圆中的基本概念及定理(一) (含答案)
初中数学知识归纳圆的概念及性质
初中数学知识归纳圆的概念及性质圆是初中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和应用。
本文将对圆的概念及其性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识点。
一、圆的定义与基本概念圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用符号表示为O(A,r)，其中O为圆心，A为圆上的任意一点，r为半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆上的任意两点连线，经过圆心，则称为圆的直径。
直径的长度是半径的两倍，用符号表示为d=2r。
2. 圆的弦圆上的任意两点连线，不经过圆心，则称为圆的弦。
圆的直径是一条特殊的弦，它同时也是最长的弦。
3. 圆的弧圆上的部分曲线，是由两个弦之间的交点所夹的部分，称为圆的弧。
同一个圆上的两个弧可以互补称为对称弧。
4. 圆的周长圆的周长是圆上所有点与圆心的距离之和，也就是圆的一周的长度。
圆的周长公式为C=2πr，其中π取约等于3.14。
5. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，也就是圆所围成的区域的大小。
圆的面积公式为A=πr²。
6. 圆的切线与切点从圆外一点引一条直线与圆相交，该直线在圆上的切点和与圆相切的直线称为圆的切线。
7. 圆的切圆两个圆相切于一点，称为圆的切圆。
8. 圆的切线定理如果一条直线与一个圆相切，那么与这条直线相垂直的半径也是与这条直线相切的。
9. 圆的相交性质两个圆相交于两个点，这两个点到各自的圆心的距离相等，且此两点不在任一圆内部。
10. 弧长与弧度圆的弧长是指圆心角所对应的弧的长度。
弧度是表示弧长与半径之比，记作θ，弧度大小等于圆心角大小的弧长除以半径，即θ=弧长/半径。
11. 弧长公式圆的弧长公式为L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的大小（弧度制），r表示半径。
12. 扇形的面积公式扇形是由圆心角和半径所夹的弧围成的区域，扇形的面积公式为S=1/2θr²，其中S表示扇形的面积。
第一章 圆(讲义)(含答案)
第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。
因此圆的周长C=rπ=。
圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。
3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。
设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。
R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。
（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。
（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。
直径长度是半径长度的倍。
（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。
（5）图中涂色部分是一个。
圆上A、B两点之间的部分叫做。
顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。
（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。
经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。
（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。
（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。
圆中的基本概念及定理(讲义及答案)
圆中的基本概念及定理（讲义）➢课前预习在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为．在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．1➢知识点睛1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”．2.圆中概念：弧：，弧包括和；弦：；圆周角：；圆心角：；弦心距：；等圆：；等弧：．3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是；圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：*（1）垂径定理：．推论：．（2）四组量关系定理：在中，如果、、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：．推论1：．推论2：，．推论3：．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路：①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；③遇直径，找直角，由直角，找直径；④由弧找角，由角看弧．2➢ 精讲精练1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（ ）︵ ︵A ．CM =DMB ． CB = B DC ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MB第 1 题图第 2 题图2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为．，则⊙O 3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为mm ．第 3 题图第 4 题图4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为．5.如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2，则∠BCD =．6 36.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= ．第6 题图第7 题图7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为．8.如图，在半径为3 的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E，连接AC，BD，若AC=3，则∠D= ．9.如图，∠AOB=100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A，B 重合，则∠ACB 的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°10.如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD=DO．以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E，交AB 于F，G 两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．11.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD 的度数为．12.如图，⊙O 的两条弦AB，CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．13.已知⊙O 的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则AB，CD 之间的距离为．2 【参考答案】 ➢ 课前预习圆心；半径；2πr ；πr 2➢ 知识点睛1. 圆；圆心；半径；⊙O ．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距； 能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧 3. 任意一条过圆心的直线；圆心．4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（2） 同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．（3） 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．➢ 精讲精练1. D2. 23. 84. 13 m5. 30°6.40°7. 100 cm 8. 60° 9. D 10. 33° 11. 128° 12.13. 7 cm 或 17 cm5。
圆中的概念和性质
如图， BAC是圆周角.
圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交
练习：如图， APB是圆周角的是（）
圆周角定理：
圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的度数的一半.
等圆：半径相等（能够重合）的两个圆，叫做等圆.
注意：同圆或者等圆的半径相等.
同心圆的圆心相同，半径不同的圆.
弦：连接圆上任意两点的线段如图中的EF，CD，AB.
直径：经过圆心的弦，如图中的AB
弧：圆上任意两点间的部分，简称弧.如图，以AB为端点的弧记
为 读作“弧AB”.
优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示，如图中
劣弧：小于半圆的弧，如图中 与
半圆：任意一条直径把固分成的两条弧，如圆中
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，如图中 =
例1.（1）下列说法正确的有_________________（填序号）．
①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④所对圆心角相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）； ⑥两个半圆是等弧．
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
例2.(1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON = 70 ，则∠N的度数为（ ）
A：40
B：50
C：55
D：60
(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 2DE，∠E = 18 ，则 ∠C = ________，∠AOC = ________．
例3.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A：CE = DE
B：AE = OE
C：弧BC = 弧BD
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
第二十六讲 圆的相关概念及应用
【解】(1)连接 OA，OC，过 O 作 OH⊥AC 于点 H，如图 1，
∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠AOH＝12∠AOC＝60°.
∵AH＝12AC＝
3，∴OA＝
AH sin60
＝2.
故⊙O 的半径为 2.
.
课堂精讲
(2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE，如图 2， ∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形． ∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°.∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°. ∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形． ∴AC＝CM.∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.
知识回顾
2．与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫__弦__；经过圆心的弦叫_直__径____，是圆
内最长的弦；圆上任意两点间的部分叫__圆__弧___，简称弧，圆的 任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作 __半__圆___，大于半圆的弧叫作__优__弧___，小于半圆的弧叫作 __劣__弧___，能够完全重合的弧叫作__等__弧___；能够重合的两个圆叫 作_等__圆____；圆心相同的圆叫作___同__心__圆__．
3．推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角__相__等____． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角____.90°的圆周角所对的弦
圆的基本概念与性质知识点总结
圆的基本概念与性质知识点总结圆是几何学中的一个基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它具有许多独特的性质和特点，本文将为你总结圆的基本概念以及其相关的性质知识点。
1. 圆的定义圆是平面上一组距离相等的点的集合。
其中，距离相等的点叫做圆心；与圆心距离相等的线段叫做半径；连接圆上任意两点的线段叫做弦；通过圆心并且连接圆上某一点的线段叫做半径。
2. 圆的性质2.1 圆的半径性质- 圆上任意两点间的弦相等，并且等于半径的长度。
- 半径垂直于弦，并且平分弦。
- 圆上相等弧所对的弦相等。
- 以圆心为端点的弧叫做半圆，圆心角为180°。
2.2 圆的直径性质- 直径是圆上任意两点间的最长弦，等于半径的两倍。
- 直径的中点即为圆心。
- 圆上的半径与直径垂直，并且被直径平分。
2.3 圆的面积性质- 圆的面积公式为：A = πr²（其中，A表示面积，r表示半径）。
- 圆的面积只与半径有关，与圆心角和弦长无关。
2.4 圆的弧长性质- 弧长公式为：L = 2πr（其中，L表示弧长，r表示半径）。
- 弧长与圆心角成正比，即弧长等于圆心角度数与周长的比值。
3. 圆的相关定理3.1 切线定理- 切线是与圆相切的直线，切点在圆上。
