例说离心率的计算策略

合集下载

离心率求解题技巧

离心率求解题技巧离心率是描述一个椭圆形状的参数，用于描述椭圆形状的偏离程度，计算方法是椭圆长轴与短轴之间的差异与长轴的比值。

离心率(E)的计算公式如下：E = c / a其中，c为焦点距离，a为长轴的一半，也就是半长轴。

为了求解题目中的离心率，我们可以使用以下的技巧：1. 获取椭圆的焦点坐标。

根据椭圆的定义，我们可以知道椭圆的焦点坐标位于椭圆的主轴上。

主轴是一条椭圆的对称轴，垂直于副轴。

焦点的位置取决于椭圆的离心率和主轴的长度。

2. 确定椭圆的长轴和短轴。

椭圆的长轴是横向的轴，短轴是纵向的轴。

一般来说，长轴长度大于短轴长度，因此可以通过观察椭圆的形状来确定长轴和短轴的长度。

3. 确定椭圆的焦距。

焦距是指从椭圆的中心点到任意一点的距离与椭圆的半长轴之间的关系。

具体计算焦距需要使用直线段的长度公式。

4. 计算离心率。

根据椭圆的焦距和半长轴的定义，我们可以使用离心率公式直接计算。

下面是一个例题的求解过程：已知一个椭圆的焦点坐标为(-6,0)和(6,0)，离心率为4/5。

求椭圆的长轴和短轴长度。

步骤1：获取椭圆的焦点坐标。

已知椭圆的焦点坐标为(-6,0)和(6,0)。

步骤2：确定椭圆的长轴和短轴。

应该注意到在这个例题中，我们并没有提供任何关于长轴和短轴的具体信息，因此无法确定长轴和短轴的长度。

需要通过其他方式获得这些信息。

步骤3：确定椭圆的焦距。

由于焦点在椭圆上，我们可以使用两个焦点之间的距离来计算焦距。

根据距离公式，我们可以计算出两个焦点之间的距离为12。

焦距是指从椭圆的中心点到任意一点的距离与椭圆的半长轴之间的关系，因此焦距的值等于半长轴的长度。

步骤4：计算离心率。

根据离心率的定义，我们可以使用公式 E = c / a 来计算离心率。

已知焦距的值是12，我们可以将其代入公式中：4/5 = 12 / a接下来我们可以通过求解这个方程来计算出半长轴的值。

通过求解这个方程，我们可以得到半长轴的值为15。

由于离心率的定义是长轴与短轴之间的差异与长轴的比值，我们可以使用长轴和半长轴的值来计算短轴的值：短轴= sqrt(半长轴^2 - 长轴^2) = sqrt(15^2 - 12^2) = sqrt(225 - 144) = sqrt(81) = 9因此，这个椭圆的长轴长度为30，短轴长度为18。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。

二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。

1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ．答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

A． B． C． D．
7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出，求解
已知标准方程或易求时，可利用离心率公式来求解。
例1.过双曲线C：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）
A. B. C. D.
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，
又 ,∴ ,两边平方，得，整理得，
得或，又，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设的中点为，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足的点总在椭圆内部，所以c<b.
4.设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）
，又，
在中，由余弦定理，得 ,
即，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为 ,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

