刚体动力学习题

α
如图质量为m的均质杆 的均质杆AB用细绳吊 例 如图质量为 的均质杆 用细绳吊 的夹角为θ。 住，已知两绳与水平方向的夹角为 。求 B端绳断开瞬时，A端绳的张力。 端绳断开瞬时， 端绳的张力 端绳的张力。 端绳断开瞬时 解：建立如图参考基和连体基，以杆为研 建立如图参考基和连体基， 究对象，受力如图。 究对象，受力如图。 设此瞬时杆AB的角加速度和质心 的角加速度和质心C的加速 设此瞬时杆 的角加速度和质心 的加速 度如图所示
Ox
W aCx = W − Fox g
W aCy = Foy g
vF x
aωc aαc
C
v1 x
v1 y
Av
y
α
OA绕O作定轴转动，质心 的加速度为 绕 作定轴转动 质心C的加速度为 作定轴转动，
l 2 3g l 3g 3g aωC = ω = sin θ aαC = α = cosθ 2 2 2 4 aCy = −aαC sin θ − aωC cosθ aCx = aαC cosθ − aωC sin θ
一般性原则： 一般性原则： (1) 求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能 求解速度 角速度问题往往首先考虑应用动能 速度、 定理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 定理的积分形式 且尽可能以整个系统为研究对象 避免拆开系统； 避免拆开系统； (2) 应用动能定理的积分形式 如果末位置的速度或 应用动能定理的积分形式 动能定理的积分形式, 角速度是任意位置的函数, 角速度是任意位置的函数 则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。 加速度或角加速度。 (3) 对于既要求运动又要求约束力的问题 因为应用 对于既要求运动又要求约束力的问题, 运动又要求约束力的问题 动能定理不能求出无功约束力， 动能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动 如速度、加速度) 然后再应用质心运动定理或动 (如速度、加速度) ,然后再应用质心运动定理或动 量矩定理来求约束力； 量矩定理来求约束力；
解: 根据动能定理重物下降 根据动能定理重物下降h 时的速度v 时的速度 。 动能
T =0 1 T2 = T重物 + T轮O + T轮C 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 + ⋅ mR ωO + mυC + mR ωC = mυ 2 2 2 2 2 根据运动学关系 v C = ω C R = ω O R = v
ξ
将上式投影到 ξ轴上，得 轴上， 轴上
ae 因为断开初瞬时， 因为断开初瞬时，v A = 0 ， ω = 0 ，故 aωA = 0， ωA = 0 r r r re l e aαA = aCx + aCy + a1αA a1αA = α 2
y
r re re re ve v v a A = a1tA + a1αA + a1ωA a1tA = aCx + aCy r r r re re v aαA + aωA = aCx + aCy + a1αA + a1ωA
υC 1 (2m1 + 3m2 )υCαC = M − m2 g Sinθ ·υC 2 R1
解得
2 (M − m2 g R1Sinθ ) αC = (2m1 + 3m2 )R1
匀质杆OA长 重 ，其一端O用理想铰链 例 匀质杆 长l重W，其一端 用理想铰链 固定如图所示。设开始时杆在水平位置， 固定如图所示。设开始时杆在水平位置，初 速为零。 角时的角速度， 速为零。求转过θ角时的角速度，角加速度 以及铰链O处的约束反力 处的约束反力。 以及铰链 处的约束反力。
AB作平面运动，研究A点和 点加速度关系 作平面运动，研究 点和 点和C点加速度关系 作平面运动
aCy A r r 联立求解（ ）、（ ）、（3）、（ ）、（2）、（ ）、（4） 联立求解（1）、（ ）、（ ）、（ ）式，得 a aCx αA
l aCx cos θ − aCy sin θ − α sin θ = 0 2 （4） ）
mg sin θ T= 1 + 3 sin θ
θ a1eαA r
ξ
r
vx aCy Cα v aCx B
O
A
解：如图建立参考基和连体基。 如图建立参考基和连体基。 取杆为研究对象 角速度和角加速度求解 由动能定理得 O θ
v x
C
v1 x
v1 y
Av
y
1 l 2 J O ω − 0 = W sin θ 2 2
W
3 g sin θ ω= l
求导
3g α= cosθ 2l
约束反力求解 O点处的受力如图所示 点处的受力如图所示 应用质心运动定理 O FOy θ
y
θ
A
θ
B
maCx = ∑ Fx 由 ma = ∑ F Cy y r J Cα = ∑ mC (F )
ma Cx = −T cos θ
r θ T A
y
