考研数学导数
考研24个基本求导公式(一)
考研24个基本求导公式(一)考研24个基本求导公式本文将列举考研数学中的24个基本求导公式，并结合实例进行解释和说明。
一、基本函数及常数的求导公式1. 常数函数：y=C，C为常数常数函数的导数为0。
因为常数函数表示的是一个固定的值，其斜率为0，不随自变量的变化而变化。
例如：y=5，由于此函数为常数函数，其导数为0。
2. 线性函数：y=kx，k为常数线性函数的导数为其系数k。
线性函数的图像表示一条直线，斜率恒定为k。
例如：y=3x，由于此函数为线性函数，其导数为3。
3. 幂函数：y=x n，n为常数幂函数求导时，通过求导公式y′=nx n−1可得。
例如：y=x2，求导后得到y′=2x。
4. 指数函数：y=a x，a为常数，a>0且a≠1指数函数的导数为其本身乘以自然对数e。
例如：y=2x，求导后得到y′=2x ln2。
5. 对数函数：y=log a x，a为常数，a>0且a≠1。
对数函数的导数可以通过换底公式得到y′=1xlna。
例如：y=log2x，求导后得到y′=1xln2二、基本运算法则的求导公式6. 和差法则和差法则指出，两个函数相加（减）的导数等于两个函数分别求导后再相加（减）。
例如：y=f(x)+g(x)，求导后得到y′=f′(x)+g′(x)。
7. 乘积法则乘积法则描述了两个函数相乘的导数和原函数的关系。
例如：y=f(x)⋅g(x)，求导后得到y′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)。
8. 商积法则商积法则指出，两个函数相除的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。
例如：y=f(x)g(x)，求导后得到y′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g(x)2。
9. 复合函数法则复合函数法则说明了两个函数复合的导数与原函数的导数之间的关系。
例如：y=f(g(x))，求导后得到y′=f′(g(x))⋅g′(x)。
三、特殊函数的求导公式10. 正弦函数：y=sin(x)正弦函数的导数为余弦函数，即ddx(sin(x))=cos(x)。
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
考研常用的n阶导数公式
考研常用的n阶导数公式
一、一阶导数
一阶导数是函数的变化率，表示函数在某一点处的斜率。
一阶导数的计算公式为：
f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
其中，h表示自变量的增量。
二、二阶导数
二阶导数描述了函数的变化率的变化率，即函数的曲率。
二阶导数的计算公式为：
f''(x) = lim(h->0) [f'(x+h) - f'(x)] / h
三、n阶导数
n阶导数表示函数的变化率的n次变化。
n阶导数的计算公式可以通过递推公式得到：
f^(n)(x) = (f^(n-1)(x+h) - f^(n-1)(x)) / h
其中，f^(n-1)(x)表示函数的(n-1)阶导数。
在实际应用中，计算高阶导数时可以采用多种方法，如使用泰勒级
数展开、使用莱布尼茨公式等。
四、应用举例
考虑函数f(x) = x^n，求解其n阶导数。
根据n阶导数的递推公式，可以得到：
f^(n)(x) = n*(n-1)*...*2*1 = n!
这表明对于函数f(x) = x^n，其n阶导数为n!。
对于指数函数、对数函数、三角函数等常见函数，它们的n阶导数也有相应的公式。
在考研中，熟练掌握这些公式可以帮助我们快速计算高阶导数。
五、总结
希望本文能够帮助考研学子更好地理解和应用n阶导数的概念，提高数学分析能力。
在备考过程中，多做习题、理解概念、掌握公式是关键。
祝愿大家在考研数学中取得优异的成绩！。
常见的导数公式考研真题
常见的导数公式考研真题常见的导数公式是数学中的重要工具，用于计算函数的变化率。
在考研数学中，导数公式经常被考察，对于学习者来说是必须要掌握的知识点。
本文将介绍几个常见的导数公式，并分析其中的应用。
1. 常数函数的导数公式对于一个常数函数f(x) = C，其中C为常数，其导数等于零。
因为常数函数在任意点上的斜率都为零，即函数没有变化。
2. 幂函数的导数公式幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数时，其导数等于n乘以x的n-1次方，即f'(x) = n*x^(n-1)。
这个公式可以通过求导法则进行推导。
3. 指数函数的导数公式指数函数f(x) = a^x，其中a为正数且不等于1，其导数等于a乘以ln(a)乘以a的x次方，即f'(x) = ln(a)*a^x。
这个公式可以通过换底公式和指数函数的性质进行推导。
4. 对数函数的导数公式对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正数且不等于1，其导数等于1除以x的自然对数底数ln(a)乘以1除以x的对数，即f'(x) =(1/ln(a))*(1/x)。
这个公式可以通过换底公式和对数函数的性质进行推导。
5. 三角函数的导数公式常见三角函数的导数公式包括：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，其导数等于余弦函数cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，其导数等于负的正弦函数-sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，其导数等于sec^2(x)。
- 反正弦函数的导数：f(x) = arcsin(x)，其导数等于1除以根号下(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数：f(x) = arccos(x)，其导数等于-1除以根号下(1-x^2)。
- 反正切函数的导数：f(x) = arctan(x)，其导数等于1除以(1+x^2)。
6. 双曲函数的导数公式常见双曲函数的导数公式包括：- 双曲正弦函数的导数：f(x) = sinh(x)，其导数等于双曲余弦函数cosh(x)。
考研数学导数题解题技巧
考研数学导数题解题技巧导数在考研数学中占据着重要的地位，掌握好导数的解题技巧是考研数学成功的关键之一。
下面将介绍几种常见的导数题型及相应的解题技巧，希望对考研数学的学习和备考有所帮助。
一、基本函数的导数求解基本函数的导数求解是解决导数题的基础。
对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，都有相应的求导公式。
掌握好这些求导公式并能熟练灵活地运用，能够快速求解导数。
以幂函数为例，对于函数y=x^n，其中n为常数，导数的求解公式为dy/dx=n*x^(n-1)。
在使用求导公式时，需要注意指数函数和对数函数的运算规则，掌握好它们的性质，能够更好地应用到求导题目中。
二、基本运算法则的应用在导数的求解过程中，经常需要运用到基本运算法则，如和差法则、积法则和商法则。
熟练运用这些法则可以简化复杂的导数计算过程，提高解题的效率。
以和差法则为例，对于由两个函数相加或相减而成的复合函数，可以利用和差法则将其求导分解为各个部分的导数之和或差。
这样可以简化计算过程，减少错误的可能性。
三、高阶导数求解高阶导数是指对一个函数进行多次求导得到的导数。
在考研数学中常常会涉及到高阶导数的求解，需要运用到求导的运算法则和综合运用各种基本函数的导数求解公式。
在计算高阶导数时，可以使用递推的方式进行求解。
即通过求解低阶导数的方式，逐步推导得到高阶导数的结果。
这种方法能够减少计算量和错误几率，提高解题效率。
四、隐函数求导在某些函数方程中，可能存在隐含的函数关系，即无法用常规的显式函数表示。
这时就需要用到隐函数求导的方法。
隐函数求导可以通过利用导数的定义和隐函数偏导数的概念来进行求解。
隐函数求导的关键是识别出隐含的函数关系，并利用已知信息进行求导。
这种方法在解决一些复杂的问题时非常有效，可以帮助我们深入理解函数的性质和规律。
五、应用题解题技巧考研数学中，导数的应用题是必不可少的一部分。
在解决应用题时，需要将导数技巧与具体问题相结合，通过分析问题和建立模型来解决。
考研高等数学高数公式
考研高等数学高数公式在考研高等数学中，高数公式是非常重要的一部分，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
下面是一些常见的高数公式。