离心率技巧公式

离心率技巧公式
离心率是描述一个圆的半径与中心到该点的距离之比，通常用符号e表示。

在几何学中，离心率是一个非常重要的概念，它可以用来描述和分析各种图形的性质。

在解决一些几何问题时，我们经常需要用到离心率公式。

下面，我们将介绍一些常用的离心率技巧公式。

1. 当一个圆的直径为d，半径为r时，其离心率为：
e = √(1 - (r^2/d^2))
2. 当一个椭圆的长半轴为a，短半轴为b时，其离心率为：
e = √(1 - (b^2/a^2))
3. 当一个双曲线的实半轴为a，虚半轴为b时，其离心率为：
e = √(1 + (b^2/a^2))
4. 当一个三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R时，其离心率为：
e = R/r
5. 当一个正多边形的边长为a，外接圆半径为R时，其离心率为：
e = R/a
6. 当一个扇形的半径为r，圆心角为θ时，其离心率为：
e = r * tan(θ/2)
7. 当一个圆柱体的底面半径为r，高为h时，其离心率为：
e = r/h
8. 当一个圆锥体的底面半径为r，高为h时，其离心率为：
e = r/h
9. 当一个球体的半径为r时，其离心率为：
e = 0（因为球体的所有点到中心的距离都相等）
10. 当一个正方形的边长为a时，其离心率为：
e = a/√(2)a（因为正方形可以看作是两个等腰直角三角形组成的，所以离心率为直角三角形的斜边与直角边的比值）
11. 当一个正六边形的边长为a时，其离心率为：
e = a/√(3)a（因为正六边形可以看作是六个等腰三角形组成的，所以离心率为等腰三角形的底边与高的比值）。

离心率求解经典例题

离心率求解经典例题离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它在物理学、天文学以及航天工程等领域中具有重要的应用。

本文将介绍离心率的定义、计算公式以及求解经典例题。

1. 离心率的定义在椭圆的基本参数中，离心率是用来描述椭圆形状的一个值。

离心率的定义是：离心率等于焦点间距离与长轴的比值。

假设椭圆的焦点间距离为2a，椭圆的长轴长度为2b，则离心率e的计算公式为：e = a / b离心率的值范围在0到1之间，当离心率为0时，表示椭圆为一个圆形；当离心率为1时，表示椭圆为一个抛物线；当离心率大于1时，表示椭圆为一个双曲线。

2. 离心率的计算在求解离心率时，需要已知椭圆的焦点间距离和长轴长度。

给定坐标系下的椭圆方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。

可以通过知道椭圆的焦点坐标及椭圆上一点的坐标来求解离心率。

假设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，椭圆上一点的坐标为(x, y)。

根据距离公式，有：√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2) = 2a将椭圆方程化简后，可得到：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1将上述两个方程联立，并且消去变量y，可以得到椭圆上一点坐标x的关系表达式。

将x的值代入任一方程中，即可求得y的值。

利用x和y的值，可以计算出离心率e。

3. 求解经典例题现在通过一个经典的例题来说明离心率的求解过程。

例题：已知一个椭圆的焦点坐标为(F1, 0) = (-2, 0)和(F2, 0) = (2, 0)，椭圆上一点的坐标为P(x, y) = (4, 3)。

求此椭圆的离心率。

解答：根据离心率的计算公式，我们可以先求出椭圆长轴的一半长度a和短轴的一半长度b。

根据焦点坐标和椭圆上一点的坐标，可以得到a、b的计算公式如下：a = (PF1 + PF2) / 2 = (√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2)) / 2 = (√((4 +2)^2 + 3^2) + √((4 - 2)^2 + 3^2)) / 2 = (11 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4b = √(a^2 - c^2) = √(4^2 - 2^2) = √(16 - 4) = √12 = √(4 * 3) = 2√3根据得到的a和b的值，可以计算离心率e：e = a / b = 4 / (2√3) = 2 / √3 = (2 / √3) * (√3 / √3) = (2√3) / 3 ≈ 1.155所以，此椭圆的离心率约为1.155。

求离心率方法归纳总结

求离心率方法归纳总结离心率是描述一个椭圆轨道与圆轨道之间的偏离程度的参数，它在天文学、航天科学等领域中具有重要的应用价值。

本文将对多种求离心率的方法进行归纳总结。

一、通过轨道要素计算离心率离心率可以通过轨道的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。

公式为：e = √(1 - (b^2/a^2))二、通过观测数据计算离心率1. 天文观测法通过观测行星或天体在不同时刻的位置，可以推导出轨道要素，进而计算离心率。

