2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题19 同角三角函数基本关系式及诱导公式 含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题19同角三角函数基本关系式及诱导公式

最新考纲

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x

cos x

＝tan x .

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2

±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

基础知识融会贯通

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：

sin αcos α＝tan α(α≠π

2

＋k π，k ∈Z )． 2．三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六

【知识拓展】

1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π

2

的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

重点难点突破

【题型一】同角三角函数关系式的应用

【典型例题】

α是第四象限角，tanα，则sinα＝（）

A．B．C．D．【解答】解：∵α是第四象限角，，

∴cosα，

∴sinα．

故选：B．

【再练一题】

已知，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（）A．B．﹣2 C．D．

【解答】解：∵，

∴sin2θ+cos2θ＝（）2+（）2＝1，

解得：a＝0，或a＝4，

∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．

∴a＝4，

∴可得：sinθ，cosθ，tanθ．

故选：C．

思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin α

cos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

【题型二】诱导公式的应用

【典型例题】

已知，则cos（60°﹣α）的值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α），

故选：C．

【再练一题】

已知，则（）

A．5 B．﹣5 C．D．

【解答】解：∵，

∴2，解得：tanα＝﹣5，

∴．

故选：C．

思维升华(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算．

【题型三】同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

【典型例题】

已知cos（α），|α|，则tanα等于（）

A．﹣2B．2C．D．

【解答】解：∵cos（α）＝﹣sinα，|α|，

∴sinα，cosα，

∴tanα2．

故选：A．

【再练一题】

已知，θ在第四象限，则．

【解答】解：∵，θ在第四象限，

∴sinθ，

∴sinθ．

故答案为：．

思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．

基础知识训练

1．【河北省深州中学2018-2019学年高一下学期期末考试】若tan3

α=，则（）A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】

因为tanα＝3，所以cosα0

≠

所以：.

故选B.

2．【四川省凉山州2018-2019学年高一上学期期末检测】已知α是第三象限角，

5

tan

12

α=，则sinα=（）

A．1

5

B．

1

5

-C．

5

13

D．

5

13

-

【答案】D

【解析】

∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，

得sinα

5

13 =-，

故选：D．

3．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知，则2

sinα等于（）

A．24

25

B．

4

5

C．

4

-

5

D．

24

-

25

【答案】D

【解析】

解：∵，

∴两边平方可得：，

∴ 即

故选：D .

4．【甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高一下学期第二次段考】的值是

（ ）

A ．

5

4

B C ．

32

D ．13

+

【答案】A 【解析】

.

故选A. 5．若

，则tan θ=（ ）

A ．

B ．

C

D 【答案】C 【解析】 由题设可得，即

．

故选C ．

6．若角θ的终边经过点(1,2)-，则

( )

A ．2

B ．12

-

C ．2-

D ．

12

【答案】C 【解析】 由诱导公式可得

，

又角θ的终边经过点(1,2)-，