孙子定理课件(07版)
中国剩余定理(孙子定理)
中国剩余定理（孙子定理）
问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
以上两个定理随便个例子即可证明！
现给出求解该问题的具体步骤：
1、求出最小公倍数
lcm=3*5*7=105
2、求各个数所对应的基础数
（1）105÷3=35
35÷3=11......2 //基础数35
（2）105÷5=21
21÷5=4 (1)
定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63
3、105÷7=15
15÷7=2 (1)
定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30
把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）
35+63+30=128
4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）
x=128-105=23
那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。
（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）
（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。
物不知数——中国剩余定理
“物不知数”——孙子定理
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理.
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为：
70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式：70a+21b+15c-105n
关键是找出70 21 15
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答.明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法.意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案.比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.
又例今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4.试问这类数中最小的正整数是多少？
35+63+60-105=53
53
第一步：在 5,7的公倍数中找出“除以3余数是2”的数；35
第二步：在 3,7的公倍数中找出“除以5余数是3”的数；21,42, 63
初等数论§4.2孙子定理
m i ai 51 65 74 11 10
m
Mi
462
385 2310 330
210
M i ' aiMiMi ' aiMiMi'
3
1×462×3
1 5×385×1 6731
2111
1
4×330×1
(m od 2310)
1 10×210×1
4 6 2 2 ( m o d 5 ) 4 6 2 3 1 ( m o d 5 )其它略
➢（Chinese remainder theorem ）。
2020/4/1
阜阳师范学院 数科院
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古人解法：
• 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则 置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上 ，以一百零五减之即得。
• 依定理译成算式解为：
•
70×2＋21×3＋15×2＝233
•
233－105×2＝23
2020/4/1
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敬请指导，谢谢！
2020/4/1
阜阳师范学院 数科院
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(2)
其中，整数Mi（1 i k），满足MiMi 1 (mod mi).
2020/4/1
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例1 解同余式组 x 2 ( m o d 3 ) , x 3 ( m o d 5 ) , x 2 ( m o d 7 ) .
同余（九）——孙子定理（中国剩余定理）
同余（九）——孙子定理（中国剩余定理）
往期文章
同余（一）
同余（二）
同余（三）
同余（四）—书籍书号的小秘密
同余（五）——费马小定理
同余（六）——斐波那契数列
同余（七）——密码学中的应用
同余（八）——欧拉定理
整数与整除问题
导读
孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法。是数论中四大定理之一。又称中国剩余定理。
在数学著作《孙子算经》中，提到一个“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
孙子算经
《孙子算经》的作者生平和编写年不详，一般认为是东晋时期的作品，比孙武的《孙子兵法》要晚很多。用我们现在学习的数学语言来描述“物不知数”问题：
算经中给出答案是23，23是满足同余方程组的最小正整数。并给出了上述问题的一般解法。
宋代数学家秦九韶在其名著《数书九章》中考虑了更一般化同余方程组的解法。
最终他得到了下面的定理。
孙子定理