1.导数相关公式：-基本导数公式：$\frac{d(c)}{dx}=0$ （常数导数为0）$\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$ （幂函数的导数）$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x$ （正弦函数的导数）$\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x$ （余弦函数的导数）$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$ （正切函数的导数）-乘法法则：$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ （两个函数的乘积的导数）-除法法则：$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ （两个函数的商的导数）-复合函数求导法则：$\frac{d(u(v))}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$ （复合函数的导数）2.积分相关公式：-不定积分公式：$\int kdx=kx+C$ （常数的积分）$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ （幂函数的不定积分，n不等于-1）$\int e^xdx=e^x+C$ （指数函数的不定积分）$\int \sin xdx=-\cos x+C$ （正弦函数的不定积分）$\int \cos xdx=\sin x+C$ （余弦函数的不定积分）$\int \tan xdx=-\ln，\cos x，+C$ （正切函数的不定积分）-定积分基本公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ （定积分的基本公式）$\int_{a}^{b}kdx=k(b-a)$ （常数的定积分）-分部积分法则：$\int u dv=uv-\int v du$ （分部积分法则）3.极限相关公式：-基本极限：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ （正弦函数的极限）$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ （余弦函数的极限）-洛必达法则：若$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ （洛必达法则）-泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$ （泰勒展开公式）以上只是一些高等数学中常用的公式，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
考研数学微积分公式
考研数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，用来研究变化和累积的过程。
在考研数学中，微积分是一个重要的考察点，掌握常见的微积分公式对于解题非常有帮助。
下面是一些考研数学微积分公式的详细介绍。
1.基本导数公式(1) 常数导数公式：如果常数k，那么d/dx(k) = 0。
(2) 幂函数导数公式：如果f(x) = x^n（n不等于-1，-2...），那么d/dx(f(x)) = nx^(n-1)。
(3)基本初等函数导数公式：a. 常数函数的导数：d/dx(c) = 0。
b. 正弦函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
c. 余弦函数的导数：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
d. 正切函数的导数：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
e. 反正弦函数的导数：d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。
f. 反余弦函数的导数：d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。
g. 反正切函数的导数：d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。
(4) 乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d/dx(f(x)) =u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
(5) 除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x) （其中v(x)不等于0），那么d/dx(f(x)) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]^22.基本积分公式(1) 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C (n不等于-1)a. 常数函数的积分：∫k dx = kx + C。
b. 正弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
c. 余弦函数的积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C。
d. 正切函数的积分：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
考研数学公式大全--高数--线代--必背公式
数学知识点背诵高数部分1. 导数公式22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot x xx xx x x x x x'='=-'=⋅'=-⋅22(arcsin )(arccos )1(arctan )11(cot )1x x x x arc x x '='='=+'=-+2. 积分公式2222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc xdx x C xdx x Cxdx x x C xdx x x Cdx xdx x C x dx xdx x Cx x xdx x Cx xdx x C=-+=+=++=-+==+==-+⋅=+⋅=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222221arctan 1ln 21ln 2ln(arcsin dx xC a x a a dx x aC x a a x a dx a xC a x a a x x CxC a=++-=+-++=+--=+=+⎰⎰⎰222ln(2ln 2arcsin 2a x Ca x C a x Ca=+=-++=++22201sin cos nn n n n I xdx xdx I nππ--===⎰⎰3. 和差化积sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-4. 积化和差[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+-- 5. 万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n2c o s 1t a n 2ααα-=+ 22t a n2t a n 1t a n2ααα=- 6. 半角公式221cos sin 221cos cos 22αααα-=+= 21c o s t a n 21c o s s i n 1c o s t a n 21c o s s i nαααααααα-=+-==+7. 三倍角公式3332sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3tan tan tan 313tan αααααααααα=-=--=- 8. 三角函数关系图sin costan 1cot sec csc↔↔↔⊗↔↔↔↔↔↔⊗⊗↔↔↔..1.a b c ⊗说明：六边形每个顶点等于两相邻顶点乘积三条对角线上，两端点相乘等于标记的三角形，上面的平方和等于下面的平方9. 等价无穷小33333333222201sin ()61arcsin ()61tan ()31arctan ()31ln(1)()21cos 1()2x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x o x →=-+=++=++=-++=-+=-+时2011ln 11cos 2(1)1x x x e x a x a x xx x αα→---+-时10. 