小学数学竞赛题定义新运算之速算与巧算
杯赛专题——速算与巧算
杯赛专题——速算与巧算
学而思 刘婕老师
【名师点题】
速算与巧算是各大杯赛的必考点，也是同学们得分率较高的一个知识点。所以想要在杯赛中脱颖而出，必须要把速算与巧算的分数牢牢握住。 --------------------------------------------------------------------------------------------------
【考点分析】
1、凑整——速算与巧算最核心和根本的思想，主要分为：带着符号搬家和
加补凑整两大类。
2、分组——各大杯赛的常客。难点：分清楚组数。
3、乘法分配律及其乘法分配律的逆用——最热门的考点，从三年级考到八
年级，都会涉及到。四年级难点：不再是简单的乘法分配律逆用，还会结合拆分等综合考察。
4、公式法——比较常用到的公式：
a 、等差数列求和公式
b 、
212344321n n =++++++++L L c 、
2)12(97531n n =−+++++L d 、6
)12()1(432122222+×+×=++++n n n n L 5、一些巧算：125、25、11、9、首同尾补、首补尾同等。
6、找规律计算
7、定义新运算
【真题回放】
1、（年第五届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛第一（1）题）
20052222173333466669_______×+×+×=。
2、（年第七届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛第一（2）题）
2007999999555555222222999999_______×−×=
3、（年12月日第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛第一（1）题）算式：
小学二年级奥数第1课《速算与巧算》试题附答案
小学二年级上册数学奥数知识点讲解第1课《速算与巧算》试题附答案
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变
计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：和=中间数x 个数
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
（2）计算：1+3+5+7+9
（3）计算：2+4+6+8+10
（4）计算：3+6+9+12+15
（5）计算：4+8+12+16+20
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：和=（首数+末数）X个数的一般
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
（2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17
（3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
（2）计算：102+100+99+101+98
习题一 1.计算：（1）18+28+72
（2）87+15+13
（3）43+56+17+24
苏教版六年级奥数 第3讲 定义新运算
第2讲定义新运算
知识要点：
对于+、一、×、÷四则运算,我们已经熟知它们的运算规则和计算方法,还学会了四则混合运算,以及速算与巧算。这一讲我们要学习一种新的运算,所谓新运算就是对一些新的运算符号来自主定义或规定一种运算规则,然后按照这一规则进行计十算。
例1“○”表示一种新的运算,它是这样定义的:a○b=3×a-2×b
(1)求3○2,2○3；
(2)对于新运算“○”有交换律吗?
(3)求(9○7) ○5，9○(7○5)
(4)对于新运算“○”有结合律吗?
习题1、如果规定a※b=13×a-b÷8,那么17※24的最后结果是。(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题)
例2对于数,x、y定义⊙及△运算如下:x⊙y=3×x+2×y,x△y=3×x×y。求(2⊙3)△4的值。
习题2、x,y表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x※y=5x+4y,x○y=6xy。求(3※4)○5的值。例3、规定:4*3=4×5×6,2*3=2×3×4,1*5=1×2×3×4×5。求3*5的值。
习题3、观察5*2=5+55=60,7*4=7+77+777+7777=8638,推知9*5的值是。(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题)
例题4、如果1※2=1+2,2※3=2+3+4，…5※6=5+6+7+8+9+10。那么x※3=54中,求x的值。
习题4、设x,y为两个不同的数,规定x□y=(x+y)÷4。求a□16=10中a的值
例题5、x☆y=a×x+y,并且已知3☆5=5☆3,求a是几?
