习题5答案

Eξη = ∫ dy ∫ 3 x 2 ydx =
1
1
3 3 3 3 cov(ξ ,η ) = − ⋅ = , 10 4 8 160
故
3 ⎛3⎞ 3 Dξ = − ⎜ ⎟ = , 5 ⎝ 4 ⎠ 80
2
1 ⎛ 3⎞ 19 Dη = − ⎜ ⎟ = , 5 ⎝ 8 ⎠ 320
2
ρξη =
cov(ξ ,η ) 3 160 3 = = . D(ξ ) ⋅ D(η ) 3 80 ⋅ 19 320 57
= 3E (ξ 2 ) − 2 E (ξη ) + E (η 2 ) − 3
＝3 Dξ + ( Eξ ) 2 − 2(cov(ξ ,η ) + EξEη ) + Dη + ( Eη ) 2 − 3 = 68
(
)
(
)
第十四次作业
一. 选择题：
1. 设随机变量 ξ 密度函数为 p( x) ，则η = 3ξ − 1 的密度函数 pη ( y ) 为（ A ） 。 1 y +1 A、 p( ) 3 3 B、 3 p (
二． 选择题： 设 ξ ~ N( 0,1 ) ，η ~ N (0,4) ， ς = ξ + η ，下列说法正确的是（
B ） 。
Dς = 3
A. ς ~ N (0,5)
B. Eς = 0
C. Dς = 5
D.
三． 计算题：
1. 设二维随机变量 (ξ ,η ) 的联合概率密度函数为
⎧1 ⎪ ( x + y ) 0 < x < 2, 0 < y < 2 p ( x, y ) = ⎨ 8 ⎪ 其他 ⎩ 0
17.8 D(ξ + η ) = _______ 。
1 12 ；当 ρ = ____
ξη
= 0.4 时，
2. 设二维随机变量 (ξ ,η ) ~ N (1, 4; 1, 4; 0.5) ， ζ = ξ − η ，则 cov(ξ , ζ ) =
2
.
二. 选择题： 1. 已知随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U = X + Y ， V = X − Y ，则 U 与 V 必 （ D ）
y≥0 y<0
⎧ 1 p ( y ) − pξ ( − y ) ⎪ 故 pη ( y ) = ⎨ 2 y ξ ⎪ 0 ⎩
(
)
⎧ 1 ⎪ ＝ ⎨4 y y<0 ⎪ ⎩0
y≥0
0≤ y≤4 其他
⎛ 1⎞ 2. 设 ξ 、η 是两个相互独立且均服从正态分布 N ⎜ 0, ⎟ 的随机变量，求 ⎝ 2⎠ E (| ξ − η |) 。
求 Eξ , Eη , E (ξη ) 。 解： Eξ = ∫∫ xp( x, y ) d x d y =
D 2 1 2 7 d x ∫ x( x + y ) d y = = Eη ∫ 0 8 0 6 2 1 2 4 x xy ( x + y ) d y = d ∫ ∫ 0 0 8 3
E (ξη ) = ∫∫ xyp( x, y ) d x d y =
解: 由已知条件可得： ξ − η ~ N (0,1) ，所以
− x2 2 x2 2 x2 2 +∞
E (| ξ − η |) = ∫ | x | ⋅
−∞
+∞
1 2π
e
dx =
2 2π
∫
+∞
0
xe
−
dx = −
2 2π
e
−
=
0
2
π
3. 已知随机变量 ξ 、η 的概率分布分别为
ξ
P{ξ = xi }
−1 1 4
P (ζ = 1) = P (ξ = −1,η = 1) + P (ξ = 0,η = 1) + P(ξ = 1,η = 0) + P(ξ = 1,η = 1) =
4．设随机变量 ξ 、η 相互独立，其密度函数分别为
⎧1 0 < x < 1 pξ ( x ) = ⎨ , 其他 ⎩0 ⎧e − y pη ( y ) = ⎨ ⎩ 0 y>0 y≤0
1 , 2 1 P (ξ = 1,η = 0) = P(ξ = 1) = , 4 P (ξ = 0,η = 1) = P(η = 1) =
P (ξ = −1,η = 0) = P(ξ = −1) =
1 , 4
P (ξ = 0,η = 0) = P(ξ = 0) − P(ξ = 0,η = 1) = 0 ,
求 ξ + η 的概率密度函数。
解: 由 ξ ,η 相互独立得联合密度函数为
⎧e − y , 0 ≤ x ≤ 1, y > 0, p ( x, y ) = ⎨ ⎩0, 其他,
密度函数中非零部分对应的 ( x, y ) 落在区域 D 中,利用卷积公式,
当 z ≥ 1 时, pζ ( z ) =
∫e
0
1 1
⎧1, 第i站有人下车, 解：设 ξi = ⎨ ⎩0, 第i站没人下车,
则
P {ξ
i
