高考复习数学(江苏版)第2章 第7课 课时分层训练7
苏教版(2019)高中数学必修第一册第2章 2.1 命题、定理、定义
31
C [分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论． 如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝… ＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符 合M中元素的要求； 如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝ 12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求． 综上，M中元素的个数为11＋4＝15．故选C ．]
16
判断一个语句是否是命题的两个关键点 1命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感 叹句等都不是命题. 2对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判 断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题. 提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不 是命题.
17
[跟进训练] 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数； (2)x2－3x＋2＝0； (3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (5)一个数不是奇数就是偶数； (6)2030年6月1日上海会下雨．
数；④x>2；⑤2020央视春晚真精彩啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不 能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]
12
3．把命题“末位数字是0的整数一定能被5整除”改写成“若
p，则q”的形式为
．
[答案] 若一个整数的末位数字是0，则它一定能被5整除
13
合作 探究 释疑 难
14
命题的判断 【例1】 (1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0
高考一轮江苏数学文练习第2章 第5课 课时分层训练5 含答案
课时分层训练(五)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.]2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1. 所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0. 当x <1时，f (x )＝2x ∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎨⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2(a －2)，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】 b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)，即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·苏州模拟)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．[解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·泰州模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎨⎧a2≥2，(2)2－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.]3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
江苏新高考增补教材第二章
第二章正态分布第一课时正态分布【课标要求】1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。
通过实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.【考情分析】本节内容在高考中主要是以客观题为主，了解正态分布曲线的特点及其所表示的意义；利用正态分布解决实际问题.正态密度曲线函数f(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2x∈(－∞，＋∞)的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数(σ＞0，μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．正态密度曲线图象的性质特征(1)当x＜μ时，曲线________；当x＞μ时，曲线________；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为________；(2)正态曲线关于直线________对称；(3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________；(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为________．正态分布若X是一个随机变量，对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)，恰好是正态曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数μ和σ2的正态分布，简记为________，正态分布________称为标准正态分布．μ是随机变量X的________，σ2是随机变量X的________．3σ原则随机变量X～N(μ，σ2)，则随机变量X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为________．落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为________．落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为________．【知识导图】已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为() A．1 B. 3C．2 D．4设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－（x－10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图2-1-1所示，则有()图2-1-1A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X＞4)＝() A．0.158 8 B．0.158 65C．0.158 6 D．0.158 5正态变量的概率密度函数f(x)＝12πe－（x－3）22，x∈R的图象关于直线__________对称，f(x)的最大值为__________．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__________．考点一正态曲线如图2-1-2所示为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|x－72|＜20)．图2-1-2，这两点利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x＝μ与最值12πσ确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．如图2-1-3所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．图2-1-3在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为__________．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100，100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80，120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．本题考察正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是注意利用正态曲线的对称性．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布N(50，102)，求他在(30，60)分内赶到火车站的概率．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．【A组】基础篇一、单项选择题已知ξ～N(0，62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8若随机变量ξ～N(2，100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90，110]B ．(95，125]C ．(100，120]D ．(105，115] 二、多项选择题对于正态分布N (0，1)的概率密度函数f (x )＝12πe －x 22，有下列四种说法正确的是( )A. f (x )为偶函数B. f (x )的最大值为12πC. f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增D. f (x )的图象关于x ＝1对称已知正态分布N (μ，σ2)的密度曲线是f (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 的图象．下列说法正确的是( )A ．对任意x ∈R ，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立B ．如果随机变量X 服从N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数C ．如果随机变量X 服从N (108，100)，那么X 的期望是108，标准差是100D ．随机变量X 服从N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p三、填空题如图2-1-4所示，是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是__________．图2-1-4已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X ＜3)＝__________.设一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )＝12πσe －（x －10）28的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________，σ2＝__________.设随机变量X 服从正态分布N (2，9)，若P (X ＞c ＋1)＝P (X ＜c －1)，则c 等于__________．四、解答题已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90，100)． (1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？【B 组】 提升篇一、单项选择题已知随机变量X 服从正态分布N (4，62)，P (x <5)＝0.89，则P (x ≤3)＝( ) A ．0.89 B ．0.22 C ．0.11 D ．0.78在如图2-1-5所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1，1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为( )图2-1-5A ．1 193B ．1 355C ．2 718D ．3 413 二、多项选择题设X ～N (0，1)．下列表述正确的有( ) A ．P (X ＜0)＝0.5B ．已知P (－1＜X ＜1)＝0.682 6，则P (X ＜－1)＝0.158 7C ．已知P (－2＜X ＜2)＝0.954 4，则P (X ＜2)＝0.045 6D ．已知P (－3＜X ＜3)＝0.997 4，则P (X ＜3)＝0.998 7给出下列函数，则可以作为正态分布密度函数的有( )A ．f (x )＝12πσe －（x ＋μ）22σ2B ．f (x )＝12πe －（x －μ）24C ．f (x )＝122πe －x 24D ．f (x )＝1πe －(x －μ)2三、填空题设随机变量ξ～N (2，2)，则V ⎝⎛⎭⎫12ξ＝__________.在一次测试中，测试结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ＞0)，若X 在(0，2)内取值的概率为0.2，则P(0＜X＜4)＝________；P(X＞4)＝__________.四、解答题某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？。
高考复习数学(江苏版)第2章 第9课 课时分层训练9
课时分层训练(九)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]2．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________.【导学号：62172050】(－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]3．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [由log 23(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]4．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．a ＝b ＞c [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]5．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图9-4所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)图9-4① ② ③ ④② [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3. 选项①，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，错误； 选项②，y ＝x 3符合；选项③，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； 选项④，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是________.【导学号：62172051】5 [由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.]7．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(2,4)上单调递增，则a 的取值范围是____________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由函数y ＝log 2(ax －1)在(2,4)上单调递增，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ·2－1＞0， 解得a ＞12，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]8．(2017·苏锡常镇调研二)已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (log 1a 3)>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172052】(0,1)∪(3，＋∞) [∵f ′(x )＝3x 2＋2>0， ∴f (x )为R 上的递增函数， 又f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．由f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1a 3>0得f (1)>－f (log 1a 3)＝f ()log a 3， ∴log a 3<1，即a >3或0<a <1.]9．(2017·盐城期中)设函数f (x )＝lg(x ＋1＋mx 2)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0， ∴lg(－x ＋1＋mx 2)＋lg(x ＋1＋mx 2)＝lg(1＋mx 2－x 2)＝0，∴(m －1)x 2＝0，即m ＝1.]10．(2017·无锡期中)若函数f (x )＝ln|x －a |(a ∈R )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )在(－∞，m )单调递减，则实数m 的最大值等于________．3 [由f (3＋x )＝f (3－x )可知，f (x )关于x ＝3对称，又f (x )＝ln|x －a |的图象关于x ＝a 对称，所以a ＝3，结合题意可知，实数m 的最大值为3.] 二、解答题11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．[解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)＞－2. 【导学号：62172053】 [解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12(－x )，x ＜0.(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知点(n ，a n )(n ∈N ＋)在y ＝e x 的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n ＞k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是________．10≤k ＜15 [因为点(n ，a n )在y ＝e x 的图象上，所以a n ＝e n ，所以T n ＝ln(e 1e 2…e n)＝n (n ＋1)2，由n (n ＋1)2＞k 时n 的最小值为5，即⎩⎨⎧5(5＋1)2＞k ，4(4＋1)2≤k ，解得10≤k ＜15.]2．(2017·南京模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)， ∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1， ∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)证明：f (x )为奇函数，由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1，所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)． 4．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.。
