江苏省南通市启东市2019~2020学年高一第二学期期末考试数学试卷(原卷+答案解析版)
江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题创新班[含答案]
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江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（创新班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，7AC =，2BC =，60B =o ，则BC 边上的中线AD 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．72．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A ．定B ．有C ．收D ．获3．直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是（ ）A ．π[6，π5π][26U ，π)B ．[0，π5π][66U ，π)C ．[0，5π]6D ．π[6，5π]64．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．1D O ∥平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为25．已知直线2y x =是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为（ ）A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水 柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在 B 点测得水柱顶端的仰角为30︒，则水柱的高度是（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m7．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线8．如图，2π3BAC ∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD y AE x y =+∈R u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ） A ．[1，423]+ B ．[423-，423]+ C ．[1，23]+D ．[23-，23]+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β．若αβ∥，a α⊂，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．α与β内所有直线平行B ．α与β内的无数条直线平行C ．α与β内的任意直线都不垂直D ．α与β没有公共点10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形D ．若222+a b c >，则ABC ∆一定是锐角三角形11．下列说法正确的是（ ） A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B ．点(0， 2)关于直线1y x =+的对称点为(1，1) C ．过1(x ，1)y 、2(x ，2)y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=12．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k -+-=∈N ．下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程为 ． 14．已知圆1C ：229x y +=，圆2C ：224x y +=，定点(1M ，0)，动点A 、B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=，则线段AB 的取值范围 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. (本题第一空2分，第二空3分)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，2π3B =，3c =． ⑴求角C ；⑵若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，求BE 的长．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． ⑴求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；⑵若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．19． (本小题满分12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．⑴证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；⑵当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．20．(本小题满分12分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB BC a==(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M CD∈）方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．⑴求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a；⑵若兔子要想不被狼吃掉，求θ(DACθ=∠的取值范围．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．⑴求圆O1的标准方程；⑵求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；⑶已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若dd1＝2，求证：直线l过定点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，4)，圆O ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ⑴若直线l 与y 轴交于D ，且DP →·DQ →＝16，求直线l 的方程； ⑵设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；⑶设AB 的中点为M ，点N （43，0），若MN ＝133OM ，求△QAB 的面积．江苏省启东中学高一创新班数学答案（2020.4.8）一：单项选择题：1：D ，2:B ．，3:B.，4:D ， 5:C ，6:A ，7:C.，8：B . 二：多项选择题：9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三：填空题：13:3x －4y －41＝0.14:[132,132+-]15: （1）π3 (2) 716:2－3 四：解答题：本题共6小题，共70分。
江苏省启东中学2019-2020高三第二学期期初学生素质调研测试数学试卷(解析版)word
2019-2020高三第二学期期初学生素质调研测试高三数学试卷 Ⅰ参考公式：正棱锥的侧面积公式：S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 是正棱锥底面的周长，h ′为斜高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 是底面面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1． 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A ð＝ ▲ ． 2． 复数3i i+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．3． 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．4． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ． 5． 函数()22log 43y x x =+-的定义域为 ▲ ． 6． 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中， 准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦 教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ． 7． 已知抛物线y 2=8x的焦点恰好是双曲线()22102y x a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．S ←1 I ←0While I ＜7 S ←S ＋2I I ←I ＋2 End While Print S（第4题）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
江苏省启东中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题(普通班)(含答案)
江苏省启东中学2019-2020第二学期期初考试高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量(万件)x 234单位成本(元件)y /3a 7现根据表中所提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则值等于( )y x ˆ21y x =-a A ．B ．C ．D ．4.55 5.562. 直线x cos α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )3A.∪ B.∪ C. D.[π6，π2][π2，5π6][0，π6][5π6，π)[0，5π6][π6，5π6]3. 掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M ＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N ＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝，P (N )＝B ．P (M )＝，P (N )＝13121334C ．P (M )＝，P (N )＝D ．P (M )＝，P (N )＝123412124. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)5. 在中，，则BC 边上的中线AD 的长为 ABC ∆2,60AC BC B === ()A ．1BC ．2D 6. 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝2，3则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝07. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m8. 已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程 f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−1)，B(2,0)，过A 的直线交x 轴于点C(a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a =( )A. 14B. 34C. 1D. 432. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，则下列等式恒成立的是( )A. b =acosC +ccosAB. b =acosA +ccosCC. b =asinC +csinAD. b =acosC −ccosA3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM//平面ADE ；②CN//平面ABF ；③平面BDM//平面AFN ；④平面BDE//平面NCF ． 以上四个命题中，真命题的序号是( )A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④4. 经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )A. x +y =4B. x +y =2C. x =2或y =2D. x +y =4或x =y5. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. −1C. 0D. √26. 已知x 、y 满足x 2+(y −2)2=3，则yx 的取值范围是( )A. [−√3,√3]B. [−√33,√33] C. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且ca =cosB1+cosA ，则△ABC 为( )A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 三边均不相等的三角形8. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l//α，l//β，α∩β=m ，则( )A. l 与m 平行B. l 与m 相交C. l 与m 异面D. l 与m 垂直9. 在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是，若，则 △ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10. 若圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线2x −y +6=0的距离等于√5，则r 的取值范围是( )A. (0,2√5)B. (√5,3√5)C. (√5,2√5)D. (2√5,3√5)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)12. 已知直线ax −y +a =0与直线x +2y −2=0平行，则实数a 的值为______．