- 切线与半径垂直。
3.2 弧度制与度制的转换- 弧度制是以半径等于1的圆的圆心角作为单位，记作rad。
- 度制是以圆心角为单位，记作°。
- 弧度制与度制的转换关系为：1° = π/180 rad。
4. 圆的应用领域- 在几何学中，圆被广泛运用于计算圆的面积、周长和弧长等。
- 在物理学中，圆被用于描述物体的运动轨迹和行星的绕轨道运动等。
- 在工程学中，圆被应用于建筑设计、机械制造和电路设计等。
综上所述，圆作为几何学中的基本概念，具有独特的性质和特点。
了解圆的基本概念和性质对于深入理解几何学、物理学和工程学等领域的知识有着重要的意义。
同时，圆的应用广泛，为我们解决问题和进行实践提供了重要的工具。
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.6. 点和圆的位置关系(1)点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.(2)设(DO的半径为r.点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>「；②点P在圆上<=>d=r；③点P在圆内od<r.7. 直线和圆的位置关系(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.(2 )设。
0的半径为「，圆心0到直线I的距离为d,则有:①直线I和00相交od<「；②直线I和(DO相切od=r；③直线I和00相离od>r.8. 切线的判定定理和性质定理(1) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂苴于这条半径的直线足圆的切线.(2) 切线的性质定理：|员I的切线垂直于过切点的半径.9. 圆的切线的性质(1) 切线和圆只有一个公共点；(2) 切线和I员］心的距离等于圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过恻心且垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点且垂直于切线的直线必过恻心.10. 切线长经过岡外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到闖的切线长.11 •切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12. 三角形的内切圆(1) 与三角形各辺都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2) 三角形的内切圆的岡心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.13. 圆和圆的位置关系(1)圆和ia的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果两圆的半径分别为h和「2( r«2)，圖心距(两岡圆心的距离)为d.则两圆的位置关系如下表;14 •正多边形的有关计算设正多边形的边数为g半径为R,边心距为r,边长为a,则有，(1)正多边形的每个内拜:82卜180。
高中数学圆知识点总结
高中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点的集合所组成的图形。
这个定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
2. 圆的符号表示：我们通常用一个大写字母表示圆心，用小写字母 r 表示半径，从而表示某个圆为原点 O ，半径为 r 的圆为∠O(r) 。
3. 圆的元素：圆由圆心、半径以及圆上的所有点组成，这些点到圆心的距离都等于半径的长度。
二、圆的基本性质1. 圆的直径：圆上任意两点间的最长距离叫做圆的直径，圆的直径等于圆的半径的二倍。
2. 圆周率：圆周率是一个无理数，通常用符号π 来表示，它的近似值是3.14159 ，是圆周长和直径之比的数学常数。
3. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π ，也可以用公式表示为：C=2πr 。
4. 圆的面积：圆的面积等于π 乘以圆的半径的平方，也可以用公式表示为：S=πr^2 。
5. 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做圆弧，圆弧的长度叫做弧长，弧长和圆的周长的比值等于弧所对的圆心角的比值；圆的一部分叫做扇形，扇形的面积等于扇形所对的圆心角的比值。
三、圆的相关定理1. 圆心角的性质：圆心角是圆上的一个角，它的顶点在圆心上，它的两条边都是圆的弧。
圆心角的大小可以用角度或弧度表示，弧度是圆的一种度量单位，弧长等于半径乘以圆心角的弧度。
弧长和弧所对的圆心角的关系，用公式表示为：L=rθ 。
2. 弦的性质：弦是圆上的一段线段，它的两端都在圆上，弦也可以看做是圆上的一个弧。
弦的性质包括：两条相等的弧所对的弦也是相等的；圆的直径是圆的最长弦，且它恰好把圆分成两个相等的半圆。
3. 切线的性质：切线是指平面上的一条直线，它只与圆相交于一点，这个点叫做切点。
切线和半径的垂直平分线相交于圆上的切点处成直角，切线和圆心之间的连线是切线的切线长。
4. 正弦定理和余弦定理：这两个定理属于三角形和圆的结合性质，它们可以用来求解三角形和圆的面积。
四、圆的相关应用1. 圆和直线的位置关系：圆和直线的位置关系有着许多重要的定理和知识点，这些知识点在几何、代数和三角等领域都有着广泛的应用，学习和掌握它们对我们解题和理解圆的相关性质是非常重要的。
高中数学圆相关知识点总结
