概率论与数理统计教程第七章答案

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概率论与数理统计第七章习题附答案

习题7-1

1. 选择题

(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X

的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .

(A) X 和S 2. (B) X 和21

1()n i i X n μ=-∑. (C) μ和

σ2.

(D) X 和

()n

i X X n

=-∑.

解选(D).

(2) 设[0,]X U θ, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X

的样本, 则θ的矩估计量是( ) .

(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n

X ≤≤. (D) 1min{}i i n

X ≤≤.

解选(B).

3. 设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨

⎩其它.

其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；

(2) θ的极大似然估计量. 解总体 X 的数学期望为

()()d (1)d 2

E X xf x x x x θθθθ+∞

+-∞

+==+=

+⎰

⎰. 令()E X X =, 即12

X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为

21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为

1(1),01,0,

n n i i i x x L θθ=⎧⎛

⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭

⎪

⎩∏其它. 当0<x i <1(i =1,2,3,…,n )时, L >0且 ∑=++=n

概率论与数理统计第七章习题答案

= 0.95,α
= 0.05,查表得uα /2
= 1.96,
σ = 11, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1249.375，1268.625）；
(2)取统计量t
=
ξ S
− /
µ n
, 则有t
~
t(n
−1), 对于给定的置信概率1−α ,可求出tα /2 (n
−1)
使得
P( ξ − µ S/ n
dθ
= 0,即：- 10 + θ
xi
i =1
θ2
=0
∑ θˆ
=1 10
10 i =1
xi
解得θˆ = x = 114（7 小时）.
2
乐山师范学院化学学院
10.在某道口观察每15秒内通过汽车辆数，得数据如下：
汽车辆数
i
0
1
2
3
4
频数
µi
92
68
28
11
1
根据以上数据求每 15 秒钟内通过该道口的汽车辆数ξ 的 Eξ 和 Dξ 的无偏估计。
=
Eξ
2
=
DξHale Waihona Puke Baidu
+
(Eξ ) 2
=
p(1 −
p)
+
p2
=
p，即ξ12是p的无偏估计。

概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章

写在前面：由于答案是一个个复制到word rh，比校耗时耗力，故下载收取5分・希望需要的朋友给予理解

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的劳动成果，希望有心的朋友支持我一下.下载我的原版答案。

第七章假设检验假设检验的基本談念习题1 样木容fin确定后，在一个假设检验中•给定显著水平为*设此第一类错的概率为。•则必有()•

(A)a+p=l; (B)a+p>l; (C)a+p

解答: 应选(D)・当样木容Sn确定后.aQ不能同时都很小.即a变小时，p变大：而P变小时• a变大.

理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小・但a*的大小关系不能确定.并且这两类错谋不能同时发生，即a=l且p=l不会发生.故选(D).

习題2

设总休X^(g,a2b其中02已知，着要检验W需川统计a U=X"-gOa/n,

(1)若对敢边检验，统计假设为

则拒绝区间为

(2)若肌边假设为H0:g=g0,Hl：n<^0,则拒绝区间为. (给定显着性水平为4样木均值为X•，样木容fi 为n,且可记ul・a为标准正态分布的(l・a)分位数).

解答:

由敢侧检验及拒绝的概念即可御到.

习題3 如何理解假设检验所作出的〃拒绝原假设H0"和“接受原假设Hcr的判断

解答:

拒绝H0是有说服力的，接受H0是没有充分说服力的•因为假设检验的方法是概率性质的反证法.作为反证法就是必然要〃推出矛盾r才能得出"拒绝HO"的结论.这是有说服力的・如果“推不出矛盾化这时只能说〃目前还找不到拒绝H0的充分理由W此“不拒绝H0”或〃接受HCr\这并没有肯定H0—定成立•由于样木观察

《概率论与数理统计》习题及答案第七章

《概率论与数理统计》习题及答案

第七章

1．对某一距离进行5次测量，结果如下：

2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2

σ的矩估计.