习题5、规定a⊙b=3a-2b,已知x⊙(4⊙1)=7,求x的值。
小学奥数专题之速算与巧算xia
速算与巧算(奥数基础)
教学目标：
1.使学生能够喜欢上有趣的奥数题目。
2.使学生的基础知识更加牢固，在考试中能更快地做题。
3.尽量使学生在轻松的氛围下扩展思维，奥数只是一个扩展思维的载体，而不是学生的课业负担。教学重点：加减乘除的速算与巧算方法。
教学难点：学生刚接触奥数，思维还不能一下子转变过来。
教学时数：6课时
教学过程：
教
学
步
骤
教师活动学生活动反思
一、
关于奥数的一个系统性介绍
二、
讲授知识点
同学们，你们有谁知道奥数是
什么？
介绍奥数的笼统的情况。
（一）初步了解速算巧算
1．给予基本公式，讲解。让学生有
个基本印象。（交换律、结合律、分配
率等公式）
（二）公式拓展教学：
1．例举奥数经典计算题题型讲
解。
回答问题
引起学习的兴趣。
学生在学校可能
已经学过，没学过的
同学可以提问不懂的
公式。
三、练习
四、
2．同样题型让学生动手做一题加
深印象。老师下去巡视看学生有没有
在专心做题。
3．题目讲解
从最基本的加减法到深入的乘除
法。一步一步引导学生，此时互动较
少，老师需要耐心讲解知识点。
(三)最后一课时，回忆所有学过的东
西，加深学生记忆。温故而知新，只
是需要反复应用才能在平时的学习中
用到这些奥数思维。对于大部分学生
容易忘记的知识点可以适当再分析。
出几道题目让学生抄下，回家有空做。
不会的可以留着下次评讲。题目不在
多，而在经典。否则学生容易感觉压
力大。
基本公式
1．运算顺序
*第一级：括号：（）→
[ ] → { }
第二级：作: 同一级别
可以叫学生上黑
板做题，其他同学在
下面自己做。
学生会忘记部分知
识，或许有一些内容
开始不理解，可以当
小升初第三讲：速算、巧算和新定义运算
小升初第三讲：速算、巧算和新定义运算
专题简析：
这一讲，我们主要讲解各种计算技巧和新定义运算，其中我们要讲到的计算技巧包括：观察法、灵活利用运算律、裂项法、公式法等方法。新定义运算我们将结合几个常见的新定义种类和大家探讨这类问题的解题思路。
观察法：需要我们在审题时注意观察算式的构成，灵活运用我们所学过的运算律来解题。
例题1：计算33338712 ×79+790×6666114
原式＝333387.5×79+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000
练习1：1. 3.5×114 +125％+112 ÷45 2. 975×0.25+934
×76－9.75
例题2：计算：36×1.09+1.2×67.3
原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120
练习2：:计算：
1. 45×
2.08+1.5×37.6 2. 52×11.1+2.6×778
例题3：计算20112011×2012－20122012×2011
分析与解答：这道题如果直接计算，显得比较麻烦。根据题中的数的特点，如果把20112011变形为2011×10001，把20122012变形为2012×10001，那么计算起来就非常方便。
20112011×2012－20122012×2011
=2011×10001×2012－2012×10001×2011
=0
练习3：计算题：192192×368－368368×192
例题4：计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5
二年级奥数：《速算与巧算》
二年级奥数：《速算与巧算》
（预热）前铺知识
复习
一、凑整法（计算的核心）
好朋友：两个数相加（相减）和为整十、整百、整千的两个数，我们称之为好朋友。
1）加法凑整：
好朋友：个位相加和为十。
口诀：看个位，手拉手，凑完整，再计算。
例：13+27=40
2）减法凑整：
好朋友：个位相同。
例：132-32=100
二、递等式
按照运算顺序把计算过程依次用等式表示出来，这样的等式叫做递等式。
写法：在算式下面、第一个数的左边写等号“=”；等号后面写计算过程，第一个数要与算式的第一个数上下对齐；每一步的等号对整齐，等号的两条线要平行。
例：52+36-23
=88-23
=65
三、抱符号搬家
抱符号搬家可以改变运算顺序，抱着前面的符号搬家。
每个数前面都有符号，第一个数前面的加号被省略了；数搬家时不要忘记带上它前面的符号。
例：
=100-45
=55
四、变加为乘
相同的数相加变乘法。
例：5+5+5+5+5+6
=5x5+6
=25+6
=31
五、认识小括号“（）”
小括号能改变运算顺序，小括号里面的要先算。
例：53+（36-16）【先算小括号里面的“36-16”】
=53+20
=73
新授
一、添（去）括号
（1）括号前面是减号，括号里面要变号；
例：
9
=19
（2）括号前面是加号，括号里面不变号。
例：
=9+（）
=9+10
=19
二、拆补凑整