13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2√3的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______．14. 在△ABC 中，若，则角的值是 ．15. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 16. 在△ABC 中，，则的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，AB//CD ，AB =2AD =2，∠ADC =∠BCD =120°，四边形EDCF 为正方形，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)证明：在线段AB上存在一点G，使得EG//平面BDF；(2)求该五面体的体积．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(2sinx,2cosx),n⃗=(√3cosx,cosx),f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−1．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移π6单位，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[0,π8]上的最小值．19.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000km/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度(精确到1m)(sin18.5°≈0.317，sin81°≈0.988)20. 已知抛物线C ：y 2=4x ．(Ⅰ)过抛物线C 上的点P 向x 轴作垂线PQ ，交x 轴于点Q ，求PQ 中点R 的轨迹D 的方程； (Ⅱ)在曲线D 上求一点M ，使它到点N(3,0)的距离最小．21. 在△ABC 中，若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosA +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosC =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅sinB (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S ．22.如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A(2,2)，由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．(Ⅰ)求实数a，b之间满足的关系式；(Ⅱ)求线段PQ的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得a的值．解：设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α=2tanα1−tanα，由k AC=1a ，k AB=12，即有1a =2×121−14，解得a=34．故选B．2.答案：A解析：解：选项A，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=2b22b=b=左边，即选项A正确；选项B，等式右边=a⋅b2+c2−a22bc +c⋅a2+b2−c22ab≠左边，即选项B错误；选项C，由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，若选项C成立，则sinB=sinAsinC+sinCsinA，∵A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosC，sinA=cosA，∴A=C=π4，B=π2，即只有当A=C=π4，B=π2时，选项C才是正确的，故并不是恒成立，选项C错误；选项D，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab −c⋅b2+c2−a22bc=2(a2−c2)2b≠左边，即选项D错误．故选：A．根据余弦定理，对选项A，B和D中等式右边的式子进行化简，看能否恒等于左边；结合正弦定理、三角形的内角和与两角和公式可判断选项C．本题考查解三角形，熟练运用正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，由图可得：①②③④均正确，故选：A．先由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，再由图结合线面平行，面面平行的判定定理可得①②③④正确，得解，本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属中档题．4.答案：D解析：本题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为y−02−0=x−02−0，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故所求直线方程为x=y或x+y=4．故选D．5.答案：B解析：解：如图，∵∠A =90°； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 又AB =1；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−1 =−1． 故选：B ．可画出图形，根据条件可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，而BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算．6.答案：D解析：设直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得yx 的取值范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．解：由题意可得，yx 表示圆x 2+(y −2)2=3上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，设为k ， 故此直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得√k 2+1≤√3， 求得k ≤−√33或k ≥√33，故yx 的取值范围是k ≤−√33或k ≥√33，故选D ．7.答案：C解析：解：由余弦定理，可得cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac，代入已知等式，得ca =a2+c2−b22ac1+b2+c2−a22bc去分母化简，整理可得，b(a2+c2−b2)=2bc2+c(b2+c2−a2)…(2分)整理，得(c+b)(b2+c2−a2)=0，∵b+c>0，∴b2+c2−a2=0，…(6分)因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A为直角的直角三角形，.…(8分)故选：C．把余弦定理代入已知条件，化简可得(c+b)(b2+c2−a2)=0，故有b2+c2=a2，由此即可判断△ABC的形状．本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l//α，l//β，且α∩β=m时，l//m．故选A．9.答案：D解析：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA(sinB−sinA)=0，从而可得或B=A或B=π−A(舍去)．解：∵c−acosB=(2a−b)cosA，C=π−(A+B)，∴由正弦定理得：sinC−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴cosA(sinB−sinA)=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴或B=A或B=π−A(舍去)，故选：D．10.答案：B解析：解：∵圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心到直线2x−y+6=0的距离为d= =2√5，√5当r=√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r=3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5，∴圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x−y+6=0的距离等于√5时，圆的半径r的取值范围是：√5<r<3√5，故选：B．先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于√5，以及圆上只有一个点到直线的距离等于√5的条件，可得要求的r的范围．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．11.答案：④.解析：本题由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．12.答案：−12解析：解：∵直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行，∴a1=−12≠a−2，解得a=−12，∴实数a的值为−12．故答案为：−12．利用直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行的性质能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：本题考查球体的体积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，利用公式2R=l2ℎ求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，球O 的半径为R ， 则πl =2πr ，得r =l2=√3，圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√(2√3)2−(√3)2=3， ∴球O 的直径为2R =l 2ℎ=(2√3)23=4，∴R =2．因此，球O 的体积为V =43π×R 3=32π3．故答案为：32π3．14.答案：解析：试题分析：根据题意，由于，那么由正弦定理可知因为A >B ，因此可知角A 的值为两个解，分别是60°或120°。
江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一(创新班)下学期期初考试数学试题(解析版)
江苏省启东中学2019~2020学年度第二学期期初考试高一创新班数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC V 中，2,60AC BC B ===o ，则BC 边上的中线AD 的长为( )A. 1B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可得：2222cos 3AC AB BC AB BC B AB =+-⋅⇒=，在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，即可．【详解】由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．3AB ∴=在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，AD ∴=故选D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2.水水水水水水水水水水水水水水水“水水水水水水水水水水水水水水水水水”水水水水水水水水水水水水水水水水水水水水水“水”水水水水水水水水水水水水水水水水水水水水 水A. 水B. 水C. 水D. 水【答案】B 【解析】试题分析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”． 故选B ．考点：展开图与直观图.3.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是( )A. π[6，π5π][26⋃，π) B. [0，π5π][66⋃，π)C. [0，5π]6D. π[6，5π]6【答案】B 【解析】 【分析】求出直线斜率为k α=，根据cos α的范围即可求得斜率的范围，再由正切函数的图象即可求出直线倾斜角的范围.【详解】直线方程化为斜截式为：y x α=-，斜率为k α=，因为cos [1,1]α∈-，所以斜率[33k ∈-， 根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0，π5π][66⋃，π). 故选：B【点睛】本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.4.正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是( )A. 1//D O 平面11A BCB. 1D O ⊥平面AMCC. 异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D. 点B 到平面AMC【答案】D 【解析】 分析】A 项，通过证明11//OD BO 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r 、10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r推出1OD AM ⊥、1OD CM ⊥，从而证明线面垂直；C 项，利用公式11cos ||||AC BC AC BC θ⋅=⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r 可求得异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值从而求得夹角；D 项，由等体积法求点到平面的距离即可判断.