2. 航天器轨道测量法使用航天器的测距、测速和测向数据进行轨道计算，从而得到离心率。

三、通过物理定律计算离心率1. 能量守恒法利用能量守恒定律，通过测量天体的速度和位置信息，推导出离心率。

2. 角动量守恒法利用角动量守恒定律，通过测量天体的质量、速度和距离信息，计算出离心率。

四、通过数值模拟计算离心率1. 数值积分法利用数值积分方法，对天体在重力场中的运动进行模拟计算，从而得到离心率。

2. 万有引力定律法根据万有引力定律，利用数值解的方法，计算天体在引力作用下的运动轨迹，并通过轨迹数据推导出离心率。

五、通过实验测定离心率1. 实验观测法通过精密实验测量天体的运动参数，然后根据测量数据计算离心率。

2. 探测器测量法利用探测器对天体进行观测和测量，通过测量数据计算离心率。

综上所述，求离心率的方法主要包括通过轨道要素计算、观测数据计算、物理定律计算、数值模拟计算和实验测定。

不同的方法适用于不同的情况和领域，选择合适的方法可以提高准确性和可靠性，为相关研究提供有力支持。

离心率的五种求法

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（）A. 10B. 5C.310 D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B)1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。

二、变用公式)c e a==双曲线，)c e a==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A. 35B. 34C. 45D. 23分析：本题已知b a =34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。

1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即224b a =e ∴===2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A D 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此，即224b a =，e ∴===3.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2 B ．3 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得3e ∴===，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（） A.10B. 5C.310 D. 25分析：这里的21,1a cb ==+2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a ce ==，从而选A 。

二、变用公式221)c b e a a ==+双曲线，221-()c b e a a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（） A.35 B. 34 C. 45D.23分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则2451()33c e a ==+=，从而选A 。

1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x=+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A.3B.2C.5D.6 解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b，即224b a =221145b e a∴=+=+=2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a abB C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r因此，即224b a =，221145b e a ∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．12D ．13【解析】因为2(,)b Pc a-±，再由1260F PF∠=o有232,b a a=即2223ba =从而可得22231133b e a ∴=-=-=，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

求离心率范围的六种方法

求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。

离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。

因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。

笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。

一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。

解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。

所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-，即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ，即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。

三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。

例谈求解圆锥曲线中离心率问题的三种思路

考点透视图9由题意可得，已知条件中含有a、b的关系式，根据等差中项、等比中项的定义建立关于a、b的方程组，求得a、b的值，即可运用圆锥曲线的离心率公式e=c a求得问题的答案.二、构造齐次式有些问题中只给出了关于a、b、c的关系式，或根据题意可直接求得关于a、b、c的关系式，此时可通过构造关于a、b、c的齐次式，即a、b、c的次数相同的式子，再根据椭圆中a、b、c的关系a2=c2+b2，双曲线中a、b、c的关系c2=a2+b2，将齐次式转化为关于a、c的等式，最后在其左右同时除以c2、c4等，得到关于c a的方程，解方程即可求得c a的值，从而得到圆锥曲线的离心率.例2.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的左焦点为F，右顶点为A，点B()0,-b，且FA∙AB=0，则该双曲线的离心率为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，图1因为FA∙AB=0，所以FA⊥AB，所以Rt∆AOB∽Rt∆BOF，则||OB||OA=||OF||OB，即ba=c b，b2=ac，因为c2=a2+b2，所以c2-a2=ac，即æèöøca2-1=ca，解得ca，所以e=.解答本题主要运用了构造齐次式法，首先建立关于a、b、c的关系式：c2-a2=ac，再在其左右同时除以a2，将该关系式化为齐次式，再根据椭圆、双曲线中a、b、c的关系得到关于c a的方程，进而求得离心率的值.三、利用几何性质法圆锥曲线均为平面几何图形.在求解圆锥曲线的离心率时，可根据圆锥曲线的几何性质建立关于椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径的关系式.也可将椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径看作三角形、平行四边形、梯形的一条边，或圆中的一条弦，利用三角形、平行四边形、梯形、圆的性质来建立关于a、b、c的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例3.已知A、B是双曲线C的左、右顶点，点M在双曲线C上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求双曲线C的离心率.解：过点M作x轴的垂线，垂足为C，如图2所示.图2∵△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，∴BM=2a，∠MBC=60°，∴BC=a，MC=3a,∴点M的坐标为()2a,3a，将其代入双曲线的方程中可得()2a2a2-()3a2b2=1，①又c2=a2+b2，②由①②可得e=2.解答本题，需先明确AB为等腰三角形的底边，然后采用几何性质法，根据等腰三角形的性质和已知条件求得点M的坐标，再将其代入双曲线的方程，从而建立关于a、b、c的关系式.本文主要介绍了三种求解圆锥曲线中离心率问题的思路.从上述分析可以看出，不论运用哪一种思路解题，都需根据题意建立关于a、b、c的关系式，或求得a、c的值.因此，同学们在建立关系式时，要将其与a、b、c关联起来.（作者单位：福建省南安市五星中学）考点透视39。