解 μ的矩估计为ˆX μ

=，2

σ的矩估计为2

2*21

1ˆ()n

i i X X S n σ==-=∑ 1

(27812836280727652858)2809.05X =++++=，

15854.01170.845

S =⨯=

所以

2ˆ2809,1170.8μσ

== 2．设12,,

,n X X X 是来自对数级数分布

1(),(01,1,2,)(1)k

p P X k p k lu p k

==-<<=-

的一个样本，求p 的矩估计.

解 11

1111ln(1)ln(1)ln(1)1k k

k k p p p p p p p μ∞∞

==-==-=-⋅----∑∑ （1）因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩

21111ln(1)ln(1)ln(1)k

k k x p

k k k p p kp kp x p p p μ∞

∞

∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x p

p x p p x p p ='

⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2）（1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 2

p μμμ-= 所以得p 的矩估计

221

111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑

3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,

,n X X X 为取自X 的

概率论与数理统计第七章练习题与答案详解

概率论与数理统计第七章参数估计

练习题与答案（答案在最后）

1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（）．

(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 12

1 (C) ∑=n i i X n 1

21 (D) 2S

2．矩估计必然是（）．

(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计

3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，

求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是．

4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ

≠ˆE ，则θˆ是θ的（） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计

5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（）

才是μ的无偏估计．

(A) 213432X X + (B) 2142

41X X + (C)

215352X X + (D) 214

143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（）．

(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（）．

概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章

第七章假设检验

7.1 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）0:0,1H μσ==；（2）0:0,1H μσ=>；（3）0:3,1H μσ<=；（4）0:03H μ<<；（5）0:0H μ=.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题

0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显著性

水平为0.05

解：因为(,9)N ξμ~，故9

(,)25

N ξμ~ 在0H 成立的条件下，

000

53(||)(||)53

521()0.05

P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡⎤

=-Φ=⎢⎥⎣

⎦

55(

)0.975,1.9633

c c

Φ==，所以c =1.176。 7.3 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2

(,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ，

（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。解：（1）在0H 成立的条件下，2

概率论与数理统计习题及答案第七章

习题7-1

1. 选择题

(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .

(A) X 和S 2. (B) X 和

211

()n

i X n

μ=-∑. (C) μ和σ2

. (D) X 和21

()n

i X X n

=-∑.

解选(D).

(2) 设[0,]X U θ:, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) .

(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n

X ≤≤. (D) 1min{}i i n

X ≤≤.

解选(B).

2. 设总体X 的分布律为

其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.

解因为E (X )=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令15X θ-=得到θ的

矩估计量为ˆ15

X θ

-=. 3. 设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨

⎩其它.

其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；

(2) θ的极大似然估计量. 解总体 X 的数学期望为

()()d (1)d 2

E X xf x x x x θθθθ+∞

+-∞

+==+=

+⎰

⎰. 令()E X X =, 即12

X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为

21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数

概率论与数理统计教程第七章答案

.第七章假设检验

7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：

(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5

(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；

(5)W o :// = 0.

解：(1)是简洁假设，其余位复合假设

7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如

对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：

c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05

_ Q

解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)

在打。成立的条件下，

一/3 5c

P o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)

=2 1-Φ(y) =0.05

Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°

3 3

7. 3 设子样。,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验

%邛=μ0, H2> /J。,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，

(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；

(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误

的概率。

解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时

a = P^ξ≥c^ = P0

< σo σo )

所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为

概率论与数理统计课后习题答案第7章习题详解

习题七

1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.

