=|PN|?若
存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)椭圆的焦点在x轴上,经过P(0,2),即b=2,由离心率公式e=,及a2=b2+c2,
即可a和c的值,即可求得椭圆方程;
(2)假设存在直线,将直线方程代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,设出M和N点坐标及MN的中点坐标,由韦达定理可知,即可求得A点坐标,判断当k=0时,
成立,当k≠0.,求得直线AP的斜率,由MN⊥AP,得﹣•k=﹣1,即可求得k的值.
【解答】解:(1)∵椭圆C经过点P(0,2),
∴b=2,
离心率e==.即a2=c2=(a2﹣b2),整理得a2=3b2=12,
∴.
(2)假设存在直线l满足条件,则:,消去y整理得:(1+3k2)x2﹣8kx﹣
=0,△>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),设A(x0,y0)为线段MN的中点,则,
x1+x2=,x0=,y0=kx0﹣=﹣,即A(,﹣),当k=0时,满足题意,
当k≠0时,直线AP的斜率k AP==﹣,
由MN⊥AP,得﹣•k=﹣1,解得:k=±,
故直线的斜率为:k=0,,﹣.
请考生在下面三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
32.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为4m2,问x,y分别为多少时用料最省?并求最省用料.
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】通过设面积为S,利用S=xy+=4可知y=﹣,进而化简可知c=x+,
利用基本不等式计算即得结论.
【解答】解:设面积为S,则S=xy+=4,y=﹣,
∴c=2x+2y+x
=(2+)x+2(﹣)
=x+
≥2=4+4,
当且仅当x=即x=4﹣4、y=2时取等号,
于是当x=(4﹣4)米、y=2米时用料最省,为(4+4)米.
33.某物流公司购买了一块长AM=60m,宽AN=30m的矩形地块AMPN,规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,
D分别在边AM,AN上.若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑,问AB 长为多少时仓库的库容最大?并求最大库容.(墙体及楼板所占空间忽略不计)
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】通过设AB的长度为x米,利用相似三角形可知AD=30﹣x,进而对仓库的库容
V(x)=﹣x3+30x2(0<x<60)求导可知当x=40时V(x)有极大值也是最大值,代入
计算即得结论.
【解答】解:设AB的长度为x米,
∵=,且AM=60、AN=30,
∴ND=•AN=x,AD=AN﹣ND=30﹣x,
仓库的库容V(x)=(30﹣x)•x•x=﹣x3+30x2(0<x<60),
令V′(x)=﹣x2+60x=0,解得:x=40或x=0(舍),
∵当0<x≤40时V′(x)>0、当40<x<60时V′(x)<0,
∴当x=40时V(x)有极大值也是最大值,且最大值为V(40)=16000m3,
即AB的长度为40米时仓库的库容最大,最大库容为16000立方米.
34.如图所示,某公司设计生产一种长方形薄板ABCD(AB>AD),其周长为8m,这种薄板须沿对角线AC折叠后使用.设AB′交DC于点P.问AB长为多少时,△ADP的面积最大?并求最大面积.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】由题意,设AB=x,AD=4﹣x.因x>4﹣x,故2<x<4,设DP=y,则PC=x﹣y,
运用三角形全等,结合勾股定理,可得y的关系式,记△ADP的面积为S1,则S1=(4﹣x)(4﹣),运用基本不等式可得最大值.
【解答】解:由题意,设AB=x,AD=4﹣x.因x>4﹣x,故2<x<4,
设DP=y,则PC=x﹣y.
因△ADP≌△CB'P,故PA=PC=x﹣y.
由PA2=AD2+DP2,得(x﹣y)2=(4﹣x)2+y2,
即有y=4﹣,2<x<4,
记△ADP的面积为S1,则
S1=(4﹣x)(4﹣)=12﹣2(x+)≤12﹣8,
当且仅当x=2∈(1,2)时,S1取得最大值12﹣8.
故当AB=2时,△ADP的面积最大,最大面积为12﹣8.
2016年7月13日。