华里士公式等华里士公式：2200131,222sin cos 132,123n nn n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧⋅⋅⎪⎪-==⎨--⎪⋅⎪-⎩⎰⎰为正的偶数为大于的奇数20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰2002c o s ,c o s 0,n nxdx n xdx n ππ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数2220004sin ,sin =cos 0,n n nxdx n xdx xdx n πππ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为偶数为奇数()()220sin cos f x dx f x dx ππ=⎰⎰ ()()00sin cos f x dx f x dx ππ≠⎰⎰()()()20sin sin sin 2xf x dx f x dx f x dx πππππ==⎰⎰⎰11. 函数展开为幂级数20201+()!2!1(1)1(1)(11)1n nxn n n n nn x x x e x x n n x x x x x x ∞=∞===++++-∞<<+∞=-=-+-+-+-<<+∑∑！20234111213572122011(11)1ln(1)(1)(1)(11)234sin (1)(1)()(21)!3!5!7!(21)!cos (1)1(2)!2!n n n n nn n n n n nnn n nn x x x x x x x x x x x x x x n nx x x x x x x x n n x x x n ∞=∞--=++∞=∞===+++++-<<-+=-=-+-++-+-<≤=-=-+-++-+-∞<<+∞++=-=-+∑∑∑∑()(][]4622(1)()4!6!(2)!(1)(1)(1)(1)12!!(1-1,1;10-1,1;0-1,1)nn nx x x x n n x x x x n αααααααααα-++-+-∞<<+∞---++=+++++≤--<<>时，收敛域为时，收敛域为时，收敛域为12. 幂级数的和函数1211121121212112220(1)11(1)1(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1k nn k n n n n n n n n n n n n n n n n n n cx cx x x x nx x x x x x nx x nx x x x nx x nx x x n n x x x x ∞=∞∞-==∞∞-==∞∞+-==∞∞∞-====<-''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==<-==<-''''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑3110001112(1)(1)1ln(1)(11)1n x x x n n n n n x x x t dt t dt dt x x n t ∞∞∞--====<-⎛⎫====---≤< ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰13. 狄利克雷收敛定理设()f x 是以2l 为周期的可积函数，如果在[],l l -上()f x 满足： 1)连续或只有有限个第一类间断点； 2)只有有限个极值点；则()f x 的傅里叶级数处处收敛，记其和函数为()S x ，则()01cos sin 2n n n a n x n x S x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，且()()()()()(),00,200,2f x x f x f x S x x f l f l x ⎧⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-++-⎪⎩为连续点为第一类间断点为端点 14. 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数设周期为2l 的周期函数()f x 满足狄利克雷收敛定理的条件，则它的傅里叶级数为()()01cos sin 2n n n a n x n x f x S x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑其中系数n a 和n b 分别为：()()1cos (0,1,2,)1sin (1,2,3,)l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l ππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰ （1）将普通周期函数()f x 在[],l l -上展开为傅里叶级数： 展开系数为()()()01,1cos ,(1,2,3,)1sin ,(1,2,3,)l l l n l l n la f x dx l n x a f x dx n l l n xb f x dx n l l ππ---⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰ （2）将奇偶周期函数()f x 在[],l l -上展开为傅里叶级数：当()f x 为奇函数时，展开为正弦级数()000,0,(1,2,3,)2sin ,(1,2,3,)n l n a a n n x b f x dx n l l π⎧⎪=⎪==⎨⎪⎪==⎩⎰当()f x 为偶函数时，展开为余弦级数()()0002,2cos ,(1,2,3,)0,(1,2,3,)l l nn a f x dx l n x a f x dx n l l b n π⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩⎰⎰ （3）将非对称区间[]0,l 上的函数()f x 展开为正弦级数或余弦级数：将[]0,l 上的函数()f x ，根据要求作奇延拓（若要求展开为正弦级数）或偶延拓（若要求展开为余弦函数），得到[],l l -上的奇函数或偶函数，再根据（2）中的方式展开。
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式摘要：一、引言二、高阶导数概念介绍三、常见高阶导数公式1.n阶导数公式2.复合函数导数公式3.反函数导数公式4.隐函数导数公式5.参数方程导数公式6.微分中值定理与导数公式四、高阶导数在实际问题中的应用五、总结正文：一、引言在考研数学中，高阶导数是一个重要的知识点。
高阶导数是指函数在某一点处的导数的导数，即函数的二阶导数、三阶导数等。
掌握高阶导数的计算方法和公式，对于解决考研数学中的相关题目具有重要意义。
二、高阶导数概念介绍高阶导数是导数的推广，用于描述函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在点x_0处可导，则称f(x)在x_0处的一阶导数为f"(x_0)，二阶导数为f""(x_0)，三阶导数为f"""(x_0)，以此类推。
三、常见高阶导数公式1.n阶导数公式对于幂函数f(x) = x^n，有：f"(x) = n * x^(n-1)f""(x) = n * (n-1) * x^(n-2)f"""(x) = n * (n-1) * (n-2) * x^(n-3)...f^(n)(x) = n! * x^(n-n)2.复合函数导数公式设g(x) = f(u(x))，其中u(x)可导，f(x)可导，则有：(g(x))" = f"(u(x)) * u"(x)(g(x))"" = f""(u(x)) * u"(x) + f"(u(x)) * u""(x)...3.反函数导数公式设f(x)在区间I上可导，且在I内单调，则f(x)在I上的反函数f^(-1)(x)在区间f(I)上可导，且有：(f^(-1)(x))" = 1 / (f"(f^(-1)(x)))(f^(-1)(x))"" = -1 / (f"(f^(-1)(x)))^24.隐函数导数公式设F(x, y) = 0，x = x(y)，y = y(x)，则有：(x"(y))" = -x""(y) / y"^2(y"(x))" = -y""(x) / x"^25.参数方程导数公式设x = x(t)，y = y(t)，则有：(x"(t))" = x""(t)(y"(t))" = y""(t)6.微分中值定理与导数公式根据微分中值定理，设函数f(x)在区间I上可导，且在I内单调，则对于任意x_0∈I，存在一个ξ∈(x_0, x)，使得：f"(ξ) = (f(x) - f(x_0)) / (x - x_0)四、高阶导数在实际问题中的应用高阶导数在实际问题中的应用非常广泛，如在物理学、工程学、经济学等领域。
考研高数必备公式
考研高数必备公式高等数学是考研数学的重点和难点之一，掌握和熟练运用高数公式可以帮助考生更好地解题。
下面是一些考研高等数学必备的重要公式，供考生参考。