定理假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n,上述同余方程组有唯一解。
其中
证明
从假设可知，（m i,M i）=1，故存在整数
使得
另一方面，对i≠j , m j|M i, 因此
所以
满足
又若x1,x2,是方程组的两个解，则
x1≡x2（mod m i）1≤i≤n
考虑到（m i,m j）=1(i≠j), 即可知
x1≡x2（mod m）
所以解是唯一的。
□
定理应用
例子1（韩信点兵）
有兵一队，若列成5行纵队，则末行1人；成6行纵队，则末行5人；成7行纵队，则末行4人；成11行纵队，则末行10人，求兵数？
孙子定理
孫子定理
中國人在世界數學史上的偉大成就之一――――孫子定理
孫子算經是我國古代的一本優良數學書籍，作者與年代不詳成書約在西元270年至743年間魏晉南北時期，分成上、中、下三卷，上卷敘述籌算的乘除法，中卷敘述籌算的分數算法與開方法，是了解中國古代籌算很好的資料，下卷收集了一些算術難題，如「雞兔同籠」，最有名的要算下卷第26題，通常所稱的「孫子問題」或「物不知其數」，孫子問題不僅是一個有趣的算術問題，而且和中國古代曆法的推算有很密切關係。
孫子問題在中國民間流傳很廣，有「韓信點兵」，「秦王暗點兵」等名稱，其解法也有不同名稱，宋周密稱為「鬼谷算」，「隔牆算」，楊輝稱為「剪管術」秦九韶在其所著「數書九章」（西元1247年）稱為「大衍求一術」等，孫子問題的算法，英國數學家Alexander Wylie（1815-1887）經由其著作中國算學叢談一書介紹到西方，稱為「中國剩餘定理」。歐洲直到18-19世紀，尤拉（Euler，1707-1789）與高斯（Gauss，1777-1855）等人才對此類問題進行研究。比秦九韶等人晚了四、五百年。
孫子問題這類問題的解法屬於數學的一個分支――數論，在近代數學仍占有重要地位。方法與原則，反映在插入理論、代數理論及算子理論，在計算機的設計中也有重要應用。
介紹孫子問題時，先玩一個遊戲
遊戲:「有位魔「數」師，聲稱在1000之內任選一整數，只要告訴魔「數」師，此數除以7、11、13，所得的餘數r1、r2、r3，就能猜出你所選的數。如此數除以7、11、13，所得餘數分別為1、2、3 ，則此數為211。你知道魔「數」師是如何得知的嗎? 」
【小升初专项训练】10 孙子定理
第13讲孙子定理
第一关求被除数
【知识点】
1 .孙子定理的含义：也叫中国剩余定理.《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三
三数之剩二，五五数∙∙之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数.这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵.其正确解法叫做孙子剩余定理.
2 .中国轲余定理的结论：
令任意固定整数为M,当M/A余a,MZB余b,M/C余c,M/D余d,…，M/Z余Z时，这里的A,B,C,D,…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为。，没有任何意义，如果为1,在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括O和1）时；余数a,b,c,d,Z为自然整数时.
1 .当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；
当命题错误时，在整个自然数范围内都无解.
2 .当M在两个或两-个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最
小公倍数内的具体位置，也就是M的大小.
3 .正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A,B,C,D,…，Z不同的余数组合个数=A,B,C,D,…，Z的最
小公倍数二不同的余数组合的循环周期.
【例1】有一个整数，除以3余数是2,除以5余数是3,除以7余数是4,这个数可能是多少？
A.67
B.73
C.158
D.22
【答案】C
【例2】一个自然数除以13余6,除以29余7,这个自然数最小是多少？
【答案】123
【例3】一个数除以4余3,•除以5余2,除以6余1,这个数最小是多少？
【答案】7
中国剩余定理(孙子问题)PPT课件( 13页)
•
8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！
•
9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。
•
10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。
“孙子问题”相当于求关于x,y,z的方程组
m 3x 2
m
5y
3
m 7 z 2
的正整数解。
解题分析 （1）如何依次检索正整数？
（采用循环结构） （2）该循环何时结束？
（找到满足条件的整数为止） （3）一个正整数m什么时候满足方程？
（m同时满足被3除余2，被5除余3，被7除余2）
•
10、山有封顶，还有彼岸，慢慢长途，终有回转，余味苦涩，终有回甘。
•
11、人生就像是一个马尔可夫链，你的未来取决于你当下正在做的事，而无关于过ຫໍສະໝຸດ Baidu做完的事。
•
12、女人，要么有美貌，要么有智慧，如果两者你都不占绝对优势，那你就选择善良。
•
13、时间，抓住了就是黄金，虚度了就是流水。理想，努力了才叫梦想，放弃了那只是妄想。努力，虽然未必会收获，但放弃，就一定一无所获。
孙子定理
你能推算出最少有多少人吗？ 你能推算出最少有多少人吗？
每3人站成一排，最后一排只有2人； 人站成一排，最后一排只有2 每5人站成一排，最后一排站了3人； 人站成一排，最后一排站了3 每7人站成一排，最后一排是4人。 人站成一排，最后一排是4
