JGLXchap9虚功原理和结构位移计算
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9虚功原理和结构的位移计算
3. 组合结构
MM P NN P ds ds EI EA
4. 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：
MM P NN P ds ds EI EA
25/55
用于弯曲杆 用于二力杆
例1 求简支梁中点竖向位移Δ CV ，并讨论剪切变 形对位移的影响。 q A l/2 q A ql/2 MP x QP A 0.5 C l/2 B A l/2 C l/2
(2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连 ——续变形。 (3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。
12/55
下面讨论We及Wi 的具体表达式。 q(s) P
2
P 3
q(s)ds
R1
C1
P1
ds
ds
第一状态 （给定平衡力系） 第二状态 （给定位移和变形）
R2
3
C2M
MP
M
正
M
MP
正
MP
负
22/55
2） N 和 N P以拉力为正，压力为负； 3） Q 和 QP的正负号见下图。
Q
求位移步骤如下：
Q
Q
Q
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位荷载；
②求结构在单位载荷作用和实际荷载作用下的内
力和支座反力；
③利用位移计算一般公式求位移。
23/55
二、各类结构的位移计算公式 1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
P=1
B
M
x
Q
26/55
解：
1 qx(l x) 2 1 Q ql qx 2 MP (0 x l ) (0 x l )
MM P NN P ds ds EI EA
4. 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：
MM P NN P ds ds EI EA
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用于弯曲杆 用于二力杆
例1 求简支梁中点竖向位移Δ CV ，并讨论剪切变 形对位移的影响。 q A l/2 q A ql/2 MP x QP A 0.5 C l/2 B A l/2 C l/2
(2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连 ——续变形。 (3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。
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下面讨论We及Wi 的具体表达式。 q(s) P
2
P 3
q(s)ds
R1
C1
P1
ds
ds
第一状态 （给定平衡力系） 第二状态 （给定位移和变形）
R2
3
C2M
MP
M
正
M
MP
正
MP
负
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2） N 和 N P以拉力为正，压力为负； 3） Q 和 QP的正负号见下图。
Q
求位移步骤如下：
Q
Q
Q
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位荷载；
②求结构在单位载荷作用和实际荷载作用下的内
力和支座反力；
③利用位移计算一般公式求位移。
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二、各类结构的位移计算公式 1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
P=1
B
M
x
Q
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解：
1 qx(l x) 2 1 Q ql qx 2 MP (0 x l ) (0 x l )
第六章 虚功原理和结构的位移计算
第六章 虚功原理和结构的位移计算
§6-1 概述
一、结构的位移
1、线位移： A
2、角位移：A
二、位移产生的主要原因 1、荷载作用； 2、温度改变和材料胀缩； 3、支座沉降和制造误差等。
三、本章位移计算假定 1、线弹性体； 2、小变形； 叠加原理适用
P
A
AH
A
A'
AV
A
为什么要计算 位移?
