抽屉原理在数学中的运用

抽屉原理在初等数学中的运用

摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把1+n 个球或者更多的球放进n 个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果. 运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。在解决数学问题时有非常重要的作用. 抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处.

关键词：抽屉原理；初等数学；应用

一、 抽屉原理（鸽巢原理）

什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理.

除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式:

原理1 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.

原理2 把m 个元素任意放到n )(n m >个集合里，则至少有一个集合里至少有k 个元素，其中

原理3 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.

卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广

[2].

鸽巢原理：设k 和n 都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n 个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子.

二、抽屉的构造途径

在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧妙的方法去构造。我们利用抽屉原理解题的关键,就在于怎样设计“抽屉”.

三、抽屉原理在初等数学中的应用

初等数学问题的特点：只给出一些相关的条件，或者即使给出一些数值条件，也不能利用这些条件进行计算、或代入求值、或列方程、或做图、或证明等方法去解决，只能利用这些条件进行推理、判断，从而解决问题. 讨论存在性问题是数学竞赛中的一类常见问题。处理这类问题常用到抽屉原理。下面我们就列举抽屉原理在初等数学(竞赛)中的应用.

例9 某次考试有5道选择题，每题都有4个不同的答案供选择，每人每题恰选1个答案.在2000份答卷中发现存在一个n ,使得任何n 份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同.n 的最小可能值.(2000，中国数学奥林匹克)

解：将每道题的4种答案分别记为1，2，3，4，每份试卷上的答案记为),,,,(k j i h g ，其中{}4,3,2,1∈,,,,k j i h g ，令{}),,,,4(),,,,,3(),,,,,2(),,,,,1(k j i h k j i h k j i h k j i h ，k j i h ,,,=1，2，3，4，共得256个四元组.

由于2000=256×7+208，故由抽屉原理知，有8份试卷上的答案属于同一个四元组.取出这8份试卷后，余下的1992份试卷中仍有8份属于同一个四元组，再取出这8份试卷，余下的1984份试卷中又有8份属于同一个四元组.又取出这8份试卷.三次共取出24份试卷，在这24份试卷中，任何4份中总

有2份的答案属于同一个四元组，不满足题目的要求.所以，25≥n

. 下面证明n =25.

令{}{}.4,3,2,1∈,,,,),4(mod 0≡|),,,,(k j i h g k j i h g k j i h g S ++++=则S =256，且S 中去掉6个元素，当余下的250种答案中的每种答案都恰有8人选用时，共得到2000份答案，其中的25份答案中，总有4份不相同.由于它们都在S 中，当然满足题目要求.这表明，n =25满足题目要求.

综上可知，所求的n 的最小可能值为25.

先运用抽屉原理给出n 的下界，然后用构造法给出例子.这是一道典型的运用构造法解题的好题目.在解题中合理构造抽屉往往会收到意想不到的效果.

例10 任给7个实数，证明必存在两个实数a ,b 满足0≤3)-(b a <1+ab .

证明：设七个实数为7321,,,,a a a a ，作i Q =i arctga (7,,2,1 =i ),显然i Q ∈(2

π,2π-)，把(2π,2π-)等分成六个区间：(3π-,2π-)，(6π-,3π-)，(0,6π-)，(6π,0)，(3π,6π)，(2π,3π)，由抽屉原理，721,,,Q Q Q 必有两个属于同一区间，不妨设为i Q j Q ,,而不论i Q j Q ,属于哪个小区间都有6π-≤0

16π)-(0=<

b a +1<31

，又因为有 0->b a (j i Q Q >),1+0>ab , 从而有0≤3)-(b a <1+ab .

例11 从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

分析：要解决该题，就得找到其关键，其实就在于“两个数”，他们的关系是“其中一个是另一个的整数倍”。我们要构造“抽屉”，就要在每个抽屉中任取两个数，并且有一个数是另一个的整数倍，而只有把公比是正整数的整个等比数列都放在同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N +,K∈N +，n∈N,则m=(2k-1)·2n

，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…