你能推算出最少有多少人吗？ 你能推算出最少有多少人吗？
Байду номын сангаас
三 人 同 行 七 十 稀， 五 树 梅 花 廿 一 枝， 七 子 团 圆 月 正 半， 除 百 零 五 便 得 知。
韩 信 点 兵 多 多 益 善
每3人站成一排，最后一排只有1人； 人站成一排，最后一排只有1 每5人站成一排，最后一排只有1人； 人站成一排，最后一排只有1 每7人站成一排，最后一排只有1人。 人站成一排，最后一排只有1
你能推算出最少有多少人吗？ 你能推算出最少有多少人吗？
每3人站成一排，人数不多不少； 人站成一排，人数不多不少； 每5人站成一排，最后一排还少2人； 人站成一排，最后一排还少2 每7人站成一排，最后一排只有3人。 人站成一排，最后一排只有3
“今有物不知其数，三三数之 今有物不知其数， 今有物不知其数 剩二，五五数之剩三， 剩二，五五数之剩三，七七数之剩 问物几何？。 ？。” 二，问物几何？。”
——《孙子算经》
答曰： 二十三』 答曰：『二十三』
孙子定理
《孙子定理》及对它的推广
我国古代数学名著《孙子算经》中记有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 这就是千百年来在数学界甚至在民间广泛流传的“物不知数”问题，也称为“孙子问题”。
该问题书中不但给出了答案，并且记述了解法，其解法经历代中国数学家的研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。
此定理用现代数学语言叙述，一般都用数论中的同余理论，但从研究的问题类型上看，用“带余除法算式”（指：被除数=除数×商数+余数）表述更为自然易懂，因此，《孙子定理》也可叙述为：
设m 1,m 2,...,m k 是k 个两两互质的正整数（k ≥2）;b 1,b 2,...,b k , 为任意整数，得方程组：
显然，应用《孙子定理》关键是先要求出
F i 的值，由（2）式
x=m 1y 1+b 1x=m 2y 2+b … x=m k y k +b k 取
M==K
i 1
i 整数F i 满足：
F i M i =m i q i +1（q i 为整数），i=1，2,...k (2)
如果i i K
i i b M F ∑=1=Mq+r （q,r 均为整数，0＜r ＜M ）
，则方程组（1）的解 x=r+nM （n 取任意整数）
可知，因M i与m i互质，根据两数最大公约数的性质可知，存在整数F i和q i满足（2）式，并且能求出这两个值（在应用定理时只需要F i的值）
求（2）式中F i的值一般情况可以分两步：
1.首先利用辗转相除的思路对（2）式中M i与m i辗转相除，因
孙子定理和同余方程组
23) 对于第一个：M1=11*23=253 因为253≡1(mod 4),M1’=1 对于第二个：M2=4*23=92 因为92≡4(mod 11),M2’=3 对于第三个：M3=4*11=44 因为44≡-2(mod 23)，M3’=11 求和：x≡253*(-1)*1+92*5*3+44*10*11
解决：大衍求一术，鬼谷算 天文、历法的需要
孙子定理
明朝程大位《算数统筹》
三人同行七十稀， 五树梅花甘一枝， 七子团圆整半月， 除百零五便得知。
孙子定理
利用算式表示：
三人同行七十稀 五树梅花甘一枝
２７０＋３２１＋２１５＝２３３ 七子团圆整半月
再把２３３－１０５－１０５＝２３
除百零五便得知
孙子定理和同余方程组
问题的提出
代数的主要问题就是解方程 隋朝之前有部《孙子算经》提出“物不知数”问
题：
今有物不知数，三三数之有二，五五数之有三，七七数 之有二，问物有几何
韩信点兵
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解
问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。问物⼏何？
简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。上⾯给出了解法。再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！
现给出求解该问题的具体步骤：
1、求出最⼩公倍数
lcm=3*5*7=105
2、求各个数所对应的基础数
（1）105÷3=35
35÷3=11......2 //基础数35
（2）105÷5=21
21÷5=4 (1)
定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数63
3、105÷7=15
15÷7=2 (1)
定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30
把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）
35+63+30=128
4、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）
x=128-105=23
那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。⼀共有四个步骤。下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）
（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩⼤，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。
物不知数——中国剩余定理
“物不知数”——孙子定理
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理.
