第十二章 无穷级数复习题
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一: 选择题
1.lim 0n n u →∞
=是级数1
n n u ∞
=∑收敛的 【 B 】
(A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件
2.若级数1
n n u ∞
=∑收敛于S ,则级数11
()n n n u u ∞
+=+∑ 【 C 】
(A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数
111113
35
57
79
+
+
+
+⋅⋅⋅⋅ 【 B 】
(A)发散 （B ）收敛且和为
12
(C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1
4.设a 为非零常数,且级数1
n
n a r
∞
=∑
收敛,则 【 D 】
(A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r >
5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞
=∑收敛的 【 C 】
(A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件
6.下列结论正确的是 【 A 】
(A)若2
1
n
n u ∞
=∑,21
n
n v ∞
=∑都收敛,则21
()n n n u v ∞
=+∑收敛
(B) 若1
n n n u v ∞
=∑收敛,则21
n
n u ∞
=∑,2
1
n n v ∞
=∑都收敛
(C) 若正项级数1
n n u ∞
=∑发散,则1n u n
≥
(D) 若1
n n u ∞
=∑收敛,且n n u v ≥,则1
n n v ∞
=∑发散
7.判别交错级数1111112221
2
123
3
3
n
n -
+
-
++
-
+-
-
-
的敛散性时下列说法中正确的
是 【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞
=,故收敛
(B)因lim 0n n u →∞
=,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛
(C)因为级数11123n n n ∞
=⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝
⎭∑收敛,故原级数收敛
(D)以上三种做法都是错误的
8.设2
n n
n a a p +=
,2
n n
n a a q -=
,1,2,n = ,则下列命题正确的是 【 B 】
(A)若1
n n a ∞
=∑条件收敛,则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑都收敛
(B) 若1
n n a ∞
=∑绝对收敛,则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑都收敛
(C) 若1
n n a ∞
=∑条件收敛,则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑敛散性不定
(D) 若1
n n a ∞
=∑绝对收敛,则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑敛散性不定
9.设1
n n a ∞
=∑收敛,则1
1
n n n a a n
∞
+=∑
的敛散性是 【 D 】
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定 10.
)
1
sin n ∞
=∑的敛散情况是 【 A 】
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C)通项极限不为零,发散 (D) 通项极限为零,但发散
二: 填空题
1.级数0(ln 3)2
n
n
n ∞
=∑
的和为
22ln 3
-
2. 级数1
1
(1)(2)
n n n n ∞
=++∑
的和为
14
3.
幂级数0
n
n ∞
=∑
的收敛域是 [)1,1-
4. 幂级数1
112!n
n n n n x n ∞
=⎛⎫-
⎪⎝⎭
∑
的收敛域是 22
[,)e e -
5.幂级数()
21
1
32
n n
n
n n
x
∞
-=-+∑
的收敛半径___________R
=6.幂级数()
21
19
n
n
n x n ∞
=-⋅∑
的收敛域是 (2,4)-
7.
函数项级数()
1
2n
n x ∞
=-∑
的收敛域是 1x < 或3x >
8.设幂级数0
n
n n a x ∞=∑的收敛半径是3,则幂级数()
1
1n n n na x ∞
+=-∑的收敛区间为
(2,4)- 9.2x
y =的麦克劳林公式中n
x 项的系数是 (l n 2)
!
n
n
10.函数2()ln(1)f x x x =++在0x =处的幂级数展开式是
3(1)1
1
1
1
1
n n n n x
x
n n -+∞
∞
==-+
++∑
∑
三；综合题:
1. 设级数1
n n a ∞
=∑,1
n n b ∞
=∑都收敛,且(1,2,)n n n a u b n ≤≤= ,求证级数1
n n u ∞
=∑收敛
证明: 由(1,2,)n n n a u b n ≤≤= 0(1,2,)n n n n u a b a n ⇒≤-≤-=
又因为级数1
n n a ∞
=∑,1
n n b ∞
=∑都收敛,所以由级数性质知1
()n n n b a ∞
=-∑也收敛,
再由比较判别法知, 级数1
()n n n u a ∞
=-∑收敛,
而级数1
1
1
()n n
n n n n n u u
a a ∞
∞
∞
====
-+∑∑∑,所以由级数性质知1
n n u ∞
=∑收敛.
2.设有方程10n
x nx +-=,其中n 为正整数,证明: (1)此方程存在唯一实根n x ;
(2)当1α>时,级数1
n n x α
∞
=∑收敛.