【详解】A 项，连接11B D ，交11A C 于点1O ，连接BD ，根据正方体的性质可知，11D O 与BO 平行且相等，所以四边形11BOD O 是平行四边形，即11//OD BO ，又因为1//D O 平面11A BC ，故A 选项正确；B 项，设正方体的边长为1，分别以BA ，BC ，1BB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图：【则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(,,0)22B A C O ，11(0,0,),(1,1,1)2M D ，所以111,,122OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，11,0,2AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，10,1,2CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，因为10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r ，10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r，所以1OD AM ⊥，1OD CM ⊥，又因为AM CM M ⋂=，且AM ⊂平面AMC ，CM ⊂平面AMC ， 所以1D O ⊥平面AMC ，B 选项正确；C 项，根据B 项可得1(0,1,1)C ，所以1(0,1,1)BC =u u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u r， 设异面直线1BC 与AC 所成角为θ，则111cos 2||||AC BC AC BC θ⋅==⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r ， 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以60θ︒=，C 选项正确； D 项，设正方体的边长为a，则2BO a =，所以由勾股定理可得2MO a ==，根据题意可知MA MC =，O 是AC 的中点，故MO AC ⊥，所以212MAC S AC MO =⋅=V ，设点B 到平面MAC 的距离为h ，则13B MAC MAC V S h -=⋅V ，又因为13B MAC M ABC ABC V V S MB --==⋅V，解得ABC MAC S MB h S ⋅==≠V V ，D 错误.故选：D【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直的判定及异面直线和平面夹角的求解，属于中档题.5.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( )A. (－2，4)B. (－2，－4)C. (2，4)D. (2，－4)【答案】C【解析】【分析】求出A(水4水2)关于直线y水2x的对称点为(x水y)，可写出BC所在直线方程，与直线y＝2x联立，即可求出C 点坐标.【详解】设A(水4水2)关于直线y水2x的对称点为(x水y)水则221424222yxy x-⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-+⎪=⨯⎪⎩水解得42xy=⎧⎨=-⎩水BC所在直线方程为y水1水2143---(x水3)水即3x水y水10水0. 联立直线y=2x水解得24xy=⎧⎨=⎩水则C(2水4)．故选C.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A. 50 mB. 100 mC. 120 mD. 150 m【答案】A【解析】分析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt水ACD中，由水DAC=45°，可得AC=h．由水BAE=30°，可得水CAB=60°．在Rt水BCD中，水CBD=30°，可得．在水ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出．【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt水ACD中，水水DAC=45°水水AC=h水水水BAE=30°水水水CAB=60°水又水B，A，C在同一水平面上，水水BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt水BCD 中，水在水ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2水2AC•ABcos60°水水2=h 2+1002水121002h ⨯⨯水 化为h 2+50h ﹣5000=0，解得h=50． 故选A ．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7.已知直线l 方程为(),0f x y =，()111,P x y 和()222,P x y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示（ ）A. 过点1P 且与l 垂直的直线B. 与l 重合的直线C. 过点2P 且与l 平行的直线D. 不过点2P ，但与l 平行的直线【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线与l 平行，再判断直线过点2P ，得到答案.【详解】由题意直线l 方程为(),0f x y =，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --= 两条直线平行，()111,P x y 为直线l 上的点，()11,0f x y =，()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，化为()()22,,0f x y f x y -=，显然()222,P x y 满足方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，所以()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示过点2P 且与l 平行的直线． 故答案选C ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况. 8.如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP x AD y AE x y R =+∈u u u v u u u v u u u v、，则x y +的取值范围是（ ）A. 1,4⎡+⎣B. 4⎡-+⎣C. 1,2⎡+⎣D. 2⎡⎣【答案】B 【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE u u u r u u u r u u u r=+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠=，则2,AM DM ==，则2AQ =-12AR =，2(4(2(212AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r -==-=+，此时4x y +=-，同理可得：(2(2AT AD AE u u u r u u u r u u u r=+++，4x y +=+B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知直线a ，两个不重合的平面α，β.若//αβ，a α⊂，则下列四个结论中正确的是( ) A. a 与β内所有直线平行 B. a 与β内的无数条直线平行 C. a 与β内的任意直线都不垂直 D. a 与β没有公共点【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。
江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D.【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B选项.2.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆229x y+=内的概率为（）A. 536B. 29C.16D.19【答案】D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x2+y2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D3.已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a==，则该三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理对cos cos A bB a =化简得到A B =或2A B π+=，再结合已知分析判定三角形的形状得解. 【详解】由题得cos sin ,sin cos sin cos ,sin 2sin 2cos sin A b BA AB B A B B a A==∴=∴=, 因为022,0220A B A B πππ<<<<<+<，, 所以22A B =或22A B π+=, 所以A B =或2A B π+=.因为,b A B ∴=舍去.所以,22A B C ππ+==，c =.所以三角形是直角三角形. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4.，ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r则BC=______A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=u u u r u u u r Q|BC ∴故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.5.过点(0,2)-的直线l 与圆222x y x +=有两个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心坐标为(1,0)，半径为1.再设出直线方程为2,y kx =-1<即得解.【详解】由题得圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1. 设直线方程为2,y kx =-即20kx y --=.31,4k <∴>. 故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕.恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕.下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（ ）A. 农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势B. 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多C. 1995年我国农村居民初步达到小康标准D. 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%【答案】D【解析】【分析】利用统计图对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 从图中看出农村和城镇居民家庭消费支出中用于购买食物的支出所占比例呈下降趋势，但看不出农村和城镇居民家庭消费支出的趋势，故错误.B. 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多,是错误的.只能说农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出比例更大，并不代表支出的数量更大.C. 1995年我国农村居民初步达到小康标准，是错误的.因为1995年农村居民恩格尔系数是58.6，而恩格尔系数达到40～50%为小康，所以农村居民没有达到小康水平.D. 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%是正确的.因为2015年城镇居民和农村居民的恩格尔系数都大于30.6%.故选：D【点睛】本题主要考查统计图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A. 14米B. 15米C.D.【答案】D【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2＝r2，将A的坐标代入圆的方程可得r＝10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2＝100则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）代入圆的方程可得x 0=所以当水面下降1米后，水面宽为米． 故选：D ．8.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，3b =，则c 的取值范围是（ ）A. (2,4)B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题得24c <<,再由余弦定理得29+10c ->，且2190c +->，且21+90c ->，解不等式即得解. 【详解】由题得24c <<.由题得0cos 1,A <<且0cosB 1<<,且0cos 1C <<， 所以29+10c ->，且2190c +->，且21+90c ->，所以c <<因为24c <<，所以c << 故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x （单位：万元）与年家庭消费y （单位：万元）的数据，制作了对照表：由表中数据得回归直线方程为0.5ˆyx a =+，得到下列结论，其中正确的是（ ） A. 若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元 B. 若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元 C. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元 D. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出样本中心点的坐标，再求出0.5.1ˆ0yx =+，即可判断得解. 【详解】由题得1(2.7 2.8 3.1 3.5 3.9) 3.25x =++++=，1(1.4 1.5 1.6 1.8 2.2) 1.75y =++++=，所以1.70.5 3.20.1a a =⨯+∴=，.所以0.5.1ˆ0yx =+. 