第六章 虚功原理和结构的位移计算 四、计算位移目的
在杆件数量多、荷载复杂的情况下,积分计算复杂。 下面介绍计算位移的图乘法。
第六章 虚功原理和结构的位移计算
一、图乘法公式的证明 y
Mi x tan
d=MPd
x
形心
A MP
C
面积
MP图
B
iP
B Mi M P dx A EI
1
EI
B A
dxO
dx
Mi y0
xA
Bx
x0
y0=x0tg
VA
状态2相应内力引起的。
d2
由材料力学知识有：
dS d△2 dS
q
B
dS
VB 2
dS
2ds
剪应力沿截面高度不是均匀分布，引入剪 应力不均匀分布系数m，并将以上三式代 入虚功方程（6-11），得：
（6-14）
注：在确定各内力表达式时，两个状态应取同一正负号规定。
第六章 虚功原理和结构的位移计算
§6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算
第六章 虚功原理和结构的位移计算
二、变形体系的虚功原理
原理的表述： 体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体 系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
09虚功原理和结构的位移计算--习题解读
( N Q 0 M )ds R k ck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0 k
QP GA
MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0 k
QP GA
MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
第9章 虚功原理及结构的位移计算
x
dx
l
力状态
x ql
dx
力状态
l
ql/2
ql/2
△
位移状态 外力虚功
位移状态 外力虚功
1 2 We qd x x ql 0 0 2
l
1 We qd x x ql 0 0 l 2
l
内力虚功 Wi =0
内力虚功 Wi =0
按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系 的虚功原理： 在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满 足平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移 与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠）， 则外力虚功为零。 或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合 约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功 为零。 特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下 没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也 可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位 移方向与假设的单 位力方向一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步 骤 （3）解方程得 FRk ck 定出方向。
2.变形体的虚功原理
根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总 结得出变形体的虚功原理： 在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡 条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协 调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、 剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移 与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠， 约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于 各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：
9.虚功原理和结构的位移计算
∑ ∫ dW
即：
总
= ∑ ∫ dW外 + ∑ ∫ dW内 = ∑ ∫ dW刚 + ∑ dW变
W总 = W外 + W内 = W刚 + W变
W外—结构上所有外力（包括荷载及支反力）在虚位移所 结构上所有外力（ 结构上所有外力 包括荷载及支反力） 作的虚功总和； 作的虚功总和； W内—整个结构中所有微段截面上的内力在虚位移上所作 整个结构中所有微段截面上的内力在虚位移上所作 的虚功总和； 的虚功总和； W变—整个结构中所有微段截面上的内力在变形虚位移上 整个结构中所有微段截面上的内力在变形虚位移上 所作的虚功之和； 所作的虚功之和； W刚—整个结构中所有外力（包括荷载及支反力）在刚体 整个结构中所有外力（ 整个结构中所有外力 包括荷载及支反力） 虚位移上所作的虚功之和。 虚位移上所作的虚功之和。
E
A
B C
E
F
δP2
D
2P A a G 2a B a C D 2a 2a a E
P F
A
δ X 1 + 2 P δ P 1 + P 2PP 2 = 0 ,
G
P E F
C δB1 = 4a ,δ P 2 = 2a , P