导数公式：1. 常数函数的导数为零：d/dx (c) = 02. x^n的导数为nx^(n-1)：d/dx (x^n) = nx^(n-1)3. e^x的导数为e^x：d/dx (e^x) = e^x4. ln(x)的导数为1/x：d/dx (ln(x)) = 1/x5. sin(x)的导数为cos(x)：d/dx (sin(x)) = cos(x)6. cos(x)的导数为-sin(x)：d/dx (cos(x)) = -sin(x)7. tan(x)的导数为sec^2(x)：d/dx (tan(x)) = sec^2(x)8. cot(x)的导数为-csc^2(x)：d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)9. sec(x)的导数为sec(x)tan(x)：d/dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)10. csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)：d/dx (csc(x)) = -csc(x)cot(x)求导法则：1. 和差法则：d/dx (u ± v) = du/dx ± dv/dx2. 乘法法则：d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx3. 除法法则：d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v^24. 复合函数法则：若y = f(u)，u=g(x)，则dy/dx = dy/du *du/dx积分公式：1. 常数函数的积分为常数乘以自变量：∫c dx = cx + C2. x^n的积分为(1/n+1)x^(n+1) + C：∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C3. e^x的积分为e^x + C：∫e^x dx = e^x + C4. 1/x的积分为ln，x， + C：∫1/x dx = ln，x， + C5. sin(x)的积分为-cos(x) + C：∫sin(x) dx = -cos(x) + C6. cos(x)的积分为sin(x) + C：∫cos(x) dx = sin(x) + C7. tan(x)的积分为-ln，cos(x)， + C：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C8. cot(x)的积分为ln，sin(x)， + C：∫cot(x) dx = ln，sin(x)，+ C9. sec(x)的积分为ln，sec(x) + tan(x)， + C：∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C10. csc(x)的积分为ln，csc(x) - cot(x)， + C：∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C广义积分：1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，则∫f(x) dx是有限的；2. 若f(x)在区间[a, b]上连续，则∫f(x) dx在该区间上是可积的；3. 若f(x)在区间[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c]f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx (分段积分)；导数和微分：1.y=f(x)在(x0,y0)处可导，则f(x)在该点连续；2. 若函数y = f(x)在区间[a, b]上可导，则y的增量Δy可以近似表示为Δy ≈ f'(x) Δx，即dy = f'(x) dx (微分近似)；3. 若函数y = f(x)在区间[a, b]上可导，则在该区间上y的微分dy满足dy = f'(x) dx (微分关系)；泰勒公式：1.f(x)在x=a处n阶可导，则f(x)可表示为泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)，其中Rn(x)为剩余项；拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]的内部连续，在(a,b)的内部可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)；柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在[a,b]的内部连续，在(a,b)的内部可导且g'(x)≠0，则存在c∈(a,b)使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]；罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]的内部连续，在(a,b)的内部可导，且f(a)=f(b)=0，则存在c∈(a,b)使得f'(c)=0；这只是一部分考研高等数学的重要公式，考生还需根据自己的需求和教材内容进行学习和整理。
常见的导数公式考研真题
常见的导数公式考研真题常见的导数公式考研真题在数学考研中，导数是一个重要的概念和工具。
导数公式的掌握程度直接影响到考生在解题过程中的速度和准确性。
在考研真题中，常常会涉及到各种导数公式的应用。
本文将通过分析一些常见的导数公式考研真题，来帮助考生更好地理解和掌握这些公式。
一、基本导数公式在考研数学中，最基本的导数公式是对常数、幂函数和指数函数的求导公式。
例如，对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0，这是因为常数函数的斜率始终为0。
对于幂函数f(x)=x^n，其导数为f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数。
对于指数函数f(x)=a^x，其导数为f'(x)=a^xlna，其中a为常数。
在考研真题中，常常会出现对这些基本函数进行求导的题目。
例如，有一道题目要求求函数f(x)=3x^4-2x^3+5x^2的导函数。
根据幂函数的导数公式，我们可以得到f'(x)=12x^3-6x^2+10x。
二、复合函数的导数公式在考研数学中，复合函数的导数公式是一个常见的考点。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
例如，f(x)=sin(x^2)就是一个复合函数。
对于复合函数的求导，我们可以利用链式法则来进行计算。
链式法则的公式为：若y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则y的导数为dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
在考研真题中，常常会出现对复合函数进行求导的题目。
例如，有一道题目要求求函数f(x)=sin(x^2)的导函数。
根据链式法则，我们可以得到f'(x)=cos(x^2)2x。
三、反函数的导数公式在考研数学中，反函数的导数公式也是一个常见的考点。
反函数是指两个函数互为反函数，即一个函数的自变量和因变量与另一个函数的自变量和因变量对调。
例如，f(x)=sin(x)和g(x)=arcsin(x)就是互为反函数的例子。
对于反函数的求导，我们可以利用反函数的性质来进行计算。
考研数学一大纲导数与微分
考研数学一大纲导数与微分导数与微分是高等数学中重要的概念，也是考研数学一大纲的一部分。
理解和掌握导数与微分的相关知识对于考研数学的学习至关重要。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，旨在帮助考生全面理解与应用导数与微分。
一、导数的定义与性质弄清楚导数的定义是理解该概念的第一步。
在微积分中，导数表示了函数在某一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在区间[a, b]内某一点x0上的导数可由以下定义给出：f'(x0) = lim (h→0) [f(x0+h) -f(x0)] / h。
导数的性质是导数理论中的重要部分。
其中，基本导数公式如下：1. 常数函数导数为0：d/dx (c) = 0；2. 幂函数导数：d/dx (x^n) = nx^(n-1)；3. 指数函数导数：d/dx (e^x) = e^x；4. 对数函数导数：d/dx (lnx) = 1/x；5. 三角函数导数：d/dx (sinx) = cosx，d/dx (cosx) = -sinx。
二、微分的定义与性质微分是导数的一个重要应用。
在微积分中，微分表示了函数在某一点附近的局部线性近似。