高考复习数学(江苏版)第2章 第8课 课时分层训练8
课时分层训练(八)A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．已知，则a ，b ，c 的大小关系为________．b ＜c ＜a [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数，35＞25，∴b ＜c . 又∵y ＝x 在(0，＋∞)上为增函数，35＞25，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a .]2．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]3．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．m ＞n [∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n .]4．(2017·无锡期中)若函数y ＝4x ＋a 2x 的图象关于原点对称，则实数a 等于________. 【导学号：62172044】－1 [由题意可知函数y ＝4x ＋a 2x 为奇函数，故由40＋a 20＝1＋a ＝0得a ＝－1.]5．(2017·盐城模拟)不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＋x －1>1的解集是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 [由⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＋x －1>1得2x 2＋x －1<0，解得－1<x <12.] 6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12， 即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.] 7．已知函数f (x )＝a x ，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于________. 【导学号：62172045】1 [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.]8．(2017·苏州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0，若f (a )＞f (1)，则实数a 的取值范围是________．{a |a ＜－1或a ＞1} [当a ＞0时，由f (a )＞f (1)得2a －4＞21－4，解得a ＞1. 当a ＜0时，由f (a )＞f (1)得－a －3＞21－4，即a ＜－1.综上可知a ＜－1或a ＞1.]9．(2017·镇江期中)若4x －5×2x ＋6≤0，则函数f (x )＝2x －2－x 的值域是________. 【导学号：62172046】⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，83 [由4x －5×2x ＋6≤0得2≤2x ≤3， 令2x ＝t ，则t ∈[2,3]，∴f (t )＝t －1t .又f (t )在[2,3]上单调递增，故f (2)≤f (t )≤f (3)，即f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，83.] 10．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．0 [当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.]二、解答题11．求不等式a 2x －7＞a 4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围． [解] 设y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，若0＜a ＜1，则y ＝a x 为减函数，∴a 2x －7＞a 4x －1⇔2x －7＜4x －1，解得x ＞－3；若a ＞1，则y ＝a x 为增函数，∴a 2x －7＞a 4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3.综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)；当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3)．12．已知函数f (x )＝12x－1＋a 是奇函数． (1)求a 的值和函数f (x )的定义域；(2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. 【导学号：62172047】[解] (1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即(1－a )2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a1－2x ，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12.又2x －1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3)．由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式是________．(填序号)③④ [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2017·苏州模拟)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． e [由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝{e x ，x ≥1，|x －2|，x ＜1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x ＜1时，f (x )＞e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.]3．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x，x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．法一：记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a >0.法二：方程2ax 2－x －1＝0可化为a ＝x ＋12x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－18， ∴a 的范围即为函数g (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－18在(0，＋∞)上的值域． 所以，a >0.4．(2017·南通第一次学情检测)已知函数f (x )＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )．(1)当λ＝1时，试判断函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)若不等式f (x )≤6在x ∈[0,2]上恒成立，求实数λ的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 为偶函数．证明：函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 的定义域为R ， λ＝1时，f (x )＝3x ＋3－x ，f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 为偶函数．(2)由f (x )≤6得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x ＋λ3x ≤6，令t ＝3x ⎝⎛⎭⎫t ∈[]1，9，原不等式等价于t ＋λt ≤6在t ∈[1,9]上恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 在t ∈[1,9]上恒成立．令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]， 当t ＝9时g (t )min ＝g (9)＝－27，所以λ≤－27.。
高考复习数学(江苏版)第1章 第2课 课时分层训练2
课时分层训练(二)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的________条件．必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：62172008】2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]5．“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.【导学号：62172009】充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]6．给出下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中为真命题的是________．(填序号)③④[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]7．(2017·金陵中学期中)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)必要不充分[当a>2且b>2时，a＋b>4.但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．]8．“sin α＝cos α”是cos 2α＝0的________条件．充分不必要[∵cos 2α＝cos2α－sin2α，∴若sin α＝cos α，则cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．] 9．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________.【导学号：62172010】若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 [“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．]10．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.] 二、解答题11．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解] (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围. 【导学号：62172011】[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”)必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数”，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之若f (x )＝x 2，则y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1＞－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.[证明] 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b＋c ＝0.4．(2017·南通第一次学情检测)已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－c 2的最小值不大于－116.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取值范围．[解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，所以p 为真时，0<c <1；q 为真时，－c 2≤－116，所以c ≤－14或c ≥14，因为c >0，所以c ≥14.因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，c ≥14，解得14≤c <1，所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。
江苏省高考数学二轮复习课时正文 教案 学案 课后训练
目录专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1第2讲函数、图象及性质3第3讲基本初等函数5第4讲函数的实际应用7第5讲不等式及其应用9第6讲导数及其应用11滚动练习(一)13专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质15第8讲三角变换与解三角形17第9讲平面向量及其应用19滚动练习(二)21专题三数列第10讲等差数列与等比数列23第11讲数列求和及其综合应用25滚动练习(三)27专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用29第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)31滚动练习(四)33专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积35第15讲点、直线、平面之间的位置关系37滚动练习(五)39专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计41第17讲算法、复数43滚动练习(六)45专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想47第19讲函数与方程思想49第20讲数形结合思想51第21讲转化与化归思想53滚动练习(七)55专题八高考数学题型训练第22讲高考题中的填空题解法57第23讲高考题中的解答题解法59滚动练习(八)61专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲 集合与简单逻辑用语1. 命题“，有x 2>0”的否定是______________．2. 已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x|log 2x ＞1}，则M ∩N ＝________.3. 若命题“∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．4. 若集合A ＝{y|y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝{y|y ＝2－1x ，0<x ≤1}，则A ∩B ＝________.5. 已知a ，b 均为实数，设集合A ＝xa ≤x ≤a ＋45，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪b －13≤x ≤b，且A 、B 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集．如果把n －m 叫做集合{x|m ≤x ≤n}的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是________.6. 已知条件p ：x 2＋x －6<0，条件q ：mx ＋1>0(关于x 的不等式)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________________．7. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8. 设集合M ＝{(x ，y)|y ＝16－x 2}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋a}，若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______________．