X
X = 6 Pa
D
A
G
B
δP1
C D
E
F
δP2
δX=1
刚体体系虚功原理的两种应用
W刚 = 0 ,
W内 = 0 ,
∴ W外 = W变
关于变形体体系虚功原理的几点说明
刚体体系的虚功原理只是变形体体系虚功原 理的特例； 理的特例； 变形体体系虚功原理适用于线弹性、 变形体体系虚功原理适用于线弹性、非线弹 弹塑性和塑性变形体； 性、弹塑性和塑性变形体； 该方程是一个既可以用来代替几何方程又可 以代替平衡方程的综合性方程。 以代替平衡方程的综合性方程。
虚功原理与结构位移计算
考虑材料非线性时结构位移计算
01
材料非线性本构关系
建立考虑材料非线性的本构关系模型，如弹塑性模型、粘弹性模型等。
02
结构非线性分析方法
采用适当的非线性分析方法，如增量法、迭代法等，对结构进行非线性
分析。
03
材料非线性对结构位移的影响
分析材料非线性对结构变形和位移的影响，包括塑性变形、蠕变等。
06
性。
刚架式结构位移计算
计算模型建立
针对刚架式结构的特点，建立适当的计算模型，如平面刚架、空间刚架等。
荷载作用分析
分析刚架式结构在荷载作用下的内力分布，包括轴力、弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导刚架式结构在荷载作用下的位移计算公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分析结果，验证计算方法的准确性。
有限差分法在结构位移计算中应用
01
差分方程建立
有限差分法通过差分近似微分的 方式，将偏微分方程转化为差分 方程，简化计算过程。
计算效率
02
03
适用范围
有限差分法在处理规则网格时具 有较高的计算效率，适用于大规 模并行计算。
有限差分法在建筑、水利、交通 等工程领域的结构位移计算中发 挥重要作用。
无网格法在结构位移计算中应用
梁式结构位移计算
计算模型建立
根据梁式结构的特点，建立适 当的计算模型，如简支梁、悬
臂梁等。
荷载作用分析
分析荷载作用下的结构内力， 包括弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导梁式 结构在荷载作用下的位移计算 公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分 析结果，验证计算方法的正确
结构力学 9虚功原理和结构的位移计算
Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA
第4章 虚功原理与结构位移计算
由于剪切变形对位移的影响
由于支座移动对位移的影响
结构位移计算的一般公式既可考虑荷载引起的位移， 也可考虑温度或支座移动引起的位移。 可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型的结构。
二、结构位移计算的一般步骤 1.在某点沿拟求位移Δ的方向虚设相应的单位荷载。 2.在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内 力 M 、 FN 、 Q 和支座反力 FRK 。 F 3.根据一般公式可求出位移Δ。
四、支座移动时静定结构的位移计算 1.支座移动对静定结构的影响
A 在静定结构中，支座移动时并不引起内力，也不引 起变形，结构只发生刚体位移。
2.支座移动时静定结构的位移计算 支座移动时静定结构的位移计算问题是刚体体系的 位移计算问题，可用刚体体系虚功原理来求解。
当支座有给定位移时，静定结构的位移的计算步骤：
M FN FQ 0 ds FRK C K
公式的右边四个乘积，它们力与变形之间的乘 积，当力与变形方向一致，则乘积为正的。 Δ如果是正值，则表明位移Δ的实际方向与所 设单位荷载方向一致。
Wi dWi ( N d Qd M d )
t1
P2
K
ΔKH K
t2
位移状态 2
M、、 —分别是虚设单位荷载在微段ds引起的弯矩、轴力、剪力 NQ d、d、d —分别是实际位移状态微段ds的三种变形。
c1
外力所作虚功： We 1 KH R1c1
R1 —虚设单位荷载引起的支座反力
【例5】三铰刚架的跨度l=12m，高为h=8m。已知右支座B 发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm(向右)， 如图(a)所示。试求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。 【解】(1) 在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
JGLXchap9虚功原理和结构位移计算
FPi Δi 0
Fs
FN M
FP d Δ M d FS d FN d 0
d Δ M d FS d FN d M d s FS 0 d s FN d s
d Δ M d s FS 0 d s FN d s
结构位移计算与虚功原理 4.2 结构位移计算的一般公式 2020-8-6-08:25
Fpi—为相应的平衡力系，
i —为对应于Fpi的无限小刚体体系位移。
结构位移计算 4.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
例1.求支座B的反力及D截面的内力
2020-8-6-08:25
(1)求支座B的反力
FPi Δi 0
FX
X
FP
P
FPa 2
B
0
FX
1 2
FP
FPa 2
1 2a
3 4
FP ()
P
(3)求支座D截面的剪力
FPi Δi 0
FX
X
FP
P
FPa 2
B
0
FX
FQD
FP 4
P
1 2
,B
1 2a
结构位移计算 4.1 应用虚功原理求刚体体系的位移 2020-8-6-08:25
(2)虚设力状态，位移状态真实 —虚力原理(几何问题转化为力学问题)
