(完整版)作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.C铅垂hCByDBy例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（a=，因此2y=+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y=+，当x=－1时，y=C的坐标为（－1）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()2132********331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A（3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( 图-2xC O yABD11例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
(完整版)铅锤高求三角形面积法
作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a =，因此2y （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为y x =，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .图12221()()21323323323333333223193228PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△P AB 的面积的最大值为938，此时13,24P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △P AB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.图-2xCOy ABD 11解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
铅锤高求三角形面积法
作三角形铅锤高就是解决三角形面积问题得一个好办法------------二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积得问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高就是解决三角形面积问题得一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种方法现总结如下:如图1,过△ABC 得三个顶点分别作出与水平线垂直得三条直线,外侧两条直线之间得距离叫△ABC 得“水平宽”(a ),中间得这条直线在△ABC 内部线段得长度叫△ABC 得“铅垂高(h )”、我们可得出一种计算三角形面积得新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积得一半、例1.(2013深圳)如图,在直角坐标系中,点A 得坐标为(－2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB 、(1)求点B 得坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点得抛物线得解析式;(3)在(2)中抛物线得对称轴上就是否存在点C ,使△BOC 得周长最小？若存在,求出点C 得坐标;若不存在,请说明理由、(4)如果点P 就是(2)中得抛物线上得动点,且在x 轴得下方,那么△P AB 就是否有最大面积？若有,求出此时P 点得坐标及△P AB 得最大面积;若没有,请说明理由、 解:(1)B (1,)(2)设抛物线得解析式为y =ax (x+a ),代入点B (1, ),得,因此(3)如图,抛物线得对称轴就是直线x =—1,当点C 位于对称轴与线段AB 得交点时,△BOC 得周长最小、 设直线AB 为y =kx +b 、所以,因此直线AB 为,当x =－1时,,因此点C 得坐标为(－1,/3)、 (4)如图,过P 作y 轴得平行线交AB 于D 、当x =－时,△P AB 得面积得最大值为,此时、例2.(2014益阳) 如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B 、(1)求抛物线与直线AB 得解析式;(2)点P 就是抛物线(在第一象限内)上得一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 得铅垂高CD 及;(3)就是否存在一点P ,使S △P AB =S △CAB ,若存在,求出P 点得坐标;若不存在,请说明理由、解:(1)设抛物线得解析式为:把A (3,0)代入解析式求得所以设直线AB 得解析式为:由求得B 点得坐标为 把,代入中解得:所以 ········································· (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时,y 1＝4,y 2＝2所以CD ＝4-2＝2(平方单位)(3)假设存在符合条件得点P ,设P 点得横坐标为x ,△P AB 得铅垂高为h ,则由S △P AB =S △CAB 得化简得:解得,将代入中,解得P 点坐标为BC铅垂高水平宽 ha 图1CB A O y x DB A O yxPxCOyABD 1 1(3)x y ABC P E Ox yA B CQ O 例3.(2015江津)如图,抛物线与x 轴交于A(1,0),B(- 3,0)两点,(1)求该抛物线得解析式;(2)设(1)中得抛物线交y 轴于C 点,在该抛物线得对称轴上就是否存在点Q,使得△QAC 得周长最小？若存在,求出Q 点得坐标;若不存在,请说明理由、(3)在(1)中得抛物线上得第二象限上就是否存在一点P,使△PBC 得面积最大？,若存在,求出点P 得坐标及△PBC 得面积最大值、若没有,请说明理由、 解:(1)将A(1,0),B(－3,0)代中得∴ ∴抛物线解析式为:(2)存在。