当4x =时，0.540 2.1ˆ.1y =⨯+=，所以选项B 正确，选项A 错误; 因为0.5.1ˆ0yx =+， 所以若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元， 所以选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10.已知(),3A m ，2,()4B m m +，,(2)1C m +，()1,0D ，且直线AB 与CD 平行，则m 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【分析】对m 分两种情况讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于m 的方程，解方程即得解. 【详解】当0m =时，()0,3A ，(0,4)B ，(1,2)C ，()1,0D ，直线AB ⊥x 轴，直线CD ⊥x 轴，所以直线AB 与CD 平行. 当0m ≠时，1212,,,1AB CD m m k k m m m m m++==∴=∴=. 故选：BC【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11.在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若()222tan a c bB +-=，则角B 的值为( ) A.6πB.3π C.56π D.23π 【答案】BD 【解析】 【分析】根据余弦定理，代入即可求得角B.【详解】根据余弦定理可知2222cos a c b ac B =+-，代入化简可得sin 2cos cos Bac B B⋅=， 即sin B =， 因为0B π<<， 所以3B π=或23B π=， 故选：BD【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.12.已知圆221:(3)(4)25C x y -+-=与圆2222:(1)(2)(0)C x y r r -+-=>相内切，则r 等于（ ）A.B. 5-+C. 5-D. 5--.【分析】|5|,r =-解方程即得解. 【详解】由题得圆221:(3)(4)25C x y -+-=的圆心为(3,4),半径为5；圆2222:(1)(2)(0)C x y r r -+-=>的圆心为(1,2)，半径为r ；|5|,|5|,r r r -∴=-=5±. 故选：AC【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.13.已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的平均数为__________，方差为__________.【答案】 (1). 4 (2). 3； 【解析】 【分析】设原数据的平均数为x ，方差为2S ,根据新数据为32(1,2,3,4,5)n x n -=，利用公式求出新数据的平均数和方差.【详解】设原数据的平均数为x ，方差为2S , 由于新数据为32(1,2,3,4,5)n x n -=， 所以新数据的平均数为323224x -=⨯-=， 新数据的方差为2213933S ⨯=⨯=. 故答案为：4；3.【点睛】本题主要考查数据的平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为14，得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是12，则任取一球得到黄球的概率为__________.【答案】16； 【解析】 【分析】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为a b c d ,,,,再根据已知求出它们的值，再利用古典概型的概率公式得解.【详解】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为a b c d ,,,由题得11234a =⨯=，所以9b c d ++=， 由题得512512b c +=⨯=，所以4d =，由题得11262c d +=⨯=，所以2c =.由古典概型的概率公式得任取一球得到黄球的概率为21=126. 故答案为：16【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 15.在ABC V 中，60C =︒，16a b +=，则ABC V 的周长l 的最小值是________. 【答案】24； 【解析】 【分析】利用余弦定理表示第三边，通过基本不等式求解ABC ∆的周长l 的最小值． 【详解】在ABC ∆中，60C =︒，由余弦定理可得：2222222cos ()32563c a b ab C a b ab a b ab ab =+-=+-=+-=-，ABC ∆的周长16161616824l c =+==+=． 当且仅当8a b ==时，取等号． 故答案为：24【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握分析推理水平.16.设集合()(){}22,41A x y x y =-+=，()()(){}22,21B x y x t y at =-+-+=，若存在实数t ，使A B φ⋂≠，则实数a 的取值范围是_______．【答案】4[0,]3【解析】 【分析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数a 的取值范围.详解】由题意得两圆有交点，所以1111-≤≤+， 即22(1)4(2)160a t a t +-++≤有解，因此22416(2)64(1)003a a a +-+≥∴≤≤. 【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡制定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； 【答案】（1）0.9（2）0.085,0.125a b ==【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值 试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时学生共有【6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9（2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17， 所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距 考点：频率分布直方图18.在ABC V 中，BC a =，AC b =，已知a，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=， ，1，求角C 的大小，（2）求AB 的长．【答案】120o C =,c =【解析】试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o（2）由题意得{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o=()(2222210a b ab a b ab ++=+-=-=∴AB =考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题19.已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,，，，，，，，，，，，，.20.如图所示的四边形ABCD 中，已知AB AD ⊥，120ABC ∠=︒，60ACD ∠=︒，27AD =，设ACB θ∠=，C 点到AD 的距离为h .（1）用θ表示h 的解析式；（2）求AB BC +的最大值.【答案】（1）()()sin 30060h θθθ=︒+︒<<︒（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理得AC θ=，再根据sin h AC CAD =∠得解；（2）由正弦定理得18sin 2AB θ=，29sin 2BC θθ=-,得AB BC +=2θ+9sin 2θ+，再利用三角函数求最大值得解.【详解】（1）由已知，得()360901206090ADC θθ∠=︒-︒+︒+︒+=︒-.在ACD V 中，由sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，得27cos sin 60AC θθ==︒. 又18030CAD ADC ACD θ∠=︒-∠-∠=︒+，且060θ︒<<︒，所以()()sin sin 30060h AC CAD θθθ=∠=︒+︒<<︒.（2）在ABC V 中，由正弦定理得sin 18sin 2sin120AC AB θθ==︒， ()()sin 6036cos sin 60sin120AC BC θθθ︒︒-==︒-9sin 2θθ=+-，于是9sin 2AB BC θθ+=+()18sin 260θ=+︒.因为060θ︒<<︒，所以当15θ=︒时，AB BC +取得最大值.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A 病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.【答案】（1）200（2）10.4（天）（3）815 【解析】【分析】（1）求出调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，即得解；（2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，因此该地区A 病毒患者中，60岁以下的人数估计有2050020050⨯=人. （2）()11123751071191411413251810.45050x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=（天） （3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A ，则事件A 包括8个， 所以8()15P A =. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为2，直线:3410l x y +-=被圆M 截得的弦长为M 在直线l 的上方.（1）求圆M 的方程；（2）设(0,)A t ，(0,6)B t -()24t ≤≤，若圆M 是ABC V 的内切圆，求AC ，BC 边所在直线的斜率（用t 表示）；（3）在（2）的条件下求ABC V 的面积S 的最大值及对应的t 值.【答案】（1）22(2)4x y -+=（2）244ACt k t-=；24(6)4(6)BC t k t --=-（3）ABC V 的面积S 的最大值为24，此时2t =或4t =【解析】【分析】 （1）设圆心(,0)M a ，求出点M 到:3410l x y +-=的距离为1，解方程3115a -=即得解；（2）设AC 斜率1k ，BC 斜率为2k ，再根据直线和圆相切得到方程，解方程即得解；（3）求出2118S k k =-，再把21236=26k k t t-+-代入，结合t 的范围求出面积的最大值和此时t 的值. 【详解】（1）设圆心(,0)M a ，由已知得M 到:3410l x y +-=1=,3115a -∴=. 又M Q 在l 的上方，310a ∴->，315a ∴-=，2a ∴=，故圆的方程为22(2)4x y -+=.（2）设AC 斜率为1k ，BC 斜率为2k ，则直线AC 的方程为1y k x t =+，直线BC 的方程为26y k x t =+-.由于圆M 与AC2=，244t k t-∴=；同理，224(6)4(6)t k t --=-. （3）联立两条直线方程得C 点的横坐标为216k k - (6)6AB t t =--=Q ，2121161862S k k k k ∴=⨯=-- 由（2）得：21236=26k k t t -+-， 24t ≤≤Q ，2968t t ∴-≤-≤-2362463t t ∴-≤≤--，213546k k ∴≤-≤，2161453k k ∴≤≤- max 24S ∴=，此时268t t -=-，2t =或4t =.综上：ABC V 的面积S 的最大值为24，此时2t =或4t =.【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
江苏省启东市2019-2020学年高一下学期期末调研测试数学试题 扫描版含答案
数学参考答案与评分建议一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1~4 C C D B 5~8 B A C B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. AD 10. ABD 11. AC 12. ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 式子1239log 27+的值是 ▲ . 【答案】6 14．已知3sin 5α=，α为锐角，则cos (π)α-= ▲ .【答案】45-15．已知直线10x y -+=与圆2220x y x a +--=相切，则a 的值是 ▲ .【答案】116．“辛普森（Simpson ）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V 等于其上底的面积S 、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积S 0的4倍、下底的面积S '之和乘以高h 的六分之一，即()0146V h S S S '=++．已知函数(0)k y m x x =+>的图象过点()122A ，，()11B ，，且与直线0x =，y =1及y =2围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体，则k m -= ▲ ，利用“辛普森（Simpson ）公式”可估算该几何体的体积V = ▲ .（第一空2分，其次空3分）【答案】1， 109π216四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17. （本小题满分10分）已知3=a ，1=b ，a 与b 的夹角为6π．求：（1）()⋅+a a b ；（2）2a b -．解：（1）()2⋅+=+⋅a a b a a b ……2分()2π3+31cos 6=⨯⨯ 92=． ……5分 （2）()22=2a b a b -- 2244=⋅+a a b b - ……7分 ()2π3431cos +46=⨯⨯⨯- 1=． ……10分 18. （本小题满分12分） 眼睛是心灵的窗户，爱护好视力格外重要．某校高一、高二、高三班级分别有同学1 200名、 1 080名、720名．