2017年河北省唐山一中高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)

2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．843．（5分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A．252种B．112种C．70种D．56种4．（5分）直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[0，]∪[，π]D．[0，]∪[，π]5．（5分）下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”6．（5分）在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π）C．（1，π） D．（1，2π）7．（5分）函数在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]8．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B．C．D．9．（5分）以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．210．（5分）已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a11．（5分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过12．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y∈R且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为．14．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确命题的序号是．15．（5分）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．18．（12分）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=（a n+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．19．（12分）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．20．（12分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．（12分）已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l 1：y=﹣1相切，圆心C的轨迹为E．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？22．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+．当a=﹣1时，若区间[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜m[f（x0）+1]，求实数m 的取值范围．（e为自然对数底数）2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z1•z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．故选：A．2．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．84【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B．3．（5分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A．252种B．112种C．70种D．56种【解答】解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112（种）．故选：B．4．（5分）直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[0，]∪[，π]D．[0，]∪[，π]【解答】解：∵直线xsinθ+y+2=0，∴y=﹣x﹣，∴直线的斜率k=﹣．又∵xsinθ+y+2=0倾斜角为α，∴tanα=﹣．∵﹣1≤﹣sinθ≤1，∴﹣≤﹣≤．∴﹣≤tanα≤．∴α∈[0，]∪[，π）．故选：C．5．（5分）下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选：C．6．（5分）在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π）C．（1，π） D．（1，2π）【解答】解：∵（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ），∴M（1，0）关于极点的对称点为（1，π）．故选：C．7．（5分）函数在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]【解答】解：∵函数，在区间[1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣﹣x+a=，由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得﹣x2+ax﹣4≤0在区间[1，+∞）上恒成立可得△≤0或，即a2﹣16≤0或a≤2．解得﹣4≤a≤4或a≤2，故a的取值范围为：（﹣∞，4]．故选：B．8．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B．C．D．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选：C．9．（5分）以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．2【解答】解：由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a【解答】解：f’（x）=﹣e﹣x+=，∵x＞0，＜1∴f’（x）＞0则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增函数∵正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＞0，或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，则a＜b＜x0＜c，或x0＜a＜b＜c，故选：A．11．（5分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选：B．12．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据条件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集为（，+∞）故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y∈R且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x≤1且y≤1．【解答】解：∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．14．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确命题的序号是②③．【解答】解：①若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；②若α∥β，m⊂α，则由平面与平面平行的性质，得m∥β，故②正确；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的判定定理，得m⊥β，故③正确；④平行于同一条直线的两个平面不一定平行，所以④错误．故答案为：②③．15．（5分）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．16．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为2．【解答】解：∵在三棱锥D﹣ABC中，AB=2，•=﹣3，设=，=，=∴=，=，∴=（）•（）==﹣3，∴=+﹣+3，又==，∴|（）﹣|=2，①∴=，②将①两边平方得，∴，∴，代入②中，得=，∴=+1+==1+（），∴，又=c2，，，∴=≥=2．∴的最小值为2．故答案为：2．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．【解答】解：（1）由题意可得+=2，解得n=7 或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5．∴T4的系数为••23=，T5的系数为••24=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数为••27=3432．（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则=a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则f（﹣1）=a0﹣a1+a2+…+﹣a5=0，②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），根据题意可得2×32=16（a+1），∴a=3．18．（12分）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=（a n+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：（1）易求得（3分）；（2）猜想（5分）证明：①当n=1时，，命题成立②假设n=k时，成立，（8分）则n=k+1时，==，所以，，∴．即n=k+1时，命题成立．由①②知，n∈N*时，．（12分）19．（12分）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．【解答】（1）证明：∵a、b、m、n∈R+，∴（a+b）=m2+n2+≥m2+n2+2mn=（m+n）2，当且仅当bm=an时取等号，∴．（2），=+≥=25，当且仅当2（1﹣2x）=3•2x，即当时取得最小值，最小值为25．20．（12分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．【解答】（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥BA1，在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）解：设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．21．（12分）已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l1：y=﹣1相切，圆心C的轨迹为E．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l 2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？【解答】解：（1）设C（a，b），圆半径r=b﹣（﹣1）=b+1，圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=（b+1）2过定点F（0，1）：a2+（1﹣b）2=（b+1）2a2=4b将a，b分别换为x，y，得圆心C的轨迹为E：x2=4y．（2）设P（p，），Q（q，），PQ中点的纵坐标为2：（）=2，p2+q2=16，①|PQ|2=（p﹣q）2+（﹣）2=（p﹣q）2[1+（p+q）2]=（p2+q2﹣2pq）[1+（p2+q2+2pq）]=（16﹣2pq）（2+pq）=（8﹣pq）（16+pq）=[144﹣（pq+4）2]，pq=﹣4时，|PQ|2最大，最大值为=36，∴|PQ|的最大值为6．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+．当a=﹣1时，若区间[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜m[f（x0）+1]，求实数m 的取值范围．（e为自然对数底数）【解答】解：（I）f′（x）=﹣=（x＞0），…（1分）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，所以f′（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，解得a=2．所以，…（3分）∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；…（4分）当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增；…（5分）∴当x=2时，f（x）取得极小值，∴f（x）极小值为ln2．…（6分）（II）令，则h′（x）=，欲使在区间上[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜mf（x0），只需在区间[1，e]上h（x）的最小值小于零．…（7分）令h'（x）=0得，x=m+1或x=﹣1．当m+1≥e，即m≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，则h（x）的最小值为h（e），∴，解得，∵，∴；…（9分）当m+1≤1，即m≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，则h（x）的最小值为h（1），∴h（1）=1+1+m＜0，解得m＜﹣2，∴m＜﹣2；…（11分）当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，h（x）在[1，m+1]上单调递减，在（m+1，e]上单调递增，则h（x）的最小值为h（m+1），∵0＜ln（m+1）＜1，∴0＜mln（m+1）＜m，∴h（m+1）=2+m﹣mln（m+1）＞2，此时h（m+1）＜0不成立．…（13分）综上所述，实数m的取值范围为．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。