任意数可以写成一个整数（整十，整百，整千）加（减）一个数的形式。
例：9+99
9最接近的整十数：10
99最接近的整百数：100
则原式=10-1+100-1
=110-2
=108
三、基准数法
特点：算式中的数都接近同一个整十（百）数
小学四年级奥数题速算与巧算讲解
小学四年级奥数题速算与巧算讲解小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的四年级奥数题速算与巧算，供大家参考。
【试题】计算
(2+4+6+…+996+998+1000)--(1+3+5+…+995+997+999)
【分析】：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2-1=4-3=6-5=…1000-999=1，因此可以对算式进行分组运算。
解：解法一、分组法
(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(996-995)+(998-997)+(1000-999 )
=1+1+1+…+1+1+1(500个1)
=500
解法二、等差数列求和
(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999)
=(2+1000)×500÷2-(1+999)×500÷2
=1002×250-1000×250
=(1002-1000)×250
=500
以上是查字典数学网为大家准备的四年级奥数题速算与巧算，希望对大家有所帮助。
四年级速算、巧算方法
速算与巧算方法
随着数学竞赛的蓬勃发展，数值计算充满了活力，除了遵循四则混合运算的运算顺序外，破局部考虑、立整体分析，巧妙、灵活地运用定律和方法，对处理一些貌似复杂的计算题常常有事半功倍的效果，常见适用的巧算方法如下：
一、凑整法
整数速算与巧算的基础是凑整思想，通过用交换律、结合律和分配律凑出1,10,100,1000，…，将复杂的计算变简便。
运算定律是巧算的支架，是巧算的理论依据，根据式题的特征，应用定律和性质“凑整”运算数据，能使计算比较简便。
1、加法“凑整”。利用加法交换律、结合律“凑整”，例如：
4673＋27689＋5327＋22311
=（4673＋5327）＋（27689＋22311）
= 10000＋50000
= 60000
2、减法“凑整”。利用减法的性质“凑整”，例如：
50－13－7
= 50－（13＋7）
= 30
3、乘法“凑整”。利用乘法交换律、结合律、分配律“凑整”，例如：
125×4×8×25×78
=（125×8）×（4×25）×78
= 1000×100×78
= 7800000
4、补充数“凑整”。末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100-2）、（50＋1）等来代替，使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫作98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”；50叫作51的“大约弱数”，1叫作51的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，例如：
（1）387＋99
=387＋（100-1）
五年级《速算与巧算》奥数教案
板书：
原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+……+（ - ）
=1- + - + - +……+ -
=1-
=
师：从式子中我们发现中间的分数都是一加一减刚好抵消的。将数列中的每一
项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们
把这种解题方法叫做裂项相消法。
生：……
师：同学们，你们有什么发现吗？
生：……
师：是的，所以整数的加法运算定律对分数加法的计算是同样适用的。在进行
分数的加减计算时，一个式子中有相同的分母，我们可以通过交换分数的
位置，将同分母的分数先计算，再计算异分母的分数。
板书：
原式=（ － ）＋（ － ）
= ＋
= ＋
=
师：同学们都掌握了吗？我们来试试练习一吧。
师：同学们，仔细观察这个算式，这些分数有什么特点？
生： 和 的分母相同， 和 的分母相同。
师：是的，那我们可不可以把分母相同的分数放在一起先计算呢？
生：……
师：我们之前学过整数加法的交换律a+b=b+a和结合律a+b+c=a+(b+c)，那么
同学们先按照通分的方法计算一遍，结果是多少？
生：……
2年级小学生奥数精选：速算和巧算
2年级小学生奥数精选：速算和巧算
以下是笔者为大家整理的关于二年级小学生奥数精选：速算与巧算的文章，希望大家能够喜欢！
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，
可凑整先算.