为了解全校同学的视力状况，学校在6月6日“全国爱眼日”接受分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）求从高一班级抽取的同学人数； （2）试估量该学校同学视力不低于4.8的概率； （3）从视力在[)4.0 4.4，内的受测者中随机抽取 2人，求2人视力都在[)4.2 4.4，内的概率． 解：（1）高一班级抽取的同学人数为： 1200502012001080720⨯=++． 答：从高一班级抽取的同学人数为20． ……2分 （2）由频率分布直方图，得()0.20.3 1.0 1.5 1.20.21a +++++⨯=， 所以0.8a =． ……4分 所以抽取50名同学中，视力不低于4.8的频率为()1.20.80.20.4+⨯=， 所以该校同学视力不低于4.8的概率的估量值为0.4． ……6分 （3）由频率分布直方图，得 视力在[)4.0 4.2，内的受测者人数为0.20.2502⨯⨯=，记这2人为12a a ，， 视力在[)4.2 4.4，内的受测者人数为0.30.2503⨯⨯=，记这3人为123b b b ，，．……8分 记“抽取2人视力都在[)4.2 4.4，内”为大事A ， 从视力在[)4.0 4.4，内的受测者中随机抽取2人，全部的等可能基本大事共有10个， （第18题）分别为()()()()()()()()1211121321222312a a a b a b a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，，，，，，，， ()()1323b b b b ，，，， 则大事A 包含其中3个基本大事：()()()121323b b b b b b ，，，，，， ……10分 依据古典概型的概率公式，得310P A =（）． 答：2人视力都在[)4.2 4.4，内的概率为310． ……12分19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AD ==，12AA =．（1）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （2）求二面角1A BD A --的正切值．解：（1）由于1111ABCD A B C D -为长方体，所以1A A ⊥平面ABCD ． 由于BD ⊂平面ABCD ，所以BD 1A A ⊥．……2分 由于AB AD =，所以ABCD 为正方形． 所以BD AC ⊥． ……4分又由于1A A AC A =，1A A AC ⊂，平面11A ACC ，所以BD ⊥平面11A ACC ． ……6分（2）设AC BD O =，连接1A O ． 由（1）知，BD ⊥平面11A ACC ．由于1A O ⊂平面11A ACC ，所以BD ⊥1A O ． ……8分 又由（1）知，BD AO ⊥， 所以1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角． ……10分在1Rt A AO △中，12AA =，12AO AC ==， 所以11tan A A A OA AO ∠=== 所以二面角1A BD A --的正切值为 ……12分20．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且sin b A =．（1）求B 的大小； （2）若AB =2，BC 32=，点D 在边AC 上， ，求BD 的长． 请在①AD =DC ；②∠DBC =∠DBA ；③BD ⊥AC 这三个条件中选择一个，补充在上面 的横线上，并完成解答． （注：假如选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）． 解：（1）在△ABC 中，由正弦定理sin a A =sin b B ，及sin b A =得， sin sin B A A =． ……2分 由于△ABC 为锐角三角形，所以()π02A ∈，，所以sin 0A >． 所以sin B . ……4分 又由于()π02B ∈，，所以π3B =. ……6分 （2）若选①. 法一：在△ABC 中，由于AD =DC ，所以BD ＝()12BA BC +. ……8分 所以BD 2()221+24BA BC BA BC =+⋅ ……10分 ()2233π2+22cos 2234+⨯⨯⨯= 3716= 所以BD . ……12分法二：在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅ A A 1 D 1 B 1 C 1CB D （第19题）A A 1D 1 B 1C 1 CB D （第19题）O()2233π222cos 223=+-⨯⨯⨯ 134=，所以AC =，所以AD DC ==. ……8分 在△ABD 中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB =+-⋅⋅∠即2134cos 16BD ADB =+∠，在△BDC 中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB=+-⋅⋅∠即2913cos 416BD CDB =+∠.……10分 又πADB CDB ∠+∠=，所以cos cos 0ADB CDB ∠+∠=. 所以29134248BD +=+，所以BD.……12分 若选②.在△ABC 中，ABC ABD CBD S S S =+△△△，……8分 即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ⋅=⋅+⋅，……10分即1311131222222222BD BD ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，解得BD =……12分 若选③.在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅()2233π222cos 223=+-⨯⨯⨯134=，所以AC =.……8分由于1sin 2ABC S BA BC B =⋅⋅=△12ABC S BD AC =⋅=△，……10分=，解得BD =……12分 21．（本小题满分12分） 已知圆C ：222230x y x ay ++--=关于直线l ：210x y -+=对称．（1）求实数a 的值；（2）设直线m ：(0)y kx k =>与圆C 交于点A B ，，且AB ． ① 求k 的值； ② 点P ( 3，0 )，证明：x 轴平分APB ∠． 解：（1）由于圆C ：222230x y x ay ++--=关于直线l ：2+10x y -=对称， 所以圆心C ()1a -，在直线l ：2+10x y -=上． ……2分 所以1210a --+=，解得0a =． ……4分 （2）① 由（1）知，圆C ：22(1)4x y ++=． 所以圆心C ()10-，到直线m ：0kx y -=……6分由于AB ==24k =， 由于0k >，所以2k =． ……8分 ② 法一：由①知，直线m ：2y x =． 联立222230y x x y x =⎧⎨++-=⎩，，消去y ，得25230x x +-=，解得1x =-或35x =． 不妨()()361255A B --，，，， ……10分 所以6211503132235PA PB k k -+=+=-+=---． 所以直线PA PB ，的倾斜角互补，从而OPA OPB ∠=∠， 所以x 轴平分APB ∠． ……12分 法二：设直线m ：2y x =上的点()112A x x ，，()222B x x ，，又点P ( 3，0 )，所以12122233PA PB x x k k x x +=+-- ()()()()122112232333x x x x x x -+-=--()()()12121222333x x x x x x -+⎡⎤⎣⎦=--．（*） ……8分联立222230y x x y x =⎧⎨++-=⎩，，消去y ，得25230x x +-=， 所以1212253.5x x x x ⎧+=-⎪⎨⎪=-⎩，代入（*），得0PA PB k k+=．所以直线PA PB ，的倾斜角互补，从而OPA OPB ∠=∠， 所以x 轴平分APB ∠． ……12分 22．（本小题满分12分）已知函数()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且2()()1f x g x x x +=-+． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）设函数()()()1G x f x a g x =++，若对任意实数x ，3()2G x ≥恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由于()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且2()()1f x g x x x +=-+，①所以2()()1f x g x x x -+-=++，即2()()+1f x g x x x -=+， ② ……2分 由①＋②2，得2()1f x x =+，由①－②2，得()g x x =-. ……4分 （2）方法一：由（1）得，()G x =()()1f x a g x ++211x a x =+-+．由于对任意实数x ，3()2G x ≥恒成立．当1x ≥时，设()22211()2242a a h x x ax a x a =+--=+---，则()h x 0≥恒成立.若12a-≤，即2a -≥，则当1x =时，()h x 取得最小值12，符合题意； ……6分 若12a->，即2a <-，则当2ax =-时，()h x 取得最小值2142a a ---. 由21042a a ---≥，得22a --+≤22a -<-.所以2a -≥. ……8分 当1x <时，设()22211()2242a a r x x ax a x a =-+-=--+-，则()r x 0≥恒成立. 若12a <，即2a <，则当2a x =时，()r x 取得最小值2142a a -+-. 由21042a a -+-≥，得22a ≤.所以22a <. ……10分 若12a ≥，即2a ≥时，1()(1)2r x r >=，符合题意.所以2a ≥综上，实数a的取值范围是)2⎡+∞⎣． ……12分 方法二：23()112G x x a x =+-+≥恒成立，即2112a x x --≥恒成立. 当1x =时，明显成立； 当1x ≠时，2121x a x --≥，令1x t -=，设2122()t t h t t ++=-， ……6分 当1x >，即0t >时，()21212()22t t h t t t t ++=-=-++. 设12t t ，是(0)+∞，上任意两个值，且12t t <， 则12()()h t h t -=()()()2112122121121212211122()()2222t t t t t t t t t t t t t t t t ---+++++=--=-，当120t t <<<时，1221t t <，210t t ->，120t t >，所以12()()0h t h t -<，即12()()h t h t <；当122t t <<时，1221t t >，210t t ->，120t t >，所以12()()0h t h t ->，即12()()h t h t >， 所以函数()h t在(0上单调递增，在)+∞上单调递减. ……8分所以当t =()h t 在(0)+∞，上取得最大值2-.所以2a -≥. ……10分 当1x <，即0t <时，21212()22t t h t t t t ++==++， 同理可证，函数()h t在(-∞-，上单调递增，在()0上单调递减.所以当t =时，()h t 在(0)-∞，上取得最大值2所以2a ≥综上，实数a 的取值范围是)2⎡+∞⎣． ……12分。
2024届江苏省南通市启东市启东中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析
2024届江苏省南通市启东市启东中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为()22234a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是 A ．(43,8⎤⎦B ．(]4,8C ．(434,12+⎤⎦D ．(]8,123．若21tan 5772sincos cos cos 12121212tan2αππππα-+=，则tan α=（ ）A ．-4B ．3C ．4D ．-3 4．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量(3,)a m =，(2,1)b =-，(0,)a b λλλ=≠∈R ，则实数m 的值为( ) A ．32-B ．32C ．2D ．36．在下列结论中，正确的为（ ）A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量与向量的长度相等C ．向量就是有向线段D ．零向量是没有方向的7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π8．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >9．如图，在四边形ABCD 中，1sin sin 3DAC α∠==，AB AD ⊥，60D ︒∠=，2AB =，233CD =.则BC =（ ）A 1382-B 4373-C ．4D ．3半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ） A ．16nmB ．12nmC ．8n mD ．6n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南通市启东中学2019-2020学年高二下学期期初数学试题(解析版)
