第十一章：无穷级数、第三节：幂级数

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高等数学第11章无穷级数

n→∞
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
第十一章无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
+
L
+
ln
n
+ n
1
拆项相消

111无穷级数

无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形周长为 P1 3 , 3 面积为 A 1 ; 4
n 1

n 1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2. 设有两个收敛级数则级数

u
n 1

n
s,
v
n 1

n

( u
n1
n
vn )也收敛, 其和为
s .
结论: 收敛级数逐项相加减所得的级数也收敛.
证: 令 S n
n
k 1
u k , n vk ,
第一次分叉：
4 周长为 P P 2 1, 3 1 面积为 A 依次类推 2 A 1 3 A 1; 9
第n 次分叉：
周长为面积为
n 2
4 n 1 P () P 1 , 2 , n 1 n 3
1 n 1 A A 3 { 4 [( ) A ]} n n 1 1 9 1 1 2 n 21 n 1 A 3 A 3 4 ( ) A 3 4 ( ) A 1 1 1 9 9 91 1 1 41 4 1 4 2 n 2 A { 1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 1 3 3 93 9 3 9
即 u u u lim ( u u u ) 1 2 n 1 2 n
n
所以判断无穷级数是否收敛就是判断其部分和数列是否有极限。

高等数学系列教材目录表

高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。

11-1常数项级数概念

22( n 1) 31 n 的敛散性.
n1
公比q 1 , | q | 1,
un
3
2 3 2(n1) 1n
4 3
n1
,
n1
(
1 3
)n
收敛.
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
| q | 1, 22(n1)31n发散.
n1
无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形,然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．分形
周长为
P4
( 4)3 3
P1
面积为
A4
A3
3{42[( 1 )3 9
A1 ]}
观察雪花分形过程
第四次分叉：
周长为
P5
(
4 3
)4
P1
面积为
A5
A4
3{43[( 1 )4 9
A1 ]}
观察雪花分形过程
第五次分叉：
周长为
P6
(
4 3
)5
P1
面积为
A6
A5
3{44[( 1 )5 9
A1 ]}
依次类推
第n次分叉：
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，
记为 un , 其中第n项un称为一般项. n1
1
2
1 22
1 23
1 2n
( 1 )n n1 2
常数项级数举例
1 3 5 (2n 1) (2n 1)
1 1
23
1 n1
n1
1
n1 n 1

高数11-3(幂级数的概念、性质与求和)

第三节幂级数
power series
函数项级数的概念幂级数及其收敛性幂级数的运算
1
第十一章无穷级数
幂级数
一、函数项级数的概念
1.定义定义1 设u1( x), u2( x), un( x)为定义在(a, b)内的函数序列, 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数收敛域的基本方法.
7
幂级数
二、幂级数及其收敛性
1.定义
定义如下形式的函数项级数
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n
x
x
14
幂级数
(1)如果lim an1 ( 0)存在,
n an
比
值
当|
x
|
1
时,级数 |
n0
an xn
|
收敛,
审
敛
从而级数
an xn 绝对收敛.
法
n0
当|
x
|
1
时,
级数 |
n0
an xn
|
发散,
lim an1 | x |
n an
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
13
幂级数
定理2 如果幂级数 an xn的所有系数 an 0
n0
设
lim an1 n an
(或 lim n
n an
）
(1) 当
0时,
R
1
;

2014考研数学基础课件第11章无穷级数

(1)
n 1
u n1 n ((ii｛i)) ulnni｝m单u调n递减0.
(u n
0)
第7页，共50页。
(1) u n1 n收敛.
n 1
7
★正项级数审敛程序：
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足发散
比值审敛法根值审敛法
lim un1
u n n
lim n
n
un
比较审敛法
1不确定
定义法
用其它法判别性质法
n1
1
发散 ,
n1 n 1
故原级数发散 .
第9页，共50页。
9
请熟记：lim n n 1; lim n a 1(a 0)
n
n
解(2)
P323 题2(1)
1 发散 , 故原级数发散 .
n n1
(3)
n2 sin
n1
2n
解(3) lim un1
u n n
lim
n
(
n
1)2
sin
2n1
C.
u 收敛 n
u 收敛. n
若
un收敛
un1收敛.
n1
n1
n1
n1
性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性. 16
第16页，共50页。
16
3. [04数三、4分] 设有下列命题：
(1) 若 (u2n1 u2n ) 收敛，则 un收敛.
n1
n1
(2) 若 un收敛，则 un1000 收敛.
n1
n1
n1
n1
性质2. 设两un，级v数n收收敛敛 s ( un vun )n收，敛且 ( unvn，vn ) ( un vn ).