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为：
70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式：70a+21b+15c-105n
关键是找出70 21 15
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答.明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法.意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案.比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.
又例今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4.试问这类数中最小的正整数是多少？
35+63+60-105=53
53
第一步：在 5,7的公倍数中找出“除以3余数是2”的数；35
第二步：在 3,7的公倍数中找出“除以5余数是3”的数；21,42, 63
孙子定理高斯定理
孙子定理高斯定理
孙子定理和高斯定理是数学中的两个定理，分别用于解决几何问题和物理问题。
1. 孙子定理（也称为圆周角定理）：它是几何中的一个重要定理，用于计算三角形的三个内角和。该定理表明，任意三角形的三个内角和等于180度（或π弧度）。具体公式为：α + β + γ = 180°（或π rad），其中α、β、γ分别表示三角形的三个内角。
2. 高斯定理（也称为散度定理）：它是物理学中的一个重要定理，描述了矢量场在闭合曲面上的流出和流入之间的关系。根据高斯定理，对于一个闭合曲面S，通过该曲面的矢量场的流出量等于该矢量场在曲面内部的散度的体积分。具体公式为：∮S F·dA = ∭V (∇·F) dV，其中S表示闭合曲面，F表示矢量场，dA表示曲面微元面积，dV 表示体积微元，∮表示曲面积分，∭表示体积积分，∇·表示散度运算。
这两个定理在几何和物理领域有广泛的应用，能够帮助我们解决各种相关问题。
孙子定理 余数定理
孙子定理余数定理
孙子定理是一个在数学中很有用的定理,它用来解决一类类似于 "每个人都和另一个人配对,每对之间的差是一个固定数值" 的问题。
具体来说,假设有 $n$ 个人,他们的年龄分别是 $a_1,
a_2, \dots, a_n$,每个人都和另一个人配对,每对之间的差是 $d$。那么,孙子定理告诉我们,当 $n$ 为偶数时,必定存在一组配对方案使得每对之间的差都是 $d$。
举个例子,假设有四个人,他们的年龄分别是 20、25、30、35,每对之间的差是 5。那么,这四个人可以这样配对：20 和25,30 和 35。这样就满足了每对之间的差都是 5。
孙子定理的证明需要用到一种叫做 "余数定理" 的结论。余数定理告诉我们,对于任意两个自然数 $a$ 和 $b$,必定存在整数 $x$ 和 $y$,使得 $a \times x + b \times y = \gcd(a, b)$。这个余数定理可以用来证明孙子定理。假设我们要证明孙子定理,即对于给定的 $n$ 个自然数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $d$,当 $n$ 为偶数时,必定存在一组配对方案使得每对之间的差都是 $d$。
首先,我们可以设 $b = nd$,由余数定理可知,对于任意的自然数 $b$,都有 $\gcd(b, n) \mid b$。因此,对于给定的$b = nd$,有 $\gcd(b, n) \mid nd$。
接下来,我们考虑对 $n$ 个数中的任意两个数 $a_i$ 和$a_j$（$i \neq j$）,它们的差是 $a_i - a_j = d$。因此,有 $\gcd(a_i - a_j, n) \mid d$。
孙子定理简单理解
孙子定理简单理解
孙子定理可以说是初中数学中的重要定理之一，它是一个用于计
算三角形面积的公式，也叫做海伦公式。它的应用范围广泛，可以在
建筑、地理测量、物理等多个领域中找到它的踪迹。
所谓的孙子定理，是由中国古代著名军事家孙武所提出的，因此
得名。这个公式可以用来快速地计算出三角形的面积，而无需准确地
