直角坐标下三重积分

z=f (x,y)
S( x 0 ) =
0
c
S( x 0 )
y0
d y
∫
.
d
c
f (x0 , y )dy a
Q( y0 )
b x
.
D
§2 直角坐标系下二重积分的计算
定理 13.2.1 设 f ( x , y ) 在矩形区域 D = [a , b] × [c , d ] 上可积，且对每个 x ∈ [a , b], 积分 ∫c f ( x , y ) dy 存在，则累次积分 ∫a dx ∫c f ( x , y ) dy 也存在，且 ∫∫ f ( x , y ) dσ = ∫a dx ∫c f ( x , y ) dy
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围
y
1 y =1– x
先对 y 积分
0
x
1 y = x –1
.
I=
∫ dx ∫
0
1
1− x
x −1
f ( x , y )dy
–1
.
将二重积分化成二次积分 I = ∫∫ f ( x , y )dxdy D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围
D
f ( x , y )d x d y =
∫
d c
dy
∫
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y) d x
y
若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则
D1
D2 D3
∫∫D = ∫∫D + ∫∫D
1
2
+ ∫∫
o
x
D3
练习 将二重积分化成二次积分 I = ∫∫ f ( x , y )dxdy
1. 试用二重积分表示极限
1 lim e ∑∑ 2 n→ +∞ n i =1 j =1 1 lim e 解 ∑∑ 2 n→ +∞ n i =1 j =1
n n i2 + j2 n2
n
n
i2 + j2 n2
.
n
2 j i + n n 2
lim =n e ∑∑ → +∞
= ln
2+ 2
1+ 3
2 与平面 = y 0, = y a (a > 0) 例 3 计算柱面 x 2 + z 2 = R
所围立体体积
= aπ R 2
（1）、X-型域
如果积分区域为： a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ).
B A
a
y = ϕ2 ( x )
y = ϕ2 ( x )
1
y
D
先对 y 积分
x =1– y D1
0
I = ∫ dx ∫
0
1
1− x x −1
f ( x , y )dy
先对 x 积分 （不分块儿行吗？） 1
x
I=
∫∫ + ∫∫
D1 D2
D2 x = y +1
.
=
∫ dy ∫
0
0 −1
1
1− y
0
y +1
f ( x , y )d x +
f ( x , y )d x
f ( x , y )d x .+
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x
例1 计算 I = ∫∫ x y d σ , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D y＝x 所围的闭区域.
y
2 1
y=x
o x
1
2
例 2 计算
∫∫ y
D
1 + x − y dσ , 其中 D 是由直线
2 2
y = x、x = −1 和 y = 1 所围成的闭区域.
y = y1 ( x )
称为 X – 型区域
o a
b x
定理 13.2.5 设 f ( x , y ) 在 X- 区域 D 上连续，y1( x ) , y2( x ) 在 [ a, b ] 连续，则
∫∫
D
f ( x, y) d x d y = ∫ d x ∫
a
b
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y) d y
也是曲边梯形 !
二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z
I=
∫∫
D
f ( x , y )dxdy
z=f (x,y)
D: ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) c≤y≤d
Q( y ) =
∫
ψ( y ) φ( y)
d
f ( x , y )dx
0
c
y
x=ϕ(y)
d
y
I = ∫c
=
Q ( y )dy
∫
d
c
dy ∫
由于
D : x + y ≤ 10
y
− 10
10
2 σ = ( 10 2 ) = 200 解 D 的面积为
D
1 1 1 ≤ ≤ 2 2 102 100 + cos x + cos y 100
积分性质5
o
− 10
10
x
200 200 ≤I≤ 100 102
即: 1.96 ≤ I ≤ 2
第十三章 重积分
z = f ( x, y) y= y .
z=f (x,y)
D: ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) c≤y≤d
Q( y ) =
∫
ψ( y ) φ( y)
d
f ( x , y )dx
0
c
y
x=ϕ(y)
d
y
I = ∫c
Q ( y )dy
Q( y )
.
D
x x=ψ(y)
.
问题：Q( y)是什么图形？
∫∫ f ( x , y ) dσ = ∫
D
b a
dx ∫ f ( x , y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx
c c a
d
d
b
2 ( x + y ) dσ 其中 D = [0,1] × [−1,0] 例 1 计算 ∫∫ D 1 = 6 ydxdy = D [0,1] × [0,1] 例 2 计算 ∫∫ 3 其中 2 2 2 D + x + y 1 ( )
2 x y d σ , 其中D 是抛物线 y = x 及直线 例3 计算 ∫∫
y = x − 2 所围成的闭区域.
y 2 y2 = x y 2
D
y2 = x
D2
o −1
y = x−2
x
o D1 1 4 x −1 y = x−2
sin x = y x = , y 0, d x d y , 其中D 是直线 例4 计算 ∫∫D x y y= x 所围成的闭区域.
D b d
d
b
d
分析
设 F ( x ) = ∫ c f ( x , y ) dy 要证 ∫ F ( x ) dx = ∫∫ f ( x , y ) dσ
a b D
d
即 lim ∑ F (ξ i )∆xi = ∫∫ f ( x , y )dσ
λ →0
i =1 D
n
二重积分的计算 (D是矩形区域 ) z
（2）、Y-型域： c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
d
d
x = ψ 1 ( y)
D
c
x = ψ 2 ( y)
x = ψ 1 ( y)
D
c
x = ψ 2 ( y)
［Y－型］ Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线
ϕ1 ( y ) ≤ ϕ 2 ( y ).