第十一章级数

第十章无穷级数从小学一年级开始,到目前为止,我们只学过有限个数的加法,那么无穷多个数是否能相加呢?这就是我们现在需要讨论的问题,即数项级数.而这仅仅是无穷级数的一种特殊情况.无穷级数是高等数学中的一个重要组成部分,在很多领域有着广阔的应用.第一节无穷级数的基本概念及性质一、概念定义:设已给定数列1u ,2u ,…,n u …,称形式加法1u +2u +…+n u +…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为∑∞=1n n u, 即∑∞=1n n u=1u +2u +…+n u +…, 其中称n u 为一般项.将其前n 项的和: n S =1u +2u +…+n u 称为级数的前n 项的部分和,或简称部分和.注1: 由上我们便得到一个数列1S ,2S ,…,n S ,…,从形式上不难知道 ∑∞=1n n u =n n S ∞→lim ,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当∞→n 时,若部分和数列{}n S 有极限S ,即 S =n n S ∞→lim ,就称常数项级数∑∞=1n n u 收敛,且称S 为其和,并记为:S =1u +2u +…+n u +… , 若数列{}n S 没有极限,就称∑∞=1n n u 发散.注1: 当级数收敛时,其部分和n S 又可看成为S的近似值. 两者之差n n S S r -==1+n u +2+n u +… 称为级数∑∞=1n n u的余项.用n S 代替S 所产生的误差就是它的绝对值,即 nr .注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数∑∞=1n n u的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列{}n S 的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设{}n S 为一数列,令1u =1S ,2u =12S S -,…,n u =1--n n S S , 2,1=n , 则n nk k S u =∑=1这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数): +++++-12n aq aqaq a 的敛散性.其中0≠a解: 我们先考虑其部分和:n S =12-++++n aq aq aq a利用中学知识,得n S =qq a n --1)1( (1≠q时)(I) 当1<q 时,由于n n S ∞→lim =q q a nn --∞→11lim =qa -1, 故几何级数收敛,且收敛于q a -1. (II)当1>q 时,由于n n S ∞→lim =qq ann --∞→11lim 不存在,故此时几何级数发散.(III)当1=q时,此时几何级数为: a a a a ++++,⇒n S =na ∞→(∞→n )此时级数发散.(IV)当1-=q时,级数为 a a a a -+-,⇒n S =a n ])1(1[1---, n n S ∞→lim 不存在.故此时级数发散.∴ 综上所述,几何级数在1<q 时收敛,在1≥q 时发散.[例2] 证明级数+++⋅+⋅+⋅)2(1531421311n n 收敛. 证: 首先,由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+21121)2(1n n n n ⇒n S =)2(1531421311++⋅+⋅+⋅n n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-412121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-513121+…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21121n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++++)21514131()131211(21n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+211121121n n →)211(21+=43∴ 原级数收敛,且收敛于43.[例3] 证明调和级数 +++++n 131211发散. 证: n S =n131211++++=⎰21dx +⎰3221dx +…+dx n n n ⎰+11 ≥⎰211dx x +dx x ⎰321+…+dx x n n ⎰+11=dx xn ⎰+111=1ln +n n x =)1ln(+n当∞→n 时,∞→n S .显然n n S ∞→lim 不存在. 故原级数发散.二、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即∑∞=1n n u收敛,则0lim =∞→n n u .证: 设∑∞=1n n u收敛于S. 即n n S ∞→lim =S .)(lim lim -∞→∞→-=n n n n n S S u 0lim lim 1=-=-=-∞→∞→S S S S n n n n注1: 若反之,则不一定成立.即0lim =∞→nn u , 原级数∑∞=1n n u 不一定收敛. 如调和级数∑∞=11n n 发散,但01lim =∞→n n . 注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若0lim ≠∞→nn u ,则原级数∑∞=1n n u 一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变. 证:1u +2u +…+n u +…的部分和序列为{}n S1+k u +2+k u +…+n k u ++…的部分和序列为{}n σ.则k n k n S S -=+σ, 由于k 为有限数,则k S 为一个有限数.则n n σ∞→lim 与n k n S +∞→lim 同敛散.若原级数收敛,则n k n S +∞→lim =n n S ∞→lim =S . 则{}n σ收敛. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…收敛若原级数发散,则n n S ∞→lim 不存在, 故n n σ∞→lim也不存在. 则{}n σ发散. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…发散.性质3: 若级数∑∞=1n n u收敛于S ,则它的各项都乘以一常数k 所得的级数∑∞=1n n ku收敛于kS.即∑∞=1n n ku=k∑∞=1n n u性质4: 若级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n ν分别收敛于S和σ,则级数∑∞=±1)(n n n u ν收敛于σ±S .注1:∑∞=±1)(n n nuν称为级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν的和与差.注2: 若级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n ν之中有一个收敛,另一个发散,则∑∞=±1)(n n nuν发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和. 注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某n 项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: +-++-+-111111是发散的,但+-++-+-)11()11()11(是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n 的敛散性.解: 因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛131n n与级数∑∞=++1)2)(1(1n n n 均收敛,由性质4可知 ∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n =∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n +∑∞=++1)2)(1(1n n n 收敛. 第二节正项级数的审敛法前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以1-后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设∑∞=1n n u为一正项级数,n S 为其部分和.显然部分和序列{}n S 是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理.定理: 正项级数∑∞=1n n u收敛⇔{}n S 有界.证: “⇒” ∑∞=1n n u 收敛⇒{}n S 收敛⇒{}n S 有界.“⇐” {}n S 有界,又{}n S 是一个单调上升数列⇒n n S ∞→lim存在⇒∑∞=1n n u 收敛. 定理1(比较审敛法) 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν是两个正项级数,且n n u ν≤ ),3,2,1( =n .那么1) 如果∑∞=1n n ν收敛,则∑∞=1n n u收敛.2) 如果∑∞=1n n u发散,则∑∞=1n n ν发散.证: 设n S 和n σ分别表示∑∞=1n n u 和∑∞=1n n ν的部分和,显然由n n u ν≤⇒n S ≤n σ(1)∑∞=1n n ν收敛⇒n σ有界⇒n S 有界⇒∑∞=1n n u 也收敛.(2)∑∞=1n n u发散⇒n S 无界⇒n σ无界⇒∑∞=1n n ν也发散.推论: 设两个正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν,如果对于N n ≥(N为某一自然数)的n ,恒成立不等式n n k u ν≤(0>k 的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论. [例1]: 讨论p -级数 +++++p p p n131211的敛散性.其中常数0>p . 解 (1) 当1≤p 时,因n n p 11≥,而∑∞=11n n 发散, ∴∑∞=11n pn= +++++p p p n 131211发散(2) 当1>p 时,对于任意实数),1[+∞∈x ,总存在自然数k ,使得k x k <≤-1 ),3,2( =k ,因此p p x k 11≤,⇒ dx xdx k k k k p k k p p ⎰⎰--≤=11111 ),3,2( =k , 于是 n S =p p p n 131211++++dx x dx x dx x n n p p p ⎰⎰⎰-++++≤132211111=⎰+np dx x 111=1111--+-p n p<111-+p . 这表明n S 有上界,又{}n S 单调上升,故n n S ∞→lim 存在⇒p -级数 +++++pp p n 131211收敛. 综上所述,当1≤p 时, p -级数发散;当1>p 时p -级数收敛.[例2] 若正项级数∑∞=1n n a 收敛,则 (1) ∑∞=+11n nna a 收敛, (2)∑∞=1n nna 收敛, (3)∑∞=12n n a收敛.证: (1)由n n n n a a a a =+≤+011, 由于正项级数∑∞=1n n a 收敛,则由比较审敛法, 知∑∞=+11n nna a收敛(2))1(21]1)[(21222n a n a n a n n n +=+≤, 由于正项级数∑∞=1n n a 收敛,∑∞=121n n 收敛,则∑∞=1n nna 收敛,(3)由于∑∞=1n n a收敛,则0lim =∞→n n a ,则N ∃,当Nn >时,1<na ,从而n na a <2,则由比较审敛法,则∑∞=12n na 收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν,如果存在极限:l u nnn =∞→νlim(1) 当+∞<<l 0,则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν同时收敛或同时发散.(2) 当0=l时,如果∑∞=1n n ν收敛,则级数∑∞=1n n u 必收敛.(3) 当+∞=l,如果∑∞=1n n ν发散,则∑∞=1n n u 必发散.证: 1)因+∞<<l 0,根据极限的定义,对于2l=ε,必存在正整数N ,当Nn ≥时,恒成立不等式2l l u nn<-ν, 即l l l u l l l n n 23222=+<<-=ν ⇒ n n n l u l νν2320<<<由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.2)0=l ,即0lim=∞→nnn u ν,则存在N ,当Nn ≥时,1<nnu ν,得 n n u ν<,由比较审敛法知,如果级数∑∞=1n n ν收敛,则级数∑∞=1n n u必收敛.3)+∞=l ,即+∞=∞→nnn u νlim,则存在N ,当Nn ≥时,1>nnu ν,得 n n u ν>,比较审敛法知,当∑∞=1n n ν发散,则∑∞=1n n u必发散.[例3] 证明∑∞=-121n nn收敛. 证: 由1211lim 2121lim =-=-∞→∞→n n n nn n n,又 ∑∞=121n n 收敛,则由比较审敛法的极限形式⇒ ∑∞=-121n nn收敛定理2: (达朗贝尔D ’Alembert 判别法) 设正项级数∑∞=1n n u ,如果极限ρ=+∞→nn n u u 1lim,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=+∞→n n n u u 1lim 时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.[例4] 证明∑∞=-+⋅⋅-+⋅⋅1))1(41(951))1(32(852n n n 收敛. 证:1434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论∑∞=1n nnx(0>x )的敛散性.解:x x n n nx x n u u n n n n nn n =+=+=∞→+∞→+∞→1lim )1(lim lim 11当10<<x 时, 由比值审敛法知,原级数收敛.当1>x 时, 由比值审敛法知,原级数发散.当1=x 时,判别法失效.但此时原级数∑∞=1n nnx=∑∞=1n n 发散.∴ 10<<x 时,原级数收敛.;1≥x 时,原级数发散.定理3: (Cauchy 判别法) 设∑∞=1n n u为正项级数,如果ρ=→n n n u 0lim ,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ(或为∞+)时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy 判别法为根值审敛法.[例6] 证明∑∞=-+12)1(3n n n收敛.证:1212)1(3lim lim 1<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→nn nn n n n u ,故由根值审敛法知,原级数收敛. 第三节任意项级数的敛散性一、交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:+-+-4321u u u u 或 -+-+-4321u u u u ,其中0≥n u ),2,1( =n定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数 +-+-4321u u u u 满足:1)1+≥n n u u , 2) 0lim =∞→n n u则级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛,其和1u S ≤,余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证: 先考察交错级数∑∞=--11)1(n n n u 前n 2项的和n S 2,并写成)()()(21243212n n n u u u u u u S -++-+-=- ,或n n n n u u u u u u u u S 21222543212)()()(--------=--根据条件(1)可知:n S 2是单调增加的,且12u S n <,即n S 2有界,故 12l i m u S S n n ≤=∞→再考察级数的前12+n 项的和12+n S ,显然12212+++=n n n u S S ,由条件(2),得S u S u S S n n n n n n n n n =+=+=+∞←∞→+∞→+∞→12212212lim lim )(lim lim最后,由于S S S n n nn ==+∞→∞→122lim lim ,得 S S n n =∞→lim ,即交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛于S,且1u S≤,其余项n r 的绝对值仍为收敛得交错级数,所以14321+++++≤+-+-=n n n n n n u u u u u r .[例1] 证明交错级数∑∞=+-111)1(n n n收敛. 证: (1)1111+=+>=n n u n n u , (2) 01lim lim ==∞→∞→n u n n n .由上述定理知, 交错级数∑∞=+-111)1(n n n收敛.且其和1≤S . 二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数∑∞=1n n u,其中n u ( ,2,1=n )为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设∑∞=1n n u为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数∑∞=1n n u收敛,就称∑∞=1n n u绝对收敛;若∑∞=1n n u收敛,但∑∞=1n n u不收敛,就称∑∞=1n n u为条件收敛.定理2: 若任意项级数∑∞=1n n u绝对收敛,则∑∞=1n n u收敛.证: 因nn n u u u 20≤+≤,且级数∑∞=12n n u收敛,由正项级数的比较判别法知,级数)(1n n nu u+∑∞=收敛,再由级数的性质4知级数∑∞=1n n u =])[(1n n n nu u u-+∑∞= 收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如:∑∞=--111)1(n n n 收敛,但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n n n 为调和级数是发散的.[例2] 证明∑∞=1!n n n α=+++!!22n nααα对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明∑∞=1!n nn α是收敛的.事实上,对α∀,!)!1(lim1n n nn n αα++∞→=101lim<=+∞→n n α.由比值判别法知,∑∞=1!n nn α是收敛的,所以∑∞=1!n nn α对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.[例3] 证明∑∞=--111)1(n pn n 在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛.证: 首先,我们知道∑∞=--111)1(n pn n 为一个莱布尼兹级数,且有当∞→n 时,pn 1单调下降趋于零.故对0>∀p ,原级数∑∞=--111)1(n pn n 总是收敛的.其次,考虑其绝对值级数∑∞=11n p n ,也就是p -级数.由上一节的例1的结果知,当10≤<p 时发散, 1>p 时收敛.综上所述,∑∞=--111)1(n pn n 在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛.绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如∑∞=+-111)1(n n n=2ln , 而 2ln 214124112181613141211=+----++--+--k k k 注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛111n n n n n n u τν其中123121νννντn n n n nu u u u ++++=-- .如果两个级数∑∞=1n n u与∑∞=1n n ν都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数∑∞=1n n τ也绝对收敛.且当A un n=∑∞=1,B n n =∑∞=1ν时, AB n n =∑∞=1τ.若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.第五节幂级数一、函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I 上的一个函数,便为函数项级数. 设)(x u n , ,2,1=n 是定义在区间I 上的函数,序列)(1x u ,)(2x u , ),(x u n 是一个函数列,对于I 上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:)(1x u ++)(2x u ++)(x u n , (1)简记为∑∞=1)(n n x u .称为定义在I 上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如p -级数∑∞=11n pn,∑∞=1n nnx ,∑∞=1!n nn α等等.对于∈=0x x I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:∑∞=1)(n nx u =)(01x u ++)(02x u ++)(0x u n (2)若级数(2)收敛,就称0x x =是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称0x x =是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于I x ∈∀,x 不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I 中的每一点0x,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I 上收敛.对于收敛域中的每一个点x ,函数项级数∑∞=n n x u )(为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点x 的函数.记为)(x S .则∑∞=n n x u )(=)(x S . )(x S 又称为和函数.若将其部分和函数记为)(x S n , 则)()(lim x S x S n n =∞→.同理,称)()(x S x S r n n -=为∑∞=1)(n n x u 的余项.nr 为)(x S n 代替)(x S 时的误差.显然,也有0)(lim =∞→x r n n (x 为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式:+++++n n x a x a x a a 2210(3) ,其中,,,,,210n a a a a 叫做幂级数的系数.显然,幂级数在),(∞-∞上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在0=x 处总是收敛的.而对0≠∀x 的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel 定理) 设幂级数∑∞=0n nn xa =+++++n n x a x a x a a 2210 (3)若幂级数(3)在0x x =)0(0≠x 处收敛,则对于满足条件0x x <的一切x ,级数(3)绝对收敛.反之,若它在0x x =时发散,则对一切适合不等式x x >的x ,级数(3)发散.证:+++++nn x a x a x a a 0202010收敛 ⇒n n n x a 0l i m ∞→=0∴ 0>∃M , 对 ,2,1,0=∀n ,有M x a nn ≤0又nn n n n n n n n nn x x Mx x x a x x x a x a 00000≤⋅=⋅=当x x <时,10<x x, ∴ ∑∞=00n nx x M 收敛.⇒∑∞=0n nn x a 收敛.∴∑∞=0n n n x a 绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证) 由定理1不难知: 设α为任一收敛点,β为任一发散点.则必有βα≤。