测量三角形的边长和高度等参数。因此，在进行一些基本的测量时，
孙子定理能够为我们节省很多时间和成本。
孙子定理的公式如下：S = √p(p - a)(p - b)(p - c)。其中，S
代表三角形的面积，p表示半周长，即p = (a + b + c) / 2，而a、b、c则分别代表三角形的三条边长。
从公式中可以看出，孙子定理的精髓就在于能够快速算出半周长p 以及三角形的三边长。通过使用计算器或手算，我们可以简单地使用
这个公式来计算出一个任意三角形的面积。
然而，在实际应用中，我们还需要掌握一些技巧性的计算方法，
才能充分利用好孙子定理。例如，当我们只知道三角形的三个顶点坐
标时，如何用孙子定理来计算出它的面积呢？
我们可以通过勾股定理计算出三条边的长度，然后代入孙子定理
公式中得出面积。计算出三条边长之后，我们还可以应用海伦公式求
解三角形高度，或是运用余弦定理求解角度等进一步问题。
总之，孙子定理虽然看似简单，但在实际运用中需要综合运用多个定理和技巧。只有学好了三角形相关的数学知识和技巧，才能为我们在实际生活和工作中提供帮助，让我们更好地应对复杂的问题。
中国剩余定理（孙子定理）
中国剩余定理（孙⼦定理）
中国剩余定理，也叫孙⼦定理，是数论中的⼜⼀个重要定理，那么它是⼲什么⽤的呢？简单来说，这是⼀个⽤来求⼀元线性同余⽅程组的定理。叫做孙⼦定理的原因就是该定理最早可见于南北朝时期的著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：
有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。问物⼏何？
翻译⼀下，就是说，⼀个数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。
接下来，我们把这⼀道题作为例题，探究⼀下如何利⽤孙⼦定理搞定同余⽅程组
例1：
求解⼀元线性同余⽅程组：
x ≡ 2 ( mod 3 )
x ≡ 3 ( mod 5 )
x ≡ 2 ( mod 7 )
解：
做题依据：
当p1 , p2 , ……互质的时候，有 x ≡（a1 q1 q1-1+ a2 q2 q2-1+……）mod P
其中P = p1 p2……， q i = p / p i ，q i-1为 q i 在模p i 意义下的逆元
对于这道题，x ≡（2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1+ 2 * 15 * 1）mod 105 = 23
例2：
求解⼀元线性同余⽅程组：
x ≡ 3（mod 12）
x ≡ 2（mod 18）
解：
做题依据
当p不互质时，有x ≡ a1 ( mod p1 ) = = > x = a1 + p1 b1, x ≡ a2 ( mod p2 ) = = > x = a2 + p2 b2
所以p1 b1 - p2 b2 = a2 - a1
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韩信点兵--3：
每三人站成一排，最后一排只有 2人，
每五人站成一排，最后一排站了 3人， 每七人站成一排，最后一排有 4人， 你能推算出最少有多少人吗？
韩信点兵—3(解)： 70×2+21×3+15×4 ＝ 140 + 63 + 60 ＝ 263 263－105－105＝53
三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝。 七子团圆月正半， 除百零五便得知。
刘 邦
韩 信
韩信点兵： 多多益善
韩信点兵--1：
每三人站成一排，最后一排只有 1人，
每五人站成一排，最后一排也只有 1人， 每七人站成一排，最后一排还是 1人， 你能推算出最少有多少人吗？
韩信点兵--2：
每三人站成一排，人数不多不少，
每五人站成一排，最后一排还少 2人， 每七人站成一排，最后一排只有 3人， 你能推算出最少有多少人吗？
“今有物不知其数，三三数 之剩二，五五数之剩三，七七 数之剩二，问物几何？”
----《Fra Baidu bibliotek子算经》
隔墙算 韩信点兵 鬼谷算
小试身手：
一个数在200与400之间，它 被 3除余 2，被 5除余 3，被 7 除余 5，求该数？