求解离心率的四种方法技巧

离心率四种考法及其方法技巧1.方程思想：齐次方程、不等式（1）若给定椭圆（双曲线）的方程，则根据椭圆方程确定2a ，2b ，进而求出a ，c 的值，从而利用公式ce a =直接求解；（2）若椭圆（双曲线）方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式（或不等式），化为关于a ，c 的齐次方程（或不等式），进而化为关于离心率e 的方程（或不等式）进行求解.椭圆经典例题铺垫：（1）设椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 与C相交于P 、Q 两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的倍.则C 的离心率e =________.（2）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，直线2a x c =-与直线2a x c =和轴的交点分别为M ，，若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是__________.例1（1）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是_________．（2）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_________．几何条件例2（1）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____________.（2）椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右顶点为A ，经过原点的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，若PQ a =，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.（3）如图，12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，A 和B 是以O （O 为坐标原点）为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则椭圆的离心率为_________．双曲线经典例题例1（1）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等比数列，则该椭圆的离心率是_________．（2）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是_________．例2（1）设12,F F 分别是双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，点(),M a b ．若1230MF F ∠=︒，则双曲线的离心率为_________．（2）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且1223PF PF =，则双曲线的离心率为________．（3）（文讲义例8（3））已知点12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF △是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_________．方法2：焦点三角形中的角知识点1：椭圆()222210x y a b a b+=>>中，设12F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上任一点.若1221,,PF F PF F αβ∠=∠=则cossin 2;sin sin cos 2e αβθαβαβ+==-+双曲线中的结论为：sinsin 2=.sin sin sin 2e αβθαβαβ+=--经典例题椭圆例题例12013-2014学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科椭圆()222210x y a b a b +=>>，左右焦点分别是焦距为2c，若直线)y x c +与椭圆交于M 点，满足12212MF F MF F ∠=∠，则离心率是( )A.211275F =︒,2115PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（）例3（讲义例7（3）） ABC △中，1tan 3A =，π4B =，若椭圆E 以AB 为焦距，且过点C ，则椭圆E 的离心率是________．例4（讲义例9（2））已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若12060PF F ︒<∠<︒，则该椭圆的离心率的取值范围是________．练习双曲线例题例5双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )例62016-2017学年湖北省襄阳市枣阳一中高三（上）开学数学试卷（理科）已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，M 为双曲线上的点，若1221,60,MF MF MF F ⊥∠=︒则双曲线的离心率为( )1 1例7设A 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为B ，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线离心率的取值范围是________．结论2：椭圆最大顶角与离心率最大顶角椭圆：sin2e θ≥，2cos 12e θ≥-例12016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是12,F F ，如果在椭圆上存在一点P ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是_________．例2已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），1F ，2F 为两焦点，若椭圆上存在P ，使得110PF PF ⋅<．则椭圆离心率的取值范围是________．拓展长轴三角形最大顶角设12A PA θ∠=，12,A A 为左右顶点e ≥设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右端点分别是,A B ，如果在椭圆上存在一点P ，使120APB ∠=︒则椭圆离心率的取值范围是_________．方法3：焦半径知识点1.焦半径公式与范围（1）椭圆公式：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-；焦半径范围：[],a c a c -+；12PF PF 的范围：222,a c a ⎡⎤-⎣⎦12PF PF ⋅的范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦（2）双曲线：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-;范围：短焦半径[),a c -+∞，长焦半径[),a c ++∞，其中一个成立，另一个自然成立12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤+∞⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题：铺垫已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2F ，直线2a x c =与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围____________.重点题型1：12PF PF λ=例1 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF ePF =，求椭圆离心率e 的范围.例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围是___________.例3 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，若212PF PF 的最小值是8a ，则双曲线离心率的取值范围为____________；例4 设点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为____________.例5 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若双曲线上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.经典题型2：已知12PF PF ⋅的范围椭圆12PF PF ⋅范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题例6（讲义例9（3））已知()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是________．（强化班讲义例9（1））例7 设点()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，P 为双曲线上的一点，且21223c PF PF ⋅=-，则其离心率的取值范围是________．知识点2：设点F 是离心率为e ，焦点x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的线AB 与x 轴的夹角为α，F 分AB 所成的比为λ，则1cos 1e λαλ-=+ 若焦点在y 轴上，1sin 1e λαλ-=+ 重点题型3：()0AF FB λλ=>或1cos 1AF BF e λλαλ-=⇒=+经典例题例1 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线和椭圆相交于A ，B两点，若112AF BF =，求椭圆的离心率．例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（）A B C D例3 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为多少？例4已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>,）的右焦点为F ，过F 直线交C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（） A ．65B ．75C ．85D ．95例5 （2008全国卷）过抛物线24y x =的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点，设FA FB >，则FA FB的值为_________.1cos 31FAe FBλαλλ-===++方法4：以b a求离心率e主要包括：（1）椭圆垂径定理（由点差法推导），（2）第三定义（类比圆）；（3）渐近线与双曲线关系（1）点差法与中点弦（椭圆中的垂径定理）AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的任意一条弦，O 为椭圆的中心，M 为AB 的中点，则.222 1.AB OMb k k e a⋅=-=-.AB 是双曲线22221x y a b -=的任意一条弦，O 为双曲线的中心，M 为AB 的中点，则222 1.AB OMb k k e a⋅==-（2）第三定义AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上过原点的弦，P 是椭圆上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅=-=-AB 是双曲线22221x y a b -=上过原点的弦，P 是双曲线上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅==-（3）双曲渐进线经典例题椭圆垂径定理例12016-2017湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷（1）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，直线:240l x y +-=与椭圆相交于,A B 两点，且AB中点M 坐标为()2,1，则椭圆的离心率为___________.（2）过点()1,1作斜率为12-的直线与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M是线段AB 中点，求椭圆离心率.第三定义例2（1）2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（文科）已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一个动点，且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为( )C.12（2）已知12,A A 分别椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，点P 为椭圆C 上一点(点P 与12,A A 不重合)，点M 为P 点关于x 轴对称点，若直线1PA 与2MA 的斜率乘积是34，则椭圆的离心率为( )A.14D.12例32016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷已知椭圆的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为_________．例42015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）已知A B ，为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )B.2离心率与渐近线铺垫：已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（）A ．5B C D例5（1）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为________. （2）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线的离心率为____________. 例6（1）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（2）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支交于不同的两点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（3）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的取值范围是_________. 例7设双曲线C 的中心为点，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.⎤⎥⎝⎦B.⎫⎪⎪⎣⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭。