9.记函数f(x)＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g(x)＝lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B. (1) 求集合A ； (2) 若求实数a 的取值范围．10. 已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．第2讲函数、图象及性质1. 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)＝f(x＋2)恒成立，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则当x∈[2,3]时，函数f(x)的解析式为____________．2. 函数y＝xx－m在区间(1，＋∞)内是减函数，则实数m的取值范围是________.3. 若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.4. 定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数a的取值范围为________．5. 函数f(x)＝|x－2|－1log2(x－1)的定义域为________．6. 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f(x)，若f(2)＝12，则f(2 012)＝________.7. 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的值为________．8. 已知t为实常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝________.9. 已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[－1,1](a∈R)．(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 判断g(x)的单调性；(3) 若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．10.设函数f(x)对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2，(1) 求证：f(x)是奇函数；(2) 试问在－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说明理由．第3讲 基本初等函数1. lg 22＋lg2lg5＋lg50＝________.2. y ＝log a (2－ax)(a>0，a ≠1)在[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．3. 不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________.4. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必过定点坐标为________.5. 函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________.6. 函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a]，则f(x)的值域为________．7. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是________．8. 函数y ＝log a x ＋1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn>0)上，则1m ＋1n的最小值为________．9. 已知函数f(x)＝12p x2－x＋3在区间[－1,2]上的最大值M，最小值m，当实数p为何值时2M＋m＝3.10.函数f(x)＝log a(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y＝f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y＝g(x)图象上的点．(1) 写出函数y＝g(x)的解析式；(2) 当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围．第4讲 函数的实际应用1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f(x)＝2，则x ＝________.2. 一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本________．3. 方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的一根在(0,1)内，另一根在(2,3)内，则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f(x)＝a x －x －a (a>0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．5. 某公司将进价8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应定为每个________元．6. 已知函数f(x)＝ax ＋2a ＋1，当x ∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a 的取值范围是________________．7. 函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.8. 设函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c ，则下列命题中所有正确命题的序号是________．①当b<0时，f(x)在R 上有最大值；②函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；③方程f(x)＝0可能有4个实根；④一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，(a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f(x)≤18(x ＋2)2成立．(1) 证明：f(2)＝2；(2) 若f(－2)＝0，求函数f(x)的表达式；(3) 在(2)的条件下，设g(x)＝f(x)－m2x ，x ∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m 的取值范围．10.有时可用函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，(x ≤6)，x －4.4x －4，(x>6)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1) 证明：当x ≥7时，掌握程度的增加量f(x ＋1)－f(x)总是下降；(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e 0.05≈4139)第5讲 不等式及其应用1. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R )的部分对应值如下表，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是________.2. 已知关于x 的不等式ax ＋b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是________．3. 若变量x ，y 满足约束条件{ 3≤2x ＋y ≤9，≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．4.已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为________．5.若x>0，y>0且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是________．6.当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．7.已知变量x ，y 满足约束条件{ x －y ＋2≤0，≥1，＋y －7≤0，则yx的取值范围是________．8. 对一切正整数n ，不等式2x －1|x|>nn ＋1恒成立，则实数x 的取值范围是________．9. 某隧道长2 150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身长都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x 米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x 米的距离，其中a 为常数且12≤a ≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) .(1) 将y 表示为x 的函数；(2) 求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．10.已知函数f(x)＝3x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋mx －2在(2，＋∞)上单调增，求实数m 的取值范围； (3) 若对于任意的x ∈[－2,2]，f(x)＋n ≤3都成立，求实数n 的最大值．第6讲导数及其应用1. 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________________．(第2题)2. 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.3. 曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________．4. 设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，在P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.5. 已知函数f(x)＝lnx＋2x2＋ax＋1是单调递增函数，则实数a的取值范围是________6. 已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m ＝________.7. 若方程x3－3x＋a＝0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是________．8. 已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0 成立，则实数a＝________.9. 设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(1) 用t表示a，b，c；(2) 若函数y＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，求实数t的取值范围．10.已知a>0，b∈R，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)，g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间[－1，＋∞)上恒成立．(1) 求实数b的取值范围；(2) 当b取最小值时，讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－1，＋∞)上的单调性．滚动练习(一)1. 幂函数f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f(8)＝________.2. 命题“x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．3. 已知函数f(x)＝{ －x ＋1，x<0，，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是________．4. 函数f(x)＝xx ＋1的最大值为________．5. 函数f(x)＝12ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)＋1x的定义域为________．6. 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．7. 对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax>4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________．8. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则实数a ＝________.9. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．10. 设a>1，对于任意的x ∈[a,2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值范围为________．11. 如果条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．12. 设二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋a ，方程f(x)－x ＝0的两实根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1.(1) 求实数a 的取值范围；(2) 试比较f(0)·f(1)－f(0)与116的大小 ，并说明理由．13.水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V(t)＝⎩⎨⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1) 该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i －1<t<i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，同一年内哪几个月份是枯水期？(2) 求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)．14.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1x ，x ∈[－2，－1)，－2，x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12，－1x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2. (1) 求f(x)的值域；(2) 设函数g(x)＝ax －2，x ∈[－2,2]，若对于任意x 1∈[－2,2]，总存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，求实数a 的取值范围．专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质1. 把函数y ＝sinx(x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.3. 已知函数f(x)＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________.4. 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得到的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．5. 方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0一定有解，则实数a 的取值范围是________．(第6题)6. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值等于________．7. 设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎫π2x ＋π5，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．8. 定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cosx 的图象与y ＝5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．9. 已知函数f(x)＝－acos2x －23asinx·cosx ＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求实常数a 、b 的值．10.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求函数f(x)的最值．第8讲 三角变换与解三角形1. 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα＝________.2. 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝________.3. 若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝________.4. 已知α是第三象限角，且sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，则sin2α的值是________．5. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cosC ，则tanC tanA ＋tanCtanB ＝________.6. 设sinα＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值等于________.7. 在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cosC ＝1314，则最大内角的余弦值为________．8. 在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c)2，则sinA ＝________.9. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1) 求△ABC 的周长； (2) 求cos(A －C)的值．10.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，且cosA ＝45.(1) 求sin 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2) 若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．第9讲 平面向量及其应用1. 已知向量a ＝(3,4)，b 满足a ·b ＝0且|b |＝1，则b ＝________.2.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.4.O 为△ABC 中的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________.5.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.6. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.7.设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为________．8. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AmB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．(第8题)9. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cosA ，sinA)，且m ·n ＝0，(1) 求角A;(2) 若1＋sin2Bcos 2B －sin 2B ＝－3，求tanC.10.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝13，∠ADC ＝90°，且AB →·AC →＝50. (1) 求sin ∠BAD 的值；(2) 设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求S △ABD S △BCD的值．(第10题)滚动练习(二)1. 设集合M ＝{m ∈Z |－3<m<2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝________.2. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x 3－2x ＋1，则f(1)＝________.3. cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4. 函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．5. 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．6. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.7. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．8. “m ＝－2”是函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是________.10. 已知函数f(x)＝x 2－cosx ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 21>x 22；③|x 1|>x 2；④x 1>|x 2|.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是________．(填上所有的可能情况)11. 已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0.(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12.已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．13.△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA ＝1213.(1) 求AB →·AC →；(2) 若c －b ＝1，求a 的值．14. 直角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，分别在AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．(第14题)专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值时的n 值是________．4. 等比数列{a n }的公比q>0, 已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.5. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．7. 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________.8. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.9. 已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n＝b12＋b222＋…＋b n2n，求数列{b n}的前n项和S n.10.已知数列{a n}和{b n}满足：a1＝1，a2＝2，a n>0，b n＝a n a n＋1(n∈N*)，且{b n}是以q为公比的等比数列．(1) 证明：a n＋2＝a n q2；(2) 若c n＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{c n}是等比数列；(3) 求和：1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋…＋1a2n－1＋1a2n.第11讲 数列求和及其综合应用1. 数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)的前n 项和为________．2. 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝________.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________T 16T 12成等比数列．4. 等差数列前p 项的和为q ，前q 项的和为p ，(p ≠q)则前p ＋q 项的和为________．5. 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n }的通项公式b n＝________.6. 设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为________．7. 数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a)n ＋6＋2a(其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是________．8. 数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3，其前n 项和为S n ，则S 30＝________.9. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(1＋λ)－λa n ，其中λ≠－1,0. (1) 证明：数列{a n }是等比数列；(2) 设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝12，b n ＝f(b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求数列{b n }的通项公式；(3) 记λ＝1，c n ＝a n ⎝⎛⎭⎫1b n－1，求数列{c n }的前n 项和T n .10.已知数列{a n }的首项为a(a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a(t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求实数a 的取值范围；(3) 当t ≠1时，若c n ＝2＋∑i ＝1nb i ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t)．滚动练习(三)1. 设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{1,3}，则(A ∪B)＝________.2. 设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝csinC ，那么∠A＝________.3. 在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝60，则2a 9－a 10的值为________．4. 若函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为________.5. 若函数f(x)＝xmx 2＋mx ＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．6. 已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －9≤0，则z ＝x ＋y 的最大值是________．7. 函数y ＝x －2cosx 在(0,2π)内的单调减区间为________.8. 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，b －a)，n ＝(a －c ，b)，若m ⊥n ，则∠C 等于________．9. 已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0，－2)，B(－3,2)是其图象上的两点，那么不等式|f(x －2)|>2的解集是________．10. 已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －t (a n ≥t )，t ＋2－a n (a n<t )，且t<a 1<t ＋1，其中t>2，a n ＋k ＝a n (k ∈N *)，则实数k 的最小值是________．11.设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x ＋π)cosx(x ∈R )． (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函数y ＝f(x)的图象向右平移π4个单位后再向上平移32个单位得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．12.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1) 求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2) 设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M进行更新，证明：须在第9年初对M 进行更新．13.已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若x ＝23时，y ＝f(x)有极值．y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010. (1) 求a ，b ，c 的值；(2) 求y ＝f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且－1，S n ，a n ＋1成等差数列，n ∈N *，a 1＝1.函数f(x)＝log 3x.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与512－2n ＋5312的大小．专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用1.过点(1，－2)且倾斜角是120°的直线方程是________________．2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．3.若圆心在x轴上、半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________________．4.点(2,3)到圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点的距离的最大值是________．5.已知圆x2＋y2－2x－2y＝0上恰有3个点到直线x＋y＋a＝0的距离等于22，则实数a＝________.6.若直线y＝kx－2与圆x2＋y2＝2相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，实数k的值为________．7.若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．8.已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2与圆C1外切，且与直线x＝3切于点(3,1)，则圆C2的方程为________________．9. 已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆经过原点O ，且分别交x 轴，y 轴于点A ，B.点A ，B 与点O 不重合．(1) 求证△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，OM ＝ON ，求圆C 的方程．10.已知过点A(0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，相交于M 、N 两点．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 求证：AM →·AN →是定值；(3) 若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1. 抛物线x ＝4y 2的焦点坐标是________．2.离心率为53，一条准线方程为x ＝3，中心在坐标原点的椭圆方程是________．3.若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．4.已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x －y ＝0，则该双曲线的标准方程为________．5.△ABC 中，A(－2,0)，B(2,0)，且AC 、AB 、BC 成等差数列，则点C 的轨迹方程是________________.6.已知直线mx ＋ny ＝2(m>0，n>0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，当1m ＋2n 取最小值时，双曲线x 2m 2－y 2n2＝1的离心率是________．7.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C 在双曲线的右支上，则sinA －sinBsinC的值是________．9. 离心率为45的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上有一点M 到椭圆两焦点的距离之和为10.以椭圆C 的右焦点F(c,0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT ，T 为切点，且点P 满足|PT|＝|PB|(B为椭圆C 的上顶点)．(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点P 的轨迹的方程．10. 如图，已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M.(1) 若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(2) 设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点坐标为(0,9)时，求这个圆的方程．(第10题)滚动练习(四)1. 设全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{－2，－1,0}，B ＝{0,1,2}，则(A)∩B ＝________.2. 已知函数f(x)在区间[a ，b]上连续，则f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间(a ，b)上有零点的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)3. 函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的定义域是________．4. 