高中数学圆相关知识点总结1. 圆的基本概念圆是一个由平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的边界称为圆周，圆周上任意两点及圆心连线的长度为半径。
符号圆记作“Ο”。
2. 圆的性质（1）圆周率圆周率是圆的周长与直径的比值，在数学中通常用希腊字母π表示。
π的近似值为3.1415926，这个值是一个无理数，无限不循环小数。
在计算中通常用π的近似值3.14进行近似计算。
（2）圆的面积一个圆的面积可以用πr^2来表示，其中r为圆的半径。
圆的面积也可以表示为πd^2/4，其中d为圆的直径。
（3）弧和扇形圆的边界可以看作是由无数个弧段组成的。
当我们从一个圆的边界上任意取出一段弧，这段弧就叫做圆周上的一段弧。
如果一个弧的长度等于圆周的长度，那这个弧就叫做整圆周弧，否则就叫做部分弧。
如果一个圆的半径等分圆周上的一个弧，那么这个半径对应于这个弧的就被叫做该弧所对的圆心角。
而圆心角对应的弧长度叫做圆心角的对应弧长。
（4）正多边形的内切圆和外接圆对于一个正多边形，可以找到一个圆，使得该圆和多边形的所有的顶点都相切。
这个圆称为该多边形的内切圆。
同样的，也可以找到一个圆，使该圆和多边形的所有边都相切，这个圆称为该多边形的外接圆。
由此可知，正多边形的内切圆和外接圆的关系，内切圆的半径等于多边形的边长度的一半，外接圆的半径等于多边形的边长度的一半除以sin(π/n)，其中n为正多边形的边数。
3. 圆的相关定理（1）切线定理在一个圆上，任意一条直线与圆相交，如果直线所与的圆相切，那么直线与圆的切点到切点连线与圆心的连线是平行的。
切线定理是圆的重要性质之一，在解决圆的相关问题时经常会用到。
（2）弦定理对于在圆内的两条弦，如果这两条弦各自对应的弧长相等，那就说明这两条弦的长度也相等。
这个定理也常用于圆相关问题的求解。
（3）垂径定理在圆上的两条垂线的交点与圆心相连得到的直线与任意一条垂直于这条直径并且与这条直径相交的弦垂直。
初三圆的所有公式及定理
初三圆的所有公式及定理在初三的数学课上，圆这个话题简直是个“明星”，总是闪闪发光，让人又爱又恨。
圆的世界就像一块美味的蛋糕，里面藏着很多秘密和惊喜。
今天就来聊聊关于圆的那些事，别担心，我们轻松一点，像是在喝茶聊天一样。
1. 圆的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是圆。
圆就是平面上所有与中心点等距离的点组成的图形。
你可以把中心点想象成一个小明星，周围的点就像是围绕着它跳舞的小伙伴。
这个距离，我们叫它半径，简直就是圆的生命线。
它就像一个圆的“心跳”，只要这个心跳存在，圆就活着。
1.1 半径和直径谈到圆，半径和直径可是不可不提的好朋友。
半径嘛，刚才说了，就是从圆心到圆上任意一点的距离，而直径呢，就是穿过圆心的那条线，两边都是圆周的“宽阔大道”。
直径其实是半径的两倍，这样一来，圆的半径和直径之间的关系就清晰了，真是简单明了，不是吗？1.2 圆周和面积说到圆，当然要提圆周和面积了。
圆周的长度公式是 (C = 2pi r)，这其中的 (pi) 就是个神秘的数字，约等于3.14。
圆的面积公式是 (A = pi r^2)。
想象一下，咱们用半径来“画”出一圈圈的面积，哇，那感觉就像在沙滩上画圈一样，舒服极了。
2. 圆的定理现在，咱们进入更深层的内容——圆的定理。
这些定理就像一条条指引我们探索圆的“导航仪”，有了它们，数学世界不再是迷雾重重。
2.1 圆的切线第一个要聊的就是圆的切线。
切线是一条只和圆相交于一个点的线，就像是你在朋友的生日派对上，只跟蛋糕打了个照面，结果就被“吸引”住了。
切线与半径在切点处是垂直的，这就像是一个严肃的守卫，确保其他线不敢随便靠近。
2.2 圆的弦接下来是圆的弦。
弦是连接圆上两个点的线段，就好比你和朋友在圆上“牵手”一样。
弦的长度和圆心的距离之间有着千丝万缕的联系。
弦越长，距离圆心的距离就越短。
这就像是有些朋友特别亲密，总是喜欢呆在一起，让人羡慕不已。
3. 圆的应用圆的公式和定理在我们的生活中可真是无处不在。
初中数学：有关圆的概念及性质
初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。
24.2圆的基本性质复习
能力提升
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两
点，且AC＝CD. (1)求证：OC∥BD； (2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角 形，试确定四边形OBDC的形状．
能力提升
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交
BC，AC于点D、E，且点D为BC的中点．
推论
.C O
E
A
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于 D
弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵CD是直径，AB是弦，AE=BE ∴ CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
例１ 已知：如图，直径 CD⊥弦 AB，垂足为
点 E．
（1）若半径 R＝2，AB＝2 3，则 OE＝
；
（2）若半径 R＝2，OE＝1，则 AB＝
(1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，
使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长； 若不存在，请说明理由．
小结
1、通过本节课的复习，你巩固了哪些知识和 方法？
2、通过本节课的复习，你还有那些疑惑？
圆的 定义
圆心圆、心半、径半、径直径
有关概念