求离心率的八种方法

求离心率的八种方法求解离心率是天文学和航天学等领域中经常涉及到的问题。

离心率是描述椭圆轨道形状的参数，它是轨道长半径与短半径之差的一半与轨道长半径之和的比值。

在本文中，我们将介绍八种不同的方法来求解离心率。

方法一：利用轨道能量和角动量轨道能量和角动量是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e 等于角动量L和轨道能量E的平方差除以质量m和引力常数G的平方根。

因此，我们可以通过求解轨道能量和角动量来计算离心率。

方法二：利用轨道速度和距离轨道速度和距离也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e 等于轨道速度v和距离r的平方差除以引力常数G乘以质量m。

因此，我们可以通过求解轨道速度和距离来计算离心率。

方法三：利用轨道周期和半长轴轨道周期和半长轴也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以半长轴a的立方和2π的商减去1。

因此，我们可以通过求解轨道周期和半长轴来计算离心率。

方法四：利用轨道偏心率和半长轴轨道偏心率和半长轴也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道偏心率ε除以半长轴a加上1的和。

因此，我们可以通过求解轨道偏心率和半长轴来计算离心率。

方法五：利用轨道倾角和升交点距角轨道倾角和升交点距角也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于1减去升交点距角ω的正弦值除以轨道倾角i的正弦值。