定义中，对于函数f(x)，在区间[a, b]内某一点x0上的微分可由以下公式给出：dy = f'(x0)dx。
微分的性质如下：1. 乘法法则：d(uv) = u dv + v du；2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则dy=f'(u)g'(x)dx；3. 高阶导数：导数可以被多次求导，二阶导数记为f''(x)，依此类推；4. 隐函数求导：对于含有隐函数的方程，可以采用隐函数求导法进行求导数。
三、导数与微分的应用导数与微分在自然科学和社会科学中有广泛应用。
在数学上，导数与微分有助于解决极值问题、函数图像的绘制以及函数的近似计算等。
在实际应用中，导数与微分被广泛用于物理学的运动学、经济学的边际效应分析、生物学的模型建立等领域。
考研数学公式推导
考研数学公式推导考研数学是考研数学的基础科目之一，也是最重要的科目之一、在考研数学中，有许多公式是非常重要的，掌握这些公式不仅可以帮助你解题，还可以帮助你更好地理解数学知识。
在下面的文章中，我们将介绍一些常用的数学公式，包括公式的推导和应用。
一、导数公式1.基本导数公式设函数y=f(x)，若函数y=f(x)在点x处可导，则它在这个点的导数为f'(x)。
常用的导数公式如下：（1）常数的导数公式：(c)'=0，其中c为常数。
推导过程：设y=c，y'=f'(x)，求导得y'=0。
所以常数的导数等于0。
（2）幂函数的导数公式：(x^n)'=nx^(n-1)，其中n为常数。
推导过程：设y=x^n，y'=f'(x)，求导得y'=nx^(n-1)。
所以幂函数x^n的导数等于nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数公式：(a^x)'=a^xln(a)，其中a为常数且a>0，a≠1推导过程：设y=a^x，y'=f'(x)，求导得y'=a^xln(a)。
所以指数函数a^x的导数等于a^xln(a)。
2.复合函数的导数公式复合函数的导数公式是求解复杂函数导数的重要工具。
复合函数的导数公式如下：设复合函数y=f(g(x))，若函数g(x)在点x处可导，函数f(u)在u=g(x)处可导，则复合函数y=f(g(x))在这个点的导数为f'(g(x))g'(x)。
推导过程：设y=f(g(x))，y'=f'(x)，求导得y'=f'(g(x))g'(x)。
所以复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
二、积分公式1.不定积分公式（基本积分公式）不定积分是求解函数原函数的过程。
不定积分公式是求解不定积分的重要工具。
常用的不定积分公式如下：（1）基本积分公式：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n≠-1，C为常数。
高等数学考研(数学一)公式大全
高等数学公式大全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， ax x a a a x x x x x x x x x x a xxln 1)(logln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec cscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxCctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincostancot-α -sinα cosα -tan α -cot α 90°-α cosα sinαcot αtan α90°+α cosα -sinα -cot α -tan α 180°-α sinα-c osα -tan α -cot α180°+α -sinα -cosα tan α cot α 270°-α -cosα -sinα cot α tan α270°+α -cosα sinα -cot α -tan α 360°-α -sinα cosα -tan α -cot α 360°+αsinαcosαtan αcot α·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=± xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研求导公式
考研求导公式一、常见的求导公式1. 常数的导数为0：对于任意常数c，其导数为0。
2. 幂函数的导数：对于函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这意味着幂函数的导数是其指数减1乘以系数。
3. 指数函数的导数：对于函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
这意味着指数函数的导数是函数本身乘以常数ln(a)。
4. 对数函数的导数：对于函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这意味着对数函数的导数是常数1除以自变量x乘以常数ln(a)。
5. 三角函数的导数：对于函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)；对于函数f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)；对于函数f(x) = tan(x)，其导数为f'(x) = sec^2(x)。
这意味着三角函数的导数是其对应的导函数。
6. 反三角函数的导数：对于函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)；对于函数f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)；对于函数f(x) = arctan(x)，其导数为f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
这意味着反三角函数的导数是常数除以根号下被平方的自变量减去1。
二、应用求导公式的例子1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1在x = 2处的导数。
根据幂函数的导数公式，我们可以计算出f'(x) = 6x + 2。
将x = 2代入公式中，得到f'(2) = 6 * 2 + 2 = 14。
考研数学导数与微分祥解
则
(C 为常数)
2) 复合函数的微分法则:
结论: 无论u是自变量还是中间变量，形式总 是
这种特性称为一阶微分形式的不变性
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典型例题分析
题型一、已知导数求极限 解 原式=
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例2. 解 原式 =
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例3 解
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例4
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谢谢大家！
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由定义知:可微
2. 可微的充要条件
3. 函数 在点
4. 在点 且
处可导,
可微的充要条件是: 函 数
54..微可分导的与计可算微公的式关:系:
可微
可导
连续
有极限
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5.微分运算公式与法 则1)基本初等函数的微分公式
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2) 微分法则
1)微分的四则法则: 设 u(x) , v(x) 均可微 ,
的n-1阶导数的导数称为函数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地， 称为零阶导数， 称为一阶导数. 2.高阶导数的计算: 直接法和间
接法 (C为常数)
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(3)乘积 该公式称为莱布尼兹公式, 它和二项式公式有类似的记 3.高阶导数的基本公式
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五、几类特殊函数的导数 1. 隐函数求导法 直接求导法 2. 幂指函数的求导法 3. 幂指函数的求导方法有两 种: 4. 若幂指函数为 5. 方法1: 对数求导法，
法线的方程:
处切线的斜率.