2019～2020学年第二学期期初学生素质调研测试高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一元二次不等式2260x x +-≥的解集为（ ）A. (]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U B. ([)3,2,2⎤-∞-+∞⎥⎦U C. 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】A 【解析】 分析】确定相应一元二次方程的解，根据二次函数性质确定不等式的解集. 【详解】原不等式可化为()()2320x x -+≥， 解得，2x -≤，或32x ≥. 故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于简单题.2.在等差数列{}n a 中，2463a a a ++=-，3576a a a ++=，则{}n a 前8项和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的下标性质求出4a 和5a ，则4518a a a a +=+，再利用等差数列前n 项和公式求解即可.【详解】由等差数列的下标性质可得， 246433a a a a ++==-，所以41a =-，357536a a a a ++==，所以52a =，所以4518211a a a a +=+=-=，【的所以数列{}n a 的前8项和()188818422a a S +⨯⨯===.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的下标性质和等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 3.已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-u u u r，则点A 坐标是（ ） A. ()1,2,3 B. ()1,2,3-C. ()5,8,1-D. ()5,8,1--【答案】D 【解析】 【分析】设点(),,A x y z ，由点A 和点B 表示出向量AB u u u r，构造等式求解即可.【详解】设点(),,A x y z ，则向量()()2,3y,1z 3,5,2AB x =----=-u u u r， 所以233512x y z -=-⎧⎪--=⎨⎪-=⎩⇒581x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以点()5,8,1A --. 故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属于简单题. 4.“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的( ▲ ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 略5.已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的两个焦点分别为12F F 、，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A. 0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值，由此可得到关于,a c 的不等式，从而可得结果.【详解】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴102F P F V 中，10290F P F ∠>︒， ∴Rt V 02OP F 中，0245OP F ∠>︒，∴b c <，∴222a c c -<，∴222a c <，∴2e >，∵01e <<，∴12e <<．椭圆离心率的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.6.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC AA ==，点E 是线段BC 中点，则异面直线1AC 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】作出直三棱柱111ABC A B C -图像，将异面直线的夹角转化成平面的两直线的夹角，找出1//PF B E 和1//NF AC ，即PFN ∠即异面直线1AC 与1B E 所成角，再利用余弦定理求解即可.【详解】由题意画出直三棱柱111ABC A B C -，如图所示， 设AC 、11A B 、1CC 中点分别为F 、P 、N ， 连接EF 、PF 、NF 、PN 和1PC ， 由图知，//EF AB ，且12EF AB =，1//PB AB ，且112PB AB =， 所以1//EF PB ，且1EF PB =，所以四边形1EFPB 是平行四边形， 所以1//PF B E ，又1//NF AC ，所以PFN ∠即异面直线1AC 与1B E 所成角， 设2AB =，则1PF B E ====112NF AC ====，PN ===在PFN V 中，由余弦定理得，222cos 215PF NF PN PFN PF NF +-∠===⋅， 即PFN ∠即异面直线1AC 与1B E 所成角的余弦值为15. 的故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，通过平移直线，选择合适的三角形求解，还考查了余弦定理，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.7.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降1m ，则水面宽度为（ ）A.mB. mC. mD. 12 m【答案】B 【解析】 【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程()220x py p =->并求出p ，最后求解当3y =-时x的值即可求出水面宽度.【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系， 设抛物线方程()220x py p =->，由题意知，抛物线经过点()4,2A --和点()4,2B ， 代入抛物线方程解得，4p =， 所以抛物线方程28x y =-，水面下降1米，即3y =-，解得1x =2x =-所以此时水面宽度12d x ==.故选：B【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.8.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹40=尺，一丈10=尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则13292430a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为（ ）A.1415 B.1617C.2324D.23【答案】C 【解析】 【分析】由题意，数列{}n a 为等差数列，利用1a 和30S 求出公差d 和通项公式，利用等差数列的性质化简132915243016a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，求解1516a a 即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，16a =，301140310470S =⨯+⨯=， 设数列{}n a 公差为d ，由等差数列前n 项和公式，()30303013064702S d ⨯-=⨯+=，解得23d =，所以()221661333n a n n =+-⨯=+ ()12913291515152a a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+==，()23024301615152a a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+==，所以132915243016216152333216241633a a a a a a a a ⨯+++⋅⋅⋅+===++⋅⋅⋅+⨯+.故选：C【点睛】本题主要考查利用等差数列前n 项和公式求解通项公式和等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列相关公式是求解的关键，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则（ ）A. 实轴长为2B.渐近线方程为y =C. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3 【答案】BC 【解析】 【分析】由双曲线方程得到a 、b 和c 的值，分别求出实轴长、渐近线方程、离心率和一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离，即可得到答案.【详解】由双曲线方程221412x y -=，得2a =，b =4c =，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为by x a=±=，故选项B 正确； 离心率2ce a==，故选项C 正确； 准线方程21a x c =±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离d ==D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，包括求实轴长、离心率、渐近线方程和准线方程，属于基础题. 10.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（ ） A. 数列{}n a 为等差数列B. 数列{}n a 为等比数列C. 22212413n na a a -+++=LD. m n +为定值【答案】BD 【解析】 【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数列前n 项和公式，求出 122212443n na a a +-+++=L ，故选项C 错误，由等比数列的通项公式得到62642m n +==，所以选项D 正确.【详解】由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=， 所以12nn a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q =的等比数列，2n n a =， 故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2na 是以首项214a=，公比14q =的等比数列，所以()()21112221211414441143n n n na q a a a q +-⨯--+++===--L ，故选项C 错误； 6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.11.在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A. AO u u u r =111222AB AC AA '++uu ur uuu r uuu rB. AO B C '⊥C. 三棱锥A BB O '-的体积为24D. AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC 【解析】 【分析】画出正三棱柱ABC A B C '''-，对选项A ，由向量的线性运算表示出AO u u u r；对选项B ，判断AOC △是否为直角三角形；对选项C ，用棱锥体积公式计算；对选项D ，利用线面垂直，得出AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，放在直角AOD △中求解.【详解】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r111222AB AC AA '=++u uu r u u u r u u u r ，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，2OC =，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC V 中BC 边上的高，所以2h =，所以111334224A BB O BB O V S h ''-==⨯⨯=，故选项C 正确；设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱， 所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查向量的线性运算、求棱锥的体积和线面角的求法，考查学生的数形结合能力和计算能力，属于中档题. 12.已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >- B. 若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C. 若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D. 若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【答案】AC 【解析】 【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()max min ()g x f x ≤，()min max ()g x f x ≥即可.【详解】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增， 所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-， 所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()max min ()g x f x ≤，()min max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤⎧⎨-≥-⎩⇒26a ≤≤，故错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13.命题“R x ∀∈，20x x +≥”，此命题的否定是_____．（用符号表示） 【答案】R x ∃∈，20x x +< 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，并将结论否定. 【详解】将全称命题化为特称命题，并将结论否定，R x ∃∈，20x x +<.故答案为：R x ∃∈，20x x +<【点睛】本题考查全称命题的否定，属于简单题.14.已知等比数列{}n a 的前n 项为S n ，公比12q =．若50150S =，则25211i i a -=∑＝____．【答案】100 【解析】 【分析】先由等比数列前n 项和公式表示出50S ，再表示出25211i i a -=∑，找到共同的量501112a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再计算最后答案即可.【详解】由等比数列前n 项和公式，50150112150112a S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，得50111752a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意，数列{}21n a -是以1a 为首项，211124q ⎛⎫== ⎪⎝⎭为公比的等比数列， ()25125502511211111141411113214i i a a q aa q -=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑， 所以252114751003i i a -==⨯=∑.