因此，我们可以通过求解轨道倾角和升交点距角来计算离心率。

方法六：利用轨道速度和半长轴轨道速度和半长轴也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道速度v的平方除以引力常数G乘以质量m乘以半长轴a 减去1的平方根。

因此，我们可以通过求解轨道速度和半长轴来计算离心率。

方法七：利用轨道周期和轨道偏心率轨道周期和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以轨道偏心率ε乘以4π的平方根。

因此，我们可以通过求解轨道周期和轨道偏心率来计算离心率。

方法八：利用轨道速度和轨道偏心率轨道速度和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。

例说离心率的计算策略

《例说离心率的计算策略》xx年xx月xx日contents •引言•计算策略之一：均值法•计算策略之二：加权平均法•计算策略之三：最邻近法•计算策略之四：系统优化法•计算策略选择与应用•总结与展望目录01引言离心率是描述双曲线、椭圆或抛物线等二次曲线的一个重要参数，用于量化这些曲线偏离标准圆或直线的程度。

公式对于椭圆，离心率 e = (c/a)^2，其中 a 为长半轴，c 为短半轴；对于双曲线，离心率 e = (c/a)^2，其中 a 为实轴，c 为半焦距。

定义什么是离心率的计算策略VS通过测量二次曲线的相关参数，直接计算离心率。

适用于具有明确几何形状和物理性质的对象，如椭圆、双曲线等。

计算策略的分类及适用范围直接测量法将二次曲线看作具有势能的物体，利用能量守恒原理计算离心率。

适用于具有弹性、粘性等复杂物理性质的对象。

能量法利用量纲分析原理，推导出与离心率相关的无量纲参数，从而计算离心率。

适用于具有复杂物理性质的对象，如高分子材料等。

量纲分析法计算策略的基本原则确定计算参数的精度要求，选用合适的测量工具和方法。

熟悉计算对象的物理性质和几何特征，选择合适的计算方法。

考虑计算过程的复杂性和可重复性，选用高效的算法和程序实现。

02计算策略之一：均值法均值法的适用范围适用于已知量较少或测量误差较大的情况；适用于初步估算或快速计算的情况；适用于对结构性能要求不高的工程项目。

均值法的计算步骤及公式1. 搜集整理与计算相关的各项参数，如已知量 a、b、c 等；例如：计算圆周率π的均值法公式为：π=3(4/π+5/π+6/π) 2. 根据需要求解的离心率的计算公式，将已知参数带入进行计算；3. 对计算结果进行校核，检查计算是否有误，若结果不合理或误差较大，需要重新进行计算。

均值法计算策略的优缺点•优点•计算简单，易懂易学，便于掌握；•对于某些粗略估算或快速近似计算，均值法可以提供较为可靠的结果；•可以减少因为个别数据错误而导致的整个结构性能的失真。