x y1
C
ξ
θ
r mg
vx aCy Cα v aCx B
x1
B
（1） ） （2） ） （3） ）
A
ma Cy = T sin θ − mg 1 l 2 ml α = T sin θ 12 2
g 4kh a= − 3 3m
求解滚轮C与地面的摩擦力 求解滚轮 与地面的摩擦力 的受力如图所示。 轮C的受力如图所示。 的受力如图所示 角加速度如图所示， 角加速度如图所示，应用对质心的动量矩定理
JCαC = (Fs − F )R
轮C纯滚可知 纯滚可知 弹性力
a αC = R
F = 2kh
1 mg 4 FS = F + ma = + kh 2 6 3
W = Mϕ − m2 g sin θ·S 12
质点系的动能为
T =0 1
1 1 1 1 2 2 2 2 2 T2 = (m1R1 )ω1 + m2υ2 + ( m2 R2 )ω2 2 2 2 2
两个转轮的角速度分别为
ω1 =
υC
R1
,ω2 =
υC
R2
根据质点系的动能定理
W = T2 −T1 12
已知： 质量分布在轮缘上; 均质轮C 例 已知：轮O 的R1 、m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮 的 R2 、m2 纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。 纯滚动, 为常力偶。 求:轮心C 走过路程 时的速度和加速度 轮心 走过路程S时的速度和加速度
解:
与轮O共同作为一个质点系 轮C与轮 共同作为一个质点系 与轮 外力所做的功为
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法， 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法， 但在求解比较复杂的动力学问题时， 但在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用一个 定理解决全部问题, 需要综合应用几个定理来求解。 定理解决全部问题, 需要综合应用几个定理来求解。 • 动量定理和动量矩定理是矢量形式，应用时常取 动量定理和动量矩定理是矢量形式 是矢量形式， 投影式， 投影式，并只需考虑质点系所受的外力作用。 • 质心运动定理常用于分析质点系受力与质心运动的 质心运动定理常用于分析质点系受力与质心运动的 关系。 关系。 • 动能定理是标量形式，在许多实际问题中约束反力 动能定理是标量形式 是标量形式， 又不作功， 又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度和加速 度较为方便。 度较为方便。
得： Mϕ − m
2
g Sinθ ·S =
υC
2
4
(2m1 + 3m2 )
(a)
S 其中 ϕ = R1
(M − m2 gR1 Sinθ )S 解得 υC = 2 R1(2m1 + 3m2 )
Mϕ − m2 g Sinθ ·S =
υC
2
4
(2m1 + 3m2 )
(a)
式(a)是函数关系式， (a)是函数关系式， 是函数关系式 两端对t求导, 两端对 求导,得 求导
(4) 当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组 当系统由作平动、定轴转动、 合Leabharlann Baidu成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 合而成时 一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程 分别列出相应的动力学微分方程,然后联 成单个刚体 分别列出相应的动力学微分方程 然后联 立求解(即采用第七章的方法) 立求解(即采用第七章的方法)； (5) 注意动量、动量矩守恒问题，特别是仅在某一方向 注意动量、动量矩守恒问题， 上的守恒。 上的守恒。
3 2 T2 = mυ 2 功 1 2 W = mgh − k(2h) = mgh − 2kh2 2
3 2 T =0 T2 = mυ 1 2 1 2 W = mgh − k(2h) = mgh − 2kh2 2 根据动能定理 3 2 ） mgh − 2kh = mυ 2 （a） W = T2 −T 1 2 2(mg − 2kh)h υ= 3m dυ dh 将式（ 将式（a）对t 求导 3m υ = ( mg − 4kh) dt dt
代入上述的质心运动定理求解得
W
3 2 3 Fox = W (1 + sin θ − cos 2 θ ) 2 4
9 Foy = − W sin 2θ 8
物块m 纯滚动, 例:已知两均质轮m ,R ; 物块 ,ｋ,纯滚动,于弹簧原 已知两均质轮 长处无初速释放. 长处无初速释放. 时的速度v、 及滚轮C与地面的摩擦力 求：重物下降h时的速度 、加速度 及滚轮 与地面的摩擦力. 重物下降 时的速度 加速度a及滚轮