Fpi(virtual forces)i(real displacements)= 0
第四章 虚功原理和静定结构位移计算
4.1 应用虚功原理求刚体体系的位移 4.2 结构位移计算的一般公式 4.3 荷载作用下的位移计算 4.4 举例 4.5 图乘法 4.6 温度作用时的位移计算 4.7 变形体系的虚功原理 4.8 互等定理 4.9 小结
结构力学-虚功原理和结构的位移计算
30 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第四节 图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
31 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
6 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
7 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第一节 位移计算概述 4 体系特征假定
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。11 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici
9 虚功原理和结构的位移计算
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分
MiMk EI
ds
。
MM EI
P
ds
改写成
B M iM k ds
A EI
y
(EI const)
1 EI
B
A M i M k dx
(Mkd x d)
1 EI
B
A Mid
(M i x tg )
1
B
x tg d
EI A
1 tg
B
x d
EI
A
A
cu
A R1 Q ds Q
给定位移、变形
R2
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式
外力虚功 W 1 CV RKCK
K
内虚功 Wi (M Q 0 N )ds
所求位移 1 CV (M Q0 N )ds RKCK K
3. 小结
• M、Q、N 、RK ——单位载荷 P1 1在结构中产
q(s)w(s)ds Pii RKCK
i
K
(M Q 0 N )ds
小结：
1) 只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变 形是符合约束条件的微小连续变形。
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
460.8 40
E G
I A
1 l2
11.52 8 h2 3 12
1 l2
2.56( h )2 l
若h/l=1/10，则
CQ 2.56% CM
h/l=1/2， 则
CQ 64% 可见，剪切变形的
CM
影响不能忽略。
9-5 图乘法
虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改-精选文档
-t +t
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
β Δ 不产生内力和变形 产生刚体移动
产生内力， 产生变形产生位移
不产生内力， 产生变形产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但更方便的方法是虚功法，其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形；3）具有理 想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位 移可用叠加原理。
表示与广义力相应的广义位移。
三、刚体虚功原理 基本方法：选分离体，列平衡方程。 静力分析的方法 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。 是指约束反力在可能位移 刚体内力在可能的位 上所作虚功恒等于零的约束 1、虚功原理 移上所作虚功恒为零 作功的双方（平衡力系、 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 当 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系， 可能位移）彼此独立无关 方程。如以上式子就是力矩平衡方程∑ MC＝ 0 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移， 则主动力在位移上 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 所作的虚功总和恒为零。 便，可以随意虚设，如设 δ X=1。 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2、虚功原理的应用 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 2）需设力系求位移（虚力原理） 静力平衡问题。 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 求杠杆在图示位置平衡时X的值。 X F X ΔX －F ΔP=0 δX =1，δP=b/a
(2) 建立虚功方程，求未知力
例 各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，F与Q的关系。 动画演示T1 (1) 虚设位移，建立位移之间的关系 F Δy θ Δx