例说离心率的计算策略

例说离心率的计算策略650212 云南省昆明光华学校高中部廖道忠一、利用基本参量在椭圆中，离心率221a b a c e -==，在双曲线中，221ab ac e +==.例1（1）已知椭圆上的动点P 到椭圆的一个焦点的距离的最大值与最小值分别为28，，则该椭圆的离心率为 .（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且两条渐近线的方程为043,043=-=+y x y x ，则双曲线的离心率为 .解：（1）由椭圆的性质得,28⎩⎨⎧=-=+c a c a 3,5==∴c a ，.53=∴e （2）两渐近线即x y 43±=.当焦点在x 轴上时，有43=a b ，45122=+=a b e ；当焦点在y 轴上时，有34=a b ，35122=+=ab e .故填“45或35”. 二、利用第二定义由第二定义，椭圆、双曲线离心率即曲线上的动点到焦点的距离与到对应的准线的距离之比.例2 已知动点),(y x M 满足23)1()1(22+-=-+-y x y x ，则M 的轨迹曲线的离心率为 .解：由23)1()1(22+-=-+-y x y x 得2232)1()1(22+-⋅=-+-y x y x ，即动点),(y x M 到定点)1,1(的距离等于M 到定直线023=+-y x 的距离的2倍，∴M 的轨迹为双曲线，且离心率为2.三、利用“焦点三角形”我们把椭圆或双曲线上的一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形21F PF 称作“焦点三角形”.在椭圆中，2121PF PF F F e +=；在双曲线中，2121PF PF F F e -=.例3 右图中多边形均为正多边形，图①中1F焦点，M 、N 图②中1F 、2F 为椭圆的焦点，M 、N 、P 、Q 的中点，则双曲线的离心率为 . 解：在椭圆中，连N F 1，设正三角形的边长为2x x F F 221=，x N F =2，x N F 31=，.131322121-=+=+=∴NF N F F F e在双曲线中，连Q F F F 121,，设正六边形的边长为x 2，则x F F 421=，x Q F =2，四、利用参量关系式先得到c b a ,,间的关系式，然后利用222c a b -=或222a c b -=化去b ，得到关于c a ,的齐次方程式，进而解出离心率.例4 如图，椭圆的左焦点F 、上顶点B A 恰好构成以B 为直角顶点的直角三角形，求此椭圆的离心率e .解：FBA ∆为直角三角形，222FA BA FB =+∴.∴2222)()(c a c b a +=++，将222c a b -=代入，整理得022=-+a ac c .两边同除以2a 得012=-+e e ，251+-=∴e （251--=e 舍去）. （650212 云南省昆明光华学校高中部廖道忠电子邮箱：）②。

【9A文】离心率的五种求法

【9A文】离心率的五种求法离心率是描述椭圆形状程度的一个物理量，它能够反映出椭圆长轴和短轴之间的差异程度。

在天文学和物理学中，离心率是一个十分重要的参数，它能够帮助我们更好地理解和描述天体运动的规律。

离心率的定义是：离心率（e）等于椭圆焦点之间的距离（2a）与椭圆长轴之间的比值。

即e=2af，其中f是椭圆焦点与椭圆中心之间的距离。

下面将介绍五种常见的求解离心率的方法：方法一：通过测量椭圆长轴和短轴的长度。

这是最直观的方法，只需要使用测量工具测量椭圆的长轴和短轴的长度，然后代入离心率的定义式中进行计算即可。

方法二：通过求解椭圆方程。

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。

通过求解这个方程，可以得到椭圆焦点与椭圆中心之间的距离，从而计算离心率。

方法三：通过测量椭圆焦点到椭圆上某一点的距离。

选取椭圆上的一个点，测量该点到椭圆焦点的距离（f）和到椭圆中心的距离（r），则离心率可以表示为e = f/r。

方法四：通过测量椭圆焦点到椭圆上的两个点的距离之和。

选取椭圆上的两个点，测量这两个点到椭圆焦点的距离之和（2a），然后再测量这两个点之间的距离（2c），则离心率可以表示为e = c/a。

方法五：通过测量椭圆的周长和周长与长轴之比。

测量椭圆的周长（C）和长轴的长度（2a），则离心率可以表示为e = (C-a)/a。

这五种方法各有利弊，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。

无论使用哪种方法，都需要准确测量各个参数的数值，以保证求解结果的准确性。

离心率的求解对于研究天体运动、计算轨道参数等具有重要的意义，是天文学和物理学中的基础知识之一。

例谈双曲线离心率的求解策略

文《
，＼
，
、
，
图ｌ
解析由已知有Ｆ２（ｃ，。），（譬，警），由于为ＢＦ２
故Ｂ（莩－ｃ．）．将点Ｂ坐标代入ｙ－＿
ｅ＝２．
１．双曲渐近线Ｙ＝Ｐ的坐标为
＝１中，右焦点为Ｆ２，作Ｆ２Ｐ垂直于Ｐ，则点Ｐ在双曲线的右准线上，且
例２如图２，已知双曲线
比得到线段的关系，从而求出离心率或取值范围．
例６如图５，已知Ｆ２是
双曲线Ｘ２ｙ２
一
：１的右焦
点，过的直线交双曲线同一支于Ａ，Ｂ两点，点是点Ａ关于原点０的对称点．若
Ｆ２￣ＡＢ且ＣＦ２＝Ｆ２Ｂ，求
．。
２０１８年第３期（上）
中学数学研究
．
例３已知双曲线
一ｙ２：
１的任意一点Ｐ，过点Ｐ
ＭＯＱ＝６。。，ＭＯｘ：３０￣，故ｂ：因此ｅ＝．
３，
两条渐近线作垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ．若ＰＭ ·ＰⅣ ＝，
３．直角三角形的勾股定理
Hale Waihona Puke 求离心率ｅ的值．Ｐ运动到Ｄ点时，易知此
时
：
－５，此
，，
Ｊ／／
／／／
（＋）｜ｎ＝．故＋Ｙ的取值范围为ｌ，５１．
点评注意等系数和线所描述的结论要求表达式中的三个向量共起点，若起点不一致，则可以考虑利用向量的减法法则或者平移相关向量统一起点．