第十一章级数概论

第十一章无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与Leibniz 定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及与收敛的必要条件2.掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法4.掌握交错级数的Leibniz 判别法5.了解任意项级数的绝对收敛域条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念（数三不要求）7.理解幂级数收敛半径的概念并掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及其收敛域的求法 8.了解幂级数在其收敛区间内的性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数9.了解函数展开为Taylor 级数的充分必要条件10.掌握α））和（（、、、x 1x 1In cosx sinx e x ++的Maclaurin 展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数重点内容与常见题型1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛2.求幂级数的收敛半径、收敛域3.求幂级数的和函数或求数项级数的和4.将函数展开为幂级数（包括写出收敛域）5.综合证明题11.1 数项级数的概念和敛散性的判别法一．基本内容1.数项级数的概念和基本性质式子∑∞=⋯++⋯++1n nn 21uu u u 或简写为叫做无穷级数，n u 叫做级数的一般项级数的前n 项的和n 21n u u u S +⋯++=称为级数∑∞=1n nu的部分和若部分和数列⋯⋯，，，n 21S S S 的极限存在，则称级数∑∞=1n nu收敛，并称此极限值S=n n S lim +∞→为级数∑∞=1n nu的和，记作S=∑∞=1n nu若n n S lim +∞→不存在，则称此级数发散，发散的级数没有和基本性质：（1）设0k ≠，则∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；且当其收敛时，∑∞=1n nku=k∑∞=1n nu（2）收敛级数的和（差）仍收敛，且有∑∑∑∞=∞=∞=±=±1n 1n 1n nn n n vu v u ）（（3）在级数中加入或去掉有限项，不影响级数的敛散性（4）收敛级数加括号后所成新级数仍收敛，且其和不变（5）级数∑∞=1n nu收敛的必要条件是0u lim n n =∞→注：对于级数，以下是一些基本事实： ①若两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv，一个收敛，一个发散，则∑∞=±1n n n v u ）（发散；若∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均发散，则级数∑∞=±1n n n v u ）（的敛散性不定②若级数加括号后所得的新级数发散，则原级数必发散；级数加括号后所得的新级数收敛，原级数的收敛性不定③性质（5）只是级数收敛的必要条件，而0u lim n n ≠∞→或不存在时，级数∑∞=1n nu 必发散.这一点是经常使用的2.正项级数审敛法（充分条件）若0u n ≥，则称∑∞=1n nu为正项级数.正项级数的特点是部分和序列{}nS 是单调递增的，而单增序列收敛⇔序列有上届，由此可见：正项级数收敛⇔部分和序列有上届.这正是正项级数敛散性判别法的基础（1）比较审敛法：若），（0c cv u 0n n >≤≤，则{发散发散；收敛收敛∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⇒⇒1n n1n n1n 1n nnv u u v•常用的比较级数为等比级数（又称为几何级数）和p 级数等：等比级数时发散时收敛；），当，（1|q |1|q |0a aq 0n n≥<≠∑∞=P 级数时发散时收敛；，1p 1p n 11n p≤>∑∞=级数时发散时收敛；，1p 1p n nIn 12n p≤>∑∞= •比较审敛法极限形式为：若 =∞→nnn v u lim，则当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同时收敛或同时发散当0=l 时，∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=1n nu收敛当+∞=l 时，∑∞=1n nv发散⇒∑∞=1n nu发散注：由比较判别法可推出如下的快速判别法：设0,0>>n n v u ，由比较判别法的极限形式可知：若当∞→n 时，n n v u 与是等价无穷小时，则正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同敛散；若当∞→n 时，n n v u 与是高阶无穷小，∑∞=1n nv收敛，则正项级数∑∞=1n nu收敛（2）比值审敛法（D ’Alembert 判别法）若ρ=+∞→nn u u 1n lim，当1<ρ时，∑∞=1n n u 收敛；当1>ρ时，∑∞=1n nu发散；当1=ρ时，∑∞=1n nu敛散性不能确定（3）根值审敛法（Cauchy 判别法）若ρ=∞→nn limn u ，当1<ρ时，∑∞=1n n u 收敛；当1>ρ时，∑∞=1n nu发散；当1=ρ时，∑∞=1n nu敛散性不能确定注意：比值判别法与根值判别法是充分但非必要的，即由∑∞=1n nu（0≥n u ）收敛不能推出ρ=+∞→nn u u 1n lim<1或ρ=∞→n n lim n u <13.交错级数的莱布尼茨审敛法设交错级数()0,11>-∑∞=nn nnuu ，则当1+≥n n u u ，且0lim =∞→n n u 时级数收敛，且其和1u S ≤，其余项1r 的绝对值1+≤n n u r4.任意项级数的绝对收敛与条件收敛若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu也收敛，称∑∞=1n nu是绝对收敛若∑∞=1n nu收敛而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛注：任意项级数审敛法对交错级数适用数项级数敛散性判别的程序如下：注：①对一般项级数∑∞=1n nu，如果用正项级数的比值判别法或根值判别法判定，若得∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛；若得∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu发散②在数项级数敛散性判别时，要注意灵活运用级数的有关性质二．解题方法、技巧与例题分析例 11.1.1（1987，I ，II ）选择题：设常数k>0，则级数()∑∞=+-121n n nn k （A ）发散（B ）绝对收敛（C ）条件收敛（D ）收敛或发散与k 的取值有关【】解①：当∞→n 时，2n n k +与n 1是等价无穷小，所以∑∞=+12n n n k 发散又nn k n n k 122+=+单减，由Leibniz 法则可知，原级数条件收敛，故应选（C ）解②：因()()()n n k n n k n n n111122-+-=+-，又()∑∞=-121n n n k 绝对收敛，()∑∞=-111n n n 条件收敛，所以原级数条件收敛，故应选（C ）例 11.1.2（1992，I ，II ）选择题：级数()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--1cos 11n n n a （常数0>a ）（A ）发散（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛性与a 有关【】解：因为当∞→n 时，n a cos 1-与222n a 是等价无穷小，而级数∑∞=1222n na 收敛，所以原级数绝对收敛，故应选（C ）例 11.1.3（1995，I ，II ）选择题：设()⎪⎭⎫⎝⎛+-=n In u nn 111，则级数（A ）∑∞=1n n u 与∑∞=12n n u 都收敛（B ）∑∞=1n n u 与∑∞=12n n u 都发散（C ）∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散（D ）∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛【】解：因为当∞→n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n In u n 11单减趋于０，而⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n In u n 1122与n 1是等价无穷小，所以级数∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散，故应选（C ）例 11.1.4（1996，I ，II ）选择题：设()⋯=>3,2,10n a n ，且级数∑∞=1n na收敛，常数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πλ，则级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12tan 1n n n a n n λ（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关【】解：因为正项级数∑∞=1n n a 收敛，所以∑∞=12n na 也收敛，又当∞→n 时，n a n n 2tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛λ与n a 2λ是等价无穷小，所以级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12tan 1n n n a n n λ绝对收敛，故应选（A ）例 11.1.5（1994，I ，II ，IV ）设常数0>λ，且级数∑∞=12n na收敛，则级数()∑∞=+-121n nn n a λ（A ）发散（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛性与λ有关【】解：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+λλ222121n a n a n n，又∑∞=12n n a 和∑∞=+121n n λ收敛，所以原级数绝对收敛，故应选（C ）例 11.1.6（2012，III ）选择题：已知级数()∑∞=-11sin 1n nn n α绝对收敛，()∑∞=--121n nnα条件收敛，则常数α的范围是（A ）210≤<α （B ）121≤<α （C ）231≤<α （D ）223<<α 【】解：因为()∑∞=-11sin1n nn n α绝对收敛，且2111sin -ααn nn ～，所以23>α，再由()∑∞=--121n n nα条件收敛可知2<α，故应选（D ）例 11.1.7（1996，IV ）选择题：下列各选项正确的是（A ）若∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 都收敛，则()∑∞=+12n n n v u 收敛（B ）若∑∞=1n nn vu 