x Q
QD x + FD y = 0 Dy 3 = = Q D x F 2 ctgq F
第五章-虚功原理与结构位移计算
D
C
1
5
(
5 4
cB )
5 4
cB ()
4
4
虚设力系
0
RKcK
支座移动时的 位移计算公式
支座移动时位移的计算
支座移动时，静定结构的位移计算步骤： 1 在待求位移点沿位移方向施加单位力
2 求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力
3 令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程
FQ 0ds
支座移动： c FRKck
§5-2 结构位移计算的一般公式
4、结构位移计算的一般步骤：
已知结构各个微段的应变 κ 、 ε、γ0和支座位移ck ，求
结构某点沿某方向的位移Δ： （1）在某点沿拟求位移Δ方向虚设相应单位荷载；
（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 M FN FQ和支座反力FRK；
了解曲杆和拱的位移计算。
掌握线弹性结构的互等定理
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导结构位移计算一般公式的基本思路
⑴ 讨论静定结构由于支座移动引起的位移计算 应用刚体体系虚力原理（虚功原理的另一种应用 —— 虚设力系求刚体
体系位移）导出其位移计算公式。 ⑵ 讨论静定结构由于局部变形引起的位移计算 结构中某个微段产生拉伸、剪切、弯曲变形而引起位移，其他部分没有
（3）由下列位移公式求出位移。
d (Mk FN FQ 0 )ds FRKck
Fp1 1
虚功
2 Fp2
力和位移无因果关系
A △11
B △22
广义力
W P
对应
P
M
A
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结构位移计算与虚功原理 9.3 荷载作用下的位移计算
2016-11-8-00:08
9.3 荷载作用下的位移计算
9.3.1 静定结构在荷载作用下的位移计算公式
从一般公式可化简得到结构在荷载作用下位移计算公式：
Δ ( M FS 0 FN ) d s FRk ck
ΔCy FRK cK ( 1 1.5)
K
1.5cm()
9.2 结构位移计算的一般公式
9.2.1 局部变形时静定结构的位移计算
9.2.2 结构位移计算的一般公式
9.2.3 结构广义位移的计算 9.2.4 结构位移计算的一般步骤
结构位移计算与虚功原理 9.2 结构位移计算的一般公式
(4) 虚设力状态，位移状态真实，称为虚力原理—可求未知位移；
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
2. 刚体虚功原理的两种应用
(1)虚设位移状态，力状态真实 —虚位移原理(力学问题几何问题)
Fpi(real forces)i(virtual displacements)= 0 Fpi—为相应的平衡力系，
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
9.1.2 推导位移计算一般公式的思路
建立静定结构位移计算的一般公式(generalized formula)从几个方面： (1) 讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算公式—这为刚体体 系的位移计算问题，可应用虚力原理来分析，作为单位荷载法的 介绍；
1 2a
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
(2)虚设力状态，位移状态真实 —虚力原理(几何问题转化为力学问题)
Fpi(virtual forces)i(real displacements)= 0 Fpi—为相应的平衡力系，
i —为对应于Fpi的无限小刚体体系位移。
M , FS , FN , FRk 单位荷载作用下结构的内力和对应于支座位移的支座反力。
结构位移计算与虚功原理 9.2 结构位移计算的一般公式
2016-11-8-00:08
9.2. 3 结构广义位移的计算 Δ ( M FQ 0 FN ) d s FRk ck
l
公式具有普遍性，适用于弯曲变形、剪切变形和轴向变形，适用于荷 载、支座位移和温度变化产生的位移计算，适用于静定结构及超静定 结构，也适用于弹性材料和非弹性材料等。 单位荷载法的关键是在对应于所求位移的位置上虚设单位荷载： 即：什么样的位移要虚设什么样的单位荷载
ΔDy FR1 c1 FR2 c2 FR3 c3 FRK cK
K
Δ FRK cK
K
Δ FRK cK
K
其中， 为指定截面所求位移，FP = 1为对应的单位荷载，cK为第K个 支座的支座位移，FRK对应于第K个支座在单位荷载作用下的支座反力；
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
9.1.3 结构位移计算概述
1. 结构位移(displacement) 由结构变形引起的： E
Hooke law
结构位移是指一个截面位置的改变： 分为线位移(translation displacement)， 角位移或转角(rotation displacement)两种。 绝对位移(absolute displacement)，相对位移(relative displacement)。 产生位移的原因： 荷载作用； 温度变化和材料胀缩； 支座沉降和制造误差等。 产生内力的原因？
i —为对应于Fpi的无限小刚体体系位移。
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