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.A 的旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（a，因此2y x=（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y，当x=－1时，y=，因此点C的坐标为（－1）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－12时，△PAB，此时1,2P⎛-⎝⎭.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.°，三点点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.图1解：（1）B （1，3）（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,3），得3a =，因此2323y x x =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以33,20.23k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为323y x =+，当x =－1时，3y =，因此点C 的坐标为（－1，3/3）. （4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化图-2xCOy ABD1 1简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( 例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
铅锤高求三角形面积法演示教学
作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a =，因此2y （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为y x =，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .图12221()()2132********331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△P AB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △P AB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 图-2xCOy ABD 11解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
水平宽铅垂高求三角形面积.doc
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O 图1顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y =+，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）. （4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D. 2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：图-2xCOy ABD113,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
水平宽铅垂高求三角形面积 (2)
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2，0），）求点B ）中抛物的坐标；x轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B （1，（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,a ，因此2y = （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得，因此直线AB 为y =，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .图1当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为938，此时13,24P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
用铅垂高法计算三角形的面积
用铅垂高法计算三角形的面积作者：刘学斌来源：《语数外学习·中旬》2014年第06期在计算一些不规则的三角形的面积时，往往很难确定它的底和高。
本文通过把三角形的面积公式作进一步的延伸和拓展，得出了一个新的求三角形的面积方法，对于求这类不规则的三角形的面积有很好的作用。
一、知识引入如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=■ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
证明如下：S△ABC=S△ABD+S△ACD=■ha1+■ha2=■h（a1+a2）=■ah同样，如图2，左边的两条直线之间的距离也可以叫△ABC的“水平宽”(a)，过点C的直线与BA的延长线之间线段的长度叫△ABC的“铅垂高CD(h)，同样S△ABC=■ah。
证明如下：S△ABC=S△BCD-S△ACD=■ha1-■ha2=■h（a1-a2）=■ah同样，如图3，也可以把右边两条直线之间的距离叫做△ABC的“水平宽(a)，过点B的直线与BA与CA的延长线之间线段的长度叫△ABC的“铅垂高BD(h)，同样S△ABC=■ah。
证明如下：S△ABC=S△BCD-S△ACD=■ha1-■ha2=■h（a1-a2）=■ah综合上述三种情况可以看出，利用三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半的方法去求三角形的面积会有三种方法，这三种方法中的铅垂高有一种是在三角形的里面，有两种是在三角形的外面。
利用这种方法可以很容易的求出一些斜放着的三角形的面积。
二、知识的应用【例1】如图4，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点为C，交x轴于点A)，交y轴于点B，求△ABC的面积。
解：（铅垂高法）由点A(3，0)，B(0，3)可以求出直线AB的解析式，所以点D(1，2)，CD=2S△ABC=■OA·CD=■×3×2=3【小结】通过上面两个例题可以看出计算一些不规则三角形的面积，常规的方法是割补法，这种方法显然是比较麻烦的，计算量大，用铅垂高的方法简单计算方便，不容易出错。
铅垂定理求三角形面积
铅垂定理求三角形面积铅垂定理求三角形面积，这听起来就像一门深奥的数学课，实际上，咱们可以把它聊得轻松有趣。
想象一下，三角形就像一个风筝，飞在蓝天上，下面是大地，风儿轻轻吹动。
这时候，铅垂线就像那根系着风筝的线，稳稳地把风筝拉住，确保它不飞到哪里去。
好啦，今天咱们就来一起看看，如何用铅垂定理来算三角形的面积。
说到三角形面积，很多朋友可能会觉得有点头疼。
哎呀，别担心，咱们不是要参加数学竞赛，而是要让这事儿变得简单明了。
三角形的面积公式其实很简单，就是底乘高再除以二。
这个底和高就像咱们生活中的两个好朋友，底就是那稳稳的根基，高就是那高高在上的梦想。
把它们结合在一起，就能得到一个完美的结果。
想象一下，你在户外野餐，看到一块完美的草地，那里有一个漂亮的三角形区域。