函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f(1)＋f ′(1)＝________.5. 函数f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3的值域是________．6. 设f(x)为偶函数，且对任意的正数x 都有f(2＋x)＝－f(2－x)，若f(－1)＝4，则f(－3)等于________．7. 若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值是________.8. △ABC 中，∠ACB ＝60°，sinA ∶sinB ＝8∶5，则以A 、B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率是________．9. 设e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量. 已知OM →＝e 1，ON →＝e 2，OP →＝x·OM →＋y·ON →(x ，y 为实数). 若△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则x －y 的取值集合是________．10. 已知函数f(x)＝cosx ，g(x)＝sinx ，记S n ＝2∑k ＝12nf ⎝⎛⎭⎫(k －1)π2n －12n ∑k ＝12n g ⎝⎛⎭⎫(k －n －1)π2n ，T m ＝S 1＋S 2＋…＋S m (m ∈N *)，若T m <11，则m 的最大值为________．11. 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R )，至少有一个负的实根的充要条件．12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC ＝3acosB －ccosB.(1) 求sinB 的值；(2) 若BA →·BC →＝2，b ＝22，求a 和c 的值．13.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两动点，且F 1M →·F 2N →＝0.(1) 判定原点O 与以MN 为直径的圆的位置关系；(2) 设椭圆离心率为12，MN 的最小值是215，求椭圆方程．14.已知函数f(x)＝x 3a 2图象上斜率为3的两条切线间的距离为2105，函数g(x)＝f(x)－3bxa 2＋3.(1) 若函数g(x)在x ＝1处有极值，求g(x)的解析式；(2) 若函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数，且b 2－mb ＋4≥g(x)在区间[－1,1]上都成立，求实数m 的取值范围．专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________．2. 在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．3. 底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________m2.4. 用半径为10 2 cm，面积为1002π cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计), 则该容器盛满水时的体积是________．(第5题)5. 如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面运动一周回到B点，则质点B运动所走的最短路程为________6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们面积分别是6 cm2、4 cm2、3 cm2，那么它的外接球体积是________cm3.(第7题)7. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均等于1，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则该三棱柱的体积是________．8. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．9. 在边长为6 cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．(1) 判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；(2) 求多面体E—AFNM的体积．(第9题)10.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱. 求圆柱的侧面积，并求圆柱侧面积最大时x的值．第15讲点、直线、平面之间的位置关系1. 直线与平面的位置关系有________、________和________，其中________和________统称为直线在平面外；平面与平面的位置关系有________________．2. 过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．3. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的有________．(填上所有正确命题的序号)① l1⊥l2，l2⊥l31∥l3；② l1⊥l2，l2∥l31⊥l3；③ l1∥l2∥l31，l2，l3共面；④ l1，l2，l3共点1，l2，l3共面．4. 已知m、n、l是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中，正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；②若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；③若m∥β，，，则m∥n；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.(第5题)5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为BB1的中点，AC、BD交于点O，则D1O与平面AMC所成的角为________．6. 已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB ＝PC＝1 cm，则球的表面积为________cm2.7. 已知平面α、β、γ，直线l、m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么① m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．8. 设α、β为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，，则n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m ，，n ⊥m ，则n ⊥β； ③若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β； ④若，，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中，所有真命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)9.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点．(1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2) 若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面A 1BD.(第9题)10.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中．(1) 若BB 1＝BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2) 设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值．(第10题)滚动练习(五)1. 命题“∈R ，sinx>0”的否定是________________．2. 函数y ＝log a (x －3)(a>0，a ≠1)在(a ，＋∞)上单调增，则a 的取值范围是________.3.tan22.5°1－tan 222.5°＝________.4. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大小为________．5. 设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝abx ＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．6. 下列说法中正确的是________________．(填上所有正确命题的序号) ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一个平面的两条直线平行；③若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则直线垂直于该平面； ④垂直于同一平面的两条直线平行．7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是________. (填上所有正确命题的序号)①⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，β∥γ∥γ；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ∥β⊥β；③⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n ，∥α；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，∥β；8.如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．9.f(x)是偶函数，在(－∞，0]上是减函数，若f(－1)<f(lgx)，则实数x 的取值范围是________．10.若平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以a 、b 为邻边的平行四边形的面积是12，则向量a 、b 的夹角θ的取值范围是________.11.已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将AED 折起，使DB ＝23，O 、H 分别为AE 、AB 的中点．(第11题)(1) 求证：直线OH ∥面BDE ； (2) 求证：面ADE ⊥面ABCE.12.如图，等边△ABC 与直角梯形ABDE 所在平面垂直，BD ∥AE ，BD ＝2AE ，AE ⊥AB ，M 为AB 的中点．(第12题)(1) 证明：CM ⊥DE ；(2) 在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN.13. 设点O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1) 求实数m 的值；(2) 求直线PQ 的方程．14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足：b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，且b 3＝11，前9项和为153.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＜k57对一切(n ∈N *)都成立的最小正整数k 的值；(3) 设n ∈N *，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，问是否存在m ∈N *，使得f(m ＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题六 概率与统计、算法、复数 第16讲 概率与统计1. 某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，则其中支出在[50,60]元的同学人数有________．(第1题)2.样本数据11,8,9,10,7的方差是________．3.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 的值为________．5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：6.若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________．7. 右表是某工厂1至4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x。
第7课《呼风唤雨的世纪》(第二课时)(分层作业)四年级语文上册同步高效课堂系列( 统编版)
首先，你要到正规网站上去进行“个人信箱”的申请，然后，依据提示设定
信箱的用户名和密码。这样，电子信箱就在你的电脑中“落户”了。只要你的电
脑处于上网状态，即使你正在打字或是绘(治 制)图表、玩游戏，电子信箱也会及
时对你做出收到电子邮件的提示。当你正确输入自己的用户名和密码后，你所收
到的电子邮件就在屏（幕 慕）上显示出来了。读完来信后，你也可以依据来信者
8.巨伞给居民带来的好处有（ BC ）（可多选）
A.整个建“伞”的工程费用高达 350 万美元。
B.巨伞下的小城居民，从此不受气候剧变之苦。
C.全城节省下了很多取暖的费用。
9.文中用数字来说明巨伞，请写出一例，并说说它的作用。
示例：市区约 3600 万平方米的建筑、房屋、街道、桥梁、广场、绿地等，全在伞下。
寒冬腊月，阳光射入，聚热不散，温暖如春。
伞面上还分组设置了轻巧的太阳能收集器，充分利用日光为全城供应热水。
太阳能收集器可发挥聚热功能，虽然整个建“伞”的工程费用高达 350 万美元，
但只要一个冬天，全城节省下来的取暖费用就可以补偿。
伞下的威努斯基市因此闻名全球，成为美国一处新的观光胜地。每到隆冬，
各地游人络绎不绝，会聚于“巨伞”之下。
运用数字描写，具体写出了巨伞之大。
10.用一句话概括建伞的原因、时间、地点。
答案：因为美国的威努斯基市冬天奇冷，所以在 1980 年，小城上空高高撑起一顶擎天巨伞。
11.读了这篇短文，你能提出哪些问题？筛选出最能帮助理解课文内容的问题。
示例：
问题一： 威努斯基市的巨伞给人们的生活带来了哪些便利？
问题二： 巨伞下的植物可以进行光合作用吗？
选做题
你还知道哪些高科技的新式交通工具？搜集资料跟大家分享。 示例：高铁 飞机 导轨电车
最新届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案
专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲 集合与简单逻辑用语1. x ＜0，有x 2≤02. (2,3) 解析：M ＝(－∞，3)，N ＝(2，＋∞)，∴ M ∩N ＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a －1)2－4＞0.4. [－1,1] 解析：集合A ＝[－1,1]，B ＝(－∞，1]，∴ A ∩B ＝A.5. 215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ，a ＋45≤10≤a ≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b －13≥0，b ≤113≤b ≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A ∩B 的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13 解析：p ：x 2＋x －6＜0为真，则不等式的解集为A ＝(－3,2)，由q ：mx ＋1＞0得m ＝0时，解集为B ＝R ，m ＞0时，解集为B ＝⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞，m ＜0时，解集为B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，m ＝0时，A B 成立；m ＞0时，－1m ≤－3,0＜m ≤13；m ＜0时，－1m ≥2，－12≤m ＜0，综上m ∈⎣⎡⎦⎤－12，13. 7. 12 解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x ，则只喜爱篮球的有15－x ，只喜爱乒乓球的有10－x ，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞) 解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x ＋3x ＋1≥02x ＋2－(x ＋3)x ＋1≥0x －1x ＋1≥0(x －1)(x ＋1)≥0且x ≠－1x ≥1或x ＜－1.∴ 集合A ＝{x|x ≥1或x ＜－1}．(2) (x －a －1)(2a －x)＞0(a<1)(x －a －1)(x －2a)＜0.∵ a ＜1，∴ 2a ＜a ＋1.∴ 2a ＜x ＜a＋1.∴ 不等式的解为2a ＜x ＜a ＋1.∴ 集合B ＝{x|2a ＜x ＜a ＋1}．∵ B A ，∴ 2a ≥1或a ＋1≤－1，∴ a ≥12或a ≤－2.又a<1，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1. 10. 解：若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0m ＞2.若命题q 为真，Δ＝16(m －2)2－16＜0,1＜m ＜3.p 或q 为真，p 且q 为假，所以若命题p 为真，命题q 为假，则m ≥3；若命题p为假，命题q 为真，则1＜m ≤2，综上，则实数m 的取值范围是{m|1＜m ≤2或m ≥3}．第2讲 函数、图象及性质1. f(x)＝(x －2)2 解析：函数满足f(x)＝f(x ＋2)，函数周期为2.