故答案为：100【点睛】本题主要考查等比数列的性质和前n 项和公式的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 15.设0a b >>，2ab =211a b ++的最小值为___，此时a =_____．【答案】 (1). (2). 2【解析】 【分析】原式展开并化简得到2ab =和0a b >>确定a 的值.211a b ++====25a b +=时等号成立， 因为2ab =，25a b +=，所以()522a a -=， 解得12a =或2a =， 又0a b >>，所以2a =.故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和取等号时的条件，考查学生的转化能力，属于基础题.16.已知抛物线22y px =()0p >，AB 是过焦点F 的一条弦，AA 1⊥准线l 于A 1点，BB 1⊥准线l 于B 1点，N 是A 1B 1中点，若AA 1＝4，BB 1＝2，则线段NF 的长为______．【答案】 【解析】 【分析】设点A 和点B 的坐标，由抛物线的定义分别表示出点A 的横坐标142p x =-，点B 的横坐标222p x =-，设直线AB 的方程代入抛物线方程，利用韦达定理求得2124p x x ⋅=，解得83p =，从而可以求得焦点F 的坐标和点N 的坐标，利用两点间距离公式求解NF 的长即可. 【详解】由抛物线的对称性，设点()11,A x y ()10y >，11,2p A y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 点()22,B x y ()20y <，12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由抛物线的定义，1142p AA x =+=，142px =-， 1222p BB x =+=，222px =-，直线AB 的斜率存在，设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 代入抛物线方程并整理得，()22222204p k k x k p p x -++=，由韦达定理，2124p x x ⋅=，所以242224p p p ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得，83p =，所以焦点坐标4,03F ⎛⎫⎪⎝⎭，14844233p x =-=-=，24222233p x =-=-=，所以188822333y =⨯⨯=，282422333y =-⨯⨯=-， 所以点422,33N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式，22442222333NF ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：22【点睛】本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和两点间距离公式，注意韦达定理的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若关于x不等式()22210x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B ．（1）求集合A ；（2）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|1A x a x a =≤≤+；（2）112a ≤< 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法将原不等式化为()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，利用一元二次函数的性质即可求出集合A ； （2）先利用分式不等式的解法求出集合B ，根据条件判断出AB ，再列不等式组求出a 的范围.【详解】（1）原不等式可化为：()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+， 所以集合{}|1A x a x a =≤≤+； （2）不等式322x-≥可化为：321222x x x --=≥--0，等价于()()212020x x x --≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得122x ≤<，所以集合1|22B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭， 因为B 是A 的必要不充分条件，所以AB ，的故1212a a ⎧≥⎪⎨⎪+<⎩，解得112a ≤<.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、必要不充分条件的应用和真子集的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于基础题.18.已知椭圆22110x y m +=与双曲线221y x n -=有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于一点P y ⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求,m n 的值；（2）若双曲线上一点Q 到左焦点的距离为3，求它到双曲线右准线的距离． 【答案】（1）1m =，8n =；（2）53【解析】 【分析】（1）由双曲线方程判断焦点在x 轴上，利用相同焦点和交点P ，列方程组求解即可；（2）由（1）知双曲线方程，先判断点Q 在双曲线左支上，利用双曲线第二定义求出点Q 到左准线的距离，再求解点Q 到右准线的距离即可.【详解】（1）由双曲线方程可知，焦点在x 轴上， 椭圆和双曲线有相同的焦点，可得101m n -=+①，又交于点P y ⎫⎪⎪⎝⎭，22110y m⎝⎭+=，289y m =，221y n -⎭=⎝，219y n =，所以8n m =②， 联立①②，解得1m =，8n =；（2）由（1）知，双曲线2218y x -=，所以1a =，b =3c =，所以左焦点()3,0F -，左准线2113a x c =-=-，右准线2213a x c ==，双曲线右支上一点到左焦点最小距离43a c +=>， 所以点Q 在双曲线的左支上，设点Q 到左准线的距离为1d ，由双曲线第二定义，133c e a d ===，所以11d =， 所以点Q 到右准线的距离212153d d x x =+-=. 【点睛】本题主要考查求解椭圆和双曲线标准方程、双曲线的几何性质和第二定义的应用，考查学生分析转化能力，属于基础题.19.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足236a a =，3542a a a =-，数列{}n b 的前n 项和为S n ，且11b =，12n n n S b b +=，n ∈N *．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n n a b +的前n 项和T n ．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析，21112222n n T n n +=++- 【解析】 【分析】（1）由1a 和q 分别表示出等式中的3a 、4a 、5a 和6a ，解方程组求出1a 和q ，再由等比数列的通项公式表示出n a 即可；（2）1n =时，求出22b =，2n ≥时，由n S 和1n S -关系得到112n n b b +--=，进而求出n b n =，用定义证明数列{}n b 是等差数列即可，分别求出数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，从而求出n T . 【详解】（1）由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩， 所以112n nn a a q -==.（2）由题意，当1n =时，1122S b b =，又11b =，所以22b =， 当2n ≥时，112n n n S b b --=，所以()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-， 所以112n n b b +--=，又11b =，所以2121n b n -=-，22b =，所以22n b n =，的所以n b n =，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以首项为1，公差为1的等差数列， 数列{}n a 的前n 项和为()()11121222112n n n a q q+-⨯-==---，数列{}n b 的前n 项和为()()121112222n b b n n n n n ++==+，所以数列{}n n a b +的前n 项和21112222n n T n n +=++-. 【点睛】本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题.20.某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯()5AC AC >米的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度30CAB ∠=o ．某人在扶梯上点P 处(异于点C )观察广告牌的视角=DPE θ∠．当人在A 点时，观测到视角∠DAE．（1）求扶梯AC 的长（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长． 【答案】（1）10；（2）【解析】 【分析】（1）设BC x =，用x 分别表示出tan DAB ∠和tan EAB ∠，利用两角和的正切公式求出x ，再根据AC 的范围求解出答案；（2）作PQ BC ⊥且交BC 于点Q ，设CQ x =，用x 分别表示出tan DPQ ∠和tan EPQ ∠，利用两角差的正切公式表示出tan DPE ∠，利用基本不等式求出tan DPE ∠的最大值，此时DPE ∠即θ取最大值，利用基本不等式取最值的条件求出x ，再求出CP 即可.【详解】（1）由题意，E 为DC 的中点，5DE =,所以5EC =，设BC x =，则=AB ，2AC x =，在DAB V 中，()tan tan DAB DAE EAB ∠=∠+∠=， 在EAB V中，tan EAB ∠=， 由两角和的正切公式，()tan tan tan 1tan tan DAE EABDAE EAB DAE EAB∠+∠∠+∠=-∠⋅∠，tan DAE ∠=9=，解得52x =，或5x =， 因为5AC >，所以5x =，210AC x ==， 所以扶梯AC 的长为10米；（2）作PQ BC ⊥且交BC 于点Q ，如图所示，设CQ x =，则PQ =，2CP x =，由（1）知，(]0,5x ∈，tan DPQ ∠=，tan EPQ ∠=， 当tan DPE ∠取最大值时，即DPE ∠取最大值，()tan tan 1415DPE DPQ EPQ x x ∠=∠-∠==+++≤=，当且仅当504x x =，即x =所以此时2CP x ==【点睛】本题主要考查两角和差正切公式的应用，考查学生分析转化能力、方程思想和计算能力，属于中档题.21.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点，且AA 1．（1）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小； （2）若EF ＝23AB ，求二面角B －A 1C －D 的余弦值． 【答案】（1）3π；（2）14- 【解析】 【分析】（1）作FP ⊥平面ABCD ，连接EP ，FEP ∠即直线EF 与平面ABCD 所成的角，求出FP 和EP，利用1AA =，然后再利用正切值求出FEP ∠即可；（2）设2AD =,则1AA =23EF AB =，求出AB ，再建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，作FP ⊥平面ABCD ，所以1//FP AA , 又点F 是1A C 的中点，所以112FP AA =， FP 是1A AC V 的中位线，所以点P 是AC 的中点，12EP AD =， 连接EP ，则FEP ∠即直线EF 与平面ABCD 所成的角，112tan 12AAFP FEP EP AD ∠===，所以3FEP π∠=，即直线EF 与平面ABCD 所成的角为3π；（2）设2AD =,则1AA = 由（1）知，2EF ===，又23EF AB =，所以3AB =， 以点A 为原点，以AB u u u r为x 轴、AD u u u r 为y 轴、1AA u u u r 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,2,0D ，()3,0,0B ，(1A ，()3,2,0C ，()0,2,0BC =u uu r ，(13,2,AC =-u u u r ，()3,0,0DC =u u u r， 设平面1BA C 的法向量()1111,,n x y z =u r，则111111120320n BC y n A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u r u u u r u r uu u r ，10y =，令1z =12x =，所以(1n =u r ， 设平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，则222122230320n DC x n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ， 20x =，令21z =-，则2y =()20,1n =-u u r ， 所以向量1n u r 和2n u u r 的夹角即二面角1B A C D --，121212cos ,14n n n n n n ⋅===-⋅u r u u r u r u u r u r u u r ， 即二面角1B A C D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查线面角的求法、利用向量法求解二面角以及向量的数量积的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，F 为椭圆C 的右焦点，A 是右准线与x 轴的交点，且AF ＝1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 上顶点B 的直线l 交椭圆另一点D ，交x 轴于点M ，若3BM MD =uuu r uuu r ，求直线l 的方程；（3）设点()302Q ，，过点F 且斜率不为零的直线m 与椭圆C 交于S ，T 两点，直线TQ 与直线x ＝2交于点S 1，试问11S S S A ⋅u u u r u u u r 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =+，或1y x =-+；（3）定值为0，理由见解析 【解析】【分析】（1）由1AF =，得到21a c c-=，再由离心率，即可求出a 、b 和c ，然后写出椭圆方程即可； （2）由点B 坐标设直线方程1y kx =+，求出点M 坐标，再由直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，求解出点D 横坐标，再根据3BM MD =uuu r uuu r ，求出k ，即可得到直线l 的方程；（3）设直线m 的方程1x ny =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出12y y +和12y y ；再利用点Q 和点T 设直线TQ 方程，求出点()112,S y ，即可求出11S S S A ⋅u u u r u u u r为定值. 