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2.物理应用 瞬时速度:
瞬时加速度:
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九、微分的概念
1.定义设: 函数 在某区间内有定义, 及
在这个区间内, 如果 其中 是不依赖于
可表示为: 的常数,
考研数学求导公式总结
考研数学求导公式总结在考研数学中，求导是一个重要的概念和技巧。
求导通过计算函数在某一点的变化率，帮助我们研究函数的性质和解决实际问题。
本文将对考研数学常见的求导公式进行总结，并对其应用进行一定的解释和说明。
1. 常数函数求导对于常数函数c，其导函数为0。
这是因为常数函数的变化率为0，所以其导函数为0。
2. 幂函数求导对于幂函数f(x)=x^n，其中n是正整数，其导函数为f'(x)=n*x^(n-1)。
这是因为幂函数的导数与指数成正比关系。
3. 指数函数求导对于指数函数f(x)=a^x，其中a是常数且大于0且不等于1，其导函数为f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与自变量的对数成正比关系。
4. 对数函数求导对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a是常数且大于0且不等于1，其导函数为f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与自变量的倒数成正比关系。
5. 三角函数求导对于三角函数f(x)=sin(x)，其导函数为f'(x)=cos(x)。
对于f(x)=cos(x)，其导函数为f'(x)=-sin(x)。
对于f(x)=tan(x)，其导函数为f'(x)=sec^2(x)。
这是因为三角函数的导数有特定的规律。
6. 反三角函数求导对于反三角函数f(x)=arcsin(x)，其导函数为f'(x)=1/sqrt(1-x^2)。
对于f(x)=arccos(x)，其导函数为f'(x)=-1/sqrt(1-x^2)。
对于f(x)=arctan(x)，其导函数为f'(x)=1/(1+x^2)。
这是因为反三角函数的导数与自变量的关系有特定的规律。
7. 复合函数求导对于复合函数f(g(x))，其导函数可以使用链式法则求导。
链式法则可以将复合函数的导数转化为两个简单函数的导数之积。
具体来说，如果y=f(u)和u=g(x)，则有dy/du=f'(u)和du/dx=g'(x)。
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式一、导数的基本概念与意义导数是微积分学中的一个基本概念，表示函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数f"(x)可以用以下公式表示：f"(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx二、考研高阶导数公式概述在考研数学中，高阶导数是指二阶及以上的导数。
高阶导数在求解函数的极值、曲率、拐点等问题中具有重要意义。
以下为一些常见的高阶导数公式：1.二阶导数：f""(x) = lim(Δx→0) [(f"(x+Δx) - f"(x)) / Δx]2.三阶导数：f"""(x) = lim(Δx→0) [(f""(x+Δx) - f""(x)) / Δx]三、一阶导数的求解方法1.求导法则：对于基本初等函数及其复合函数，可以使用求导法则进行求解。
2.隐函数求导：对于隐函数y = f(x)，可以先求出显函数，然后对显函数求导。
3.参数方程求导：对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，可以先将参数方程转化为普通方程，然后对普通方程求导。
四、二阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数再求一次导数。
2.隐函数求导：对隐函数的一阶导数求导。
3.参数方程求导：对参数方程的一阶导数求导。
五、高阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数、二阶导数再求导。
2.利用导数的性质：如和差、积、商的导数公式。
六、导数在实际问题中的应用1.极值问题：求函数的极值点、极值、最值。
2.曲率问题：求曲线的曲率、曲率半径。
3.拐点问题：求函数的拐点。
4.实际问题：求质点运动的瞬时速度、加速度等。
七、总结与建议导数是考研数学中的重要知识点，掌握导数的求解方法及实际应用对于解题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际例题的结合，加强运算能力的培养。
高数考研重要公式
高数考研重要公式一、导数公式1. 常数的导数公式：若y=k (k为常数)，则dy/dx=0。
2. 幂函数的导数公式：若y=x^n（n为正整数），则dy/dx=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若y=a^x（a>0且a≠1），则dy/dx=a^x * ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：若y=log_a(x)（a>0且a≠1），则dy/dx=1/（x * ln(a)）。
5. 三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则dy/dx=cos(x)。
若y=cos(x)，则dy/dx=-sin(x)。
若y=tan(x)，则dy/dx=sec^2(x)。
若y=cot(x)，则dy/dx=-csc^2(x)。
若y=sec(x)，则dy/dx=sec(x) * tan(x)。
若y=csc(x)，则dy/dx=-csc(x) * cot(x)。
二、积分公式1. 常数的积分公式：∫k dx=kx+C （C为积分常数）。
2. 幂函数的积分公式：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C （n≠-1，C为积分常数）。
3. 指数函数与对数函数的积分公式：∫a^x dx = a^x / ln(a) + C （a>0且a≠1，C为积分常数）。
∫1/x dx = ln|x| + C （C为积分常数）。
4. 三角函数的积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C （C为积分常数）。
∫cos(x) dx = sin(x) + C （C为积分常数）。
三、极限公式1. 基本极限：lim(x→∞) [1+1/x]^x = elim(x→0) sin(x)/x = 1lim(x→0) (cos(x) - 1)/x = 02. 已知极限的运算法则：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x) （其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）3. 其他常用极限：lim(x→∞) [1 + 1/n]^n = elim(x→0) (e^x - 1)/x = 1l im(x→0) (a^x - 1)/x = ln(a) （a>0且a≠1）四、级数公式1. 等比级数求和公式：若|q|<1，∑(n=0→∞) ar^n=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
