一种新的高效平面点集凸壳构建算法 E2104246

一种新的高效平面点集凸壳构建算法徐胜攀1,2，刘正军1,左志权1（1．中国测绘科学研究院北京 100830; 2. 兰州交通大学兰州 730071）摘要：本文提出一种新的平面点集凸壳构建算法，算法基于角域处理的过程对点集分而治之计算凸壳，基于特征角计算的方法成对查找角域特征点，利用初始角域划分和角域更新的机制不断缩小问题规模，从而迅速逼近凸壳边。

针对大规模数据点集，算法又引入迭代思想，利用算法本身对非凸壳点的快速删除能力进一步加速凸壳求解进程，使得算法性能进一步提升。

本算法时间复杂度和空间复杂度均为O(n)，实验表明，这是一个可行、高效而且稳定的算法，而且，本算法易于推广到三维，也容易改进成并行算法。

关键词：凸壳；平面点集；特征点；角域；分治；迭代中图分类号：TP301.6平面离散点集的凸壳计算是应用十分普遍的基本几何算子，论文提出一种基于角域处理的新算法，具有较高的计算效率和可靠性。

建议作者适当修改后刊发：（1）由于在三维空间具有不同的几何性质，不宜简单说本算法易于推广到三维；（2）该文的方法是一种矢量计算机制，不知如何容易改进成并行算法？（3）将“具有最值特性的点：特征点”修改为外接矩形角点为好，因为任何一个点集都只有这4个特征点；（4）实验测试可多选择几个不同分布点集样例，图2所示的点集分布形态比较规则（凸壳比较规则）。

A new efficient algorithm for creating convex hullfor planar point setXu Shengpan1,2, Liu Zhengjun2, Zuo Zhiquan2(1. Chinese Academy of Surveying & Mapping, Beijing, 100830;2. Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou,730071;)Abstract: This paper presents a new algorithm for creating convex hull for planar point set, it uses the strategy of divide-conquer to calculate the convex hull by the process of triangle-region processing, finding trait-points in pair by means of trait-angle calculation, decreasing the scale of the problem by the mechanism of initial triangle-region partition and updating, thereby rapidly approaching to the edge of the convex hull. For large scale data set of points, the idea of iteration is introduced in, it uses the ability of quickly deleting the non convex hull points to accelerate the process of convex hull getting, making the performance of the algorithm enhanced further. Both of the time complexity and space complexity of the alg orithm are O(n), experiments manifest that it is a feasible, efficient and stable algorithm. Furthermore, this algorithm is easy to be extended to three-dimensional space as well as be improved to parallel type.Key Words: Convex hull; planar point set; trait-point; triangle-region; divide-conquer; iteration0 引言凸壳（Convex Hull），也称凸包，是指包含给定点集的最小凸集。

在二维情况下，凸壳是由点集中部分点按一定方向顺次连接形成的凸多边形。

凸壳是计算几何中一种最普遍、最基本的结构[1]，许多问题可以归结为凸壳问题，凸壳在图像处理、模式识别、计算机图形学等领域有着广泛的应用[1-7]。

常见的凸壳构建算法包括“卷包裹”算法[8]、格雷厄姆算法[8]、分治算法[8]、增量算法[8]。

“卷包裹”算法时间复杂度均为O(n2)；格雷厄姆算法、分治算法、增量算法时间复杂度均为O(nlogn)，但这些算法计算过程都较为麻烦。

近年来，又有学者提出新的凸壳构建算法，如2000年周培德提出的Z3-2算法[1]（称文献[1]算法），2006年樊广佺等提出的八方向极值快速凸壳算法[9]（称文献[9]算法），2007年郝建强提出的利用正负划分性求平面点集凸包的算法[10]（称文献[10]算法），2010年吴文周等提出的算法[11]（称文献[11]算法）等。

文献[1]算法简化了凸壳计算过程，但由于该算法对凸壳特性利用仍不够（对不参与凸壳构建的点删除程度不够），计算效率仍不高，另外该算法在查找凸壳点的过程中对凸壳边进行不断分裂，随着凸壳边的增多，点到凸壳边距离的计算会变得越来越复杂；文献[9]算法将构建凸壳由以往的四方向极值扩展到八方向极值，初步删除了更多不参与凸壳构建的点，但该算法仍具有与文献[2]算法类似的缺点；文献[10]算法本质上是文献[2]算法的一个改进算法，它简化了求距离最大点过程，但整体运算过程并没有很大程度上的优化；文献[11]算法创造性地应用了分治思想，单纯利用分治减小问题规模，提高了效率，该算法对凸壳点的查找利用了格雷厄姆方法，过程较为麻烦。

