第05章 线、面相对位置

~
~
c'
X
a' n b 1 q a
O
~
c
n' 2´// b' a'
m p
~
2
例题
b
试判断两平面是否平行
a n m c d c n m a d e r f s e
s r
b
f
结论：两平面平行
例题 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
a s d m b c c b n d a f f k
X1
a'1
c'1
k'1
b'1
特殊情况
例题：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
f c a
b f
k
d k
c a d
b
n
例题：试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
k
k
k h QH h
h
k
例题：定平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂 直于定平面。 a c m e f b d n
2
e
f b k
a a
2
3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
1
c
e
直线EF与平面Δ ABC相交，判别可见性示意图
f c 1 (2) k F a V 利 用 重 影 点。 判 别 可 见 性 E e
b
Ⅱ Ⅰ
K
e
C
Ⅲ Ⅳ
k
c (4) A a
B
f b
3
H
一般直线与一般位置平面相交 判别可见性
f
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。 c
2
k 步骤： 1、 过EF作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
b
1
PH
e
f
1
a a
b
k
2
e
c
以正垂面为辅助平面求线面交点 QV f c
1
b k
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。
作图步骤：
作b' c' // d'b'
d
c
a
e
例
过M点作水平线 MN平行已知平面ABC。
b'
a'
X
d'
m' c'
n'
O
作图步骤： ①在平面ABC内 任作一条水平 线(AD)； ②过M点作直线 MN//AD。
b d a c m
n
二、平面与平面平行
1.
几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行
b' e' f' m' b c n a m f n' c'
交点——线面的公共点
交点——可见与不可见
a
作图步骤： 1、求交点（k，求k'） 2、判别可见性（远离坐标轴—- 可见）
的分界点
判断直线的可见性
b V N n
a
P m
k
B
K
A PH M a
c a n k b
b k c
C H
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
n
r r
e
k s
e
m
2。特殊位置情况
若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平 面有积聚性的同面投影必相互平行。
D G B E A a H b d(e) C c F g(f) x b' d' g'
a'
c'
e' d(e)
f' o
a
b c
g(f)
例题 试判断两平面是否平行。
s e f d b r c
a
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节 直线与平面相交、两平面相交
直线与平面相交——求交点
平面与平面相交——求交线
并判别可见性
关键：求直线与平面的交点---共有点 求平面与平面的交线---共有线
求解方法：1. 积聚投影法 2. 辅助平面法 3.换面法
直线与平面相交
P
A
K
B
过MN作平面Q垂直于V投影面 M
A
C
B
N 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
K E
F
C
B
N
过MN作平面P垂直于H投影面
一般直线与一般位置平面相交
B G A a g
M N
R
K C
F k b f
RH c
H
作图方法1： 包含直线GF作铅垂面R 求出R平面与ABC的交线MN MN与GF的交点K即为所求。
b
e d
a
m
c f
n
1 几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条
直线的所有平面都垂直于该平面。
q' r'
二 两平面垂直
A
q
r
Ⅱ
D
特殊情况
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个 平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于 第一个平面。
A A
Ⅰ Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
2 投影特点
n'
m'
c' m'
4'
d' f' n'
1'(2')
B E M
L
R C
a' e'
b' c
2
A a
J
D m
b d RH c
e
3(4)
n 1 m
b
f
QH
e
H
a
d
RH
两一般位置平面相交 方法2： 换面法
3'
c' m'
4'
d' f' n'
1'(2') e'1 m'1
c'1
a' e'
a'1 b' c
2 b'1
n'1 f'1
于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。
P
B N M H F
R
E G
a' X
g' O e
g
EFG// ABC
例
已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行， 试补全三角形ABC的正面投影。
n'
q' 1'
b'
做图步骤： 作n1//bc n2//ab
nn ' 11 ' //b' c' m' 2' p'
例题 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c g k b
a
d f
k c b h g
a
d
例题 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
h
f c d
g
k
b
a c
g
f k b d 结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。
V C
E B
A
D
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n
直角定理
V
a C
E B D n a k
k d
e
c
b
A
e d
c b
定理2（逆）： 若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影 直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。 n V f
b k a
三 直线、平面的相互关系综合题
(b1)a1 k1 c1 f1 f' l' X1 b'
1 过 K点
作一直线 KL与平 面ABC平 行与直线
e1
l1
e'
方法二 用换面 法求解 l f
k'
c'
a'
c a
EF相交。
e
b k
例题
试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f
e e
a
a
f
分析 过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。
投影图
⒉ 特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该
平面的积聚投影与直线的同面投影平行。
M P N m H PH n PH 则 P MN PH mn
X
c' a'
n'
m'
b'
O
a
c b
m n
MN
ABC
例：过点M作直线MN平行于平面△ABC。
解：
b'
有多少解？
a' b a
c' n'
m'
无数解
n c
m
作图 方法:
d'e'//a'b' de//ac 判断 DE // ABC
m'
d'
a'
b O k a