【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X

所以p 的矩估计量 ˆX

= 2.设总体X 的密度函数

f （x ,θ）=22

(),0,

.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他

X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302

2()()d ,233

x x E X x x x θ

θθ

θθθθ⎛⎫=

-=-= ⎪⎝⎭⎰

令E (X )=A 1=X ,因此

=X 所以θ的矩估计量为 ^

3.X θ=

3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩

（2） f （x ，θ）=1,01,

0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩

其他

【解】（1）似然函数1

(,)e e e

i n n

x x n

n i

i i L f x θ

θθθθ=---==∑=

==∏∏

ln ln n

i i g L n x θθ===-∑

由1

d d ln 0d d n

i i g L n x θθθ===-=∑知 1

ˆn

i n

==∑

所以θ的极大似然估计量为1

ˆX

(2) 似然函数1

,01n

i i i L x x θ

θ-==<<∏

,i =1,2,…,n.

ln ln (1)ln n

概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案

Y a X1 bX 2 都是的无偏估计，并确定常数 a ， b 使 D(Y ) 达到最小．
证：因为 E( X ) ，所以 E( X1) ， E( X 2 ) ，有
E(Y ) aE( X1) bE( X 2 ) (a b) ，
即对于任意常数 a ， b ( a b 1)，Y a X1 bX 2 都是的无偏估计．
n
xi
L(x1, x2 ,,
xn , )
x1!
i1 x2!
xn
!
e
n
，
对数似然函数为
n
ln L ln xi ln(x1!x2! xn!) n ， i 1
令
d ln L
d
1
n i 1
xi
n0，
解得则的极大似然估计量为
1 n
n i 1
xi
，
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
．
8．设总体 X 的概率密度为
dL
d
n exp{
n i 1
( xi
)}
0，
所以 L( ) 是的单调增函数，从而对满足条件 xi 的任意，有
n
n
L( ) exp{ i1 (xi )} exp{ i1 (xi m1iinn{xi})} ，
即 L( ) 在 m1iinn{xi} 时取最大值，故的极大似然估计值为ˆ m1iinn{xi} ． 7．(1) 设总体 X 具有分布律

概率论与数理统计（第三版）课后答案习题7

第七章参数估计

1. 解 )1()(,)(),,(~p np X D np X E p n B X -==∴

⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==22)1(,)()(B p np X np B X D X X E 即由

解之，得n,p 的矩估计量为

B p B X X n 2221,

=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-=∧

∧

注：“[ ]”表示取整。 2. 解因为：

)(22

)(1

()(1

)()(λλ

θλλ

θλθλθλ+

=⋅=+

=⋅==⎰

⎰

⎰∞

+--∞

+--∞+∞

-dx e x x E dx e x dx x xf x E x x

所以，由矩估计法得方程组： ⎪⎩

⎪⎨⎧

++=+=2

221)1(1λλθλθA X 解得λθ,的矩估计量为 ⎪⎩⎪⎨⎧

=-=∧

∧

21B B X λθ

3. 解 (1) 由于 222

)]([)()(X E X E X D -==σ

令 ∑===n i i

X n A X E 12

1)( 又已知 μ=)(X E

故 2

σ的矩估计值为 ∑∑==∧

-=-=-=n i i n i i X n X n A 121222

)(11μμμσ

(2) μ已知时，似然函数为:

⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅=∑=-

i i

n x L 122

2)(21exp )

2()(μσ

πσσ

因此

∑=---=n

i i

n L 1

)(21

)2ln(2)(ln μσπσσ

令 0

)(21

12)(ln 1

2422

=-+-=∑=n

i i

n L d d

μσσσσ

解得2

σ的极大似然估计为: ∑=∧-=n i i X n 12

)(1μσ

概率论与数理统计教程第七章答案

、第七章假设检验

7、1 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ,2σ为未知,试指出下面统计假设中哪些就是简单假设,哪些就是复合假设:

(1)0:0,1H μσ==; (2)0:0,1H μσ=>; (3)0:3,1H μσ<=; (4)0:03H μ<<; (5)0:0H μ=、

解:(1)就是简单假设,其余位复合假设

7、2 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ,其中参数μ未知,x 就是子样均值,如对

检

验

问

题

0010

:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝

域:12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ,试决定常数c ,使检验的显著性水平为0、05 解:因为(,9)N ξμ~,故9