收敛，则∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛（C ）若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥（D ）若级数∑∞=1n nu收敛，且()⋯=≥,2,1n v u n n ，则级数∑∞=1n nv也收敛【】解：因为()()2222n n n n v u v u +≤+，所以()∑∞=+12n n n v u 收敛，故应选（A ）注：对（B ）（C ）（D ）可举反例如下：（B ）取()nu n 11-=，n v n 1=；（C ）取11+=n u n ；（D ）取21nu n =，1-=n v ，注意：本题容易错选（D ），要注意比较判别法只对正项级数成立例11.1.8（1991，IV ）选择题：设()⋯=<≤,2,110n na n ，则下列级数中肯定收敛的是（A ）∑∞=1n na（B ）()∑∞=-11n nna（C ）∑∞=1n n a （D ）()∑∞=-121n n na 【】解：因为()22211n a a n nn≤=-，而级数∑∞=121n n 收敛，所以()∑∞=-121n n n a 绝对收敛，故应选（D ）例11.1.9（2000，I ）选择题：设级数∑∞=1n nu收敛，则必收敛的级数为（A ）()∑∞=-11n n nn u （B ）∑∞=12n n u（C ）()∑∞=--1212n n n u u（D ）()∑∞=++11n n n u u 【】解：因为∑∞=1n nu收敛，所以∑∞=+11n n u收敛，因而级数()∑∞=++11n n nu u收敛，故应选（D ）注：对（A ）（B ）（C ）可举反例如下：（A ）取()Inn u nn 11-=；（B ）取()nu n n 11-=；（C ）取()n u n n 111--=，则nn u u n n 21121212+-=+-注意：对正项级数，当∑∞=1n n u 收敛时，级数∑∞=12n n u 、∑∞=-112n n u 、∑∞=12n n u 和∑∞=1n nn u 均收敛，但对一般级数这个结论不成立例11.1.10（2002，I ）选择题：设()⋯=≠,3,2,10n u n ，且1lim=∞→nn u n，则级数()∑∞=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111111n n nn u u （A ）发散（B ）绝对收敛（C ）条件收敛（D ）收敛性根据所给条件不能确定【】解：由于()()∑=++++-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk n n n nk u u u u 111111111111，注意到1lim=∞→n n u n ，可推出01lim =∞→nn u ，所以()∑∞=++∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11111111limn n nk n u u u 因此()∑∞=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111111n n nn u u 收敛，又由 2lim 11lim11=+=⋅++∞→+∞→n n n n n n u nu n n u u ，所以级数∑∞=++1111n n nu u 发散，因此应选（C ）评注：若利用n u 1与n 1是等价无穷小及()∑∞=-111n n n 条件收敛，选出（C ），尽管结果正确，但是思路却是错误的，因为我们并不知道111++n n u u 是单减的，不能利用Leibniz 判别法.事实上，如果将题干设为：设()⋯=≠,3,2,10n u n ，且1lim =∞→nn u n ，则级数()∑∞=+-1111n n n u （）选项不变，则应选（D ）.可用如下反例说明（C ）不正确，如当∞→n 时，()nnInn n n 1111～+-+，但()∑∞=+-1111n n n 条件收敛，而()∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11111n n nInn n 发散例11.1.11（1998，I ）设正项数列{}n a 单调减少，()∑∞=-11n n n a 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由解：由于正项数列{}n a 单调减少，n n a ∞→lim 存在，记这个极限为a ，则0≥a .若0=a ，则由Leibniz 法则可知级数()∑∞=-11n nna收敛，与题设矛盾，故0>a .于是由11111lim 11lim <+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→a a a n n n nn n可知，级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 收敛例11.1.12（1997，I ）设21=a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a 1211，()⋯=,2,1n .证明：（1）n n a ∞→lim 存在（2）级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111n n n a a 收敛证明：（1）因为111211=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a ，则n a 有下界.又由于1112121≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a ，则n a 单调减少，因此n n a ∞→lim 存在(2)由（1）知 111110++++-≤-=-≤n n n n n n n a a a a a a a 记 11)1(1++-=∑-=+n n n n a a a a s n n 因1lim +∞→n n a 存在，故级数∑∞=+-11)(n k k a a 收敛，故比较判别法可知级数∑∞=+-11)1(n n na a 收敛.例11.1.13(1994,Ⅰ,Ⅱ)设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续倒数，且0)(lim 0=→x x f x ，证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛. 证明：由于0)(lim0=→xx f x 可知0)0(=f ，又0)(lim )0()(lim)0(00==-='→→xx f x f x f f x x 则由Taylor 公式可知当∞→n 时，有)1(1)0(21)1(1)0(211)0()0()1(2222nn f n n f n f f n f οο+''=+''+'+=，又由于∑∞=121n n收敛，所以级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.例11.1.14（2004，Ⅰ）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数，证明此方程存在惟一的正实数根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛证明：令[)+∞∈-+=,0,1)(x nx x x f nn ，则0)(1>+='-n nx x f n n ，即)(x f n 在[)+∞,0上单调增加.又由于1)0(-=n f ， 0)1()1(>=nn nn f ,由于1>α,所以ααn x n 10<<，因此级数∑∞=1n n x α收敛.注：注意到 021)21()21(≤-=n n n n f 可知n x n n 121<≤，于是当1≤α时级数∑∞=1n nx α发散. 11.2 幂级数（B ）基本内容二．函数项级数的概念及其收敛域定义1：设)(1x u ，)(2x u ，)(3x u ，…，)(x u n ，…为定义在区间Ⅰ上的函数序列，，则称级数)(1x u n n ∑∞=为定义在区间Ⅰ上的函数项级数.定义2：设0x 是区间Ⅰ上一点，若常数项级数)(01x u n n∑∞=收敛，则0x 称为级数)(1x u n n∑∞=的收敛点，收敛点的全体称为函数项级数)(1x u n n∑∞=的收敛域；使)(1x u n n∑∞=发散的点x 的全体称为函数项级数)(1x u n n ∑∞=的发散域.函数项级数)(1x u n n∑∞=在它的收敛域内是有和的，它是x 的函数)(x S ，称为函数项级数的和函数)()()()(1x u x r x S x S n n n n ∑∞==+=其中)()()()(21x u x u x u x S n n +⋅⋅⋅++=——前n 项部分和；++=++)()()(21x u x u x r n n n …——余项；)()(lim x S x S n n =∞→；0)(lim =∞→x r n n .函数项级数)(1x u n n ∑∞=收敛域的求法3.用比值法（或根值法）求)(x ρ，即 )()()(lim1x x u x u n n n ρ=+∞→ 或 )()(lim x x u n n n ρ=∞→；（2）解不等式1)(<x ρ，求出)(1x u n n ∑∞=的绝对收敛点；（3）考察满足1)(=x ρ的点x 处级数的收敛性；（4）写出函数项级数的收敛域.2.幂级数的收敛半径、收敛域及和函数定义3：形如nn nx x a )(0-∑∞=的级数称为0x x -的幂级数，其中),2,1,0(⋅⋅⋅=n a n 为常数，称为幂级数的系数.当00=x 时，nn n xa ∑∞=0称为x 的幂级数.定理1：（Abel 定理）（4）若幂级数nn n xa ∑∞=0在1x x =处发散，则对于||||1x x >的x ，nn n xa ∑∞=0发散.（5）若幂级数nn n xa ∑∞=0在1x x =处发散，则对于||||1x x >的x ，nn n xa ∑∞=0发散.根据Abel 定理，若幂级数nn n xa ∑∞=0存在非零的收敛点，也存在发散点，则存在一个实数R （+∞<≤R 0）,使得当R x <||时，nn n xa ∑∞=0绝对收敛；当R x >||时，nn n xa ∑∞=0发散；R 称为幂级数nn n xa ∑∞=0的收敛半径.区间（R x R x +-00,）称为级数的收敛区间.当R x ±=||时，nn n xa ∑∞=0可能收敛也可能发散.由R x ±=处的收敛性决定的区间（-R,R ），[-R,R ），（-R,R]或[-R,R]为幂级数nn n xa ∑∞=0的收敛域.如果幂级数nn n xa ∑∞=0只在0=x 点收敛，规定其收敛半径为0=R .如果幂级数nn n xa ∑∞=0在整个数轴上收敛，规定其收敛半径为+∞=R .幂级数n n nxa ∑∞=0的收敛域求法：（1）求收敛半径.使用比值法或根值法，如果l a a n n n =+∞→1lim或l a n nn =∞→lim ，则lR 1=；由此可得收敛区间；（2）讨论端点的敛散性.如果+∞<<R 0，讨论nn n xa ∑∞=0在R x ±=的敛散性；（3）写出幂级数的收敛域.3.