弧、弦（直径）、弦心距、弓形 等圆、等弧、同心圆 圆心角、圆周角
圆的基本性质
圆的中心对称性和旋转不变性
圆的轴对称性
圆心角定理 圆周角定理
垂垂径径定定理理
考纲要求
❖ 1、了解圆的有关概念及其对称性，能准 确区分圆的有关概念
❖ 2、掌握垂径定理及推论 ❖ 3、掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的
能力提升
1．如图所示，OA、OB分别为⊙O的半径，弦BC∥OA，若
圆各知识点总结
第24章 圆知识点总结一、 圆的基本性质1.圆的有关概念（1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 拓展：a.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；b.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；c.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；d.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(2)圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
(3)弦：圆上任意两点连成的线段；通过圆心的弦是直径，是圆中最长的弦，也是圆的对称轴。
(4) 弧：圆上任意两点之间的部分；以A 、B 为端点的弧记作B A(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（半圆是弧，不包括直径的部分，因此求半圆的周长时不要画蛇添足。
）(6)劣弧：在同圆或等圆中，弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。
优弧：弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。
（优弧通常用三个字母表示，如C AB。
） (7)同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆(8)等圆：能够重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆. (9)弦心距：从圆心到弦的距离 2.圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆点。
3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分线所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的知识点高中总结
圆的知识点高中总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面内到一定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定长叫做圆的半径，用r表示。
2. 圆的基本元素：圆的基本元素包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
圆心就是圆的中心点，通常用O表示；半径是圆心到圆上任意点的距离，用r表示；直径是通过圆心的两个端点，用d表示。
3. 圆的周长和面积：圆的周长C等于直径d乘以π（皮），即C=πd，其中π是一个无理数，约为3.14159；圆的面积S等于半径r的平方乘以π，即S=πr²。
4. 圆的坐标方程：如果圆的圆心坐标为(a, b)，半径为r，则圆的方程为(x-a)²+(y-b)²= r²。
二、圆的性质1. 圆心角和弦的关系：圆心角对应的弦长等于半径的长度的两倍。
即∠AOB=2∠ACB，AB=2r。
2. 同弦定理：圆上的不同弦所对的两个圆心角相等。
3. 同弧定理：圆上的两个相等的圆心角所对的弧长相等。
4. 弧长及弧度：圆上的一段弧长与半径的比值叫做弧度，用θ表示。
弧长L= rθ。
5. 切线和法线：与圆相切的直线叫做切线，切线与半径的夹角等于90度；垂直于切线的直线叫做法线。
6. 圆的切线长度：从外点到圆切点的切线长度等于外点到圆心的距离。
三、圆的相关定理1. 切线定理：若直线l与圆O(A, B, C)相切于点T，则OA⊥OT。
2. 切线长度定理：切线与圆的切点处垂直与切线的半径相等，即AT=OT。
3. 弦定理：两相交弦的两条小弧的乘积等于两相交弦的另外两个小弧的乘积，即AB×CD=BC×AD。
4. 弦切角定理：弦切角等于其所对的弧的角。
5. 圆与三角形：在圆中，若线段AB是该圆的直径，AC是该圆上的弦，且∠ACB=90°，则三角形ABC是直角三角形。
6. 圆内切四边形定理：圆内切四边形的内角和为180度。
四、圆的应用1. 圆的应用广泛：圆的性质和定理在证明分类、几何问题、物理问题等方面都有着广泛的应用。
圆形的相关概念
圆形的相关概念圆形是几何学中的基本图形之一，它具有许多重要的概念和性质。
在本文中，我将详细介绍圆形的相关概念，并讨论其在几何学和日常生活中的应用。
首先，圆形是由一个固定点（圆心）和与该点距离相等的所有点组成的。
圆形的圆心是圆形的中心点，而圆形的半径是从圆心到圆周上任意点的距离。
所有半径都具有相同的长度，因此圆形的周长是圆周的长度。
圆周是由无数个点组成的，这些点与圆心的距离相等。
而圆周上任意两点之间的距离就是圆周弧长。
圆周弧可以根据其角度来定义，例如一个圆的周长为360度，那么一个90度的圆周弧的弧长就是周长的四分之一。
除了周长和弧长，圆形还具有其他重要的性质和概念。
例如，圆形的直径是通过圆心的一条线段，其两个端点都在圆周上。
直径的长度是圆形半径的两倍。