你想给朋友们铺上野餐垫，享受美好的时光。
要知道，这个区域的面积可是关乎到大家能否舒舒服服地坐下来的关键。
你得量量这个三角形的底。
嘿，别小看这一步！量底的时候可得仔细，心里默默算算，底的长度是多少？找出高，也就是从底到对角的那根铅垂线。
这个高可能是在你心里画出的，也可能是在实际的地面上测量出来的。
高和底结合，再乘以二，哇，瞬间得到面积，大家都能尽情享受美味的食物了。
不过，别以为仅仅是这样简单。
铅垂定理在这里可不是简单的数数。
它的奥妙在于，能帮助我们准确找到高，而这个高的概念就像是生活中的某些事情，往往看似简单，实际上却有很多小细节要注意。
想象一下，如果你的风筝线没系好，风筝可能会飞走。
同样的，如果你在计算面积的时候，忽视了高，那么结果可就大大不如意了。
咱们可以再举个例子，想象一下，你正在准备一场派对，邀请了很多小伙伴。
为了确保每个人都有足够的空间，你得先测量一下场地，确保三角形的面积足够大。
找好底之后，再从底的两端直线测量到对边，这样就能找到理想的高。
然后，像厨师调配食材一样，把底、高都放进去，调出那个完美的三角形面积，让每个人都坐得舒舒服服。
这样一来，大家就可以开开心心地聊天，享受派对的欢乐气氛。
铅垂法求三角形面积
铅垂法求三角形面积铅垂法是一种求三角形面积的常用方法之一。
这种方法的核心思想是先在三角形的某个顶点画一个垂线，把三角形分成两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积，最后将它们相加得到整个三角形的面积。
在应用铅垂法时，我们需要掌握以下三个重要的基本概念：1.直角三角形的面积公式：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为a和b，那么这个三角形的面积就是(a*b)/2。
2.直角边：对于一个直角三角形，其中那条与直角相邻的边就被称为直角边。
3.高：直角边上的垂线就被称为三角形的高。
接下来，我们来看看铅垂法具体的计算步骤。
1.选择一个顶点，画一条垂线。
2.这条垂线将三角形分成两个直角三角形。
3.计算左边的直角三角形的面积。
为此，需要测量该直角三角形的直角边和高。
如果直角边长为a，高为h，则该直角三角形的面积就是(a*h)/2。
4.计算右边的直角三角形的面积。
同样，需要测量该直角三角形的直角边和高。
如果直角边长为b，高为h，则该直角三角形的面积就是(b*h)/2。
5.将两个直角三角形的面积加起来，即(a*h)/2 + (b*h)/2 = (a+b)*h/2。
6.最后得到的结果就是整个三角形的面积。
那么，如何选择合适的顶点呢？一般来说，选择以已知量为边的顶点进行计算可以使计算更加简单。
同时，也可以根据需要选择其他顶点来计算三角形面积。
铅垂法是求解三角形面积的重要方法之一，可以应用于各种各样的情况，比如计算平面图形的面积，或者测量某个建筑物的高度等。
掌握这种方法，可以让我们更加便捷地进行各种计算，也为数学学习和实际应用提供了极大的方便。
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （a ，因此2y （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.B 图1设直线AB 为y =kx +b .所以33,20.23k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为323y x =+，当x =－1时，3y =，因此点C 的坐标为（－1，3/3）. （4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.图-2xCOy ABD11解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
铅垂法求三角形面积
确定已知条件：已知三角形的底边长度和从底边到对应顶点的垂直距离（）。
使用给定的底边长度和高，可以画出一个垂直于底边的直线段，连接底边和对应顶点。
这条垂线将三角形分为两个直角三角形。计算两个直角三角形的面积。
通过底边长度乘以高的一半，计算一个直角三角形的面积。
将两个直角三角形的面积相加，得到整个三角形的面积。
铅垂法是一个简单而常用的方法，适用于已知底边和高的情况。但需要注意，如果只知道三个顶点的坐标，可以使用海伦公式或矢量叉积来计算三角形的面积。
铅垂高水平宽求三角形面积的原理
铅垂高水平宽求三角形面积的原理以铅垂高水平宽求三角形面积的原理为题，我们将从三角形的定义、铅垂线的概念以及如何利用这些概念来求解三角形面积等方面进行讨论。
让我们回顾一下三角形的定义。
三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，而三个顶点则是这些边的交点。
根据三角形的性质，我们可以将三角形分为不同的类型，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
接下来，我们来介绍一下铅垂线的概念。
铅垂线是从一个点向一个平面垂直下落的线段。
在三角形中，我们可以通过顶点向对边引一条垂直线，这条垂直线即为铅垂线。
铅垂线与对边的交点称为垂足。
利用铅垂线，我们可以将三角形分割为两个直角三角形，从而简化问题的求解。
那么，如何利用铅垂高和水平宽来求解三角形的面积呢？我们可以利用三角形面积公式S = 1/2 * 底边长* 高来求解。
在这里，底边长即为水平宽，高即为铅垂高。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设我们有一个三角形ABC，其中AB为底边，C为顶点，D为AB 的中点，AD为铅垂高，CD为水平宽。
我们最终的目标是求解三角形ABC的面积。
我们可以通过测量或已知条件得到底边AB的长度和铅垂高AD的长度。
接下来，我们可以利用铅垂线的性质，将三角形ABC分割为两个直角三角形ACD和BCD。
对于直角三角形ACD，我们可以利用三角形面积公式S = 1/2 * 底边长* 高来求解。
在这里，底边长即为水平宽CD的长度，高即为铅垂高AD的长度。
将这两个值代入公式中，即可计算出直角三角形ACD的面积。
同样地，对于直角三角形BCD，我们也可以利用三角形面积公式求解。
底边长为水平宽CD的长度，高为铅垂高AD的长度。
将这两个值代入公式中，即可计算出直角三角形BCD的面积。
我们将直角三角形ACD和BCD的面积相加，即可得到三角形ABC 的面积。
通过以上步骤，我们可以利用铅垂高和水平宽来求解三角形的面积。
这种方法可以简化计算过程，减少复杂度，提高求解效率。