则x ∈[2,3]，x －2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x ＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解： 任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲 基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析： 二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )， ∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲 函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立， 即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明： 当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0， 故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解： 由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲 不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号． 即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18； 当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数， 故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲 导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析： 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2， －2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32， 若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立， 则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5； 当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2， 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲 三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sinα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲 平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6， 则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要 解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲 数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ， 所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ， 当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ， 此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010， 有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值 极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。
高考复习数学(江苏版)第2章 第6课 课时分层训练6
课时分层训练(六)A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．2 [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lgx 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图象关于________对称．(填序号) ①原点；②y 轴；③y ＝－x ；④y ＝x .① [由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x 1－x为奇函数．] 3．(2016·苏州期中)定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝2x －x 2，则f (－1)＋f (0)＋f (3)＝________.－2 [∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0.又x >0时，f (x )＝2x －x 2，∴f (－1)＋f (0)＋f (3)＝－f (1)＋0＋f (3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________.－2 [∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.]5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 【导学号：62172032】 －－x －1 [∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.]6．(2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋a )x 是奇函数，则实数a ＝________. 【导学号：62172033】－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－2.]7．(2016·山东高考改编)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝________. 2 [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.]8．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. －2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.] 9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172034】(－2,1) [∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在(－∞，0)上单调递增．∴f (x )在R 上是单调递增函数．又f (2－a 2)>f (a )可知2－a 2>a ，解得－2<a <1.]10．(2017·泰州中学高三摸底考试)函数y ＝1－sin x x 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为________．2 [因为y ＝sin x x 4＋x 2＋1为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数y ＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为2.] 二、解答题11．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式． [解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎨⎧ f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：62172035】[解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x 4x ＋1， 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，12 [因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f ()－m 2＋2m －2，即f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)，所以偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1<0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1<0，所以由f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)得，⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤－m 2－1≤0－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1>－m 2＋2m －2解得1－2≤m ≤12.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． －10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2. ①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象(略)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．4．(2017·南京模拟)已知f (x )是偶函数，定义x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧x (3－x )，0≤x ≤3，(x －3)(a －x )，x >3. (1)求f (－2)；(2)当x <－3时，求f (x )的解析式；(3)设函数f (x )在区间[－5,5]上的最大值为g (a )，试求g (a )的表达式．[解] (1)由题意，得f (－2)＝f (2)＝2×(3－2)＝2.(2)当x <－3时，－x >3，所以f (x )＝f (－x )＝(－x －3)(a ＋x )＝－(x ＋3)(a ＋x )，所以当x <－3时，f (x )的解析式为f (x )＝－(x ＋3)(a ＋x )．(3)因为f (x )是偶函数，所以它在区间[－5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，－x 2＋(a ＋3)x －3a ，x >3. ①当a ≤3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5上单调递减，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94. ②当3<a <7时 ，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，3＋a 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋a 2，5上单调递减，所以此时只需比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝(a －3)24的大小． (ⅰ)当3<a ≤6时，94≥(a －3)24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94； (ⅱ)当6<a <7时，94<(a －3)24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝(a －3)24. ③当a ≥7时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，[3,5]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94<f (5)＝2(a －5)，所以g (a )＝f (5)＝2(a －5)．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 94，a ≤6，(a －3)24，6<a <7，2(a －5)，a ≥7.。
高中数学 课时分层作业7 超几何分布(含解析)苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试题
课时分层作业(七) 超几何分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大； ②X 表示取出的最小；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④B [由超几何分布的概念知③④符合，故选B.]2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615B.C 310C 35C 615 C.C 410C 25C 615D.C 410A 25A 615C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.]3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0<X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)B [结合题意，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 222C 226，故P (X ≤1)＝C 122C 14＋C 222C 226.] 4．从含2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为X ，则X 的分布列为( )A [X 的所有可能取值为0,1,2，“X ＝0”表示入选3人全是男生， 则P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，“X ＝1”表示入选3人中恰有1名女生， 则P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生， 则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的分布列为5．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好取1名女生的概率为1645，则a ＝( ) A ．1B ．2或8C ．2D ．8B [由题意，得1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或a ＝8.]二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．47245[设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.]7．50X 彩票中只有2X 中奖票，今从中任取n X ，为了使这n X 彩票里至少有一X 中奖的概率大于0.5，n 至少为________．15 [用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15.]8．某班班委会由5名女生和4名男生组成，现要从中任选3人参加一项公益活动，所选3人中男生人数ξ的分布列为________．[ξ的可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝5C 39＝42，P (ξ＝1)＝54C 39＝21，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.所以ξ的分布列为三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．[解] (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)．则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．[解] (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.[能力提升练]1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125C [因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X ＝4，即旧球的个数增加一个，所以取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，所以P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.]2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有( )A ．2本B ．3本C ．4本D ．5本C [设语文课本有n 本，则数学课本有(7－n )本(n ≥2)，则2本都是语文课本的概率是C 2n C 07－n C 27＝27.所以n 2－n －12＝0，所以n ＝4或n ＝－3，所以n ＝4.] 3．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．0．2 [剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.]4．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为________．35 [由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.]5．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的概率分布．[解] (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X 的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C28C210＝2845，P(X＝1)＝C18C12C210＝1645，P(X＝2)＝C22C210＝145.所以X的概率分布为。