（2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
解：（1）63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
（2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
专题15 速算与巧算 (七)
专题十五 速算与巧算 （七）
（倒算、估算和定义新运算）
一、倒算
1. [2013年西工大附中入学真卷] 1.5÷[(50.4＋15.6)×□－23]＝0.15成立，请求□代表的数。
2. [2014年西工大附中入学真卷]求下列式子中的△。
[1413－(3.78－△÷127)×123]÷3.2＝4124
3. [2007年高新一中入学真卷] 12＋[25×0.75＋(12
＋□)×3]÷0.3＝98
4. [2009年高新一中入学真卷] 745÷[223×(158＋2×□)－1110]－215÷23
＝1.8
5. [2012年铁一中入学真卷] 735－1.5÷[123×(△＋23)]＝725
6. [2014年西工大附中入学真卷] 在等式8.1×17%＋214×□－6310
×0.04＝10.125中，□表示一个数，那么□＝？
7. [2013年铁一中入学真卷]
111121
31
4x +
+
++=96
67
二、估算
8. [2014年交大附中入学真卷]求34个偶数的平均数为15.9(保留一位小数)，如果保留两
位数得数是多少？
9. [2011年交大附中入学真卷]求24个偶数的平均数，如果保留一位小数为15.9，那么，
保留两位小数为多少？
10. [2010年交大附中入学真卷]有11个自然数，它们的平均数精确到小数点后一位小数是
29.2，那么精确到小数点后三位小数是多少？
11. [2009年交大附中入学真卷]已知a 3和b 7均为真分数且a 3＋b 7
≈1.38，则a ＝________ b ＝________。
12. [2009年交大附中入学真卷]用四舍五入法求a 3＋b 5＋c 7
小学奥数--计算模块分类总结汇总版(裂项、巧算、比大小等题型总结全)
目录
目录 (1)
一加减速算、巧算 (2)
练习题 (3)
答案 (4)
二乘除法速算、巧算 (5)
练习题 (7)
答案 (7)
三分数比较大小估算 (10)
练习 (12)
答案 (13)
三裂项综合 (15)
练习 (17)
答案 (17)
四繁分数计算、循环小数化分数 (20)
练习 (22)
答案 (23)
五定义新运算 (26)
练习 (27)
答案 (28)
一加减速算、巧算
课程准备：
1.接下来的课程不需要计算器，收起计算器。
2.准备一个本子，随时记录自己想到，学到的巧算方法
3.每天做几道有关计算的题目，题目选择思考过程很简单，计算很麻烦的题，不断练习才能不断提高。
速算几个要点,
1.找到最熟悉的速算数，哪怕只是接近：0，1,10,100， 1000······
2.套用最基本的运算法则：交换律，结合律，分配律，提取公因数，平方差，完全平方公式······
3.牢记特殊数的计算方法。
思考方向：
1.找到可以快速运算的数，或者可以通过一定可以快速运算的数；
2.运用运算法则化繁为简，牢记经常用的规律性运算；
3.如果发现题目计算起来非常的麻烦，请重复第一二条，直到可以快速计算为止。
一、加减法中的速算与巧算：
⑴凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数再将各组的结果相加．
①移位凑整法．
②借数凑整法．
③分组凑整法．
⑵找“基准数”法：
当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
二、基本运算律及公式：
一、加法：
加法交换律： a＋b＝b＋a
小学数学《速算与巧算》练习题(含答案)
小学数学《速算与巧算》练习题（含答案）
知识点：一、等差数列.
二、定义新运算.
三、速算与巧算的方法.
等差数列
我们仔细观察以下两个数列：
可以发现它们有一个共同的特点，后一项减前一项的差都是一个定数，像上面这样一类数列，叫做等差数列，相邻两个数的差叫做公差，通常用字母d表示．如果有一个等差数列
其公差是d，那么数列的每一项依次可表示为：
例如：求15，25，35，45，55，65，75这一列数的和，利用公式计算就是：
(1575)7
315
2
s
+⨯
==
利用此求和公式以及通项a
n =a
1
+(n一1)d的表达式，将给计算带来很大的方便．
【例1】按规律填数.