【详解】（1）由题意，椭圆右准线方程：2a x c =，点2,0a A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，焦点(),0F c ，因为1AF =，所以21a c c -=，又2c e a ==，解得，1c =，a =1b ==， 所以椭圆方程为：2212x y +=； （2）由（1）知，点()0,1B ，所以设直线l 方程：1y kx =+，0y =时，1x k =-，所以点1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 直线方程代入椭圆方程并整理得，()222140k x kx ++=，设点()00,D x y ，由韦达定理，02421k x k -=+， ()1,1BM k =--uuu r ，0241,21k MD y k k ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭uuu r ， 又3BM MD =uuu r uuu r ，所以2141321k k k k ⎛⎫--=+ ⎪+⎝⎭，解得1k =±， 所以直线l ：1y x =+，或1y x =-+；（3）由（1）知，点()2,0A ，点()1,0F ，所以设直线m ：1x ny =+，代入椭圆方程并整理得，()222210n y ny ++-=，设点()11,S x y ，点()22,T x y ， 由韦达定理，12222n y y n +=-+，12212y y n =-+， 所以12122y y ny y +=，设直线TQ ：223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 当2x =时，2222132232y y y x x =⨯=--， 又221x ny =+，222112221232231y y y y y y x ny y ===+-+--， 所以点()112,S y ，()112,0S S x =-u u u r ，()110,S A y =-u u u r ， 110S S S A ⋅=u u u r u u u r ，即11S S S A ⋅u u u r u u u r 为定值，定值为0.【点睛】本题主要考查利用离心率和准线求椭圆方程、直线的方程和韦达定理的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.。
苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)
启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一下学期阶段调研测试数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】设底面扇形所在圆的半径长为 尺，利用圆弧长求得 的值，再利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】
设底面扇形所在圆的半径长为 尺，
底面扇形是圆心角为直角的扇形，其弧长为 尺，则 ，可得 ，
所以，这个米堆的体积为 （立方尺），约 （斛）.
故选：B.
【点睛】
本题考查锥体体积的相关计算，考查计算能力，属于基础题.
【详解】
由题知：样本数据在区间 共有 个，
故概率为 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查古典概型，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
6．一个工厂某年每月的盈利y(万元)与生产的产量x（万件）有线性相关关系，且线性回归方程为 ，前四个月的月产量与月盈利如下表，则表中 等于（）
A．2.8B．2.9C．3.0D．3.1
要使 的长度最小，则 最小，即 最小.
因为 ，所以当 最小时， 最小.
又因为 ，所以当 最小时， 最小.
因为 ，所以 ，
.
则 所以 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了转化思想和学生分析问题的能力，属于难题.
二、多选题
9．掷两枚硬币，若记出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的概率分别为 ， ， ，则下列判断中，正确的是（）
【详解】
设 ， ， 3种不同型号的产品产量依次为 ， ， ，
则抽样比 .
则样本中 种型号的产品有 ，解得 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查分层抽样，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
2．设直线y＝2x＋1的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）
A．k＝- ，b＝1B．k＝- ，b＝- C．k＝-2，b＝ D．k＝2，b＝1
南通市2019-2020年高一下学期期末考试数学试卷
第二学期期末考试试卷高一 数学考生注意:本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．1．cos240º=A ．B ．C ．﹣D ．﹣2.已知单位向量a 、b ，则下列各式成立的是（ ）A. 0a b -=B. 22a b = C. 1a b ⋅= D. 0a b ⋅=3.已知角α的终边上一点(4,3)P -，则cos α=（ ） A ．35- B ．35 C ．45- D ．454.向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，b a •＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.－2 B.2 C.－23 D.235.要得到函数y ＝sin(x 2－π4)的图象，只需将y ＝sin x 2的图象( ) A.向左平移π2个单位长度 B.向右平移π2个单位长度 C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度 6．右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35，那么表中t 的值为（ ）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.57.已知[0,π]α∈，则3sin 2α>的概率为（ ） A ．16 B ．13 C. 23D ．568．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A ．35B ．20C ．18D ．99.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，0<φ<π)的图象的一段如图所示，它的解析式可以是( )A. y ＝23sin(2x ＋2π3)B.y ＝23sin(2x ＋π3) C.y ＝23sin(2x －π3) D.y ＝23sin(2x ＋π4) 10.袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个 白球的概率为（ ）A ．16B ．13 C. 23D ．56 11．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知0ω>函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24 B ． 13[,]24 C ． 1(0,]2 D ．(0,2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．187和253的最大公约数是________．14．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．)9(题图15.设02≤<x π，且1sin 2sin cos -=-x x x ，则x 的取值范围是 .16.关于函数π()tan(2),4f x x =-，有以下命题： ①函数()f x 的定义域是13π{|π,};28x x k k ≠+∈Z ②函数()f x 是奇函数； ③函数()f x 的图象关于点π(,0)8对称；④函数()f x 的一个单调递增区间为ππ(,)22-. 其中，正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)已知向量),3(),3,2(m b a =-= ，（1）若b a ⊥，求m 的值。
南通市名校重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．512- D ．322．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A ．14B ．27C ．28D ．323．执行如图所示的程序框图，若输入4N =，则输出的数等于（ ）A ．54B ．45C ．56D ．654．如图，函数tan cos 0,,22y x x x πππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，3AB =，3C π=，O 为ABC ∆的外接圆的圆心，则CO =（ ）A ．3B ．23C ．3D ．66．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．56-B ．5-C ．6 D ．257．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=（ ） A ．(5,10)-- B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4-- 8．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A ．B ．C ．D ．9．已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ） A ．2B 10C ．4D ．1010．已知公式为正数的等比数列{}n a 满足：11a =，22844a a a ⋅=，则前5项和5S =( )A ．31B ．21C ．15D ．1111．下列各数中最小的数是（ ） A ．(9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)11111112．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A ．910B ．45C ．710D ．35二、填空题：本题共4小题13．在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点()00,P x y ，且(0)OP r r =>，定义： 00cos y x si rθ-=，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若cos 0si θ=，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________ ． 14．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________． 15．若角α的终边经过点()2,1P -，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 16．（如下图）在正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年江苏省南通市启东市高一数学下学期期末考试数学试题含解析
故选：B
〖点 睛〗本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数的零点，属于中档题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
，满足 ，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在 上递增，所以C选项错误.
值域为 ，所以D选项正确.
故选：AD
〖点 睛〗本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
10.某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数是8
3.已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
用 减去没有白球的概率，求得所求概率.
〖详 解〗依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是 .
故选：D
〖点 睛〗本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
〖答 案〗AC
〖解 析〗
〖分析〗
利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐显然与x＋y＝0垂直，所以正确；
对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知 ，
解得 或 ，所以不正确；
对于C项，当 时，有 ，所以直线过定点 ，所以正确；
故选：C
〖点 睛〗本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.
2.已知向量 ，且 ，则x＝（ ）