考研数学历年必考重难点：导数的定义
考研数学历年必考重难点：导数的定义
一、涉及的知识点及考查形式
可涉及导数的知识点有，导数和微分的概念，导数的几何意义、物理意义(数一、数二)、经济意义(数三)，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线、法线，倒数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式不变性。
导数定义一般以客观题(选择、填空题)形式考查，可以直接出题，也可以间接考查。
如导数定义，判断分段函数的可导性，已知可导求极限，单侧导数，求某点的导数，导数定义及极限保号性，讨论曲线性态等。
二、方法选择、试题链接
当题目中提到某点可导时，或用求导公式不好求某点导数时，要联想到导数的定义。
导数的三种定义式：。
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导数、微分1、利用导数定义求函数极限 如果)(/x f 存在)()()(lim/0x f x f x f =-+⇔→口口口注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同 例1设)(x f 在0x 点可导，求下列极限（1）hh x f h x f h 2)2()2(lim000--+→（2）设)]()([sin lim )(2x g tx g t x t x f t -+=∞→π，其中)(x g 有二阶导数，求)(/x f2、利用定义求函数的导数例2 (1) 设2//))(())(()(a x x f a x a f x -+-=ϕ，求)(//a ϕ解：由于)()(2))(()()(2////x f a x a x x f a f x -+-+=ϕ，则)()(///a f a =ϕ 故)](2))(([lim )()(lim)(/////x f a x x f ax a x a a x ax +-=--=→→ϕϕϕ，因为)(x f 在a x =处二阶可导，故)(x f 、)(/x f 在a x =处连续，即)()(lim a f x f ax =→、)()(lim //a f x f ax =→所以)(2)(//a f a =ϕ注意：函数)(x ϕ仅在a x =处存在二阶导数，故求)(//a ϕ时不能直接利用求导公式。
（2）设周期函数)(x f 的周期为5，)(x f 可导，如12)2()2(lim=--→xx f f x ，求曲线)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线方程。
解：因为函数)(x f 的周期为5，故)3()53()2(-=+-=f f f )3()53()2(x f x f x f --=+--=-而12)3()3(lim 2)2()2(lim00=-----=--→→x f x f x x f f x x 故2)3()3(lim 0=-----→xf x f x ，即2)3()3(lim )3(0/=-----=-→xf x f f x 所以)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线为)3(2)3(+=--x f y（3）设))((sin )(x f x F ϕ=，b a f ===)0(,0)0(,)0(//ϕϕ，求)0(/F解：xf x f x F x F F x x ))0((sin ))((sin lim 0)0()(lim)0(00/ϕϕ-=--=→→xx x x x f x f x )()()(sin )(sin )0())((sin lim 0ϕϕϕϕϕ⋅⋅-=→ab f x x f x =⋅=--⋅=→)0()0(0)0()(lim )0(//0/ϕϕϕ3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()(x g A x f y a x a x a x <=>分析:（1）当x>a )(//x f y = 当x<a )(//x g y =（2）当x=a a x A x f a y a x --=+→+)(lim)(/ax A x g a y a x --=-→-)(lim )(/（3）如B a y a y ==-+)()(// 则)(/a y 存在,且)(/a y =B.否则)(/a y 不存在（4）写出/y 的解析式例3（1）已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=)1ln(01sin )(2x x x x f 000>=<x x x ,求)(x f 的导数（2）设)(x f 在点0=x 可导，且()()x x f x F sin 1)(+=，求)(x F 在点0=x 可导的充要条件；（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=001)(1x x e xx f x,则)0(/f 是否存在（4）设)}(),({max )(2111x f x f x x <<-=ϕ，其中1)(1+=x x f ，22)1()(+=x x f ，求)(/x ϕ解：当01≤<-x 时，2)1(1+≥+x x ；当10<<x 时，2)1(1+<+x x ，故⎩⎨⎧<<+≤<-+=10)1(011)(2x x x x x ϕ101)1(lim )0(0=--+=-→-x x x ϕ 201)1(l i m )0(20=--+=+→+x x x ϕ 因为)0()0(+-≠ϕϕ，故)0(/ϕ不存在，即⎩⎨⎧<<+<<-=1022011)(/x x x x ϕ4、分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数已知⎩⎨⎧=)()()(x g x f x y ax ax <≥在a x =处可导,求)(x y 中的待定系数 分析：（1）)(x y 在a x =处可导,则在a x =处连续,即)()(lim )(lim a f x g x f ax ax ==-→+→﹡（2）求a x a f x f a y ax --=+→+)()(l i m)(/,ax a f x g a y a x --=-→-)()(lim )(/,而)()(//a y a y -+= ﹟（3）由﹡和﹟,求待定系数例4已知⎩⎨⎧+=b ax e x y x )( 0≥<x x 在0=x 处可导, 求a,b5、求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()()(x g A x f x y a x a x a x <=>,求)(/x y ,并讨论)(/x y 的连续性分析:（1）先求)(/x y (见求导数部分)（2）然后讨论)(/x y 在定义域内的连续性例5设2, 0()ln(1), 0ax bx c x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩ 问如何选取a ,b ,c 才能使f (x )处处具有一阶连续导数，但在x =0处却不存在二阶导数。