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作三角形铅锤高是解决三角形面积问题如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a =，因此2y （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为y x =，当x =－1时，y ，因此点C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .图12221()()2132********331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△P AB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2009益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △P AB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(图-2xCOy ABD 11例3．（2009江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)（3）答：存在。
理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+ ∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，25．（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．【解析】（1）由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-,0424,04416b a b a 解得21-=a ，b =－1．所以抛物线的解析式为4212+--=x x y ，顶点D 的坐标为（－1，29）． （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD =132322=+DM BM ． 而 25)429(122=-+=CD ． ∴ △CDH 的周长最小值为CD + DR + CH =21335+． 设直线BD 的解析式为y = k1x + b ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 解得 231-=k ，b1 = 3． 所以直线BD 的解析式为y =23-x + 3．由于BC = 25，CE = BC ∕2 =5，Rt △CEG ∽△COB ， 得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）．同理可求得直线EF 的解析式为y =21x +23．联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （43，815）．（3）如图所示，设K （t ，4212+--t t ），xF ＜t ＜xE ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．则 KN = yK －yN =4212+--t t －（21t +23）=2523212+--t t ．所以 S △EFK = S △KFN + S △KNE =21KN （t + 3）+21KN （1－t ）= 2KN = －t 2－3t + 5 =－（t +23）2 +429．即当t =－23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－23，835）．3.(2010年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误!未找到引用源。
的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点， 点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP 错误!未找到引用源。
C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP 错误!未找到引用源。
C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积. 解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得错误!未找到引用源。
解得：错误!未找到引用源。
所以二次函数的表达式为：错误!未找到引用源。
（2）存在点P ，使四边形POP 错误!未找到引用源。
C 为菱形．设P 点坐标为（x ，错误!未找到引用源。
），PP 错误!未找到引用源。
交CO 于E 若四边形POP 错误!未找到引用源。
C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP 错误!未找到引用源。
则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
． ∴错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
解得错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）（3）过点P 作错误!未找到引用源。
轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，错误!未找到引用源。
），易得，直线BC 的解析式为错误!未找到引用源。
则Q 点的坐标为（x ，x －3）. 错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
当错误!未找到引用源。
时，四边形ABPC 的面积最大 错误!未找到引用源。
图11此时P 点的坐标为错误!未找到引用源。
，四边形ABPC 的面积错误!未找到引用源。
．1、如图，抛物线顶点C 坐标（1,4），交x 轴于点A （3,0）交y 轴于点B （1）求抛物线和直线AB 的解析式（2）连接CA 、CB ，对称轴x=1与线段AB 交于点D ，求△CAB 的面积（3）如图2，点P 是抛物线（在第一象限内一点）上的一个动点，连接PA 、PB ，是否存在一点P ，使CAB PAB S S ∆∆=89?若存在，求出点P 的坐标，不存在，说明理由已知：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程01242=--x x 的两个根（1）请直接写出点A 、点B 的坐标（2）请求出二次函数表达式，对称轴，顶点坐标（3）如图1，在二次函数的对称轴上是否存在点P ，使△APC 得周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由（4）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点Q 作QD//AC 交BC 于点D ，设Q （m ，0），当△CDQ 面积最大时，求m 的值同学们可以做以下练习：1．（2006浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。