D
y = ϕ1 ( x )
a
b
D
y = ϕ1 ( x )
b
ϕ1 ( x) ≤ ϕ 2 ( x). 线与区域边界的交点不多于两个； b、
放大图象
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直
z
z = f ( x, y) x = x0
z=f (x,y)
S( x ) =
∫ϕ
ϕ2 ( x )
例1 比较下列积分的大小:
y
1 D
∫∫
D
( x + y )2 d σ ,
2
∫∫
D
( x + y )3 d σ
2
其中 D : ( x − 2) + ( y − 1) ≤ 2 解 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3 x
x+ y= 1
( x − 2) + ( y − 1) = 2
2 2
x+ y= 1 它与 x 轴交于点 (1,0) , 与相切
i =1 j =1 x2 + y2
n
1⋅1 n n
=
0≤ x ≤1 0≤ y ≤1
∫∫ e
dxdy .
2 证明: 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为 y 1
D
O
1x
2 2 2 2 [ ( sin cos ) d σ ( sin cos ) dσ =1 x + y + y + x ∫∫ 2 ∫∫ D D 2 2 2 2 [ ( sin cos ) d σ ( sin cos ) dσ =1 + + + x x y y ∫∫ 2 ∫∫ D D
1( x)
f (x , y )dy 0 a
c
S( x )
y0
d y
x
.
y = ϕ1 ( x )
b x
.
Q( y0 )
D
y = ϕ2 ( x)
一般区域上的重积分计算
区域
D = { ( x , y ) | y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ), a ≤ x ≤ b }
y y = y ( x) 2 D
. 而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x + y ≥ 1, 从而
( x + y) ≤ ( x + y)
2
3
∴
∫∫
D
( x + y ) 2 d σ ≤ ∫∫ ( x + y ) 3 d σ
D
例2 应用中值定理估计积分之值
d xd y I = ∫∫ 2 2 100 cos cos + + x y D
= I * in= f{S}, I* sup{s},
则有 s ≤ I* ≤ I ≤ S .
*
性质 3 f ( x , y ) 在 D 上可积的充分必要条件是
lim( S − s ) =0 ⇔ lim ∑ ω i ∆σ i =0.
λ →0 λ →0
i =1 n
定理 13.1.2
零边界闭区域 D 上的连续函数必可积.
放大
与区域边界的交点不多于两个。b、
二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z
I=
∫∫
D
f ( x , y )dxdy
z=f (x,y)
D: ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) c≤y≤d
0
c
y
x=ϕ(y)
d
y
D
x x=ψ(y)
二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z
I=
∫∫
D
f ( x , y )dxdy
.
.
ψ( y ) φ ( y)
f ( x , y )dx
D
x x=ψ(y)
区域
D = { ( x , y ) | x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
y
d
c
称为Y –型区域. 若 D 为Y –型区域. 则
x = x1 ( y百度文库)
D
x = x2 ( y )
o
x
∫∫
–1
. .
+ ∫ dy ∫
0
将二重积分化成二次积分 I = ∫∫ f ( x , y )dxdy
D: 由四条直线 : x=3，x=5, y 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 19 2 共同围成的区域 先对y积分
D
I=
∫
5
3
dx ∫
1 (3 x+4 ) 2 1 ( 3 x +1) 2
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
Q( y ) =
∫
d
b
a
f ( x , y )dx
0
c
y
d
y
I
=
∫
c
Q ( y )dy
a
Q( y )
.
b
x
.
D
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
定理 13.2.1’ 设 f ( x , y ) 在矩形区域 D = [a , b] × [c , d ] 上可积，且对每个 y ∈ [c , d ], 积分
d b
∫
b a
f ( x , y ) dx
存在，则累次积分 ∫c dy ∫a f ( x , y ) dx 也存在，且 ∫∫ f ( x , y ) dσ = ∫c dy ∫a f ( x , y ) dx
D d b
特别 f ( x , y ) 在矩形区域 D = [a , b] × [c , d ] 连续时，有
] ]
= ∫∫ ( sin x + cos x )d σ
2 2 D
又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .
性质 1 若在已有的份划添加有限条曲线作进一步 分划，则Darboux大和不增，小和不减。 性质 2 任何一个Darboux小和都不大于任何一个 * = I* sup{ = s }, I inf{ S }. Darboux大和，若记
直角坐标系下二重积分计算
教学目的与要求： (1) 掌握二重积分的计算方法 (2) 掌握二次积分的换序方法 (3) 了解二重积分化为累次积分的的证明方法 教学重点，难点： 重点：二重积分的计算 难点：二重积分的换序
二重积分的计算 (D是矩形区域 ) z
z = f ( x, y) x = x0
I=
复习§2：平行截面面 积为已知的立体的体积
∫∫
D
f ( x , y )dxdy
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
0
c
y
d
y
a
b
x
D
二重积分的计算 (D是矩形区域 ) z
I=
∫∫
D
z = f ( x, y) y= y
f ( x , y )dxdy
z=f (x,y)
D
x =π
O
π
x
例5 将二重积分换序
I=
D:
∫ dy ∫
0
1
y y
f ( x , y )dx
8
D1 D2
f ( x , y )dy
13 2
D
D3
先对x积分（需分块）
I=
5
∫∫ + ∫∫ + ∫∫
D1 D2 D3
∫
19 2 8
dy ∫ 1
5 ( 2 y − 4)
f ( x , y )d x +
.
3
∫1 3 dy ∫
8
∫
2 13 2 5
dy ∫
1 ( 2 y −1) 3 1 (2 y−4 ) 3 1 ( 2 y −1) 3 3