幂级数的运算性质（1）四则运算：设)(10x S xa nn n =∑∞=，收敛半径为1R ,)(20x S xb nn n =∑∞=，收敛半径为2R ，则)()()(210x S x S x b x a x b an n n nn n nn n n±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=其收敛半径为),min(21R R ；n n n n n nn n nn n x b a b a b a x b x a ∑∑∑∞=-∞=∞=+⋅⋅⋅++=⋅01200)( 收敛半径为),min(21R R . (2）分析运算和函数的连续性：幂级数nn n xa ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛区间),(R R -内是连续的；如果幂级数nn n xa ∑∞=0在R x =或)(R x -=处也收敛，则)(x S 在R x =处左连续（或在Rx -=处右连续）.②幂级数nn n xa ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛区间),(R R -内是可导的，且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a xa x S ，同时求导后得到的幂级数收敛半径不变. ③幂级数nn n xa ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛区间),(R R -内是可积的，且有逐项积分公式10000001)(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n n n x nn xn n n xx n a dt t a dt t a dt t S 同时逐项积分后得到的幂级数收敛半径不变.25.函数展开成幂级数（E ）Taylor 级数设)(x f 在点0x 的某一邻域内有任意阶导数，则幂级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞= 称为)(x f 在点0x 处的泰勒级数. 特别的，若00=x ，则级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=∑∞=nn n n n x n f x f x f f x n f !)0(!2)0(!1)0()0(!)0()(0)( 称为)(x f 的Maclaurin 级数.注：只要)(x f 在点0x 处的某一邻域内具有任意阶导数，就有上面的幂级数，这里的幂级数是否收敛，当收敛时，是否收敛于原来函数)(x f 都是不知道的.（F ）函数展开成幂级数的充要条件函数)(x f 能在),(00R x R x +-内展成幂级数的充分必要条件是0)(lim =∞→x R n n ，其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 和0x 之间是)(x f 的Taylor 公式的Lagrange 型余项.若函数)(x f 可展成幂级数，则其展开式是唯一的，它就是)(x f 的Taylor 级数.由于)(x f 展开成幂级数的唯一性，所以我们可以用不同的方法求)(x f 的幂级数展开式.（G ）幂级数展开的求法①直接法：计算!)(0)(n x f a n n =，由此写出)(x f 的Taylor 级数，并证明0)(lim =∞→x R n n .②间接法：由于直接法通常比较复杂，所以幂级数展开多用间接法，也就是利用已知的幂级数展开式，并通过变量替换、四则运算、逐项求导或逐项积分等方法，得到函数的展开式.（H ）常用的幂级数展开式：①∑∞==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-02111n n nx x x x x (11<<-x )②∑∞==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=02!!!21n nn xn x n x x x e （+∞<<∞-x ）③⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n)!12()1(120+-=+∞=∑n x n n n（+∞<<∞-x ）④⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n )!2()1(20n x nn n∑∞=-= (+∞<<∞-x )⑤⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+-)!()1(!3!2)1ln(132n x x x x x nn )!()1(11n x nn n ∑∞=--=(11≤<-x ) ⑥⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+nmx n n m m m x m m mx x !)1()1(!2)1(1)1(2 (11<<-x )该级数在端点1±=x 处的收敛性，视m 而定. （B ）解题方法、技巧与例题分析关于幂级数，常见的题型有：幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数求和，函数展开为幂级数.例11.2.1(1988，I ，Ⅱ)选择题：若nn n x a )1(1-∑∞=在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（1）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）收敛性不能确定【】解：由于nn n x a )1(1-∑∞=在1-=x 处收敛，则当2|11|1=--<-｜｜x 时，幂级数绝对收敛，而2112<=-｜｜，则幂级数在2=x 处绝对收敛.故应选择（B ）.例11.2.2(2011.I)设数列{n a }单调减少，),2,1(,0lim 1===∑=∞→n a s a nk k n n n 无界，则级数nn n x a )1(1-∑∞=的收敛域为（A ）(-1,1] (B)[-1,1) (C)[0,2) (D)(0,2]【】解：有数列单间趋于0可知0≥n a .于是级数∑∞=1n na发散，nn n a )1(1-∑∞=收敛，从而幂级数nn n x a )1(0-∑∞=的收敛域为[0,2).应选C.例11.2.3(1995，I ，II)填空题：幂级数121)3(2-∞=∑-+n n nn x n的收敛半径R=______. 解①：31|))3(2())3(2)(1(|lim ||lim 11=-+-++=+∞→∞→+n n n n n n n n n n a a .由于该幂级数缺偶次项，则幂级数收敛半径为3=R .解②：令12)3(2)(+-+=n n n n x n nx u ，则2131|)()(|lim x x u x u n n n =+∞→. 根据D ’Alembert 判别法可知，当12<x ３１时原级数收敛，即3<｜｜x 时，原级数收敛，故收敛半径为３.评注：本题很容易出现错误的是，收敛半径填为3.由于本题中幂级数只有奇数次项，所以按常规方法求出收敛半径后方才时本题幂级数的收敛半径.解法可以避免这种错误.例11.2.4(1997，I)填空题：设幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为3，则幂级数111-x +∞=∑n n nna ）（的收敛区间为______.解：由于（nn n xa ∑∞=0）'=∑∞=-11n n nxna ，可知幂级数11-∞=∑n n nxna 的收敛半径为3，从而可得幂级数11)1(-∞=-∑n n nx na 的收敛半径也为 3.因此可知11)1(+∞=-∑n n nx na 的收敛区间为（-2,4）.评注：本题的条件不能确定该级数在端点2-=x 和4=x 处的收敛性.例11.2.5(2000,I)求幂级数n x nn nn ∑∞=-+1)2(３１的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.解：由于31|))2(3)(1())2(3(|lim ||lim 111=-++-+=++∞→+∞→n n n n n n n n n n a a ，所以幂级数收敛半径为3，收敛区间（-3,3）.当3=x 时，因为n n n n n 211)2(33>⋅-+，且∑∞=11n n 发散，所以原级数在3=x 处发散. 当3-=x 时，由于nn n nn n n n n1)2(321)1(1)2(33-⋅-+--=⋅-+）（，且级数∑∞=-1)1(n nn 与n n nn n 1)2(321⋅-+∑∞=都收敛，所以原级数在3-=x 处收敛. 例11.2.6(2002,III)选择题：设幂级数nn n x a ∑∞=1与n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为35与31，则幂级数nn nn x b a ∑∞=122的收敛半径为(A)5 (B)35(C)31 (D)51 【】评注：此题为一道错题.事实上，若取n n n n b a 3,)53(==，则幂级数nn n x a ∑∞=1与∑∞=1n n n x b 的收敛半径分别为35与31，幂级数∑∑∞=∞==1122)51(n nn n n n n x x b a 的收敛半径为5. 若取n n a )53(=，则幂级数n n n x a ∑∞=1收敛半径为35；取n n b )53(=，（若n 为奇数），nn b 3=，（若n 为偶数），则由级数12112-∞=-∑n n n x b 的收敛半径为35，级数nn n x b 212∑∞=的收敛半径为31，可知幂级数nn n x b ∑∞=1的收敛半径为31.但是幂级数121212212-∞=--∑n n n n x b a 的收敛半径为31，幂级数∑∞=12222n n n b a 的收敛半径为5，可知幂级数∑∞=122n nn b a 的收敛半径为31. 还可以适当选取n a 和n b 满足题中条件，使幂级数n n nn x b a ∑∞=122的收敛半径为35或51或其他值.本题的参考答案为（A ），原因就在于利用了“由nn n xa ∑∞=1的收敛半径为R 得出R a a nn n 1lim1=+∞→”这个错误的结论.例11.2.7(1990,I)求幂级数∑∞=+012n nx n ）（的收敛域，并求其和函数. 解：由于1121)1(2lim=+++∞=n n n ，则幂级数的收敛半径为1=R ，而当1±=x 时，原级数显然发散，故原函数的收敛域为（-1,1 ）.2)1(111)'11(211)'(2212x xx x x x x x x nx x n n n n nn nn n-+=-+-=-+=+=+∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=）（，（11<<-x ）.例11.2.8(2005,I)求幂级数n n n x n n 211))12(11(1∑∞=--+-）（的收敛区间与和函数.解：由于1)12(111)12)(1(11lim=-++++∞→n n n n n所以幂级数的收敛区间为（—1,1），且).1ln(arctan 21)1ln(1121)1()(2)(11221)1()12(11)1(22220222012111212211211x x x xx x dx x x xx xn dx x x x x n n x n n x x n n n n n n n n n n n n n n +-++=+-+++=---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎰⎰∑∑∑∑∑∞--∞=-∞=∞=-∞=-例11.2.9（1987年，1月）求幂级数∑∞=-11221n n nx n 的收敛域，并求其和函数. 解：由于212)1(21lim =+=∞→n n n n n ,则幂级数的收敛半径为R=2，在（—2,2）内收敛。