译林版(2024)七年级上册课时分层训练Unit7第2课时Reading
译林版（2024）七年级上册课时分层训练 Unit 7 第2课时Reading一、单词拼写1．The activity will take place in front of the students’ (公寓).2．It is a (特别的) way for students to make money and buy some things.3．You can (节省) money to buy some useful things.4．The things are not (昂贵的) at the flea market.二、完成句子5．Iris有一个用来存钱的银行账户。
Iris has a for saving money.6．Linda 不得不支付她需要的学习用品。
Linda has to the school things she needs.7．Mary通常在街对面的商店买东西。
Mary usually buys things at the shop .三、短文填空根据汉语提示或用括号中所给单词的正确形式，填写所缺单词或短语。
How does your family spend the money every year? In my family, my mum always 8 (manage) money well. Today, when we 9 (去购物), I ask my mum some questions about how my family spends money.First, my family needs to pay for many things like house, car and other 10 (day ) needs. So my mum 11 (不得不) think about how to use money better. My 12 (教育) is also an important part. Every year, my parents need 13 (cover) it. All of them cost 50% of our 14 (预算). Taking holidays and doing other special things 15 (cost) us about 30%. That’s because they are expensive. My parents always leave about 20% in our bank account. My mother also tells me that I should do that like them because it’s a good idea to save money for a 16 (有雨的) day.Money 17 (matter) in every family. I think everyone should plan how to manage his or her money.四、选词填空任务1：根据语篇内容，从方框中选择恰当的词（组），并用其正确形式填空。
第7课《开国大典》(第二课时)(分层作业)-【上好课】六年级语文上册同步高效课堂系列(统编版)
第7课开国大典第二课时分层作业了这座由所有代表团雪花造型引导牌组成的主火炬。
主火炬在奧运历史上首次使用“微火”方式，充分体现了绿色环保的理念。
绚烂焰火腾空而起,整座体育场顿时化为欢乐的海洋。
1. 结合上下文,用自己的话解释下列词语。
(1)举世瞩目:(2)美轮美奂: 。
2.下列对文章内容说法不正确的一项是( )A.国家体育场成为世界首座举办过冬奥会和夏奥会“双奥”开幕式的体育场馆。
B.本届冬奥会东道主中国代表团最先出场,其他国家和地区代表团按简化汉字笔画顺序先后人场。
C.北京冬奥会开幕式的主题是“世界大同，天下一家”。
D.主火炬在奥运历史.上首次使用“微火”方式，充分体现了绿色环保的理念。
3.阅读选文,想一想,文章写了哪几个场面，请根据提示填在空白处。
4.选文是如何描写倒计时表演这个场面的?根据提示,完成以下练习。
【表达与交流】小练笔：仿照课文点面结合的方法写一段话，可以是一次活动，一场游戏等，注意既要抓住场面，又要凸显出人物的特点。
请结合实际，写一写你的观察。
选做题②③倒计时表演⑧奥运火炬到达④⑤⑥⑦倒计时表演（点面结合）第2段整体写观众一片欢呼。
聚焦写中央地屏、明月、彩蝶 (3)整体写.聚焦写参考答案：第二课时【阅读鉴赏】1.A2.(1)庄严、隆重 (2)鼓掌欢呼激动、欢喜（3）举着火把和擎着灯的游行队伍 声势浩大、场面壮观 灯笼火把照亮了北京城 中华人民共和国的成立使全国人民摆脱了黑暗，获得了光明。
【课内阅读】1.升旗 毛主席出现 宣告 阅兵(2) (3)(1)(4)2.人民群众的心是一致的，都对革命领袖充满了崇敬爱戴之情3.点 以上这些部队，全都以相等的距离和相同的速度经过主席台前 壮阔、盛大、气势恢宏 各个队伍的特色5. √××【课外阅读】1. 结合上下文,用自己的话解释下列词语。
(1)举世瞩目:全世界的人都注视着，指北京冬奥会备受关注。
(2)美轮美奂:形容建筑物雄伟壮观， 富丽堂皇。
第7课《什么比猎豹的速度更快》第二课时(分层作业)-【上好课】 五年级语文上册部编版
第7课什么比猎豹的速度更快第二课时分层作业来。
《周易》中记录了发生在公元前1078年的一次球形雷，这是世界上最早的雷电记录。
我们所说的雷电，()包括内电，（）包括雷声。
关于雷电的一些数字是非常有趣的。
通常情况下，雷电多是在人们没有防备的一瞬间发生并完成的，难怪古代典籍对雷电有这样的描述:“疾雷不及掩耳，迅电不及瞑目。
”从当代科学的角度来说，真正称得上“快”的是闪电，而非雷。
雷声在空气中的传播速度大约为340米/秒。
闪电的速度则远非这个量级。
很多人认为，闪电的速度就是光速，也就是3×108米/秒;但实际上，它的移动速度受到空气电导率等很多因素的影响，与光速有着本质的区别。
可以确定的是，闪电的速度远低于光速，同时又远高于雷声的速度，美国能源部给出的闪电速度为1．5×108米/秒，大致为光速的一半。
一提到雷声，人们也许马上就能想到“震耳欲聋”“惊天动地”等词语，雷声是自然界产生的最大的声音之一。
那么，雷声到底有多大呢？雷声最高可以达到 120分贝。
这是个什么概念呢?当声音达到70分贝时，我们就可以认为它是很吵的，而且开始损害听力神经；而100~120分贝，比一列火车从身边呼啸而过的声音还要大，正常人如果在这样高分贝的空间内待1分钟左右，就会暂时性失聪。
所以，用“震耳欲聋”来形容雷声，实不为过。
4．下列对雷声的描述正确的一项是（）A．雷声最高可以达到210分贝。
B．当声音达到70分贝时，人们可以承受，对身体没有损害。
C．正常人可以在100至120分贝的空间内待1分钟，没有任何问题。
D．人们通常用“震耳欲聋”来形容雷声。
5．判断题。
(1)雷电是大自然神秘而壮观的现象之一。
( )(2)闪电的速度就是光速。
( )(3) 因为雷电的速度快，所以多是在人们没有防备的一瞬间发生并完成。
( )6．在文章括号中填写恰当的关联词语，并用所填关联词造句。
____________________________________________________________ 7．文章主要是从( )和( )两个方面介绍了雷电这一大自然神秘而壮观的现象。
高考一轮江苏数学(文)(练习)第2章 第7课 课时分层训练7
课时分层训练(七)A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·南通第一次学情检测)设幂函数f (x )＝kx α的图象经过点(4,2)，则k ＋α＝________. 32 [由题意可知k ＝1,4a ＝2，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32.] 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为________. 【导学号：62172038】13 [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是________．1或2 [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．14 [令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象(略)知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.]5．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________. 【导学号：62172039】 1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以{ f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]6．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．(－4,4) [由题意可得{ 5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0， 解得－4<a <4.]8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________. 【导学号：62172040】1 [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]10．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 【导学号：62172041】－2x 2＋4 [∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2，且f (x )为偶函数，可知ab ＋2a ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.又f (x )的值域为(－∞，4]，所以b <0,2a 2＝4.∴f (x )＝－2x 2＋4.]二、解答题11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1)．12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为________．(2－2，2＋2) [由题可知f (x )＝e x －1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)．]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝{ (x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 第2章 第4课 课时分层训练4
课时分层训练(四)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2021·南通第一次学情检测)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．(－1,1)∪(1，＋∞) [由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x ≠0，即x >－1且x ≠1.]2．以下各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； ③f (x )＝x 2，g (x )＝|x |； ④f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x .③ [在①中，定义域不同，在②中，解析式不同，在④中，定义域不同．] 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，那么f (x )的图象可以是________．(填序号)① ② ③ ④图4-1② [①中，定义域为[－2,0]，④中，值域不是[0,2]，③中，当x ＝0时有两个y 值与之对应．]4．(2021·徐州质检)f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，那么f (x )＝________. x ＋1 [设f (x )＝kx ＋b ，那么由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，那么f (x )＝x ＋1.]5．(2021·如皋中学高三第一次月考)函数y ＝－x 2－2x ＋8的定义域为A ，值域为B ，那么A ∩B ＝________. 【导学号：62172021】[0,2] [由－x 2－2x ＋8≥0得－4≤x ≤A ＝{x |－4≤x ≤2}． 由y ＝－x 2－2x ＋8＝－(x ＋1)2＋9可知0≤y ≤3，即B ＝{x |0≤x ≤3}． ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．]6．(2021·全国卷Ⅱ改编)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域一样的是________．(填序号)①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x ；④y ＝1x. ④ [函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．] 7．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，那么f (6－a )＝________.【导学号：62172021】－74 [由于f (a )＝－3，①假设a ≤1，那么2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②假设a >1，那么－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f (6－a )＝－74.]8．(2021·南京质检)假设函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －2)，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，那么f (5)＝________.【导学号：62172022】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]9．函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，那么函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.假设f (f (a ))≤2，那么实数a 的取值范围是________．a ≤2 [f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.]二、解答题11．f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：62172023】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，那么3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不管x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式． [解] (1)由，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ， 故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负〞变换的函数，以下函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负〞变换的函数是________．(填序号)①③ [对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负〞变换的函数是①③.]2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．假设当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，那么当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x (x ＋1)2 [设－1≤x ≤0，那么0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.]3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)假设x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)假设f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． [解] (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12.4．如图4-2所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4，动点P 从B 点开场沿着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，假设P 点运动的路程为x ，△P AB 的面积为y .图4-2(1)写出y ＝f (x )的解析式，指出函数的定义域； (2)画出函数的图象并写出函数的值域． [解] 如下图，(1)①当P 在BC 上运动时，如图①所示，易知∠B ＝60°，y ＝12×10×(x sin 60°)＝532x,0≤x ≤4.②当P 在CD 上运动时，如图②所示， y ＝12×10×23＝103，4<x ≤10. ③当P 在DA 上运动时，如图③所示， y ＝12×10×(14－x )sin 60° ＝－532x ＋353，10<x ≤14. 综上所得，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧532x ，0≤x ≤4，103，4<x ≤10，－532x ＋353，10<x ≤14.(2)函数y ＝f (x )的图象如下图．由图可知，函数y ＝f (x )的值域为[0,103]．。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 第2章 第5课 课时分层训练5