Remarks: (1) 两个彼此无关状态：力状态平衡力系和位移状态无限小可能位移； (2) 虚功是指力状态和位移状态彼此独立无关； (3) 虚设位移状态，力状态真实，称为虚位移原理—可求未知力；
d Δ M d s FS 0 d s FN d s
结构位移计算与虚功原理 9.2 结构位移计算的一般公式
2016-11-8-00:08
9.2.2 结构位移计算的一般公式
d Δ M d s FS 0 d s FN d s
Δ dΔ l ( M FS 0 FN ) d s
P
a 1 , B 2 2
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
(3)求支座D截面的剪力
F
Pi
Δi 0
FX X FP P
FX FQD
FP 4
FP a B 0 2
P , B
1 2
9.1.4 虚力原理—虚设力系，求位移(几何问题转化为力学问题)
1. 虚设力状态，位移状态真实—虚力原理(principle of virtual force) Fpi(virtual forces)i(real displacements)= 0 2. 单位荷载法(unit load method) (1) 在对应于所求位移的位置上虚设单位荷载； (2) 应用虚功原理求位移。
P , B
1 2
1 2a
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
(2)求D截面的弯矩
F
Pi
Δi 0
FX X FP P
FP a B 0 2 Fa Fa 1 Fa FX M D P P P (上侧受拉) 2 2 2 4
F
Pi
Δi 0
1 FP ΔDy ( c) 0 2
ΔDy
c () 2
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
9.1.5 支座移动时静定结构的位移计算
1. 支座移动时静定结构的位移计算公式
F
Pi
Δi 0
FP ΔDy FR1 c1 FR2 c2 FR3 c3 0
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
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例1：
解：(1) 求C点的水平位移：虚设单位荷载，求反力
Δ FRK cK
K
ΔCx FRK cK ( 1 1.0 1 1.5) 0.5位荷载， 求反力
9.1.2 推导位移计算一般公式的思路
9.1.3 结构位移计算概述 9.1.4 虚力原理—虚设力系，求位移 9.1.5 支座移动时静定结构的位移计算
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
9.1.1 刚体的虚功原理及应用
1. 刚体的虚功原理(principle of virtual work) 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述为： 设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小 刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。 也可以表示成数学形式： FPi i = 0 Fpi—为相应的平衡力系，
2016-11-8-00:08
9.2.4 结构位移计算的一般步骤
(1) 在某点沿拟求位移Δ的方向虚设相应的单位荷载； 线位移：虚设单位集中荷载 角位移：虚设单位集中力偶
相对线位移：虚设一对大小相等、方向相反的单位集中荷载 相对角位移：虚设一对大小相等、方向相反的单位集中力偶 (2) 根据平衡条件求出结构单位荷载作用下的内力及支座反力；
M , FS , FN , FRk
(3) 利用公式求位移：
Δ ( M FS 0 FN ) d s FRk ck
l
9.3 荷载作用下的位移计算
9.3.1 静定结构在荷载作用下的位移 计算公式 9.3.2 截面形状系数 9.3.3 各类实际结构的位移计算公式 9.3.4 位移的计算步骤
第九章 虚功原理和静定结构位移计算
9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
9.2 结构位移计算的一般公式
9.3 荷载作用下的位移计算 9.4 举例 9.5 图乘法 9.6 温度作用时的位移计算 9.7 变形体系的虚功原理 9.8 互等定理 9.9 小结
9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
9.1.1 刚体的虚功原理及应用
l
适用于一根杆件 适用于多根杆件
Δ ( M FS 0 FN ) d s
l
Δ ( M FS 0 FN ) d s FRk ck 适用范围更一般的公式
l
, 0 , 结构的弯曲应变、剪应变和轴向应变， 其中， Δ 为所求位移，
c k 为所求位移结构的支座位移；
(2) 讨论静定结构由于局部变形而引起的位移计算—这也属于刚体体 系的位移 计算问题，仍可应用虚力原理来分析；
(3) 讨论静定结构由于整体变形而引起的位移计算—可应用前一步有 关局部变形引起的位移计算公式，再利用叠加原理，得到静定结 构位移计算的一般公式； (4) 静定结构位移计算的一般公式也可利用变形体系的虚功原理进行 严格的数学推导。
i —为对应于Fpi的无限小刚体体系位移。
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
2016-11-8-00:08
例1.求支座B的反力及D截面的内力
(1)求支座B的反力
F
Pi
Δi 0
Fa FX X FP P P B 0 2 1 FP a 1 3 FX FP FP () 2 2 2a 4
结构位移计算 9.1 应用虚功原理求刚体体系的位移