高数无穷级数幂级数

10
2n 1 n n 例6 求 ( 1) ( x ) 的收敛域 2 n n 1 2 n 1 解 a n 1 1 n1 lim R 2 lim n n a 2 n 2 n n 1 1 故 x 收敛 0 x 1 2 2 1 当x 0时, 发散级数为 n1 n ( 1)n 收敛级数为当x 1时, n n 1
故收敛域为 1 x 1.
9
xn n n1

例5 求级数
x n! 的收敛域 1 n 0

n
( n 1)! 1 a n 1 lim 0 lim 解 lim n n 1 n n a 1 n n! R x n 1 a n 1 x n 1 n 1 ! lim x 0 1 另解 lim lim n n n 1 n a x n xn n n! xn （故对 x , 都收敛） R n 0 n! 收敛域 (,)
若( 2) 收敛， x0是(1)的收敛点称若( 2) 发散， x0是(1)的发散点称
2
收敛域发散域
收敛点的全体发散点的全体
n 1
对收敛域的每一点，定义 ( x ) un ( x )， x S
则S (x )是定义在收敛域上的函数，
称为 un ( x )的和函数。
22
思考题解答
不一定.
xn 例 f ( x) 2 , n 1 n ( n 1) x f ( x ) n n 2

x n 1 f ( x ) , n 1 n
n 2
, 它们的收敛半径都是1,
但它们的收敛域各是 [1,1], [1,1), ( 1,1)

第十一章青岛理工大学高数练习册答案

第十一章无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质 1C,2D,3C 4、若+∞=∞→nn b lim ，0≠n b ,求 )11(11+∞=-∑n n n b b 的值解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n n b b b b b b b b b b 所以11lim b S n n =∞→ 5、若级数∑∞=1n na收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。