课时分层训练(五)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，那么k 的取值范围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.]2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，那么a 的取值范围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，那么－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，那么使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1. 所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0. 当x <1时，f (x )＝2x ∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．] 8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，那么实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎨⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2(a －2)，解得a ≤138.]9．函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)，即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，那么不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2021·苏州模拟)函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)假设f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，那么f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)假设a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)假设a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，那么函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2021·泰州模拟)函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，那么实数a 的取值范围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，那么t ＝x 2－ax＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎨⎧a2≥2，(2)2－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.]3．规定符号“*〞表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，1*k =3，求函数f 〔x 〕=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，那么x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 第2章 第11课 课时分层训练11
课时分层训练(十一)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．假设函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．0，－12 [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．(2021·镇江期中)方程lg x －sin x ＝0的解的个数是________．3 [∵lg x －sin x ＝0，∴lg x ＝sin x ，分别作出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin x 的图象可知，两个函数有3个交点．]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，那么函数f (x )的零点为________．1 [由f (x )＝0得，2x －1＝0或log 2x ＋1＝0，解得x ＝0或x ＝12(舍去)．] 4．函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，那么a 的取值范围为________. 【导学号：62172061】(－2,0) [由x 2＋x ＋a ＝0得a ＝－x 2－x . 又y ＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14x ∈(0,1)，∴y ∈(－2,0)． 即a ∈(－2,0)．]5．关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，那么实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，那么根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]6．假设函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，那么实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b . 在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如下图，那么当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，0<x <2，假设关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________. 【导学号：62172062】0<k <12 [函数y ＝(x －1)3在R 上单调递增；函数y ＝2x 在[2，＋∞)上单调递减，又因为x ＝2时，(x －1)3＝1且2x ＝1，所以f (x )的最大值为1，对应点为(2,1)， 又y ＝kx 过原点(0,0)，所以k ＝1－02－0＝12.可见0<k <12.]8．(2021·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，那么实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，那么f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.] 9．(2021·盐城模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1(x ≤1)，ln x (x >1)，那么方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是______________．(注：e 为自然对数的底数)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e [由题意可知y ＝f (x )与y ＝ax 有2个交点， 当a ＝14时，易知y ＝ln x 与y ＝14x 恰有两个交点，设y ＝ax 与y ＝ln x 的切点为(x 0，y 0)，易知当a ＝1x 0时为临界状态，此时切线方程y －y 0＝1x 0(x －x 0)恰过原点(0,0)．解得x 0＝e ，即a ＝1e ，故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e .]10．(2021·启东中学高三第一次月考)函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(x ∈R )有两个零点，那么k 的取值范围________. 【导学号：62172063】(－∞，0)∪(0,1) [由f (x )＝0得|x |x ＋2＝kx 2＝k |x |2(*)， 显然x ＝0是f (x )＝0的一个根，故原命题等价于当x ≠0时，(*)式1x ＋2＝k |x |有且只有一个根．分别作出y ＝1x ＋2及y ＝k |x |的图象，(实线表示k >0的情况，虚线表示k <0的情况)．(1)当k >0，且x <0时，1x ＋2＝k |x |可化为kx 2＋2kx ＋1＝0. 由Δ＝4k 2－4k ＝0得k ＝1或k ＝0(舍去)，结合图象可知，当k ∈(0,1)时合题意．(2)当k <0时，结合图象可知，方程kx 2＋2kx ＋1＝0一定有实根， 综上所述k 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．] 二、解答题11．函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12．二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根〞的真假，并写出判断过程；(2)假设y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根〞是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根．因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，假设函数f (x )在R 上有两个零点，那么a 的取值范围是________．(0,1] [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，那么必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增，故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点所构成的集合为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f (f (x ))＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，那么函数y ＝f (f (x ))＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值． 解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14， 解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f (f (x ))＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.]3．假设关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，那么原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①假设方程(*)有两个正实根t 1，t 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；②假设方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，那么f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；③假设方程(*)有一个正实根和一个零根，那么f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 法二(别离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，那么a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1， 由根本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.4．二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)假设函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围．(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．[解] (1)因为函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．因为函数在区间[－1,1]上存在零点，那么必有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，所以－20≤q ≤12.(2)因为0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， 所以f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t＝15±172，所以t＝15－172；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，所以f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，所以f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或9，所以t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层训练(七)A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·南通第一次学情检测)设幂函数f (x )＝kx α的图象经过点(4,2)，则k ＋α＝________.32[由题意可知k ＝1,4a ＝2，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32.] 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为________. 【导学号：62172038】13 [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是________．1或2 [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．14 [令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象(略)知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.]5．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________. 【导学号：62172039】 1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以{f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]6．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．(－4,4) [由题意可得{ 5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0， 解得－4<a <4.]8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________. 【导学号：62172040】1 [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]10．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 【导学号：62172041】－2x 2＋4 [∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2，且f (x )为偶函数，可知ab ＋2a ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.又f (x )的值域为(－∞，4]，所以b <0,2a 2＝4.∴f (x )＝－2x 2＋4.]二、解答题11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．[解] (1)由题意知⎩⎨⎧ －b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1， 由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1)．12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b的取值范围为________．(2－2，2＋2) [由题可知f (x )＝e x －1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)．]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝{(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。