6、利用导数求函数例6（1）设f (x )在（0，+∞）内有定义，且(1)(0)f a '=≠，又对,(0,)x y ∀∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，求)(/x f解：令1==y x ，有)1()1()1(f f f +=得0)1(=f [1]而)1()()1()1(xf x f f x x f +==⋅ [2]，由[1]、[2]得)1()(xf x f -=xx xf x x f x x f x x f x x f x f x x x ∆∆+=∆+∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆)1(lim )1()(lim )()(lim )(000/ xa x f x xx f x x f x f x x f x x =⋅=⋅∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆1)1(1)1()1(l i m )1()1(l i m /00注意：有乘积的，一般令x 、y 互为倒数（2）设函数)(x f 满足等式)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f解：令1=x ，0=x 则)0()1(1)0()1()1(f f f f f -+=有0)1)1()(0(2=+f f 得0)0(=f [1]令x y -= 有)()(1)()()()0(x f x f x f x f x x f f ---+=-= [2]由[1]、[2]得)()(x f x f --=xx f x x f x x f x x f x f x x ∆-+∆+=∆-∆+=→∆→∆)()(lim )()(lim )(00/)]()(1[)(lim )]()(1)[(lim00x f x x f xx f x x f x x f x f x x ∆++⋅∆∆=∆-∆+-∆=→∆→∆ )](1[)0()]()(1[lim )0()(lim2/00x f f x f x x f x f x f x x +⋅=∆++⋅∆-∆=→∆→∆ 有⎰⎰=+dx f dx x f x f d )0()(1)]([/2 得c x f x f +=)0()(arctan /令0=x 得0=c 即])0(tan[)(/x f x f ⋅=注意：有和的，一般令x 、y 互为相反数；有差的，一般令x 、y 相等 7、已知方程0)(=x f 在],[b a （或),(b a ）上有若干个根，求待定系数λ的范围 方法：（1）令)(x f y =并求)(//x f y =（2）当待定系数λ满足条件P 时，0)(/>x f （或0)(/<x f ），此时)(x f y =在],[b a （或),(b a ）上单调，考察)()(b f a f 的正负性，判断)(x f y =是否有唯一根（3）找0)(/=x f 和)(/x f 不存在的点，再分区间讨论例7设0>x 时，方程112=+x ax 有且只有一根，求a 的范围 解：（1）当0=a 时，1=x 是方程的唯一根（2）令11)(2-+=x ax x f 则3/1)(xa x f -=当0<a 时，0)(/<x f 即)(x f 为单调递减函数，+∞=-+=+→+)11(lim )0(20xax f x -∞=-+=+∞+∞→)11(lim )(2x ax f x 故此时11)(2-+=x ax x f 在0>x 时有唯一的根 （3）当0>a 时，令0)(/=x f 即013=-x a 得31ax =320a x <<时 0)(/<x f ，)(x f 为减函数；32ax >时 0)(/>x f ，)(x f 为增函数 又因为+∞=-+=+→+)11(lim )0(20x ax f x+∞=-+=+∞+∞→)11(lim )(2x ax f x 令01)2(2)2(333=-+=aa a a f 得392=a 故只有0≤a 或392=a 时方程有唯一的根 8、求含有待定系数的方程在区间上的根的个数 例8（1）09323=+--h x x x解：令h x x x x f +--=93)(23则963)(2/--=x x x f 由963)(2/--=x x x f =0 得11-=x ，32=x当1-<x 时，0)(/>x f ；当31<<-x 时，0)(/<x f ；当3>x 时，0)(/>x f-∞=+--=-∞-∞→)931(lim )(323x h x x x f x ；+∞=+--=+∞-∞→)931(lim )(323x hx x x f xh f +=-5)1( h f +-=27)3(当27>h 时，有唯一根在)1,(--∞上；当5-<h 时，有唯一根在),3(+∞上；当275<<-h 时，有三个根分别在)1,(--∞，)3,1(-，),3(+∞上 （2）kx x =ln解：令kx x x f -=ln )( 则k xx f -=1)(/（1）当0<k 时，0)(/>x f ，即)(x f 为增函数因为-∞=-=++→)(ln lim )0(0kx x f x ；+∞=-=+∞+∞→)(ln lim )(kx x f x 此时kx x =ln 有一根（2）当0=k ，有一根1=x （3）当0>k ，由01)(/=-=k x x f 得kx 1= k x 10<<时，0)(/>x f ；kx 1>时，0)(/<x f 因-∞=-=++→)(ln lim )0(0kx x f x ；-∞=-=+∞+∞→)(ln lim )(kx x f x ；1ln )1(--=k kf 01ln =--k ，即1-=e k 时有一根；01ln >--k ，即10-<<e k 时有两根17求函数的单调区间和极值（最值）[1]方法：（1）确定函数)(x f y =的定义域D（2）求)(/x f ，在D 内求出)(/x f 不存在的点和0)(/=x f 的点 （3）判断这些点左右的增减性（4）求极值（5）再考虑函数)(x f y =在D 的端点处的取值，最终确定最值 例9（1）设x bx x a x f ++=2ln )(在11=x 和22=x 两点处取得极值，求b a ,解：12)(/++=bx xax f 因为函数)(x f 在11=x 和22=x 两点处取得极值，故 0)1(/=f 0)2(/=f 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014212b ab a 得32-=a 61-=b （2）设nx nx x f )1()(-=（N n ∈），记)(max )(]1,0[x f n M x ∈=求)(lim n M n ∞→解：12/)1()1()(----=n n x x n x n x f令0)(/=x f 即0)1()1(12=----n nx x n x n 得11+=n x 因为0)1()0(==f f 而1)1()11(++=+n nn n f 故1]1,0[)1()(max )(+∈+==n x nn x f n M ，即11)1(lim )(lim -+∞→∞→=+=e n n n M n n n(3) 设可导函数)(x f y =由3223323=+-y xy x 所确定，讨论)(x f 的极值解：两边对x 求导有 06633/2/22=+--y y xyy y x 得yy x y 2/+=令0/=y 得x y -=把x y -=代入原方程有2-=x ，2=y求//y ，因为041|22//>==-=y x y ，所以)(x f 在2-=x ，2=y 处有极小值（4）求数列})21({12+n n 中的最大项(提示：令12)21()(+=x x x f )（5）设函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x x x x x f x ，问x 为何值时，)(x f 取极值（提示：对每一段和分段点讨论） （6）求函f(x)=⎰+--xdt t t t 02112在[0，2]上的最大值与最小值。