(,)25

N ξμ~ 在0H 成立的条件下,

000

53(||)(||)53

521()0.05

P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡

⎤=-Φ=⎢⎥⎣

⎦

55(

)0.975,1.9633

c c

Φ==,所以c =1、176。 7、3 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2

(,)N μσ,20σ已知,对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ,

(1)求此检验犯第一类错误概率为α时,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系;

(2)设0μ=0、05,20σ=0、004,α=0、05,n=9,求μ=0、65时不犯第二类错误的概率。

解:(1)在0H 成立的条件下,2

00(,

N σξμ~,此时

00000()P c P ξαξ=≥=

概率论与数理统计练习题第七章答案

概率论与数理统计练习题

系专业班姓名学号

第七章参数估计（一）

一、选择题：

1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计（B ）总体矩的函数（C ）样本矩的函数（D ）极大似然估计

2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）122433X X +

（B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355

X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2

90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ]

（A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：

1．如果1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2

ˆθ的期望与方差一定满

足 1212ˆˆˆˆ,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1

~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计

参数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2

(,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本，

211

()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C =

12(1)

概率论与数理统计课后习题答案第七章

解:此处
的置信度 0.90 的置信区间为:
4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:毫米)如下:
14.6
14.7
15.1
14.9
14.8
15.0
15.1
15.2
14.8
设滚珠直径服从正态分布,若
(1) 已知滚珠直径的标准差
毫米;
(2) 未知标准差
求直径均值的置信度解: (1)
求的估计值.
解:
似然函数为
令
得
2. 设总体 X 的概率密度为
试求(1) 解: (1)
其他的矩估计
的极大似然估计
的矩估计 (2) 似然函数为
令
解得
3. 设总体 X 服从参数为
的泊松分布试求
解: 由服从参数为的泊松分布
由矩法,应有
的矩估计和极大似然估计
(可参考例 7-8)
似然函数为
解得的极大似然估计为
大?(附
)
解: (1) 的置信度为的置信区间为
(2) 的置信度为故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中未知试求

概率论与数理统计习题及答案-第七章

i1
n
ln L n ln ( 1) ln xi
i1
d ln L n
n
由
d

ln
i 1
xi
0知
ˆ n n
n
n
ln xi ln xi
i 1
i 1
所以θ的极大似然估计量为
ˆ n n
ln xi
i1
4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取 10 人的收益率数据，结果如下：
2
ˆ 2X 且 E(ˆ) 2E( X ) 2E( X ) ,
所以θ的矩估计值为ˆ 2x 2 0.6 1.2 且ˆ 2 X 是一个无偏估计.
2
8
8
1
(2)
似然函数 L
i 1
f
( xi
,
)

,i=1,2,…,8.
显然 L=L(θ)↓(θ>0)，那么 max{xi}时，L=L(θ)最大, 1i8
习题七
1.设总体 X 服从二项分布 b（n，p），n 已知，X1，X2，…，Xn 为来自 X 的样本，求参数 p 的矩法估计.
【解】 E( X ) np, E( X ) A1 X , 因此 np= X
所以 p 的矩估计量
X pˆ

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第七章参数估计

1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2

的矩估计，并求样本方差S 2

。

解：μ，σ2

的矩估计是 61

106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑n

i i x X n X σ

621086.6-⨯=S 。

2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

（1）⎩

⎨⎧>=+-其它,0,)()1(c

x x c θx f θθ

其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=-.,01

0,)(1其它x x θx f θ

其中θ>0，θ为未知参数。

（5）()p p m x p p

x X P x m x

,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。

解：（1）X θc

θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc

=--=-==

=+-∞+-∞+∞

-⎰

⎰

,11)()(1令，

得c

X X

θ-=

（2）,1)()(10

⎰

∞+∞

-θθdx x

θdx x xf X E θ

)1(,1

X X θX θθ-==+得令

（5）E (X ) = mp

令mp = X ，解得m

=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数 1

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