= 0 } = P {10 个人在第 i 站都不下车} = ⎛ ⎜1 −
⎝
10
1 ⎞ ⎟ ， 20 ⎠
10
1 ⎞ ⎛ 从而 P{ξ i = 1} = 1 − ⎜1 − ⎟ ⎝ 20 ⎠
1 ⎞ ⎛ 于是 Eξ i = 0 × P{ξ i = 0} + 1 × P{ξ i = 1} = 1 − ⎜1 − ⎟ , ⎝ 20 ⎠
3 1 3 Eξ = 1× + 3 × = , 4 4 2
2. 设二维随机变量 (ξ ,η ) 的联合概率密度函数为 ⎧3x 0 < y < x < 1 p ( x, y ) = ⎨ 其他 ⎩0
求 ξ 与η 的相关系数。
解: 先分别求出
1 1 1 1 3 3 3 2 , Eξ = ∫ dy ∫ 3 x dx = , Eη = ∫ dy ∫ 3 xydx = , 0 0 0 y y y 10 4 8 1 1 1 1 3 1 Eξ 2 = ∫ dy ∫ 3x 3 dx = , Eη 2 = ∫ dy ∫ 3xy 2 dx = , y y 0 0 5 5
=
ac cov( X , Y ) ac DX ⋅ DY
= ρ XY
4. 设两个随机变量 ξ , η ， Eξ = −2, Eη = 4, Dξ = 4, Dη = 9, ρ ξη = −0.5 ，求
E (3ξ 2 − 2ξη + η 2 − 3) 。
解
E (3ξ 2 − 2ξη + η 2 − 3)
0 1 2
1 1 4
η
P{η = y j }
0 1 2
1 1 2
而且 P{ξη = 0} = 1 。
(1)求 ξ 、η 的联合概率分布；(2)问 ξ 、η 是否独立？ (3)求 ζ = max(ξ ,η ) 的概率分布。
解: 由于 P(ξη = 0) = 1 ,可以得到 P (ξ = −1,η = 1) = P(ξ = 1,η = 1) = 0 ,从而
D
2. 二维随机变量 (ξ ,η ) 服从以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域上的均
匀分布，试求 E (ξ + η ) 和 D(ξ + η ) 。 解:
⎧2, ( x, y ) ∈ G, (ξ ,η ) ～ p( x, y ) = ⎨ ⎩0, ( x, y ) ∉ G,
4 , 0 1− y 3 1 1 11 E (ξ + η ) 2 = ∫ dy ∫ 2( x + y ) 2 dx = , 0 1− y 6 11 16 1 D (ξ + η ) = E (ξ + η ) 2 − [ E (ξ + η )]2 = − = 6 9 18 3. 有 10 个人同乘一辆长途汽车，沿途有 20 个车站，每到一个车站时，如果没 有人下车，则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是 相互独立的，求停车次数的数学期望。 E (ξ + η ) = ∫ dy ∫ 2( x + y )dx =
B. Fξ ( z ) Fη ( z ) D. Fξ ( z ) + Fη ( z ) − Fξ ( z ) Fη ( z )
1. 已知随机变量 ξ ~ U [0,2] ，求η = ξ 2 的概率密度。
解: Fη ( y ) = P{ξ ≤ y} = ⎨
2
⎧ P{− y ≤ ξ ≤ 0 ⎩
y } y ≥ 0 ⎧ Fξ ( y ) − Fξ (− y ) =⎨ y<0 ⎩ 0
2. 设随机变量 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 相互独立， ξ1 ~ U (0, 6) ， ξ 2 ~ N (0, 4) ， ξ 3 ~ E (3) ，则：
20 。 4 E (ξ1 − 2ξ 2 + 3ξ 3 ) = _______ ， D (ξ1 − 2ξ 2 + 3ξ 3 ) = _______
1
−( z− x)
dx < z < 1 时, pζ ( z ) = 当 z ≤ 0 时, pζ ( z ) = 0 ,
∫
z
0
e − ( z − x ) dx = 1 − e − z ,
⎧(e − 1)e − z , z ≥ 1, ⎪ −z 故 pζ ( z ) = ⎨1 − e , 0 < z < 1, ⎪0, z ≤ 0. ⎩
η ξ
0 1 2
则
0
1
0.1 0.25 0.15
0.15 0.2 0.15
π ⎞ 1.05 Eη = 0 .5 E ⎛ 0.25 E (max(ξ ,η ) ) = _______, 1 .2 Eξ = ______, ____, ⎜ sin (ξ + η ) ⎟ = _______, 2 ⎝ ⎠