（1）21，25，29，（ 33 ），（ 37 ），41，45，49，（ 53 ）
（2）3，9，27，（ 81 ），（ 243 ），729
【分析】（1）观察第一列数，这是一个等差数列，它的公差是4，所以括号里要添的数，都应该是前一个数加4.
（2）观察第二列数，这是一个等比数列，它的公比是3，所以括号里面要添的数，都应该是前一个数乘3.
【分析】根据定义x△y=6
2
x y
x y
⋅⋅
+
于是有
6298
295
22920
⨯⨯
∆==
+⨯
【巩固】设a△b=a×a-2×b，那么，5△6=______，(5△2) △ 3=_____.
【分析】(1)5△6=5×5-2×6=13
(2)5△2=5×5-2×2=21
21△3=21×21-6=435
【例6】规定其中a、b表示自然数.
（1）求的值；（2）已知，求.
【分析】观察新定义的运算，可知表示首项是a，末项是的连续自然数之和，项数是
苏教版六年级奥数第3讲定义新运算
第2讲定义新运算
知识要点：
对于+、一、×、÷四则运算,我们已经熟知它们的运算规则和计算方法,还学会了四则混合运算,以及速算与巧算。这一讲我们要学习一种新的运算,所谓新运算就是对一些新的运算符号来自主定义或规定
一种运算规则,然后按照这一规则进行计十算。
例1“○”表示一种新的运算,它是这样定义的:a○b=3×a-2×b
(1)求3○2,2○3；
(2)对于新运算“○”有交换律吗?
(3)求(9○7) ○5，9○(7○5)
(4)对于新运算“○”有结合律吗?
习题1、如果规定a※b=13×a-b÷8,那么17※24的最后结果是。(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题)
例2对于数,x、y定义⊙及△运算如下:x⊙y=3×x+2×y,x△y=3×x×y。求(2⊙3)△4的值。
习题2、x,y表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x※y=5x+4y,x○y=6xy。求(3※4)○5的值。例3、规定:4*3=4×5×6,2*3=2×3×4,1*5=1×2×3×4×5。求3*5的值。
习题3、观察5*2=5+55=60,7*4=7+77+777+7777=8638,推知9*5的值是。(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题)
例题4、如果1※2=1+2,2※3=2+3+4，…5※6=5+6+7+8+9+10。那么x※3=54中,求x的值。
习题4、设x,y为两个不同的数,规定x□y=(x+y)÷4。求a□16=10中a的值
例题5、x☆y=a×x+y,并且已知3☆5=5☆3,求a是几?
习题5、规定a⊙b=3a-2b,已知x⊙(4⊙1)=7,求x的值。
四年级速算、巧算方法
速算与巧算方法
随着数学竞赛的蓬勃发展，数值计算充满了活力，除了遵循四则混合运算的运算顺序外，破局部考虑、立整体分析，巧妙、灵活地运用定律和方法，对处理一些貌似复杂的计算题常常有事半功倍的效果，常见适用的巧算方法如下：
一、凑整法
整数速算与巧算的基础是凑整思想，通过用交换律、结合律和分配律凑出1,10,100,1000，…，将复杂的计算变简便。
运算定律是巧算的支架，是巧算的理论依据，根据式题的特征，应用定律和性质“凑整” 运算数据，能使计算比较简便。
1 、加法“凑整”。利用加法交换律、结合律“凑整”，例如：
4673＋27689＋5327＋22311
=(4673＋5327)＋( 27689＋2231 1)
= 10000＋50000
= 60000
2、减法“凑整”。利用减法的性质“凑整”，例如：
50－13－7
= 50 －( 13＋7)
= 30
3、乘法“凑整”。利用乘法交换律、结合律、分配律“凑整”，例如：
125 X 4X 8X 25X 78
=(125X 8)X( 4X 25)X 78
= 1000X100X 78
= 7800000
4、补充数“凑整”。末尾是一个或几个0 的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51 等，我们可以用( 100-2)、(50＋1)等来代替，使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫作98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”；50叫作51 的“大约弱数”，1 叫作51 的“补充数”。把一个数先写成它的大约强(弱)数与补充数的差(和) ，然后再进行运算，例如：( 1 ) 387＋99
六年级数学简便计算：速算与巧算及分数裂项求和含答案
速算与巧算及分数裂项求和
一、知识梳理
速算与巧算指根据运算律、去括号法则、分数与除法关系等知识使运算简便，便于口算。 分数裂项是计算特殊形式分数加减运算的一种特殊方法。
分数裂项的实质是将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。
例 3121232361-=⨯-= 4
1314343127+=⨯+= 二、方法归纳
整数运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。乘法分配律是最常见的一种运算定律。另外，分数的运算技巧和方法主要有凑整法、裂项法、代数法等。