6、若a a nn =∞→lim ，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=n S 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故a a a a a a n n n n n-=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a a a a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =a a a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、判定敛散性∑∞=11n nnn解：nn = 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故n n n 1>n 21,而级数∑∞=121n n 发散，故∑∞=11n n nn 发散3、判定敛散性∑∞=+111n na)0(>a,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、判定敛散性 ∑∞=-++13221n n nne n en ne (收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数∑∞=1!.3n nn nn 的敛散性解：e a a nn n 3lim 1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nn n n 发散6、判定级数∑∞=-1354n nn n的敛散性解：154lim 1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n n nn收敛7、∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an∑∞=+1)1( ，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。

第十一章无穷级数分解

第十一章无穷级数早在十七世纪无穷级数就已成为研究一些特殊函数、特殊数的有利工具。

直到十九世纪初，随着极限理论的建立，使得无穷级数的理论逐步严格准确丰富起来。

而且它在自然科学及工程技术等领域里有着广泛的应用。

所以无穷级数是高等数学的一个重要组成部分。

本章的主要学习内容是无穷级数的概念、性质，数项级数的审敛法，幂级数、傅立叶级数。

§1 常数项级数的概念和性质一、概念1、无穷级数给定数列u 1, u 2 , … ,u n …，称式子 ++++n u u u 21为常数项无穷级数。

记为∑∞=1n n u ,其中u n称为级数的一般项。

例如：① 1+2+3+…+n+… 一般项 u n = n ② a+aq+aq 2+aq 3+…+aq n-1+… （等比级数a≠0,q≠0）u n = aq n-1③() ++⨯++⨯+⨯11321211n n u n = ()11+⨯n n ④ ()+-+-+--111111n u n = ()11--n⑤ln 12+ ln 23+… +lnn n 1++… u n = ln nn 1+ 2、级数的部分和数列称级数∑∞=1n n u 前n 项的和n n u u u s +++= 21为级数∑∞=1n n u 的部分和。

当n=1,2,…时，级数∑∞=1n n u 的部分和所对应的数列：11u s =,212u u s +=，…，k k u u u s +++= 21，… 称为级数∑∞=1n nu的部分和数列；简记{}n s 。

3、级数收敛、发散的定义若s s nn =∞→lim ,则称级数∑∞=1n n u 收敛，其和为s 。

即 ∑∞=1n n u =s s n n =∞→lim若n n s ∞→lim 不存在，称级数∑∞=1n nu发散。

当级数∑∞=1n nu 收敛和为s 时，称 ++=-=++11n n n n u u s s r 为级数∑∞=1n nu 的余项，显然0l i m =∞→n n r 。

高等数学-11章无穷级数

第十一章无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。

教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅ 叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数)20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 例1 讨论等比级数n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解如果q ≠1, 则部分和 qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数 1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅ 是发散的.证此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性. 解由于 111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性. 解因为 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n , 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 111)1(1+-=+=n n n n u n .二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛,且其和为ks .性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞=1.这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.性质2 如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞=s v u n n n )(1.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的, 级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的, 级数)1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数1-1)+1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则0lim 0=→n n u .证设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数13121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n 是发散的.例4 证明调和级数∑∞=11n n是发散的. 证假若级数∑∞=11n n 收敛且其和为s , s n是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面, 2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (k >0, ∀n ≥N ).若∑∞=1n n v 收敛, 则∑∞=1n n u 收敛; 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=1n n v 发散.设∑u n 和∑v n 都是正项级数, 且u n ≤kv n (k >0, ∀n ≥N ). 若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 收敛; 反之, 若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 发散.证设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.证仅就u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )情形证明. 设级数∑v n 收敛, 其和为σ, 则级数∑u n 的部分和 s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=p p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p np n 的收敛性. 解设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 解当p ≤1时, n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散. 当p >1时,]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n pn n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s ,所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛.p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nnn =∞→lim(0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛;(2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式l l v u l l n n2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解因为11)11ln(lim22=+∞→n n n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→nn n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数发散.例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性. 解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim)时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→nn n u lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim)时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n ,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解因为21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn n n u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛.例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n nn ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 |x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当 x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散. 提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为 n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a nx n 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n nn x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为: 当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域. 例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n nnt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n , 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b xa ,减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(1100x dx x dx x x x n n--=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然S (0)=1. 因为 ⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)()11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x xx n n, 所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x .综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(.11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解考虑幂级数∑∞=+011n nx n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n nn .§11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ).泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于 )(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+,其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间). 泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数)(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0).需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )? 定理设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞). 而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞). 再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ), 即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ). 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2nn x n f x f x f f ,此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即 f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有 f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ , f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ , f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ , 于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅.应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察. 二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ . 第二步求函数及其各阶导数在x =0 处的值: f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ . 第三步写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+nn x n f x f x f f ,并求出收敛半径R .第四步考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞).1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=nn x n f x f x f f x f (-R <x <R ).例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f (n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x ,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ,而0)!1(||lim1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数. 解因为)2sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n , 它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(]2)1(sin[||)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞). 因此得展开式)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n . )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x . 例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解: f (x )的各阶导数为 f '(x )=m (1+x )m -1, f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅ 于是得幂级数 !)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x nm .间接展开法:例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数. 解已知 )!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞).对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n . 例5 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数.解因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得)1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1. 例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解因为xx f +='11)(,而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数:)1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x.所以将上式从0到x 逐项积分, 得)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n . 解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln(∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n nx n n n n x dx x (-1<x ≤1).上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数.解因为)]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x , 并且有)( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ.例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解因为 )411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f ∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n nn n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n .提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x . ∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n nn n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n nn n x x x , 收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .展开式小结:)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn ,。

11高等数学第11章无穷级数教案1

n=0
∑ 解： Sn
=
n−1
aq k
k =0
=
a(1 − qn ) , q ≠ 1 1− q
1）当
q
<
1
时，
lim
n→∞
S
n
=
a 1− q
，收敛。
2）当
q
>
1
时，
lim
n→∞
S
n
=
∞ ，发散。
3）当 q = 1时，
q = 1, Sn = na → ∞ ，发散。
第十一章无穷级数第 3 页共 41 页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案
张谋
q = −1, Sn = a − a + a − a + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n a ，极限不存在，发散。
综上所述：等比级数，当
q
<
1
时收敛，其和为
第一项 1 − 公比
当 q ≥ 1时发散。
∑ ∑ （6）
∞ n=1
ln 2 2n
2
，
∞ n=1
9n 8n
例试用无穷级数说明循环小数 0.3 = 1 。 3
与发散的定义。
∞
∑ 定义
如果级数
un
n=1
的部分数列
{S
n
}
有极限
s
，即
lim
n→∞
S
n
=
s ，则称无穷级
∞
∞
数 ∑ un 收敛，其极限值 s 叫做这个级数的和，即 ∑ un = s 。
n=1
n=1
∞
如果{Sn }没有极限，称无穷级数 ∑ un 发散。
n=1

幂级数

n
记 lim
n
（如果极限存在）
(*) 收敛，级数①绝对收敛； 1， x 1 ， (*)发散，级数①发散； 1 , 级数①可能收敛亦可能发散
记 lim

an1 an
n
（如果极限存在）
1 绝对收敛，当 x n 故 an x 1 n 1 发散，当 x
n a x n 的收敛半径为R（ 0）， n 0

则其和函数 s( x ) 在( R , R ) 内可导，有 n n n 1 s( x ) a x a x na x n n n n 0 n 1 n 0

)dx nx
x n 1 0

n 1
dx
1 n n x n n 1

x
0
x x ，当 x 1 时 1 x n 1
n

上式两边同时对x 求导得和函数： 1 x s( x ) ， x ( 1， 1) 2 1 x (1 x )
2
(2n 1)(2n 2) lim 4 2 n (n 1) (2n)! 2 n 幂级数 x 2 n 0 ( n!)
n
余项