离心率求解策略八法

离心率求解策略八法作者：***
来源：《中学生数理化·高考数学》2020年第12期
圓锥曲线作为比较重要的一种曲线类型，在高考中由于其特殊的形式和性质而频繁出现，而离心率是描述圆锥曲线形状特征的一个重要概念，是椭圆、双曲线、抛物线三类二次曲线的统一定义的桥梁和纽带。

离心率问题内涵丰富且综合性强，历年来是高考中圆锥曲线考查的重点和热点。

对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。

下面结合实例，分析求解圆锥曲线离心率的常用“策略”。

策略一：借助公式，定义求离心率
评注：离心率具有明确的几何意义，在某些问题中，借助数形结合思想加以转化，画出合适图形，找出a，b间的关系，能够大大地提高解题速度和正确率。

评注：本题利用双曲线的几何性质，用所给定直线和渐近线的关系确定渐近线的斜率的范围，从而求出离心率的范围。

策略七：利用向量求离心率评注：如果题中给出直线与圆锥曲线的位置关系，可以根据相关的条件建立方程，通过解方程进一步求得离心率。

由以上可见，离心率的求解方法多种多样，我们在处理离心率的有关问题时，必须注意分析与判断问题的类型，从而选择合适的方法进行求解。

（责任编辑王福华）。

离心率范围问题的求解策略

离心率范围问题的求解策略离心率是描述轨道形状的一个参数，它确定了天体轨道的偏心程度。

离心率为0时，轨道为圆形；离心率在0和1之间时，轨道为椭圆形；离心率为1时，轨道为抛物线；离心率大于1时，轨道为双曲线。

对于天体轨道的研究，离心率往往是一个重要的参数。

因此，如何确定离心率的范围是一个重要的问题。

本文将介绍几种求解离心率范围问题的策略。

1. 直接计算离心率的计算公式为：e = (r_max - r_min) / (r_max + r_min)其中，r_max和r_min分别表示天体在轨道上最远点和最近点的距离。

因此，可以通过测量或计算出这两个距离，然后直接带入公式计算离心率。

例如，在地球的椭圆轨道中，地球到太阳的距离最近点（近地点）为147 million km，最远点（远地点）为152million km，因此可以计算出地球轨道的离心率为：e = (152 - 147) / (152 + 147) = 0.017直接计算存在精度要求较高的问题，需要对测量和计算结果进行精确性分析和误差消除。

2. 基于牛顿法的迭代算法牛顿法是一种常用的近似算法，其基本思想是在当前位置处用切线代替函数曲线，然后求出切线与横坐标轴的交点，将交点作为下一个迭代点的位置，并以此类推。

对于离心率范围问题，可以将其转化为如下方程的求解：f(e) = M - E + e * sin(E)其中，M为天体的平近点角，E为偏近点角。

由于f(e)的解并不是显式的，因此需要使用牛顿法进行迭代。

具体地，可按如下步骤进行求解：1）选择一个初始值e02）计算f(e0)和f'(e0)（f'(e0)表示f(e)对e的导数值）3）计算e1 = e0 - f(e0) / f'(e0)4）重复2）和3）的步骤，直到达到预先设定的精度或迭代次数之后停止。

3. 基于历元观测的回归分析离心率范围也可以通过历元观测数据进行回归分析得到。

具体地，可按如下步骤进行： 1）收集一定数量的历元观测数据，包括天体在轨道上的位置、速度等信息。