本算法在深入研究前人成果的基础上，充分利用凸壳特性，提出一种新的凸壳构建算法。

该算法的内核算法突破了传统算法思想，极大地加快了求解进程，在凸壳求解过程中，角域以极快的速度收敛，从而迅速逼近凸壳边。

为进一步减小绝对运算次数，算法又引入迭代处理思想，从而再次提高算法效率。

本算法论证严密，效率分析和实验测试表明，本算法是一个时间效率高、空间开销少、可行而且稳定的算法。

1.理论基础1.1 本算法相关概念为方便算法依据定理的阐述，先引入几个相关概念，必要时，对这些概念在算法中的运用加以说明。

1.1.1 特征点点集中，X坐标值或Y坐标值具有最值特性的点称为特征点。

在二维情况下，对于任意一个给定的点集，总是存在4类特征点：X值最小点、X值最大点、Y值最小点、Y值最大点。

把X值最小点和X值最大点统称为X特征点；Y值最小点和Y值最大点统称为Y特征点。

显然，特征点位于点集的最小外界矩形上。

一个点可以既为X特征点，也为Y特征点，点集中某类特征点也可以不止一个。

本算法中，如果点集中的某点既为X特征点，也为Y特征点，则对这一点分别按X特征点和Y特征点存储；如果点集中某类特征点不止一个，则选取其中一个作为特征点。

最终的特征点总数按4个处理。

1.1.2 特征项给特征点以最值特性的坐标项称为特征项。

X特征点具有X特征项，Y特征点具有Y特征项。

对各特征点按逆时针方向顺次连接，称位于同一条线段上的两特征点为相邻特征点。

容易推知，相邻特征点的特征项必然不同。

1.1.3 特征轴过特征点，按其特征项所作的水平线或垂直线称为特征轴，并且称特征轴与该特征点相互关联。

对于一个特征点P，如果它具有X特征项，则它关联X特征轴，直线方程为X=P.x；如果它具有Y特征项，则它关联Y特征轴，直线方程为Y = P.y。

1.1.4 角域连接相邻特征点，并分别作过这两个特征点的关联特征轴，形成的直角三角形区域称为角域。

如果两相邻特征点对应同一个点，则角域收敛为一个点。

1.1.5 特征角一个点和一个特征点的连线与该特征点的关联特征轴之间的夹角称为该点的特征角。

点与X特征点的相连形成的特征角称为X特征角，记为α；点与Y特征点的相连形成的特征角称为Y特征角，记为β。

称角域内的所有点中，α值最小的点为α最小点，β值最小的点为β最小点，α最小点和β最小点统称最小角点。

特征角的计算方法为，设为特征点，为特征点，为角域内任意一点，则：上式要求对角域内的任意点，存在P.y ≠A.y且P.x ≠ B.x，事实上在运算中必然成立。

当某点P存在P.y ＝ A.y或P.x ＝ B.x时，它必然位于当前角域边界外部，不会纳入当前角域的考察点集（这样的点会在之前的角域处理中被删除）。

1.2 本算法相关定理定理一：点集的特征点一定位于凸壳上。

证明：由于特征点位于点集的最小外界矩形上，因此，特征点一定位于凸壳上。

定理二：角域内的最小角点一定位于凸壳上。

证明：假设角域内的α最小点（设为M）位于凸壳内，角域的X特征点为A。

根据凸壳性质[1]，角域内必然存在一点P，使得连接AP后，M位于AP左侧；根据α最小点的定义，M 为角域内与X特征轴夹角最小的点，因此M必然位于角域内任意点与A连线的右侧，矛盾。

因此，α最小点必定位于凸壳上。

对于β最小点可采用同样的方法证明。

定理三：在角域内，设α最小点为P i，β最小点为P j，则：（1）如果P i＝ P j，则插入P i至凸壳后，该角域内的凸壳边构建完毕；（2）如果P i≠P j，设A为角域内的X特征点，B为Y特征点，顺次连接A、P i、P j、B，则在连接线左侧的点不能参与凸壳构建，可以直接删除，且在剩余点集中，P i是X特征点，P j是Y特征点。

图1 分布情形图证明：首先证明（1）。

如图1(a),由于P i＝ P j，则点P i既是α最小点又是β最小点，因此，该角域内不存在其他能参与凸壳构建的点，否则，与P i既是α最小点又是β最小点矛盾，故此时该角域内的凸壳边构建完毕。

证明（2）。

如图1(b),由于在角域内，连接A、B后，A、P i、P j、B左侧的点位于多边形AP i P j B内部，故这些点不能参与凸壳构建，应予删除。

根据特征角的性质，角域内的点必然位于按逆时针方向顺次连接特征点和最小角点构成的折线段（如图AP i P j B）的左侧，即剩余点集应位于以两最小角点的连线（如图P i P j）为一条边、以最小角点与相应特征点的连线（如图AP i、BP j）之交点为另一个顶点(设为M)的三角形内部。