另外，圆形的面积是圆形内部的空间，可以通过公式πr²计算，其中π是一个无理数，约等于3.14159，r是圆形的半径。
圆形还有一些特殊的性质，如切线和弦。
切线是一个通过圆的一个点，并且只与圆周相切的直线。
切线与半径垂直相交，形成直角。
而弦是任意连接圆上两点的线段，它可以是圆的直径，也可以是非直径的线段。
此外，圆形还与许多几何定理和公式相关。
例如，圆形上的两个切线的交点与圆心连线所构成的角是等于切线所夹的弧所对应的圆心角的一半。
这是切线定理的一个重要特例。
还有，如果两个圆相交于两个点，那么通过这两个点的圆周弧以及两个圆心之间的线段所构成的四边形是一个等腰梯形。
在日常生活中，圆形在许多领域都有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，许多建筑物的平面布局就是基于圆形的。
圆形的对称性使得它成为设计中常用的形状之一。
此外，圆形也广泛应用于机械工程、制造业和航天工程等领域。
例如，圆形的齿轮和轮胎都是基于圆形设计的。
总结起来，圆形是一个重要的几何学概念，具有许多有趣的性质和应用。
它不仅在几何学中起着重要的作用，而且在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
通过了解圆形的概念和性质，我们能更好地理解和应用它。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：圆中相关的定理以及推论：
垂径定理：____________________________________________________；
推论：________________________________________________________；
总结：知二推三①___________________________________，
②_______________________，③______________________，
④_______________________，⑤______________________．
问题2：四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
问题3：圆周角定理：_______________________________________；
推论1：______________________________________；
推论2：____________________________；________________________________．
推论3：______________________________________．
问题4：三点定圆定理：_____________________________________．
问题5：圆中处理问题的思路：
①_______________________________________；
②_______________________________________；
③_______________________________________；
④_______________________________________．
圆中的基本概念及定理(一)
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，连接BC，BD，则下列结论不一定正确的是( )
A. B.AF=BF
C.OF=CF
D.∠DBC=90°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
2.如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系
3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC的度数为( )
A.60°
B.70°
C.120°
D.140°
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆内接四边形的性质
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，，则⊙O 的半径为( )
A. B.5
C.4
D.3
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
6.如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，若B是y轴右侧⊙A上一点，则cos∠OBC的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义
7.如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABC=50°，则∠D的度数为( )
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC的度数为( )
A.110°
B.100°
C.120°
D.90°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆内接四边形的性质
9.如图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC的度数为( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆内接四边形的性质
10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为( )
A. B.8 C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理。