二、幂级数及其收敛性
形如 a0 a1 x a 2 x an x a n x
2 n n 1
n

n
①
n
或 a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 ) a n ( x x0 ) ②
n 1

称为关于x 或 x x0 的幂级数。

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当 x0 = 0 时，上述幂级数成为
n =0 ∞
2 n ） a n x n = a0 + a1 x + a 2 x +⋯+ a n x +⋯ （2） ∑
在变量代换 t = ( x − x0 ) 下，（1）就化为（2）了，（）就化为（）
n =0
2 n ） a n x n = a0 + a1 x + a 2 x +⋯+ a n x +⋯ （2） ∑
n→∞
由莱布尼兹定理知，原级数是收敛的莱布尼兹定理知
( −1) |= ∑ 又 ∑ | n n =1 n =1
n
∞
∞
1 发散，发散，（ p = 1 / 2 的 n p 级数）级数）
故原级数是条件收敛的
第三节幂级数一、函数项级数的概念考虑区间 U 上的一个函数序列 u1( x) , u2( x), ⋯, un( x)⋯
∞
例2：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
xn 的敛散性。的敛散性。 n
∞
xn xn 解：考察正项级数 ∑ | |, 记 un = | |, n n =0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
= lim
n→ ∞
xn+1 n ⋅ n n+ n+1 x
∞
n| x | = lim = | x| n→ ∞ n +1
1 调和级数， , 调和级数，发散当 x = 1 时，级数为 ∑ n =1 n ∞ (−1) n 当 x = −1 时，级数为 ∑ 交错级数，交错级数，且 n n =1
满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。
例2：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
二、幂级数及收敛性形如
n =0
a n ( x − x0 ) n = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) 2 ∑
∞
+⋯+ a n ( x − x0 ) x0 ) 的幂级数，的幂级数，
a n ( n =0, 1, ⋯) 均为常数 . U = (−∞, + ∞).
xn x2 x3 xn 又例：又例： ∑ = x + + +⋯+ +⋯ 2 3 n n =1 n
解：将该幂级数看成参数为 x 的任意项常数级并用常数项级数收敛性判别法进行判别。数，并用常数项级数收敛性判别法进行判别。结论：级数收敛，结论：当 | x | < 1 时，级数收敛，当 | x | > 1 时发散时级数发散。当 x = – 1 时，级数收敛。当 x = 1 时级数发散。级数收敛。收敛域为 I = [−1, 1 ) − 特点：特点：除去端点 – 1 外，收敛域 I 是以原点为中心的对称区间。中心的对称区间。收敛域的上述特点对一般的幂级数
n =1 ∞
∑
） + un( x) = u1( x) + u2( x)+ ⋯ un( x) +⋯ （1）
上的（函数项）无穷级数，简称级数。称为定义在 U 上的（函数项）无穷级数，简称级数。对于每一个确定的 x0 ∈U,
∞ n =1
代入（）代入（1）式得（2））
∑ un( x0 ) = u1( x0) + u2( x0) +⋯+ un( x0) +⋯
n =1 ∞
n =1
） + un( x) = u1( x) + u2( x)+ ⋯ un( x) +⋯ （1） ∑
∞
所有收敛点的全体称为（）的收敛域，所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为 I , 所有发散点的全体称为（）的发散域，散点的全体称为（1）的发散域，记为 I , U = I + I , 都收敛， ∀ x∈ I, 常数项级数 ∑ un( x) 都收敛，其和记为 s(x) ∈ 即
∞
a n ( n =0, 1, ⋯) 均为常数 . U = (−∞, + ∞).
对于幂级数（），主要有两个问题: 对于幂级数（2），主要有两个问题（1）如何确定它的收敛域 I ；）（2）在收敛域内，如何求它的和函数 s (x)。）。
考察幂级数
n =0
x n = 1 + x + x2 +⋯+ xn +⋯ ∑
∞ ∞ n =1
s(x) = ∑ un( x) = u1( x) + u2( x)+ ⋯ un( x) +⋯ +
n =1
称 s (x) 为（1）的和函数，和函数的定义域即为 I 。）的和函数，两个基本问题：两个基本问题：（1）如何确定（1）的收敛域？）如何确定（）的收敛域？
（2）如何在收敛域上求（1）的和函数？）如何在收敛域上求（）的和函数？
任意项级数
n =1
收敛性判断的一般步骤： ∑ un 收敛性判断的一般步骤：
∞
是否成立？若否，（1）检验 lim un = 0 是否成立？若否，则原级数发散）
n→∞
难求，则进行下一步；若是或 lim un = 0 难求，则进行下一步；
n→∞
（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，或莱布尼茨判别法检验其收敛性，或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步是否收敛？若是，（3）用正项级数审敛法检验 ∑ | un | 是否收敛？若是，）则原级数绝对收敛，从而收敛，否则，进行下一步；则原级数绝对收敛，从而收敛，否则，进行下一步；发散，（4）若 ∑ | un | 发散，但是用比值或根值法判断的）
= lim
n→ ∞
xn+1 n ⋅ n n+ n+1 x
n| x | = lim = | x| n→ ∞ n +1
原级数绝对收敛，从而收敛，当 | x | < 1 时，原级数绝对收敛，从而收敛，
xn 发散，且是用比值法判别的， | x | > 1 时， ∑ | | 发散，且是用比值法判别的， n =1 n ∞ xn 所以原级数 ∑ 时发散。当 | x | > 1 时发散。 n =1 n
( 2 ) ∑ ( −1)
n =1
∞
n
1 2n
1 n2 (1 + ) n
解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为这是交错级数，
n =1
∑
n
∞
| (−1)n
1 2n
∞ 1 n2 1 1 n2 (1 + ) | = ∑ (1 + ) n n n n =1 2
1 n2 1 1n e n lim un = lim (1 + ) = lim (1+ ) n n→ ∞ n→ ∞ 2n n = 2 >1 n→ ∞ 2
∞ n =0
an xn 绝对收敛，绝对收敛， ∑
为函数项级数（）的收敛点，若（2）收敛，则称 x0 为函数项级数（1）的收敛点，）收敛，为函数项级数（）的发散点，若（2）发散，则称 x0 为函数项级数（1）的发散点，）发散，所有收敛点的全体称为（）的收敛域，所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为 I , 所有发散点的全体称为（）的发散域，散点的全体称为（1）的发散域，记为 I , U = I + I , 都收敛， ∀ x∈ I, 常数项级数 ∑ un( x) 都收敛，其和记为 s(x) ∈
n =0
∞
∑
∞
也成立的。 a n x n 也成立的。
定理1（阿贝尔定理）：如果级数定理（阿贝尔定理）：如果级数）：
时收敛， ( x0 ≠ 0) 时收敛，则当 | x | < | x0 | 时，幂级数绝对收敛反之，反之，如果级数
n =0
n =0
an xn 当 x = x0 ∑
∞
an xn 当 x = x0 时发散，则当 ∑ 时发散，
（2）即为一常数项级数。）即为一常数项级数。
n =1
∞
） + un( x) = u1( x) + u2( x)+ ⋯ un( x) +⋯ （1） ∑ 代入（）代入（1）式得（2））
∞
对于每一个确定的 x0 ∈U,
n =1
∑ un( x0 ) = u1( x0) + u2( x0) +⋯+ un( x0) +⋯
n =1
n =1
∑
∞
|
sinnα n
2
| 收敛。收敛。
∑
∞
sinnα n
2
绝对收敛，从而收敛。绝对收敛，从而收敛。
例2：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
xn 的敛散性。的敛散性。 n
∞
xn xn 解：考察正项级数 ∑ | |, 记 un = | |, n n =0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
n
n ( −1) ⋅ n = ∑ | n−1 | ∑ 3 n−1 n =1 3 n =1
n
∞
∞
n +1 3 n−1 n +1 1 lim = lim n ⋅ = <1 = lim n→ ∞ un n n→ ∞ 3 3 n→ ∞ 3n
un +1
∞
所以
n =1
∑
|
( −1) n⋅ n
收敛，故原级数绝对收敛。 | 收敛，故原级数绝对收敛。 3 n−1