运算定律和性质
1．加法运算定律：a ＋b ＝b ＋a (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)
2．乘法运算规律：a ×b ＝b ×a (a ×b)×c ＝a ×(b ×c) a ×(b ＋c) ＝a ×b ＋a ×c
3．带符号搬家
1）在加减混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。 a －b ＋c ＝a ＋c －b a ＋b －c ＝a －c ＋b
2）在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。 a ÷b ÷c ＝a ÷c ÷b a ÷b ×c ＝a ×c ÷b
4．添括号、去括号
添加括号原则： a ＋b ＋c ＝a ＋(b ＋c) a ×b ×c ＝ a ×(b ×c)
a ＋
b －
c ＝a ＋(b －c) a ×b ÷c ＝ a ×(b ÷c)
a －
b －
c ＝a －(b ＋c) a ÷b ÷c ＝ a ÷(b ×c)
a －
b ＋
c ＝a －(b －c) a ÷b ×c ＝ a ÷(b ÷c)
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定义新运算之速算与巧算
定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式来表示一种新的运算。
例如：如规定：ababab
2424246
42424210
定义新运算一般分为两种：
⑴根据题目给的新的运算法则，进行运算，即从前往后推；
⑵已知运算结果和运算法则，推出前面的数，即从后往前推。
实质：
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题。
新定义的运算符号：
常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。
解题关键：
理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
【例1】设a△baa2b，那么，5△6_______，(5△2)△3_______。
【拓展】设m、n是两个数，规定：m * n4n(mn)÷2，这里“，，，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“ * ”是新的运算符号。计算：3 * (4 * 6)_______。
【例2】如果a□a(a1)，a□□a□(a□1)，…，那么1□□□_________。
【拓展】P、Q表示数，P * Q表示(PQ)÷2，求3 * (6 * 8)。
【例3】小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：
888，9995，933，(938)7837。
老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“、、、÷、( )、”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。
请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：8957___________。
【拓展】一个特殊的计算器上面有个“X *”键，当计算器上显示的数是a 时，按一下“X *”键后，计算
器上的a 立刻消失并显示一个新数2a 1。现在，这个计算器上显示5.25，那么连续按“X *”键_______次后，会显示99；接着再按“X *”键4次，计算器上显示的数将是_______。
【例4】定义运算：ababab ÷2008。请问：
⑴定义的运算是否满足交换律？
⑵请根据定义计算下面两个算式：
①2009(20092008)；
②个个⨯⊕⊕⊕⊕⨯⊕⊕⨯20092009200820092008
200920092008（20092008）（20092008）
【拓展】如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴abba ；
⑵(ab )ca (bc )。
现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：
(a ，b ) * (c ，d )(acbd ，acbd )
例：(4，3) * (7，5)(47＋35，4735)(43，13)
请你举例说明，“*”运算是否满足结合律。
【例5】“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3234；7⊙278； 3⊙534567，…按此规则，如果n⊙868，那么n_______。
【拓展1】如果ab表示(3a2b)，例如4534252，那么x5比5x大5时，那么x等于几？
【拓展2】对于数a，b，c，d，规定
〖答案〗
【例1】 13，435
【拓展】 65
【例2】 42
【拓展】 5
【例3】8393
【拓展】4，1599
【例4】⑴是，⑵① 0，② 2008
【拓展】不满足
【例5】5
【拓展1】6
【拓展2】6